2026高一数学专项提升讲义：指数（ 教师版）

第17讲：指数

【知识梳理】

知识点一根式

(1)如果工"=〃，那么X叫做。的力次方根.

n

(2)式子。叫做根式，其中〃叫做根指数，。叫做被开方数.

(3)(〃)"=〃，当〃为奇数时，Q"=Q,当〃为偶数时，an=\a\='

—a,a<0.

知识点二分数指数累

巴〃

正数的正分数指数幕，4”=型(。>0,相，〃EN”,心1).

_w1

正数的负分数指数累，a"=二=〃(心0,小，托N*,心1).

0的正分数指数暴为0,0的负分数指数辱没有意义.

知识点三指数塞的运算性质

r

aras=ar^s\(a'')s=ars\(aby=arbr；—=ar~s(〃>0,b>0,r,sER).

Q，

【例题详解】

题型一、指数和指数塞的运算

I.(25-26高一下•上海杨浦•期中)已知10“=3,10=4,则10"”的值是.

【答案】12

【分析】根据指数基的运算，即可得答案.

【详解】由题意得10"+"=10"•10"=3x4=12，

故答案为：12

2.(2023高二•山西•学业考试)(0.064)1-卜+[(-2汀二164%=.

【答案】、

【分析】根据指数基的性质进行计算.

1

【详解】原式=（0.43修-1+（-2「-（24r”=0.4」-1+LLH2

''v716821616

故答案为：

16

3.（24-25高一上•广东广州•阶段练习）己知V+3x—1=0,则』+斗二

.V*

【答案】11

【分析】变形得到、二=一3,两边平方得X2+±=9+2=U.

xX*

【详解】因为/+3x—1=。,所以/一1二一3、，x--=-3,

x

x/=—3两边平方得——2+二=9,

xX-

故工2+4=9+2=11.

厂

故答案为：11

题型二、利用根式的性质化简或求值

4.（25・26高一上•广东广州•期中）（多选）下列说法中正确的是（）

A.16的4次方根是±2B.47=3

C.VsT=±3D.+»=|x+y\

【答案】AD

【分析】利用根式的定义即可求解.

【详解】

对于A,16的4次方根有两个，为二、,故A正确；

对于B,负数的3次方根是一个负数，近27=而时=-3,故B错误；

对于C,我1=疗=|3|=3，故C错误；

对于D,J（x+y）2是非负数,所以J（x+y）2=|x+y|,故D正确.

故选：AD.

5.（2021高一•全国•专题练习）若府二瓦公=朽五，则实数〃的取值范围是（）

A.aeAD.a=0C.aJD.

22

2

【答案】D

【分析】把等式左边变形为而F，结合必二H=VT\,可得2a-lY,则答案可求.

【详解】解：由V4a、4q+l=M（2aT）2=Y|2a-l|=Yi^,

可得2a-1W,即（「苦.•,・实数。的取值范围是火g.

故选：D.

6.（25.26高一上•全国•课后作业）计算下列各式.

（1）.（_a）5=;

（2），（3-TT）6=；

（3）.

【答案】-a7C-3；

【分析】（1）根据根式的运算性质直接求解即可；

（2）根据根式的运算性质直接求解即可；

（3）先化带分数为假分数、小数化分数，再根据根式的运算性质直接求解即可；

【详解】（1）就牙=-a.

（2），（3-兀『=|3-jt|=n-3.

故答案为：（1）一"；（2）冗-3；：3）y

题型三、根式与分数指数基的互化

7.（2025高三下•全国・专题练习）设。>0,〃?〃是正整数，且〃>1,则下列各式中不正确的是（）

'•a3aA=aB.=a

mc--1

Ca'=叱D.a"=-7=

【答案】A

3

【分析】结合指数鬲的运算性质逐项判断即可.

【详解】对于A,0暴一a衿一瑞，A错误；

对于B,-=*4=〃，B正确；

\Z

对于C,/=行，C正确；

--11

对于D,。"=飞=而，D正确；

故选：A.

8.（24-25高一上•黑龙江哈尔滨•期中）（多选）下列各式错误的是（）

_[

A.6/j^_B.a3+a4=a

C（XHO）D.加了=]

【答案】ABC

【分析】A选项，举出反例；BCD选项，根据指数幕的运算法则和根式的运算法则得到答案.

【详解】对于A,当歹＜0时，"故A错误；

对于B,。=1时显然等式不成立，故B错误；

对于C,故C错误;

_____£

对于D,\[a4a=&a.a'=\la^=（用一=〃4=》，故D正确.

故选：ABC.

9.（25.26高一卜.・广东广州•期中）用分数指数幕表示并计篁下列各式（式中字母均正数），写出化简

步骤.

4m--y/m

【答案】（1）/

4

（2）1

【分析】（1）（2）将根式化为分数指数幕，再根据幕的运算法则计算可得.

1

【详解】⑴「1=小周=后了世彳1

1：iis

⑵="'77=/36=〃?。=].

网“J-J

题型四、运用指数幕运算公式化简求值

10.（24-25高二下•广西,阶段练习）若5m=2,5”=3,则广广的值为（）

A.这B.拽厂2、伤

<✓------

399

【答案】A

【分析】根据指数运算律计算求解.

1

【详解】因为5"，=2,5"=3,则52=更1=工2_2后

",=丁

故选：A.

11.（2025高三•全国•专题练习）（多选）己知。十。一-'=3（«>0）,则下列结论正确的是（）

22=土加D."G+±=2石

A.a+a-=7B./+/=]8C.a5+a4

【答案】ABD

【分析】根据实数指数幕的运算性质，逐项计算，即可求解.

【详解】a2+«-2=(«+a-,)--2=32-2=7,A正确；

/+=(a+47)(/_1+〃")=3x(7-1)=18,B正确；

’11丫

=〃+小+2=5,因为，>0,>o»所以M+q3=亚,C错误;

\7

a4a+—j==a2+a2=a2+a2(0-1+〃")=石乂(3-1)=2后,D正确.

故选：ABD.

5

12.（24-25高一上•全国•课后作业）计算下列各式:

（1）（兀+3同一仅a4々广+，（2一可；

（2）8飞5尸+（专•得卜

(2沟x42x2J

⑶__

2'-x(2x4^y

【答案】（1）-5-73

(2)4

【分析】根据根式、指数运算来求得正确答案.

3五

【详解】（1）原式=>（2壶）〒+2-&=-5-0

（2）原式=（2］一（271+产3HT

=22-23+33X^=-4+8=4.

4x2^4^x2^4x2^x4'^x*3O口济

（3）原式=

B-373*-

2S2X23X43产xgx4'23

题型五、分数指数嘉运算的综合应用

13.（24-25高一上•全国•课后作业）若x>0,则户.12.货'）5=（）

15151515

A.x8B.x4C<x16D・x8

【答案】A

【分析】把根式化成分数指数累，进而计算即可.

II

一、­▼,、\I（.3\7IHI1H15

【详解】原式=/.一.户=x7./7=x2-xn-=xri=xT.

故选:A.

6

14.(2024高三•全国•专题练习)化简：(；)一•'(a>0”0)=______.

(0.1)-'•(aV3)2

【答案】|

【分析】先将根式化为分数指数累，然后由累的运算化简可得.

【详解】(卜衍■色上.

(0.1)，仅方3)210/户]0户户5

故答案为：

<1尸

15.(2025高三•全国・专题练习)(1)求值:+2。-[(-3)]，+(省x诟)6；

<64;

(2)已知x+—=4,求户+一的值:

X2+X-2

(3)求值：阊二.(2；%(6网6+几亓；

।/rv1

(4)求值：/+(百-2]+0.75-/(¥),(614.

【答案】(1)32;(2)"(3)73;(4)2-/

14

【分析】(1)(3)(4)根据指数的运算即可求出答案，(2)通过(3+XT[=X+E+2,及卜+/『即

可求结果.

【详解】（1）原式=（；）3+2°-32^+3*x6^6=4+1-27+54=32;

|£\2

（2）由-=x+x-'+2=4+2=6,

VX>0,•,•1+"=将（x+x-，）~=.V2+X_2+2=16,

•••厂2+x—2=«1J4.

故炉+X2一后

犬+尸14

（3）（2|、-3-^2^2+（血网6+卜2丫

7

=l-3--J=+23-32+2=1-2+72+2=73

27V

3x27V

=一a+—x—=2—\/3♦

4x4,32

【专项训练】

一、单选题

1.（24-25高一上•全国•课前预习）化简谓的值为（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【分析】根据指数幕的运算化简求解即可.

【详解】83=（23）^=4-

故选：B

2.（24-25高一上•全国•课前预习）下列各式正确的是（）

A.。°=1B.2C.几29=-2D.疗=

【答案】B

【分析】由根式化简及零指数意义逐项化简判断.

【详解】对于A,〃。=1,当。=0时，a。无意义,故A错误：

对于R，由,（—2）3=-2,故B正确:

8

对于C，由2丫=2,故C错误;

对于D,由〃4=同，故D错误.

故选：B.

3.（2025•河南新乡•二模）)

A.16B.8x/2C.32D.16及

【答案】A

【分析】应用指数幕运算的性质叱简求值.

图二出碰喇=2』6.

【详解】由

故选：A

4.（24-25高一上•全国•周测）下列各式正确的是（）

A.网=-2B.=Q

C.而+寸=（x+y>D.=n2m2

【答案】A

【分析】借助指数幕的运算法则计算即可得.

【详解】对A：:（-2）3=-8,.•.-2=4，故A正确：

对B：...就_3）4=疗=3,=而,故B错误；

对C：;（x+y）；=+工壮+y3’故C错误；

对D：♦「-1=3"="2•〃尸工〃,•加，故D错误.

\niJm~

故选:A.

5.（18-19高一上•天津•期中）化简?（-迎I（其中〃>01>0）的结果是

虱27叼

An2a161

茄2aB.--C.而不D.-砧r

9

【答案】C

【分析】根据分数指数基化简即可.

【点睛】本题考查分数指数幕运算，考查基本求解能力，属基础题.

6.（24-25高一上•吉林长春•期中）已知io1"=2,10"=3,则10里卢=（）

A.~B.：C.—D.这

2923

【答案】D

（3*2”\2_..,

【分析】求出10k，根据10空的正负求出10号.

X/

’3吁2"\y2

【详解】根据题意，得101-=吁一2〃=]03mxi0-2"=（]0m）X（IO"J=2〃3-2=/

因为10f>0,所以I产=+平.

故选：D.

7.（24-25高一上•全国・周测）若3"=5,3"=6,则下列式子值为学的是（）

36

A.B.325z,,-6rtC.3im-2nD.3W，-"2

【答案】C

【分析】利用指数"的运算性质叱简可得结果.

【详解】因为3加=5,3"=6,所以125=53=俨丫=3”,，36=62=（3fl）2=32n

所以展=「二3心

故选：C.

8.（2025高一上•浙江杭州•专题练习）设。也。均为不等于1的正数，且/“3=。6,则.c的值为（）

A.3B.2

C.1

【答案】C

10

【分析】由题可知力=02,=然后可得///=]即可求解

【详解】Vfl-2=63=cS4=。2,与=凡

a~

即“加二病/力=],又〃也c均为不等于1的正数，

所以abe=1.

故选：C.

9.(24-25高二下,天津河东,期末)己知p:/i'=：2"=2",则夕是夕的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据充分不必要条件的定义结合指数运算判断即可.

【详解】已知p\4a-\[b,q\T=2h,

当G=G时，。=心0，所以2。=2”，

当a=/,=T,2“=2M根式没有意义,

则〃是4的充分不必要条件.

故选：A.

10.(2025・甘肃金昌・二模)已知函数/(')=t"；T>；0'且/(16)=2,则/(-1)=().

a\x<0,

A.7.B-C.2.D.4.

【答案】D

【分析】代入/。6)=2中求出〃的值，在利用分段函数代入求出即可.

【详解】由题可知/。6)=16“=24。=2,

解得。=；，则-1)==4.

故选：D.

11.(24-25高一上•江西赣州•开学考试)下列运算正确的是()

11

A.B.(-2/)」6/

C.(3t7+l)(3«-1)=9a2-1D.(2a'-a2)-i-2a=2a-\

【答案】C

【分析】根据题意，由指数幕的运算，代入计算，逐一判断，即可得到结果.

【详解】对于A,a2-^=a5,故A错误；

对于B,(-2/)3=_8〃6,故B错误:

对于C,(3a+l)(3a-l)=9tt2-l,故C正确；

对于D，(2/一/)+2"-")=/」,故D错误；

2a2

故选：C

12.(25-26高一上•湖北武汉•开学考试)已知。4,且加工0,化简二次根式匚豆的正确结果是()

A.-axl-abB--a\[abC.a\[abD.a\j-ab

【答案】A

【分析】分析：由二次根式有意义的条件以及。<〃，且时工0,可确定出。的正负情况，再依据G=|a|

进行化简，最后化简绝对值即可.

【详解】解:*;d-a3b有意义,-a3b>0,/.a3h<0>

又a<b，4Vo,b>0,「.J—a，b=—ad—ab.

故选：A.

13.(2025•黑龙江佳木斯•三模)已知正数x,I满足23=4%则2x+歹的最小值是()

9

A293

2-

【答案】C

【分析】由2,4=4,可得;+L1,再根据基本不等式“1，，的妙用求解即可.

2yx

【详解】由2*4=4%则7"'??孙，即x+2y=2,q,则4+Ll,

2yx

所以2x+y=（2x+y）—+—=—+—+—>2/—•—+-=—,

'\2yX）yx2Vyx22

12

当且仅当三=2,即x=y=：时等号成立，

yx2

所以2r+y的最小值是，

故选：C.

14.（24-25高三下•江苏扬州•阶段练习）已知〃、bwR,且4a+6=2,则6+2分的最小值是（）

A.2>/2B.4C.8D.16

【答案】B

【分析】利用基本不等式可求得6+*的最小值.

【详解】因为〃、beR,且4a+/）=2,则16"+2"=2辐+2"22抄”.2b=2收。"=4，

当且仅当…=2时，即当1时，等号成立，

6=1

因此，16“+2"的最小值是4.

故选：B.

二、多选题

15.（24-25高一下•山西大同•阶段练习）下列运算结果中，一定正确的是（）

A.t/3-t/4=a7B.（-a?）、/

C.\fa^—aD.，（_兀）5=—n

【答案】AD

【分析】根据指数运算律计算求解判断各个选项.

【详解】A选项，/.。、/“二/,正确：

B选项，,错误；

C选项，当。之0时，"=4，当"0时，"=—0,错误；

D选项，1（-兀），=-71，正确.

故选：AD.

16.（24-25高一上•福建福州•阶段练习）下列根式与分数指数塞的互化中正确的有（）

13

Ir.-----1

A・户=-6（工工0）B.［#（-»,二/（》＞0）

C-v2y3=^=-（x＞0,y＞0）D.一石=—

【答案】BCD

【分析】根据分数指数幕与根式的互化逐项判断.

【详解】对于A,一五=_/卜工0）,故A不正确；

32

对于B,［［（-x）］=（行］=炉-1"小°）,故B正确；

对于C,F'/=二•犷=牛［＞0,7＞。），故C正确；

人/a

对于D，=山./=◎，故D正确.

故选：BCD.

三、填空题

17.（24-25高一上•福建福州•期中）+情

【答案】0

【分析】利用分数指数幕的运算法则得到答案.

2

【详解】（），仁（4、3T§二:。.

—1

S）1616

故答案为：0

27V

18.（24-25高一上•天津•期中）计算:-162++收-兀）~=

8J

【答案】冗

【分析】由指数暴、根式的运算性质化简求值.

【详解】一/+（野+而了=一卜2—2=小

14

故答案为：兀

四、解答题

19.（2025高三•全国・专题练习）计算：0.75-'x\10+164.

2<300

【答案】-16

【分析】利用指数的运算律即可计算得结果.

_1(L\2a

【详解】原式=(1)Xy4+10x-^!—+300^+(24)^

\/

12

=1X2_X21,|0X(X/3+2)+I0V3+2

32?V

=-x--10x/3-20+10\/3+2=-16.

32

20.(24・25高一上•黑龙江鸡西•期中)⑴计算(2；卜(-9.6)。-(副+图2的值;

(2)已知/(./+2)=/+4/,则f(x)的解析式.

【答案】(1)g(2)/(X)=X2-4(X>2)

【分析】（1）利用分数指数寻求解即可.

（2）利用换元法求解函数解析式即可.

【详解】（1）

3,(2丫12丫1

=----1--4--=—.

2⑴⑴2

(2)/(/+2)=/+4/=卜2+2)：4,

令/=9+2之2,则/(，)=八一4,

所以=4（、之2）.

15

21.（24-25高一上•全国•课后作业）化简求值:

⑴阊+(0.002)-2-10(^5-2)-,+(Jj°

⑵旧-旧+々0.125;

(3)2aW_6a2bz+_3a6264a3b6

【答案】（1）-多

⑵1

⑶16。

【分析】（1）根据指数幕的运算法则，以及根式与指数幕的互化公式，即可求解;

（2）根据指数基的运算法则，以及根式与指数累的互化公式，即可求解;

（3）利用同底数墓的乘法和除法法则运算即可.

【详解】(1)原式/总+i

l27jl500jx/5-2

=[+10石-10(6+2)+1=-y-；

⑵原式唔-椁+矫=港+渭；

(3)原式=[2x(—6).(-3)x4]-。古丁工/国三]6昉0=16Q.

22.（24-25高一上•全国•课后作业）化简:

(1)，(工-兀)"(xv兀,〃eN*);

⑵已知〃<〃<(),〃>L〃CN',化简狂工f+，(4+刈.

【答案】⑴血-。=兀-X,〃为偶数且〃€N*

X-兀,〃为奇数且〃€N*

Q)d(a-b)"+而+”2d〃为偶数由wN*

-2%〃为奇数且wwN*

【分