2026高二数学复习：复数（解析版）

【知识点1复数的有关概念】

形如z=〃+/，i（q,8£R）,其中。为实部，记作Rez；力为虚部，记作Imz,

复数定义

i叫作虚数单位.

复数zj+/1J纯虚数（『°）,

3』）［虚数”。）［非纯虚数（小

复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系

复数分类

公、实数集）

复数相等a+加=c+di=〃=。且〃=d(a,b,c,c/€R)

共挽复数a+3与c+di共4=a=c且力=-d(mb,c,d€R)

向量OZ——♦的模叫做复数z=a+历的模，记作|z|或|“+历|,即|z|=|a+列=r=

复数的模

a0：<?»bcR）

【知识点2复数的几何意义】

复平面

建立直鱼坐i送来表示兔数的平面叫做复平面

的概念

实轴、在复平面内，X轴叫做实轴，)，轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数;除原点以

虚轴外，虚轴上的点都表示纯虚数

复数的

复数z="+〃i<..对应A复平面内的点Zm,㈤<.对应》平面向量近

几何表示

【知识点3复数的运算法则】

(1)运算法则：设zi=a+所,Z2=c+tZi3,b,c,旄R),则

①加法：zi+z2=(a+加)+(c+"i)=(a+c)+g+c/)i；

②减法：zi-Z2=(a+岳)—(c+di)=(a—c)+(/?+")i;

③乘法：ziZ2=(。+勿)(c+di)=4c+a=+〃ci+〃di2=(ac-)d)+(ad+/?c)i；

④除法：父=过坦=(a+bi)(c—di)=(ac+")("吧=a/+bd+bf-adj(0+,卮()).

;2222252-J，

7八z2c+di(c+di)(c-di)c+dc+dC+d^

(2)运算律

①曳数的加法运算律：

结合律：(Z1+Z2)+Z3=Z1+(Z2+Z3)；

交换律:Z[+Z2=Z2+Z1.

②更数的乘法运算律：

结合律：(z1z?)z3=zr(z?zl)；

交换律：Z|22=222：

乘法对加法的分配律：Z1•(Z?+Z3)=Z[N2+Z1N3.

⑶几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形法则或三角形法则进行运算.如图给出的平行四边形

ozzz2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即位=西+西,^Z7=-QZ7-OZ7..

【知识点4复数运算的几个重要结论】

(l)i的乘方具有周期性

i4,,=l,i4n+,=i,i4«+2=-1,i4n+3=-\,i4〃+i4〃+i+i4〃+2+i4〃+3=o,〃eN+.

(2)z5=IZI2=IzI2；区为尸㈤㈤；.|=合｝；\zn\=\z\n-.

|Z1+Z2-+|Z]—Z2/=2(IZ1I2+IZ2I2).

（3）复数z的方程或不等式在复平面上表示的图形

①1z-Zol表示复数z,Z。对应的点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式.

②|z-z0|=〃表示以Zo对应的点为圆心，，.为半径的圆.

③姓怙区〃表示以原点。为圆心，以。和〃为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界.

（4）涉及复数模的最值问题以及点的集合所表示的图形问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入

手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解.

【题型1直数的概念与分类】

1.（25-26高一下•陕西宝鸡•期中）i是虚数单位，a/eR,则力=0是。+/为实数的（）条件.

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既非充分也非必要

【答案】C

【解析】由实数和复数的关系可知，8=0是。+加为实数的充要条件.

故选:c.

2.（2026・湖北武汉•模拟预测）已知复数z=R的实部与虚部相等，则实数。的值为（）

1-21

A.-3B.3C.-1D.1

【答案】A

a+i(a+i)(l+2i)_a-2+(2a+l)i_a-22a+l.

【解析】Z1^2i(l-2i)(l+2i)-505।

因为复数z="的实部与虚部相等，所以?二竺也，得a=-3.

1-2155

故选：A.

3.(2025,全国一卷•高考真题)(l+5i)i的虚部为()

A.-1B.0C.1D.6

【答案】C

【解析】因为(l+5i)i=i+5i2=-5+i,所以其虚部为1.

故选：C.

4.(25-26高一卜•山西忻州•期中)已知复数z满足z+5=2,z2=5,且z的虚部为止，则/的虚部为

()

A.-4B.-2C.4D.5

【答案】C

【解析】i^z=a+bi(b>0),则z+W=2a=2,

解得。=1,zz=a2+b2=5>计算得〃=2,所以z=l+2i,

所以z2=(l+2i)2=—3+4i,所以d虚部为4.

故选:C.

5.(25-26高三上•北京海淀•期末)复数2+ai的共轨复数为匕+)(a,〃eR),则。=()

A.-1B.1C.-2D.2

【答案】C

【分析】根据共扼复数的概念求解.

【解析】因为2+ai的共规复数为b+bi(〃乃wR),

所以〃=2,-a=。，所以。=一2,

故选:C.

【题型2复数的几何意义】

1.(25-26高一下•四川乐山•阶段检测)已知复数z满足2=>二则z在夏平面内对应的点所在的象限为

1-1

()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

2+i(2+i)(l+i)1+3/13

【解析】由题意得复数Z=L=)|.\.<=丁=3+不，,

1-z+222

复数z在复平面内对应的点为(；,|),该点位于第一象限.

故选:A.

2.124-25高一下•辽宁朝阳•期末)(多选题)下列使得复数(〃-1)+加对应的点在第三象限的初的值为

()

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】AB

【解析】若复数(〃♦1)+加对应的点在第三象限，则•二解得〃7<0,对比选项可知，只有AB

符合题意.

故选：AB.

3.(25-26高三下.云南昆明•期中)在复平面内，向量八8对应的复数为-l+4i,向量AC对应的复数为

-3+i,则向量8c对应的复数为()

A.-4-5iB.4+5iC.-2-3iD.2+3i

【答案】C

【解析】因为向量对应的复数为-l+4i,向量AC对应的复数为-3+i,

所以8C=AC-A8，

又(_3+i)_(_l+4i)=_2_3i,

所以向最BC对应的复数为-2-3i.

故选：c.

4.[25-26高一下•广东广州•期末）已知向量0Z对应的复数为G+i，将0Z绕点。按顺时针方向旋转

90S得到。Z，则向量0Z对应的复数是（）.

A.I—y/3iB.-^3—iC.—I+D.—>/3+i

【答案】A

利用数形结合，可知：将0Z绕点O按顺时针方向旋转90。，得到OZ对应的复数是

故选:A.

【题型3复数的四则运算综合】

1.（2024・新课标口卷•高考真题）若」;=l+i,则2=（）

z-1

A.-1-iB.-1+iC.l-iD.1+i

【答案】C

【解析】因为三二三?=1+—1=l+i,所以z=l+』=l—i.

z-1z-1z-11

故选：C.

2.（25-26高一下嘿龙江齐齐哈尔•期中）已知复数4=2+35=-1-2"则々+22=（）

A.3+5iB.1+iC.l+5iD.l-i

【答案】B

【解析】因为复数4=2+3i,Z2=-l-2i,贝信+22=（2+玉）+（-1一方）=1+工

故选：B.

3.(2024•全国甲卷•高考真题)若z=5+i,贝lji(2+z)=()

A.10iB.2iC.10D.2

【答案】A

【解析】由z=5+i=^=5—i,z+5=10,则i(N+z)=10i.

故选：A.

4.(2026•湖北•三模)已知复数z满足z5=2i(l—z),则2=()

A.iB.-iC.1+iD.l-i

【答案】C

【解析】因为法=2i(l-z),即芨+2iz=2i,

设z=〃+/?i,，则W=ai，

可得zz=(a+bi)(a-b\)=a2+b2,2iz=2i(a+bi)=-2b+2cii,

则2Z+2iz=a2+b~—2b+2ai=2z>

可得：2-2"=°,解得=\所以zW+i.

2a=2b=\

故选：C.

5.(2026.上海.模拟预测)若复数々与z?在复平面上分别对应点4与Z?,贝仁4/2=0”是“02.022=0”的

()条件

A.充分非必要B.必要非充分C.充耍D.既非充分又非必要

【答案】A

［解析］及数ZI=。+渐与Z2=c+di在狂平面上分别对应点z/ab)与z?(c/),

0Tl=(a,b),0Z2=(c,t7),

>

ltlZ|-z2=(a+bi)(<c+(li)=ac-bd^-^cid+bc)i=0,

ac—bd=0

可得(所以(ac-〃力+(〃d+〃c)2=0,

ad+bc=0

所以(/+〃)卜2+/)=0,所以乙=。或々=0,所以ozrOZ2=ac+/M=0,

当。4=(1,1),OZ?=,满足OZ,OZ2=1-1=0,

所以4=l+i,Z2=l_i,马•Z2=(l+i)(l_i)=l_f=2¥0,

所以工3=0”是-0Z2=0”的充分不必要条件.

故选:A.

【题型4复数的高次方运算】

1.(25-26高一下•安徽蚌埠•阶段检测)复数z=i+2i?+3i3在复立面内对应点的坐标为()

A.(-2,0)B.(0,-2)C.(-2,-2)D.(2,-2)

【答案】C

【解析】囚为z=i+2/+3『=J2-3i=-2-2f,所以z在复平面内对应点的坐标为(-2,-2).

故选:C.

苗2026

2.(25-26高一下•山西晋中•阶段检测)复数z=卫一(其中i为虚数单位)，贝心=()

1+1

A.1+iB.1-iC.-1-iD.-1+i

【答案】D

【解析】因为?=-l/=T.『=l『=i,即i的辕次具有周期性,周期为4,

所以*26=严*2=/=_].

所以-2(一)

明以1+/(1+/)(1-01一尸1-(-1)2

故选:D

3.(25-26高三下•辽宁•阶段检测)复数z=(1+i严的虚部为()

A.-32B.-32iC.32D.32i

【答案】C

，0255

【解析】z=（l+/）=[（l+f）]=（2/）=32Z,所以虚部为32.

故选：C.

4.（25-26高二下•河北承德•阶段检测）己知i为虚数单位，室数z=二，则发数z的共朝复数的虚部

、l+i,

为（）

A.-iB.-IC.iD.1

【答案】B

-1md1-i（I-1）2l-2i+i2•

【解析】由题后，「=八.、==T，

1+11-1

所以z=（得）皿=（-叶”=（-iH+3=[（-i）4]5"（-i）3=（-i）3=i,

所以复数Z的共辄复数5=-i,其虚部为-1.

故选：B.

5.（25-26高一下•上海•期中）计算：i+i?+.+产=.

【答案】-14-i

【解析】由虚数单位i的基次周期性，得i=i，i2=—l，i3=_i，/=1，

4k+2

因此产向+i+产+3+i4«7=i-l-i+l=O（A：€N）.

则i+j2+…+呼=Q+j2+…+j2必）+j2025+产=0+产+[2026

代人化简得产二二产吟'],i2O26=i4x5°^2=-l，

故原式=0+i—1=—1+i.

【题型5复数范围内解方程】

1.（25-26高三下•云南昆明•阶段检测）已知1—i是关于x的方程/+川+q=0（〃©£氏）的一个根，则

p+q=（）

A.2B.0C.-2D.-4

【答案】B

【解析】因为l-i是方程

所以(l—i)-+〃(l_j)+q=0，化简得：1-2/-1+p-p/+<7=0,

整理得：(p+q)+(—2—p)i=0,

〃+g=04=2

所以《，解得《

—2-/?=0〃=一2

因此〃+g=_2+2=0.

故选：B

2.(2026.湖南.三模)在复数范围内，方程2+2=()的解集为()

A.0B.卜&i,夜i}C.{拉i}D.{-2i,2i}

【答案】B

【解析】所以在复数范围内，1+2=0即为Y=2产即x=±也i，

故方程/+2=0的解集为卜",梅}.

故选:B.

3.(2026•重庆北研模拟预测)复数1+i是关于x的方程/+公+2=0(<“£1<)的根，则。=()

A.-2B.0C.V2D.2

【答案】A

【解析】因为复数1+i是关于x的方程/+公+〃=03,武2的根，

所以(1+i)?+a(l+i)+〃=0,所以l+2i+i2+a+ai+8=0，即a+〃+(2+a)i=。，所以

a+/?=0a=-2

，所以,所以。=一2.

2+a=00=1

故选；A.

【题型6复数的模长及应用】

1.(25-26高一下•四川乐山•阶段检测)|3-4i|=()

A.>/\3B.>/5C.5D.25

【答案】C

【解析】对于任意复数z=a+bi(其中

其模的定义为：|z|=V77F,

则|3—4i|=小32+(-4)2=5.

故选:C.

2.(2026・山东烟台•模拟预测)若当数z满足z2—2应z+3=0,则忖=()

A.V2B.2C.GD.3

【答案】C

【解析】方法一:

由』二卜2&『-4仓ij3=8-12=-4,又因为『=_1，

可得z=2后;"=2号"=五七i,所以忖=J(3/+(?

方法二:

设方程的两根为z,z,由z?-2夜2+3=0,可知z-z=3.

因为z?z|z|2=3,所以|z|=J5.

故选：C.

z

3.(25-26高一下•贵州•期中)如图，在复平面内,已知复数4，z23»对应的向量分别是04，OB，

OC，3是虚数单位)，已知z=J，贝建+孚，=()

z?Z

___________3

A.3B.710+711C.76+ViTD.-

【答案】A

【解答】由图可得马=3+i,z2=l-2i,Z3=-2+2I,

z,-z2(3+/)(1-2/)_5(1-/)5则lV

则Z--

z3-2+2/-2(1-/)2

所以=3♦

故选:A.

4.（25-26高一下•江苏•期中）（多选题）已知复数4和z-下列说法正确的有（）

A.若㈤>忆|,则Z>Z2

B.Z|Z=|z/

c.|lzi|-IM-lzi+z2l-lz«l+N

D.Z：=jzj

【答案】BC

【解析】虚数不能比大小，故A错误；

设4=a+Z?i（a,Z?eR）,则Z|-Z]=（a+加）（〃一力。="+/=团2,故B正确;

由复数加减法的几何意义可知，C正确；

若々=l+i,则z；=2i,㈤2=2,故D错误.

故选：BC.

【题型7与复数模有关的轨迹最值问题】

1.（25-26高一下•陕西榆林•期中）若狂数z满足|z|=2,则|z-4]的最大值为（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】C

【解析】因为Iz|=2,所以复数z对应的点的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，

Iz-4|表示圆上的点z与定点（4,0）的距离，

而圆心到定点的距离为4,

则卜-4|的最大值为4+2=6.

故选：C.

2.（25-26高一下.湖南邵阳•期中）已知复数z满足z?=（可）旦|z区3,则|z-4-2i|的最小值是（）

A.2B.3C.石D.V13

【答案】C

【解析】设z=4+加（a/eR）,.,.5=4-bi,

由题意可知z2=a2+2ab\-Z?2=z~=cr-2ab\-b1，则ab=O,

又忖="2+从W3,由复数的几何意义知z在复平面内对应的点Z（a*）在半径为3的圆内部：含边界）的

坐标轴上运动，

如图所示即在线段AB,CO上运动，

设E（4,2）,则|z-4-2i|=|ZE|,由上象可知区冏"BE|=J（4-3『+2?=不,

所以忆4产石・

故选:C.

3.（2026•安徽•模拟预测）己知闻=1,z2=3+4i,则匕―21的最小值为（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【解析】由|旬=1可知4在复平面内所对应的点乙在以原点a0,0）为圆心，1为半径的圆上,

z?在复平面内所对应的点为Z?（3,4）,又|%=，32+42=5>1,所以点心在圆O外，

所以|z「Z2|的最小值为|OZ2|T=5—1=4.

故选：B.

4.（25-26高一下•河北唐山•期中）复数z在复平面内对应的点为Z,若lw|z|K3,则点Z的集合对应的图

形的面枳为（)

A.8B.4C.8兀D.4兀

【答案】C

【解析】不妨设点Z的集合对应的图形是•个以原点为圆心，外环半径为3,内环半径为1的圆环,

则其面积为3’兀一1'兀=8兀.

故选：C

5.（25-26高二下•上海♦期中）已知i为虚数单位，若复数马和复数z?满足匕-17区1,,二加匕一切的

最大值为.

【答案】2+72/72+2

【解析】归-2]=忆-卬[=卜（1-可=团卜4=国出d7=闵讣

设4=a+〃im/?wR),则+归1,整理得(a—lj+0—1)2«],

所以复数4对应的点在友平面上是以A（L1）为圆心，半径r=1的圆及内部,

㈤的最大值为OA+r="|_()『+(1_0)2+1=72+1,

所以|马-勾的最大值为应（夜+1）=2+夜.

6.（25-26高三下・上海•期中）已如笈数马=2-i,复数内满足闵=1,则比-zj的最大值为

【答案】x/5+I

【解析】已知复数z?满足区|=1,表示复平面上以原点（0,0）为圆心，半径/•=1的圆,

复数4=2-表示复平面上点P（2—l）,

|马-zj表示圆上动点到点尸（2,T的距离,

定点?（2,-1）到圆心的距离为闵="2+（-1）2=不，

则圆上点到圆外定点的距离石-+I,

故区一4|四=右+1・

1.（25-26高一下•湖北荆州•期中）已知复数z=l+2i,i为虚数单位，）为z的共枕复数，M|z|+z=（）

A.6+2iB.6-2iC.V5+l+2iD.V5+l-2i

【答案】D

【脩析】由z=l+2i可知z的共轨复数三=「2i，所以，|z|+z=Vl+22+l-2z=>/5+l-2/.

故选:D.

2.（25-26高二下•安徽•期中）若复数Z，z,满足Z+Z2=ZR2=1,则ZZ+^Z2=（）

D.-i

【答案】A

【解析】由马+马=1和卒2=1,得马,马是方程“2・4+1=0的两个根,

解得4.2=与色，它们互为共挽复数，设Z2=W，

22

所以4Z2+4Z2=z：+z：=（4+Z2）-2Z（Z2=1-2X1=-1.

故选：A.

3.（25-26高一下•重庆•期中）已知复数z=〃?+i（，〃为实数），且|z|v企，则复数〃?（3+i）-（4+i）在复平

面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【解析】由W+/|vJ5,则J〃z2+FvQ，得一1<〃】<1,

复数〃［（3+i）-（4+i）化简得（3〃L4）+（〃I）i,

由一1</〃<1可得3〃?一4<0,/zz-1<0,

则复数〃z（3+i）-（4+i）对应的点在第三象限.

故选：C.

4.（25-26高一下•河北石家庄•期口）（多选题）已知复数z0在复平面内对应的向量0Z°=（4,-3）,则下列关

于复数z。的说法正确的是（）

A.z0=4—3iB.z0的虚部为一3i

C.|z0|=5D.复数z满足|z-Zo|=l,则|z|的最大值为6

【答案】ACD

【解析】复数4在复平面内对应的向量0^=（4,3）,贝l」％=4-3i.

z（）的虚部为一3,|z°|=+（—3）2=5,故A,C正确，B错误；

由复数z满足|z-z°|=l,所以点Z的集合是以点（4,-3）为圆心，以1为半径的圆，

所以|z区阂+1=6,故D正确.

故选:ACD.

5.（25-26高三下•广东揭阳•阶段检测）己知复数z=3“2+2〃-"（2-4）i,〃eR在复平面内对应的点位于

第一象限，则〃的取值范围为.

【答案】（f，-l）u62）

【解析】复数z=3/+27—1+（2-a）i在复平面内对应的点为（3/+2a-l,2-a）,

所以3〃2+24-1>0且2-〃>0,解得

则”的取值范围为（y,-

6.（25-26高一下•上海奉贤,期中）已知Z=0+G）°+I）,«eR,且忖=g，则〃=________.

1—i

【答案】±2

1HK+/p,（l+«i）（l+i）（l+ai）（l+i）2（l+ai）x2i.

【解析】由题意得z=^-:='-i—=-〃+i，

l-i+2

结合|z|=石，得=&解得。=±2.

1.（25-26高一下•山东青岛•期末）在复平面中，。为坐标原点，Z.,Z2,Z所对应的复数分别为4,

%，z,且Z=3Z]+4Z2,△ZZR的面积为s,则△ZZ2。的面积为（）

11

-S-SC6SD8S

A.8B.6-

【答案】B

【解析】设。4=QZI,O8=QZ2,OC=QZ,OC与A8相交于点。,

又Z=3Z]+4Z2，所以OC=3OA+4O8，

则。。=入OC=3入OA+4九OB，又A氏。三点共线，

所以3入+4入=1=＞九=,，则0。二，。。，

76

所以SABO=!SA8「即△Z/?。的面积为JS.

6