北京市某中学2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷（含答案）

北京市第八中学2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷

一、选择题（每题3分，共30分）

1.如图所示的四个图形中，不是轴对称图形的是（）

圄

2.点(1,3)关于％轴对称的点的坐标是(

A.(1,-3)

C.(-1,3)

3.下列计算正确的是()

A.+03=0B.a3-a4=a12

C.(Q+2b)2=a2+4ab+4b2D.(x+y)(-x+y)=-x2-y2

4.已知三角形的两边长分别为5sn和8cm,则第三边的长可以是（）

A.2cmB.10cmC.13cmD.15cm

5.下列各式从左到右的变形属于因式分解的是()

A.X24-4%-4=(%4-2)(%—2)+4%B.(x+3)(x-3)=x2-9

C.(%—y)?=%2—2xy+y2D.x3-x2+x=x(x2-x+1)

6.如图，AB=ADfAC=AE,添加下列条件，不一定能得到△三/k4OE的是（）

A.BC=DEB.乙BAC=^DAEC.乙C=LED.^BAD=ACAE

7.下列说法：①有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形；②如果三角形的一个外角平分线平行于三角

形的一边，那么这个三角形是等腰三角形；③三角形三边的垂直平分线的交点与三角形三个顶点的距离相

等；④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形，其中正确的结论是（）

A.①④B.①②④C.②③D.①②③

8.如图，80是△48C的角平分线，0EII8C,交48于点E,若乙4=30。，^BDC=50°,则480E的度数是

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A

A.10°B.20°C.25°D.30°

9.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点4（2,0）,B（3,b）（b>0）,4c14B且4c=则点C的横坐

标为（）

10.如图，△ABC中，448c和44cB的角平分线交于点。，AD经过点0与BC交于点D,以AO为边向两侧作等

边△4DE和等边△AOF,分别和48、AC交于点G,H,连接GH.若48AC=60。，AB=a,AC=b,AD=

c.则下列结论中正确的结论是（）

①MOC=120。；②△4GH是等边三角形；③DG=/c;®S^ABC=Ua+b）c.

乙乙

A.①④B.①②③C.②③D.①②③④

二、填空题（每题2分，共16分）

11.（7T+1）°=________.

12.已知3a=2,3b=4,贝1」3。+2°=.

13.如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则乙P+/O=.

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14.如图，△48C中40,BE分别是△A8C的高和角平分线，若4C=70。，Z.AEB=95°,则

乙BAD=_________

15.已知：如图，AB=AC,AD=AE,乙=々0AE,点B,C,。在同一条直线上，且4C=G),当ABII

0E时，/ECO的度数=.

16.已知a2+M=25，a-b=3,则泌的值是.

17.已知：如图，大正方形的边长为Q,小正方形的边长为从若02+/一8。一28+17=0，则阴影部分的

面积为.

18.如图，Rt^ABC中，/-ACB=90°,/.ABC=30°,AC=6,。是线段AB上一个动点，以8。为边在△

4BC外作等边△BOE.若歹是OE的中点，当C尸取最小值时，么BDE的周长为.

三、解答题(19题12分，20题8分，21题5分，22题4分，23-25每题6分，26题7分，共54

分)

19.计算:

(1)(吟3.%4+%5；

(2)(2%+y)(x-3y)；

(3)(3x2y4-9xy2-6xy)+3xy

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20.因式分解：

(1)x?y—Gxy+9y

(2)(Q—2b)2-启，

21.先化简，再求值：已知/一4%=1,求(％-3)2-2(1-幻+3的值.

22.请将以下推导过程补充完整.

如图，已知：在AABC中，^ABC=Z-ACB,点。在边AC上，连接8。，过C作CE||48,.巨CE=AO,连

接AE.求证：BD=AE.

证明：'：CE||AB

：.ABAD=AACE

'：Z-ABC=/-ACB

在△480与4C4E在中

AB=_________

乙BAD=_________

CE=AD

A△ABD=^CAE().

:,BD=AE

23.已知：如图，线段48和射线BM交于点艮

(1)利用尺规完成以下作图，并保留作图痕迹(不写作法)

①射线BM上作一点C,使4C=4B,连接AC；

②作的角平分线交力C于。点；

③在射线CM上作一点E,使CE=CD,连接。E.

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（2）在（1）所作的图形中，猜想线段BD与DE的数量关系，并证明之.

24.已知：如图，=点C在。E的反向延长线上且=求证：LB=ZC.

25.在现在的信息化时代，密码为保护我们的个人隐私起到了不可或缺的作用.诸如”1234”或生日等简单密

码非常容易被破解，因此利用数学产生一组容易记忆乂不好破解的密码十分有必要.有一利产因式分解''法可

以获得便于记忆的密码，其原理就是：将多项式分解因式，如多项式好一4就可以分解成。+2）（%-2）,再

对因式赋值生成正整数或。的因式码，比如某人的年龄为16,fc=16,那么x+2=18,%-2=14,14

和18就是因式码，将因式码进行排列就形成密码1418或密码1814,如果分解因式的结果有单项式，如

x2（x+2）,我们取/和（%+2）的值作为两个因式码.

（1）根据上述方法，若多项式为/一16,当工=15时，请直接写出密码为.

（2）若王老师想用年龄生成锁星密码，选取的多项式为炉一心已知王老师手机的锁屏密码是6位数字

313032,请尝试分析王老师当前年龄是多少岁，并说明理由.

（3）已知多项式4-一％2,当工取正整数时，用上述方法生成密码，若密码中最小的因式码为15,你能

求出其他两个因式码吗？并说明理由.

26.如图，乙4。8=45。，点C为。4上一点（不与。重合），点P为。8上一点（不与。重合），aOPO为等腰三

角形，乙OOP=150。，DQ1CD,Z.DPQ=120°,LCDP<90°.

（1）如图1,当点。，D,Q共线时，直接写出0C,PQ之间的数量关系.

（2）如图2,当点P在。8上运动时，写出。C,PD,PQ之间的数量关系并证明.

（3）连接CQ,当APCQ为等腰三角形时，直接写出乙CPQ的度数.

四、附加题（27题4分，第28题6分，共10分）

27.若一个整数能表示成。2+庐（G,〃是整数）的形式，则称这个数为“智慧数”.

（1）判断45是否为“智慧数”.是的话在横线上把45写成小+户的形式，不是的话直接写“否

（2）己知S=M+4%+k（%是整数，k是常数），要使S为“智慧数”，直接写出一个符合条件的k值.

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(3)如果数，〃，〃都是“智慧数”，判断mn是否为“智慧数”，并说明理由.

28.在平面直角坐标系xOy中，已知点A。］一1/)，2?(n-2,71-1),C(n+l,7i),D(ii+2,n-

1),连接AB,CD,将线段AB,CD所组成的图形称之为“M-八字形”.我们给出如下的定义：点P(x,y)先关

于48与CD所在直线分别对称得到点P；,P；,再将P；,P2向右(几20)或向左(几＜0)平移回个单位，再向上

(nN0)或向下。V0)平移同个单位得到点Pi，P2,称Pi，P2为点尸关于“M-八字形”的“八中变换点”.

y

f5

_1一■■■._一■-

:4

r••1

1；3

L..••••■••••r0•••••••

：2

_-■■_

1：1

-4-3-2-1：01245工一5

r

ri

..._____1...—

1二2

■■■______・■■一•,■■■■■•U..

1-3

r••

i-4

1

-5

(1)当n=0时，

①已知点P(0,-2),则点尸关于“M-八字形”的“八中变换点”坐标为.

②已知E(a,-1),F(a+2,-l),若点P为线段“上一动点，设图形N为所有P关于“M-八字形”的“八中变换

点”，着y=1与图形N有两个交点，则a的取值范围为.

(2)若点P在以(九一1,几一1)，(n,n-1),(n,n-2),(九一1,几一2)为顶点的正方形上运动，且x=-1

上存在点尸关于“M-八字形''的"八中变换点“，则"的取值范围为.

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答案解析部分

1.【答案】A

【解析】【解答】解：A、寻找能使图形沿其折叠后两侧完全重合的直线，发现不存在这样的直线，因此选项

A不是轴对称图形，符合题意；

B、观察图形，能找到至少一条直线，使图形沿该直线折叠后两恻部分完全重合，因此选项B是轴对称图

形，不符合题意；

C、观察图形，能找到至少一条直线，使图形沿该直线折叠后两侧部分完全重合，因此选项C是轴对称图

形，不符合题意；

D、观察图形，能找到至少一条直线，使图形沿该直线折叠后两侧部分完全重合，因此选项D是轴对称图

形，不符合题意。

故选：A

【分析】根据轴对称图形的定义(沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合的图形)，对每个选项

逐一分析判断，找出不满足该定义的图形。

2.【答案】A

【解析】【解答】解：关于x轴对称的点的坐标规律为：横坐标相同，纵坐标互为相反数，

，点(1，3)关于x轴的对称点的横坐标为1,纵坐标为-3,因此对称点的坐标为(1,-3)。

故选：A

【分析】根据点的坐标变换规律：关于x轴对称时，横坐标相同，纵坐标互为相反数即可得出答案。

3.【答案】C

【解析】【解答】解:A、a3%3=a3-3=W=l,但选项A结果为0,故选项A错误;

B、a3.a4=a3+4=a7,但选项B结果为a12,故选项B错误；

C、(a+2b)2=a2+2a-2b+(2b)2=a2+4ab+4b2,与选项C一致，故选项C正确；

D、(x+y)(-x+y)=(y+x)(y-x)=y2-x2,但选项D结果为-x2-y2(即-(x?+y2),与正确结果y2-x2不符，故选

项D错误。

故答案为：C

【分析】根据同底数'幕的除法、乘法、完全平方公式及平方差公式逐项进行判断即可得出答案。

4.【答案】B

【解析】【解答】解：根据三角形三边关系，第三边x需满足：

8-5<x<8+5

即：3Vx<13

因此，唯一符合条件的选项是B(10cm)

故选：B

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【分析】根据三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。通过计算第三边

的取值范围，排除不符合条件的选项即可求解。

5.【答案】D

【解析】【解答】解：A：X2+4X-4=(X+2)(X-2)+4X,右边为(X+2)(X-2)(即X?-4)加上4X,整体为X?-

4+4X=X2+4X-4,但变形后仍为多项式相加，未形成纯乘积形式，不符合因式分解定义，故AK符合题意；

B：(x+3)(x-3)=x2-9,左边是乘积形式，右边为展开后的多项式，属于整式乘法运算，而非因式分解，故B不

符合题意；

C：(x-y)2=x2-2xy+y2,左边为平方形式，右边为展开后的多项式，属于完全平方公式的展开，不符合因式分

解定义，故C不符合题意；

2

D：X^+X=X(X-X+1),左边x3#+X提取公因式X后,分解为X与X2-X+1的乘积。符合因式分解的定义,故

D符合题意；

故选：D

【分析】根据因式分解是将多项式转化为整式乘积的形式，逐一分析各选项即可得出答案。

6.【答案】C

【解析】【解答】解：A、已知AB=AD,AC=AE,若添力口BC=DE,则三边分别对应相等(AB=AD,

AC=AE,BC=DE),满足SSS判定定理，因此能推出△ABCW^ADE,故A不符合题意；

B、已知AB=AD,AC=AE,若添力「NBAC:NDAE,则两边及其夹角分别对应相等(AB=AD,

ZBAC=ZDAE,AC=AE),满足SAS判定定理，因此能推出△ABCgZ\ADE,故B不符合题意；

C、已知AB=AD,AC=AE,若添加NC=NE,此时是“两边及其中一边的对角对应相等“(AC二AE,

AB=AD,NC=NE),属于SSA情况，而SSA不能判定三角形全等，因此该条件不一定能得到

△ABC^AADE,故C符合题意；

D、已知AB=AD,AC=AE,若添力口NBAD=NCAE,由/BAD+NDAC=/CAE+NDAC可推出

ZBAC=ZDAE,此时转化为“两边及其夹角对应相等"(AB=AD,ZBAC=ZDAE,AC=AE),满足SAS判

定定理，因此能推出△ABC0AADE,故D不符合题意。

故选：C

【分析】根据全等三角形的判定定理(SSS、SAS、ASA、AAS),对每个选项逐一分析，判断能否确定

△ABC^AADE,从而找出“不一定能得到全等”的选项即可。

7.【答案】D

【解析】【解答】①等腰三角形中，若有一个角为60。，则其他两个角也必为60。(若该角为顶角，则底角为

野也二60。；若该角为底角，则另一底角也为60。，顶角为60，)，因此该三角形为等边三角形，因此说法

①正确：

②如图，

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c

设三角形为△ABC,取角NABC的外角平分线BE,贝I」NCBE=NDBE,

YBE/ZAC,

AZDBE=ZA,ZCBE=ZC,

/.ZA=ZC,

ABA=BC,即△ABC为等腰三角形，因此说法②正确；

③垂直平分线的交点为外心，外心到三个顶点的距离相等（外接圆半径），因此说法③正确；

④等腰三角形本身己有两个角相等（底角），但若这两个角为任意度数如50。，则第三个角为80。，不是等边

三角形。只有当两个角为60。时，才是等边三角形，因此说法④错误。

正确的说法为①、②、（3）

故选：D

【分析】根据等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义、三角形的外心等知识

逐一判断即可。

8.【答案】B

【解析】【解答】解：・・・NBDC是4ABD的一个外角，

.\ZABD=ZBDC-ZA,

ZABD=50°-30°=20°,

,・出口是4ABC的角平分线，

AZABD=ZDBC=20°,

VDEZZBC,

.\ZBDE=ZDBC=20%

故答案为：B

【分析】根据三角形外角性质求出NABD,结合角平分线定义得到NDBC,再根据平行线的性质求出

ZBDEo

9.【答案】D

【解析】【解答】解：过点B作BD_Lx轴于点D,过点C作CE_Lx轴于点E,则NADB=NCEA=90。，

VAC1AB,

.\ZCAB=90°,

.•.ZCAE+ZBAD=90°o

第9页

又「在△ABD中，ZABD+ZBAD=90°,

.\ZCAE=ZADD,

在^ACE和^BAD中：

ZCEA=ZADB=90°,ZCAE=ZABD,AC=AB

.*.△ACE^ABAD,

/.AE=BD,CE=AD,

VA(2,0),B(3,b),

/.AD=3-2=1,BD=b,

AAE=b,CE=1,

•・•点A的横坐标为2,AE=b且点C在第二象限，

・••点E的横坐标为2-b,

•・・CElx轴，

.••点C与点E横坐标相同，

即点C的横坐标为2-b。

故选：D

【分析】过点B作BD_Lx轴于点D,过点C作CE_Lx轴于点E,利用垂直关系推导角相等，结合AC=AB

证明三角形全等，进而根据全等三角形对应边相等求出点C的横坐标。

10.【答案】B

【解析】【解答】解：•・•点。是NABC和NACB的角平分线交点(即内心)，

・•・ZABO=ZOBC=1ZABC,ZACO=ZOCB=|ZACBo

在△ABC中，ZBAC=60°,

・•・ZABC+ZACB=180°-ZBAC=120°,

即2ZOBC+2ZOCB=120°,

.,.ZOBC+ZOCB=60°o

在^BOC中，

ZBOC=180°-(ZOBC+ZOCB)

=180°-60°=120°o

故结论①正确；

V△ADE和AADF是等边三角形,

.\ZDAE=ZDAF=60°,且AE=AD=AF。

TAD平分/BAC(内心在角平分线上)，

.\ZGAD=ZHAD=30°,

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且NGAH=60。，

由于△人口£和公ADP关于AD对称(等边二角形的对称性),

AAG=AH,

・•・△AGH是等边三角形。

结论②正确；

V△ADE是等边三角形，

.\ZEAD=60°,

又：ZBAD=30°

••・ZAGD=180°-ZBAD-ZADE=90°

.\DG=iAD=lco

结论③正确；

△ABC的面积可以看作^ABD与公ACD的面积之和。

即：S.ABC=|ABXDG4ACXDH,

=i(axe)+i(bxc)=;(a+b)cg(a+b)c。

结论④正确。

综上，正确的结论是①②③。

故选：B

【分析】利用角平分线的性质和三角形内角和定理求出NBAC的度数；通过等边三角形的性质和全等三角形

的判定证明^AGH是等边三角形：运用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半的性质得出线段关

系；AABC的面积可以看作△ABD与△ACD的面积之和，根据三角形面积公式计算并判断面积结论是否正

确。

11.【答案】1

【解析】【解答】解：(亢+1)°=1

【分析】根据零指数哥的运算法则，任何非零数的零次第都等于1,可直接得出结果。

12.【答案】32

【解析】【解答】解：392b

=3aX32b

=3ax(3b)2

=2X42

=2x16

=32

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故答案为：32

【分析】利用指数运算的性质，将3"外拆分为3“X3~再进一步化简为3”x(3，，，代入已知条件即可求解。

13.【答案】45

(PA=BC

—=乙C

(48=CO

・•・△PAB^AOCB,

.\ZAPB=ZCOB,

XVZCOB+ZBOD=45°,

/.ZDPB+ZDOB=45°,

即：ZP+ZQ=45°o

故答案为：45

【分析】

根据网格特点可证△PABWaOCB,进而根据三角形全等的性质可得NAPB=NCOB,再根据正方形的性质

可得NCOB+NBOD=45。，然后进行等量代换即可求解，

14.【答案】40

【解析】【解答】解：•・•NAEB是^BEC的外角，

AZAEB=ZEBC+ZC

.\ZEBC=ZAEB-ZC

=95°-70°

=25°,

〈BE是△ABC的角平分线，

AZABC=2ZEBC=50o,

〈AD是AABC的高,

/./ADR=90°,

.\ZBAD+ZABD=90°,

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/.ZBAD=90°-ZABD

=90°-50°

=40°o

故答案为：40

【分析】先根据三角形外角性质求白/EBC,再根据角平分线定义得到NABC,然后根据高的性质

（AD_BC形成直角）和直角三角形两锐角互余的性质计算/BAD。

15.【答案】36°

【解析】答】解：VZBAC=ZDAE,

••・ZBAC+ZCAD=ZDAE+ZCAD,

即NBAD=NCAE,

在ABAD和△CAE中，

AB=AC,ZBAD=ZCAE,AD=AE

△BAD=ACAE,

/.ZADB=ZAEC,

VCA=CD,

.\ZCAD=ZADC,

设ZCAD=ZADC=ZAEC=x,

又・.・AB;AC,

,\ZACB=ZB,

又丁/ACB是△ACD的外角，

・•・ZB=ZACB=ZCAD+ZADC=2x,

义•:ZBAC=ZDAE,

・•・ZADE=ZAED=ZB=2x,

•・・AB〃DE,

.\ZBAE+ZAED=180°

.,.ZBAE+ZB=180°

・・・AE〃BD,

AZAEC=ZECD=x,

在^ACE中，

ZAEC+ZCAE+ZACE=180°

即x+2x+2x=180°

5x=180°

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解得x=36°

B[JZECD=36°

故答案为：36°

【分析】首先通过已知的角相等关系NBAC二NDAE,利用角的和差关系推出NBAD=NCAE,结合

AB=AC,AD二AE利用SAS判定证明△BAD会△CAE,得到NADB=NAEC,然后利用等腰三角形的性质，

设NCAD二NADC二NAEC二x,再根据三角形外角性质得到NACB二NB=/CAD+NADC=2x；根据等腰三角

形的判定及性质得到NADE二NAED=NB=2x,接着根据平行线AB〃DE推出AE//BD,进一步得到

ZCAE=ZACB=2x,BAC=ZDAE=ZADC=x,ZAEC=ZECD=x,最后在△ACE中，利用三角形内角和

定理列出关于x的方程，求解出x的值，从而得到/ECD的度数。

16.【答案】8

【解析】【解答】解：(a・b)2=a2・2ab+b2

代a2+b2=25,a-b=3入上式得：

32=25-2ab

2ab=16

解得:ab=8

故答案为：8

【分析】过完全平方公式展开(a・b芹aZ2ab+b2,代a2+b?=25,a-b=3入展开式中即可求解。

17.【答案】竽

【解析】【解答】解:原方程变形为：(a・4)2・16+(b・l)2・l+17=0,

化简后为9-4)2+81)2=0。

•.•(a-4)2>0,(b-l)2>0,

・・.(a-4)M)且(b-1)2=0,

解得:a=4,b=lo

观察图形可知，阴影部分是大正方形面积减去小正方形面积后，再除以2。

即阴影部分面积的表达式为:(aZb2)

将a=4,b=l代入可得：

阴影面积=^x(16-1)

=15

【分析】首先通过配方法将已知方程转化为完全平方和的形式，进而根据偶次基的非负性求出a和b的值；

再分析图形确定阴影部分面积的表达式，代入a、b的值计算.

18.【答案】18

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【解析】【解答】解：在RMABC中,

VZADC=30°,AC=6,

.\AB=2AC=12,

**•BC=V/152->4C2=V122-62=V144-36=V108=6V3»

•・,△BDE是等边三角形，点F是DE的中点，

AZDBF=ZDBE=30°,

又丁ZABC=30°,

.\ZCBF=60o,

・♦・即射线BF的位置是固定的，

，当CF_LBF时，CF最短，此时NBFO90。，ZBCF=180o-90°-60o=30°,

・・.BF=；BC.

ABF=2V3,

在RtABCF中，设DF=x,则BD=2x,

.\BD2=BF2-DF2,即2x2二（273）2+x2,

解得x=3

ABD=6

・・・△BDE的周长周x6=18.

故答案为：18

【分析】先根据含30。角的直角三隹形性质（3（）。角对的直角边是斜边的一半）求出AB的长度；再结合等边

三角形的性质（三线合一）及中点性质，将CF的表达式转化为与BD相关的式子；最后依据垂线段最短确

定BD的最小值，进而求出4BDE的周长。

19.【答案】（1）解：（%2）3.4+%5

—%6.%4+

=X10+X5

=%5:

(2)解：(2x+y)(x-3y)

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=2x2—6xy+xy—3y2

二2x2-5xy-3y2；

(3)解：(3x2y+9xy2-6xy)3xy

=3x2y+3xy+9xy2+3xy-6xy+3xy

=x+3y-2.

【解析】【分析】(I)根据析的乘方法则(a"1)n』mn计算幕的乘法,然后根据哥的乘法法则二计算幕

的乘法，最后根据幕的除法法则计算即可；

(2)使用乘法分配律，将第一个多项式的每一项与第一个多项式的每一项相乘，然后将所有结果相加，最

后合并同类项即可：

(3)将括号内多项式中的每一项分别除以单项式，然后将每一步的结果相加即可。

20•【答案】⑴解:x2y—6xy+9y=y(x2-6x4-9)

=y(x-3)2.

(2)W：(a-2b)2-b2

=(a-2b+b)(a-2b-b)

=(a—b)(Q—3b).

【解析】【分析】(1)先提取公因式，后利用完全平方公式进一步分解即可；

(2)根据平方差公式(X2-Y2=(X-Y)(X-Y),其中X=a-2b,Y=b)直接分解即可。

21.【答案】解：Q-3猿一2(1—％)+3

=%2—6x4-9-2+2x+3

=x2-4x4-10：

代入%2一4%=1,

得原式=1+10=11.

【解析】【分析】先将所给代数式根据完全平方公式和乘法的分配律展开，然后合并同类项，最后根据已知条

件整体代入即可求解。

22.【答案】AB；AC；AC；^ACEiSAS

【解析】【解答】解：证明：・・・CE||48

：,Z-BAD=LACE

'：Z.ABC=Z-ACB

AAB=AC

在△48。与4CAE在中

AB=AC

乙BAD=ZACE

第16页

CE=AD

，△A3。=△CAE(SAS).

：.BD=AE

【分析】根据平行线性质得到角相等，利用等腰三角形“等角对等边“得到边相等，再依据SAS判定三角形全

等，从而根据全等三角形的对应边相等证明线段相，依次确定各空对应的边或角及全等依据。

23.【答案】(1)解：如图：

(2)BD=DE证明如下:

VAC=AB

.\ZACB=ZABC

VCD=CE

AZCDE=ZCED

•；BD平分NABC

・•・ZDBC=1ZABC

乙

•・,ZACB=ZCDE+ZCED

，ZCED=1ZACB

乙

VZACB=ZABC

.\ZDBC=ZCED

ABD=DE

【解析】【分析】(1)根据尺规作图为基本方法完成图形绘制即可；

(2)由AB二AC,CE=CD,根据等接三角形两底角相等的性质，可得NABC=NACB,ZCDE=ZCED；ill

BD平分NABM,根据角平分线的定义可得NDBC=|NABC,由NACB是△CDE的外角，根据三角形外角

等于不相邻两个内角和，可得NACB=NCDE+NCED=2NCED,即NCED=1/ACB。经过等量代换可得

ZDBC=ZCED,进而根据等角对等边即可得出结论。

24.【答案】证明：如图：过A作/IMI/7八于M.作/NI/)/?于N.

第17页

A

£

c

•••LADE=^ADB,AM1BD,AN1DE,

...AM=AN,乙AMB=乙ANC=90°

在Rt△4MB和/^△4NC中

(AB=AC

lAM=AN9

•»Z-B-Z-C.

【解析】【分析】过点A作AM_LBD于M,作AN_LDE于N,则NAMB=/ANC=90。，根据角平分线的性

质(角平分线上的点到角两边的距离相等)可得AM二AN,结合题目已知AC=AB,进而根据直角三角形全

等判定“斜边-直角边”(HL)定理，可得△AMB04ANC,从而根据全等三角形的性质(全等三角形的对

应角相等)即可得出结论。

25.【答案】(1)1911或1119

(2)解：x3—x=%(%2—1)=x(x+l)(x-1)=(x+l)(x—l)x,

•・•王老师手机的锁屏密码是6位数字313032,且结合(x+l)>x>(x-l)

.*.%+1=32,x=31,x-1=30»

••x=31.

答：王老师的年龄是31岁.

(3)解:4x4-x2

=X2(4X2-1)

=x2(2x+1)(2%-1),

•・”取正整数,

Ax2-(2x-1)=(x-I)2>0,2%+1>2%-1,

即/>2x-1,

・・・2%-1为最小的因式，

即2%—1=15,

解得％=8,

••x2-=64,2x+1=17,

答：其他两个因式码为17和64.

【解析】【解答】(1)x2-I6=(x+4)(x-4)

第18页

把x=15代入得:x+4=19,x-4=ll

所以密码为：1911或1119

【分析】(1)根据平方差公式对多项式进行因式分解，然后将x=15代入因式分别计算其值，最后将这两个

值进行排列即可得到密码；

(2)先对多项式提取公因式x后再用平方差公式，即x3-x=x(x2-l)=x(xT)(x+l)；已知锁屏密码是6位数

字313032,将其拆分为31、30、32三个两位数。观察这三个数，发现符合x+l=32(即x=31),此时

x-l=30,x=31,组合顺序为(x+l)(xT)x即32、30、31,合并为323031,所以王老师当前年龄是31岁：

(3)先对多项式先提取公因式，再根据平方差公式进一步分解为x2(2x-l)(2x十1)。因为密码中最小的因式码

为15,假设2xT=15,则可解得x=8。把x=8代入代入另外两个因式x2和2x+l中即可求得。

26.【答案】(1)OC=2PQ

(2)0C=PD+PQ证明：在OC上取一点E,使OE=OD

•••△OPD为等腰三角形，ZODP=150°

.,.ZDOP=ZDPO=15°

VZAOB=45°

・•・ZCOD=60°

VOE=OD

/.△OED为等边三角形

:.ZOED=ZODE=60°,OE=OD=ED

.*.ZDEC=120°

VZDPQ=120°

AZDEC=ZDPQ

VDP=OD

JDP=DE

VZODP=150°

ZEDP=90°

VDQ1CD

.\ZEDC=ZPDQ

在^EDC和aPDQ中

(乙DEC=乙DPQ

DP=DE

乙EDC=乙PDQ

△EDC^APDQ(ASA)

.\EC=PQ

第19页

VOC=OE+EC

AOC=PD+PQ

(3)ZCPQ=120°

【解析】【解答】解：⑴VO,D,Q共线且NODP=150,

ZPDQ=180-ZODP=180-150°=30°,

在DPQ中,ZDPQ=120°

・•・ZQ=180°-ZDPQ-ZPDQ=180°-120°-30°=30°,

/.ZPDQ=ZQ,

，DP=PQ,

,/△OPD为等腰三角形且NODP=150。，

・•・ZDOP=ZDPO=180°-150°=15°

又「ZAOB=45°,

ZOCD=90°-(ZAOB+ZDOP)=90°-(45°+l5°)=30°,

.\OC=2PQo

(3)由(2)可知DE=DP,CE=PQo

在ACED和ACPD中，

CE=PQ

DE=DP

CD=CD

/.△CED=ACPD,

・•・ZCPD=ZCED=120°

ZQDP=120°,

・•・ZCPQ=360°-ZCPD-ZQPD=360°-120°-l20°=120°

【分析】(1)通过已知条件求出△DPQ和RSOCD中各角的度数，利用等腰三角形性质得到DP二PQ,再结

合直角三角形中30。角的性质以及OD=DP二PQ的关系，得出OC与PQ的数量关系；

(2)通过作辅助线构造等边三角形^OED,得至I」DE二DP,再根据ASA证明△CED和△QPD全等，进而根

据全等三角形的对应边相等将PQ转化为CE,从而根据线段的和差关系得出OC,DP,PQ之间的数量关

系；

(3)根据(2)中得到的边的相等关系，根据SSS证明4CED和4CPD全等，进而根据全等三角形的对应

角相等求出NCPD的度数，进而求出NCPQ的度数。

27.【答案】(1)45=62+32

(2)s=x2+4x+4-4+k

第20页

=(x+2)2+k-4

k-4足个平方数即可，例如k=5

(3)设m=a^+b?,n=c2+d2,其中a,b,c,d均为整数

mn=(a2+b2)(c2+d2)

=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2

=a2c2+b2d2+2abcd+a2d2+b2c2-2abcd

=(ac+bd)2+(ad-bc)2

Va,b,c,d均为整数

Aac+bd和ad-bc也均为整数

・・・mn也是“智慧数”

【解析】【解答］解：(1)将45表示为两个整数的平方和：

45=36+9=62+32

因此，45是智慧数，可写为62+32(或36+9)。