广西壮族自治区来宾市联考2025~2026学年高二下册7月期末综合练习数学试卷【附解析】

数学（满分：150分，用时：120分钟）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.下面各选项中求导正确的是（）A. B. C. D.3.把6个不同的球放入4个不同的盒子里，每个球可以放入任意一个盒子（允许有空盒），则不同的放法共有（）A.种 B.种 C.种 D.种4.某高中学校的学生中有60%的同学喜欢打羽毛球，50%的同学喜欢打篮球，40%的同学同时喜欢打羽毛球和篮球，在该校的学生中随机调查一位同学，若该同学喜欢打篮球，则该同学也喜欢打羽毛球的概率为（）A. B. C. D.5.函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.函数的单调递增区间为B.函数的单调递减区间为C.函数的极大值点为D.函数的极小值点为6.已知随机变量服从正态分布，若，则（）A. B. C. D.7.已知函数，则“”是“是函数的极大值点”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，且第3项和第5项二项式系数相等，则下列说法正确的是（）A.二项式系数最大的项是第4项 B.C. D.10.已知某AI软件公司为迎合市场的需求开发了一款新型智能AI写作软件，现将该软件上市后的月份x以及每个月获得的利润y（单位：万元）之间的关系统计如下表所示，并根据表中数据，得到经验回归方程，则下列说法正确的是（）月份x12345利润y58101215A.B.可以估计10月份的利润为25.5（万元）C.1到5月份的利润数据的第70百分位数为12（万元）D.5月份利润的残差为0.5（万元）11.已知函数在有极大值，则（）A.B.曲线在点处的切线方程为C.方程有且只有一个实数解，则或D.当时，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.名同学从左向右站成一排，则甲站在正中间且乙不站在最右端的排法种数是________．13.已知随机变量，，则________．14.已知函数有两个不同的极值点和，恒成立，则实数t的取值范围是________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数.（1）求在点处的切线方程；（2）求的单调区间.16.广西“三月三”，小明一家四口到北海度假，中午在某餐厅就餐，该餐厅推出七种不同特色美食，其中有1种特色汤类，3种海鲜类，3种粉面类，小明一家要点四道美食（每道不重复）.（1）求小明家点这一道汤同时恰好点一种海鲜类美食的概率；（2）用随机变量表示所选美食中粉面类的数量，求的分布列和期望.17.某年广西举办的城市篮球联赛（简称“桂超”）深受广大市民的喜爱，66个场次累计123万人次现场观看了比赛.为了解喜欢观看“桂超”联赛与性别是否有关系，随机抽取了部分市民，调查他们是否喜欢观看“桂超”联赛的情况，得到如下表格：性别不喜欢喜欢合计男性40140180女性5070120合计90210300（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢观看“桂超”联赛与性别有关；（2）用频率估计概率，从喜欢观看“桂超”联赛的市民中随机抽取4人参加抽奖活动，记这4人中女性人数为X，求X的分布列和数学期望.附：，（结果精确到0．001）．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82818.已知函数．（1）若时，求的极值；（2）证明：当时，；（3）已知函数有两个零点，，且．证明：．19.2026年3月17日，德国柏林女篮世界杯预选比赛收官.预选比赛中，中国女篮战胜巴西女篮，最终稳稳晋级9月柏林世界杯正赛.中国女篮首发五人分别是张曼曼、杨舒予、张茹、罗欣棫和韩旭.主教练宫鲁鸣准备从这五人中随机地抽取三个人去做传球训练.训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出．（1）记张曼曼、杨舒予、张茹三人中被抽到的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望；（2）若刚好抽到张曼曼、杨舒予、张茹三个人相互做传球训练，且第1次由杨舒予将球传出，记n次传球后球在杨舒予手中的概率为，．①直接写出，，的值；②求数列的通项公式，并判断19次与20次传球后球在杨舒予手中的概率的大小．

数学（满分：150分，用时：120分钟）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：2.下面各选项中求导正确的是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据基本初等函数的导数公式逐一验证各选项的求导结果是否正确.解答过程：因为常数的导数为，是常数，因此，选项A错误；因为（），有，取，可得，选项B正确；由（），有，因此，选项C错误；因为，故选项D错误.3.把6个不同的球放入4个不同的盒子里，每个球可以放入任意一个盒子（允许有空盒），则不同的放法共有（）A.种 B.种 C.种 D.种答案：A解析：解答过程：每个球都有4种选择，故不同的放法共有种.4.某高中学校的学生中有60%的同学喜欢打羽毛球，50%的同学喜欢打篮球，40%的同学同时喜欢打羽毛球和篮球，在该校的学生中随机调查一位同学，若该同学喜欢打篮球，则该同学也喜欢打羽毛球的概率为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：设事件为“喜欢打羽毛球”，事件为“喜欢打篮球”，结合条件概率的计算公式，即可求解.解答过程：设事件为“喜欢打羽毛球”，事件为“喜欢打篮球”，可得，由条件概率的计算公式，可得.5.函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.函数的单调递增区间为B.函数的单调递减区间为C.函数的极大值点为D.函数的极小值点为答案：D解析：解答过程：由导函数的图象，可知当时，，当时，，则是该函数的单调递减区间，是该函数的单调递增区间，真包含故不是该函数的单调递减区间，故AB错误；由上分析，知函数的极小值点为，故C错误，D正确.6.已知随机变量服从正态分布，若，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用正态分布的对称性直接求解即可.解答过程：，，又，.7.已知函数，则“”是“是函数的极大值点”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：B解析：思路：先求函数的导数，推导得出为极大值点的充要条件，再结合充分性、必要性的定义判断二者的逻辑关系.解答过程：对函数求导可得，令，解得或.若，即，当时，，单调递减；当时，，单调递增。此时是极小值点，不符合题意；若，即：恒成立，在上单调递增，无极值点，不符合题意；若，即：当时，，单调递增；当时，，单调递减。此时是极大值点。综上，是的极大值点的充要条件为.所以，“”是“”是函数的极大值点”的必要不充分条件.8.已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：先对函数求导，函数在上单调递增转化为区间上恒成立，分离参数后求对应二次函数的最大值，即可得到的取值范围.解答过程：函数的定义域为，对求导得,因为在上单调递增，所以对任意恒成立，即对任意恒成立，由于，不等式两边同除以，整理得,令，由得，原不等式转化为,设，,由于图象是开口向下，对称轴为的抛物线，因此在上单调递减，其最大值为,要使对恒成立，则，即实数的取值范围是.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，且第3项和第5项二项式系数相等，则下列说法正确的是（）A.二项式系数最大的项是第4项 B.C. D.答案：ABD解析：解答过程：由第3项和第5项二项式系数相等，得，所以，所以展开式共7项，所以二项式系数最大的项是第4项，故A正确；二项式展开式的通项公式为，令，所以，所以，故B正确；令，得，所以，令，得，所以，所以，故C错误；令，得，所以，故D正确.10.已知某AI软件公司为迎合市场的需求开发了一款新型智能AI写作软件，现将该软件上市后的月份x以及每个月获得的利润y（单位：万元）之间的关系统计如下表所示，并根据表中数据，得到经验回归方程，则下列说法正确的是（）月份x12345利润y58101215A.B.可以估计10月份的利润为25.5（万元）C.1到5月份的利润数据的第70百分位数为12（万元）D.5月份利润的残差为0.5（万元）答案：AC解析：思路：求得样本中心，代入回归方程得到的值，可判定A正确；令，求得，可判定B错误；由百分位数的计算方法，可判定C正确；根据残差的求解方法，可判定D错误.解答过程：对于A，由表格中的统计数据，可得，，将样本中心代入回归方程，可得，所以A正确；对于B，由A知：回归直线方程为，令，可得，即10月份的利润为万元，所以B错误；对于C，由，所以数据的第70百分位数为，所以C正确；对于D，由表格中的数据知，当时，实际利润为万元，预测利润为万元，所以5月份利润的残差为万元，所以D错误.11.已知函数在有极大值，则（）A.B.曲线在点处的切线方程为C.方程有且只有一个实数解，则或D.当时，答案：BD解析：思路：对于A，通过题目条件求出函数的具体表达式，从而求出c的值；对于B，利用导数求出切线方程，对于C求出函数的单调区间从而画出函数图像进行求解；对于D，利用函数的单调性进行求解.解答过程：对于A，由题可得，则，因为为极值点，因此，解得或，当时，，令，则或，当时，，当时，，当时，，因此时，为极小值点，不合题意；当时，，令，则或，当时，，当时，，当时，，故为极大值点，因此，故A错误；对于B，，所以切点为,斜率，切线方程为，即，故B正确.对于C，根据上述分析可得在与上单调递增，在上单调递减，故函数图像为通过图像我们发现或时，就有且仅有一个解，因此或，故C错误；对于D，当时，，又因为在上单调递增，所以，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.名同学从左向右站成一排，则甲站在正中间且乙不站在最右端的排法种数是________．答案：解析：思路：先固定甲的站位，优先安排有约束条件的乙，再对其余无约束人员全排列，结合分步乘法计数原理计算总排法数可得.解答过程：将个站位从左到右依次编号为，先排甲，甲站位有种，再排特殊元素乙：乙不能选择已被甲占据的站位，也不能选择站位，因此乙可选的站位为，共种选择；安排剩余名无约束的同学安排到剩余的个站位，全排列的排法种数为.根据分步乘法计数原理，总排法种数为.13.已知随机变量，，则________．答案：解析：思路：根据二项分布期望公式和数学期望的性质可求得；利用二项分布的方差和方差运算性质可求得结果.解答过程：，，，解得，，.14.已知函数有两个不同的极值点和，恒成立，则实数t的取值范围是________．答案：解析：思路：先求出导函数，再应用极值点对应导数值为0结合韦达定理计算求出，令，将不等式转为，求导求出的最值，即可得出参数范围.解答过程：对函数求导得，有两个不同的极值点，有两个不同的正根，根据韦达定理：，，设.将变形为，，，代入得：.令，，，此时不等式变换为：，对恒成立.设，则，时，，即在上单调递减，故，要使恒成立，只需.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数.（1）求在点处的切线方程；（2）求的单调区间.答案：（1）（2）单调递减区间为，单调递增区间为解析：思路：（1）根据导数的几何意义可求在点处的切线方程；（2）根据导函数的单调性及，可求的单调区间.（1）由，得，所以，又，所以在点处的切线方程为，即；（2）因为函数，在上单调递增，所以在上单调递增，且，所以当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增；所以的单调递减区间为，单调递增区间为.16.广西“三月三”，小明一家四口到北海度假，中午在某餐厅就餐，该餐厅推出七种不同特色美食，其中有1种特色汤类，3种海鲜类，3种粉面类，小明一家要点四道美食（每道不重复）.（1）求小明家点这一道汤同时恰好点一种海鲜类美食的概率；（2）用随机变量表示所选美食中粉面类的数量，求的分布列和期望.答案：（1）（2）的分布列为：0123数学期望为解析：思路：（1）先计算总选法数，再求出满足条件的选法数，用古典概型公式计算概率；（2）先确定的所有可能取值，分别计算对应概率得到分布列，再代入期望公式计算期望.（1）设事件为“点这一道汤同时恰好点一种海鲜类美食”，则.（2）在7种特色美食中，粉面类3种，非粉面类4种，随机变量的所有可能取值为，由题意得，，，，因此的分布列为，0123故数学期望为.17.某年广西举办的城市篮球联赛（简称“桂超”）深受广大市民的喜爱，66个场次累计123万人次现场观看了比赛.为了解喜欢观看“桂超”联赛与性别是否有关系，随机抽取了部分市民，调查他们是否喜欢观看“桂超”联赛的情况，得到如下表格：性别不喜欢喜欢合计男性40140180女性5070120合计90210300（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢观看“桂超”联赛与性别有关；（2）用频率估计概率，从喜欢观看“桂超”联赛的市民中随机抽取4人参加抽奖活动，记这4人中女性人数为X，求X的分布列和数学期望.附：，（结果精确到0．001）．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828答案：（1）能（2）的分布列为：01234数学期望为解析：思路：（1）设零假设，计算卡方，与对应的临界值比较判断即可.（2）先求抽取1名喜欢者为女性的概率，判断服从二项分布，再计算分布列和期望.（1）设零假设：喜欢观看“桂超”联赛与性别无关.由列联表可知总样本量，代入卡方公式得：.

已知对应的临界值为，由于，因此拒绝零假设，即依据小概率值的独立性检验，能认为喜欢观看“桂超”联赛与性别有关.（2）用频率估计概率，从喜欢观看“桂超”联赛的市民中随机抽取1人，抽到女性的概率.随机变量的可能取值为0,1,2,3,4，且，则，，，，.故的分布列为：01234数学期望为.18.已知函数．（1）若时，求的极值；（2）证明：当时，；（3）已知函数有两个零点，，且．证明：．答案：（1）极小值为，无极大值（2）要证明，即证，化简得，当时，，故即证，令，则，因为在上单调递增，故单调递增，又因，所以当时，，当时，，故在区间上单调递减，在上单调递增，故为的极小值和最小值，，因此，因此，所以.（3）由题可得，即，两式相减得，解得，因为要证，即证，将代入即证，令，则，因为，所以，因此，即证，令，则，由均值不等式可得，故，当且仅当时取等号，所以时，，即在上单调递增，故，故.解析：思路：小问（1），将题目条件代入再利用导数求极值