2024-2026年高考数学试题分类汇编数列（原卷版）

专题04数列

考点01数列的通项公式与前n项和

1.（2026•全国I卷•高考真题）一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远

的历史文化闻名遐迩.该塔群共有108座塔，依山势自上而下排成12行，将第，行中塔的座数记为

q（i=l,2,,12）,其中q=l,%=%=3,aA=a5=5,且%，叼，…，0是一个首项为7,公差为2的等

差数列.将6，为，…，出分为6组，每组2个数，使得每组的2个数之和可构成一个项数为6且公差为"（”>0）

的等差数列，则，/=（）

A.2B.4C.6D.8

2.（2026•天津•高考真题）已知52.-5.=〃，%=6,则%+%=（）

A.68B.56C.-3D.-4

3.（2026•上海-高考真题）下列数列中是等差数列也是等比数列的是（）

A.1*—Ir1,—1,1B.112,3»4,5

C.5,5,5,5,5D.1,2,3,5,7

4.（2025•北京•高考真题）已知｛4｝是公差不为零的等差数列，《=-2,若4成等比数列，则须=

)

1

A.20B.-18C.16D.18

5.（2025•天津•高考真题）S”=T/+8〃，则数列｛|可|｝的前12项和为（）

A.112B.48C.80D.64

6.（2025•全国II卷•高考真题）记S“为等差数歹£4｝的前”项和.若S3=6,S：5=—5,贝1]§6=（）

A.-20B.-15C.-10D.-5

7.（2024•全国甲卷•高考真题）已知等差数列｛%｝的前〃项和为S“，若£=1,则%+/=（）

A.-2C.1

8.（2024•全国甲卷•高考真题）记S“为等差数列｛q｝的前八项和，已知&=品），牝=1,则4=（）

CT

A.\B-ID-'T\

9.（2026•全国II卷•高考真题）（多选）已知等比数列｛%｝的公比夕工1,且％>0,2%=%+生，记数

列｛qj的前〃项和为s〃，则（）

2

a

A.q=B.Sn>~\

2〃

C.2S/2=SZ+S”D.S[+S?+…+S*>4

10.（2025•全国n卷•高考真题）（多选）记S.为等比数列｛/｝的前〃项和，。为｛为｝的公比，9>0.若

邑=7,%=1,贝I]()

A.Q=-B.%=一

、9

C.$5=8D.a“+S“=8

11.（2026•全国1卷•高考真题）设实数4满足：存在数列｛④｝,使得对于任意均有

4+/++如,=/+〃，且｛〃“｝中有某连续9项〃人，为讨，L,68是公比为4的等比数列.则4的最大值

为

12.（2026•北京•高考真题）已知等差数列｛q｝的前〃项和为工，且5'6=6“6+3（）,贝ij公差d=

若S“KSs恒成立，则符合条件的q的一个取值为

13.（2026•全国II卷•高考真题）设S.为等差数列｛q｝的前〃项和，若4=-1,%=5,则$6=

14.（2026•上海•高考真题）已知等差数列｛4｝中，4=（）,公差为d,其前〃项和S,在区间（0,1）内至少

2

有两项，则公差4的取值范围是.

15.（2026•上海•高考真题）已知色｝为等比数列，4=2,%=6,则4=.

16.（2025•上海高考真题）己知等差数列｛〃”｝的首项％=-3,公差d=2,则该数列的前6项和为.

17.（2025•全国I卷•高考真题）若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4,前8项的和等

于68,则这个数列的公比等于.

18.（2025•上海•高考真题）已知｛4｝是首项为1,公差为1的等差数列，｛"｝是首项为1,公比为。（。＞。）

的等比数列.若数列｛%•，｝的前三项和为2,则4=.

19.（2024•上海•高考真题）数列0｝,c的取值范围为.

20.（2024•新课标H卷•高考真题）记S”为等差数列｛为｝的前〃项和，若。3+4=7,3%+4=5,则&=

21.（2026•天津•高考真题）已知等差数列㈤｝与等比数列也｝满足：4=2,4=1,生+4，％=仄-4.

⑴求数列也｝，步,｝的通项公式;

（2）汜纥，弘eN*,3=4或犬=4｝,记%为心中的元素个数.

（i）求％;

3°-1

（ii）求Z（T）"'•勺

7/1=1

22.（2025•天津•高考真题）已知数列｛q｝是等差数列，也｝是等比数列，4=々=2,4=&+1，4=".

⑴求｛4｝，｛2｝的通项公式；

（2）B〃wN",/=｛0,1｝,有7；=｛印他+p2a2b2+...+外1*%+PM%I8，0，…，Pi'P/l｝,

（i）求证：对任意实数均有，＜凡,也,7；

（ii）求，所有元素之和.

23.（2024•全国甲卷•高考真题）已知等比数列｛q｝的前〃项和为S”，且2s.=3〃,川-3.

（1）求｛〃”｝的通项公式；

（2）求数列⑸｝的前〃项和.

24.（2024•全国甲卷•高考真题）记S”为数列｛《,｝的前〃项和，已知4S“=3%+4.

3

(i)求｛q｝的通项公式；

⑵设a=(-1尸叫,求数列出｝的前〃项和，.

25.(2024•天津•高考真题)已知｛4｝为公比大于0的等比数列，其前"项和为s”，且4=1,52=%-1.

⑴求｛〃”｝的通项公式及S”；

(2)女数列他满足二，其中〃GN*.

(%+2攵,为v〃<%|

(□)当”=4+I(2CN',且2>1)时，求证：bn_.>akbn,

(□)求办.

1=1

26.(2026•北京•高考真题)设A=(%)”是一个加行〃列的数阵，且数阵中的每一项因w｛T,l｝,都等

于1或一1.若对任意IK其中i。“，</工4，且卜一〃|一/一利=2,都有为+%+%+。网=(),

则称数阵A具有性质P.

(1)判断下列两个数表是否具有性质P.

11-11

A-

-11-11

11-1-1

A,=1-11-1

-11-11

(2)若〃?=5,〃=4,则数阵力中1的个数最多是多少？

⑶若加=〃=6,%=1,且数阵4具有性质P,证明：对任意i,ye[1,2,3,4,5,6｝,都有%=%%.

考点02数列的综合应用

I.(2026•北京•高考真题)｛4｝,｛〃｝是无穷数列，则“存在常数M,使，“4/4，(〃=1,2,3,)”是

“凡《包。=1,2,3,)”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

4

2.（2U25•上海•高考真题）已知数列｛%｝、依｝、上｝的通项公式分别为q=10〃-9,2=2"、,

%=而”+（1-，地”•若对任意的4e[0』，L、h%的值均能构成三角形，则满足条件的正整数“有（）

A.4个B.3个C.1个D.无数个

3.（2024•全国甲卷•高考真题）已知/）是的等差中项，直线at+〃y+c=0与圆/+V+⑥，—1=。交

于A.B两点，则的最小值为（）

A.1B.2C.4D.2石

4.（2024•上海•高考真题）无穷等比数列｛。/满足首项6>0应>1，记/”=卜-小0£[%，%]“，%%]｝，

若对任意正整数〃集合/”是闭区间，则夕的取值范围是.

5.（2024•北京•高考真题）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是俞、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中

升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径

依次为63mm,325mm,32bmm,且斛量器的高为230mm,则斗量器的高为mm,升量器的高为

mm.

6.（2024•北京•高考真题）设｛q｝与｛2｝是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合

M=｛k\ak=/，0N*｝,给出下列4个结论：

匚若｛q｝与｛2｝均为等差数列，贝!M中最多有1个元素；

□若｛q｝与也｝均为等比数列,MM中最多有2个元素；

匚若｛%｝为等差数列，｛〃｝为等比数列，则例中最多有3个元素；

匚若｛可｝为递增数列，｛〃｝为递减数列，则"中最多有1个元素.

其中正确结论的序号是.

7.（2024•上海•高考真题）4=2,%=4,4=8,q=16,任意生打，4,々eR,满足

[ai+aj\\<i<j<4]=[h^b.\\<i<j<4｝f求有序数列也向自白｝有对.

8.（2024•上海•高考真题）已知函数/（x）=log，Ma>0,"l）.

⑴若函数），=/（"的图象经过点（4,2）,求解不等式/（2x-2）</（x）；

（2）若存在％,使得/（x+1）、〃④）、〃x+2）依次成等差数列，求。的取值范围.

9.（2025•全国I卷•高考真题）已知数列｛4｝中，卬=3,=+—!—

5

（1）证明：数列{〃〃“}是等差数列；

（2）给定正整数小,设函数/。）=限+%/+1+4"*,求/'（-2）.

10.（2024•新课标H卷•高考真题）已知双曲线。:/-9二川/心。），点出5,4）在。上，Z为常数，

0<k<\,按照如下方式依次构造点勺（〃=2,3,...）：过比।作斜率为斤的直线与C的左支交于点。“一令PJ为

a1关于）'轴的对称点，记P.的坐标为（玉,yn）.

（1）若*=求七,力；

I1k

（2）证明：数列卜“一”}是公比为常的等比数列；

⑶设S”为42以阳+2的面积，证明：对任意正整数〃，S〃=S向.

11.（2024•北京-高考真题）已知集合

“={（。/«,卬）”{1,2},/6{3,4},仁6{5,6},>收{7,8},且，|）|“3为偶数）.给定数列入：％,巴，，小，和序

列。:工石，却其中7；=&"，4，唱）£〃。=12对数列4进