第10章 二元一次方程组（16类题型突破）-苏科版七年级数学下册

第10章二元一次方程组（16类题型突破）

重要题型

【题型一二元一次方程的定义】

例题：（2023上•陕西西安・八年级交大附中分校校考阶段练习）下列是二元一次方程的是（）

3

A.3x-6=xB.3A=2YC.2X+-=\D.2x-3y=x^

y

【变式训练】

1.（2023下•山东荷泽•七年级校考阶段练习）方程2%-'=0,3x+y=0,2x+^=l,3x+y-2x=0,

y

f—x+2=0中，二元一次方程的个数是（）

A.1个8.2个C.3个O.4个

2.（2023下•山东烟台•七年级校考阶段练习）下列各式，属于二元一次方程的个数有（）

①个+2x-y=7；②4x+l=x—y；（3）-+y=5；④x=V；（gx2-y2=2；@6x-2y；⑦x+y+z=l；

X

®/y-I）=2y2-y2+x.

A.1B.2C.3D.4

【题型二根据二元一次方程的定义求参数的值】

例题：若（〃L2）x+3yM”=12是关于xy的二元一次方程，则〃，的值是（）

A.23.2或0C.0D.任何数

【变式训练】

1.（2023上•陕西西安•八年级校考阶段练习）若:关于心了的方程仅+2）户「2尸1是二元一次

方程，则女=•

2.（2023上•江西抚州•八年级江西省抚州市第一中学校考期中）已知关于x,y的方程

（〃+2）/T+广=5是二元一次方程，则mn=.

【题型三判断是否是二元一次方程的解】

例题：（2024上.福建宁德.八年级统考期末）下列四组数值是二元一次方程2x-y=6的解的是

（）

x-1fj=4f%=2fx=2

A.《NB.,C.D.,

y=6[j=2[>'=-4[）'=3

【变式训练】

x=3

1.（2024上.甘肃兰州.八年级统考期末）下列二元一次方程的其中一个解是一।的是（）

1y=T

A.x+y=-2B.=lC.2x-y=lD.2x-»-3y=-l

2.（2023上•辽宁沈阳•八年级统考期末）下列4组数值中，不是二元一次方程2x-）、=4的解的

是（）

x=0j=2x=4x=-2

A.B.C.D.

y=4j=0y=4y=-8

【题型四二元一次方程的整数解】

例题：（2023上•河北保定•八年级统考阶段练习）在二元一次方程2人+3），=21中，若x,），均为

正整数，则该方程的解的组数有（）

A.5组B.4组C.3组D.2组

【变式训练】

1.（2023下・江苏•七年级专题练习）方程"2y=7在自然数范围内的解

2.（2023上.甘肃张掖.八年级校考阶段练习）二元一次方程x+2.y=4的正整数解有

【题型五判断是否是二兀一次方程组】

例题：下列方程组中，是二元一次方程组的是（)

x+y=ij+y=5孙=2x-y=2

A.B.C.D.

y+z=2y=2x+y=ly2=1

【变式训练】

1.下列方程组是二元一次方程组的有（）

5x=y5x-6y=53x+y=5\x=4

①l"4②1③④・

2x-7=8z-6=41y=-3

A.1个B.2个C.3个D.4个

x-y=2

x-2=0x+y=4x-3=y

2.方程组（1）(2)(3)x+y=4,(4)中，属于二元一次

x+3y=6'x-z=\xy+l=4

2x-3y=l

方程组有（)

A.1个B.2个C.3个D.4个

【题型六判断是否是二元一次方程组的解】

二;，则这个方程组是（

例题：已知一个二元一次方程组的解是)

x+y=-3j+y=-32x=y

A.B.C.D.

孙=-2j-2y=ly-x=-l

【变式训练】

Y=-1

L解为，=T的方程组可以是（）

x-y=-lj-y=lx-y=3

A.«B.'C.,D.

3x-y=53x+y=53x-y=\

x+y=5

2.方程组＜的解是()

2.v+5y=28

X=2j=-lx=-l

A.B.、C.D.

,y=3j=-6y=63=-3

【题型七利用代入/加减消元法解二元一次方程组】

例题：（2024上.四川达州.八年级统考期末）解下列方程组

4x-y=3—

(1)⑵23

3x+2y=5

3x-4y=6

【变式训练】

1.（2023下•山东莉泽•七年级统考期中）解下列方程组

x+yx-y_

y-2x=0

(1)(2)0T~

3x+y=\5'

2x+3y=14

2.（2024上•陕西西安.八年级西安市铁一中学校考期末）解下列方程组:

.y+5

x+y=35A-l=----

(1)(2)3

2x+4y=94

5(y-l)=3(x+5)

3.（2023下•新疆阿克苏•七年级统考期末）用加减法解下列方程组:

x-2y=33（x-y）-2（X+），）=ll

''[3x+2），=94（.r—y）+3（x+y）=9

【题型八二元一次方程组的错解复原问题】

例题：（2024上•山西晋中.八年级统考期末）下面是小莹同学解二元一次方程组的过程，请认

真阅读并完成相应任务.

解方程组忆

解：①x2,得4x-8），=-3.③........................第一步

②-③，得3y=6........................第二步

解得"2.

把产2代入①，得2X-8=-3.

解得x=.......................第三步

5

所以该方程组的解是「二，

）二2

任务：

⑴这种解二元一次方程组的方法是________；在解方程的过程中体现了的数学思

想.（填正确的序号）

①加减消元②代入消元③数形结合④转化

⑵小莹的解法在第一步出现错误，写出正确的步骤:正确步骤的依据是

⑶请直接写出原方程组的解

【变式训练】

1.下面是马小虎同学解二元一次方程组的过程,请认直阅读并完成相应的任务.

3x-y=4①

解方程组：

6,v-3y=10②

解:①X2,得6.r-2)，=8……③第一步

②一③，得7=2第二步

产-2.第三步

将产-2代入①，得户2.第四步

r?

所以，原方程组的解为“一=)第五步

⑴这种求解二元一次方程组的方法叫做一法，以上求解步骤中，马小虎同学第一步开始出现错

误.

⑵请写出此题正确的解答过程.

3x-2y=6®

2.解方程组:

x+y=5②

小海同学的解题过程如下：

解:由②，得y=5+x③(1)

把③代入①，得：3x-2x+5=6...(2)

解得：x=-\...(3)

把代入③，得＞=4……(4)

x=-l

・••此方程组的解为/……(5)

=4

判断小海同学的解题过程是否正确，若不正确，请指出错误的步骤序号，并给出E确的解题

过程.

【题型九构造二元一次方程组求解】

例题：（2023下・贵州•七年级校联考阶段练习）已知|2x-yT+（x+），-5）2=0,则1=,

>>=.

【变式训练】

1.（2023上•江西吉安•八年级统考阶段练习）己知|2%+3），+5|+（3]+2），一7）2=0,贝1」工一）=

2.（2023下.湖南张家界.七年级统考期末）已知5|x+），—3|+（x—2），）2=0,贝ljx+y=.

【题型十二元一次方程组中同解方程组】

例题：（2023春・河南南阳•七年级校考阶段练习）方程组：与[厂?=3有相同的解，

4x-5y=4\[2x+3y=-/

求a,〃的值.

【变式训练】

1.（2023春•黑龙江哈尔滨七年级校考期中）已知关于x,丁的方程组=?与

ax-\-by=1[bx+ay=o

的解相同，则4cJ+〃=.

2.（2023下•云南昭通•七年级统考阶段练习）已知方程组卜"修一”厂?，与方程组[j—A；

的解相同.

⑴求这个相同的解；

⑵求方程依+〃=4-工的解.

【题型十一二元一次方程组解决年龄问题】

例题：（2023下•陕西宝鸡・七年级统考期末）六年前，甲的年龄是乙的年龄的3倍，现在甲的

年龄是乙的年龄的2倍，则甲比乙大岁.

【变式训练】

1.（2023上•湖南株洲•七年级统考期末）学生问老师：“您今年多大了”老师风趣地说：“我像

你这么大的时候，你才出生，你到我这么大时，我已经36岁了，”那么老师和学生的年龄分

别是（）

A.24、12B.24、11C.25、11D.26、10

2.（2022上.全国.八年级专题练习）根据小头爸爸与大头儿子的对话，求出大头儿子现在的

年龄.

小头爸爸：儿子，现在我的生龄比你大23岁.

大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁.

【题型十二二元一次方程组解决古代问题】

例题：（2023上•山东青岛•八年级校考阶段练习）古代有一个官兵分布的问题：“一千官兵一

千布，一官四尺无零数，四兵才得布一尺，请问官兵多少数？”大意如下：一千名军官和士兵

分一千尺布，一名军官分四尺，四名士兵分一尺，正好分完.问军官和士兵各有多少名？

【变式训练】

1.（2024上.甘肃白银.八年级统考期末）我国传统数学名著《九章算术》中记载：“今有牛五、

羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两.问牛、羊各直金儿何？“译文：假设有5头牛、

2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子.问每头牛、每只羊分别值多少两银子?

2.（2023下•黑龙江齐齐哈尔七年级统考期末）我国明朝有一位著名数学家叫程大位，他的

书中有一道名题，说的是；力00个和尚分92个馒头，大和尚每人吃三个，小和尚3人吃一

个，问大、小和尚各多少人？”

⑴请你列方程组求出大、小和尚各多少人；

⑵重新修建寺庙需要和尚们向工地运送10万块砖，若每篮子装20块砖，一个大和尚每次可

担两篮子砖，两个小和尚每次可抬一篮子狡，请问大小和尚们一起至少需要运送多少趟才能

满足工地需要？

【题型十三二元一次方程组解决行程问题】

例题：（2023下•七年级课时练习）小勇和哥哥在环形跑道上练习长跑.他们从同一起点沿相

反方向同时出发，每隔25秒钟相遇一次.现在，他们从同一起跑点沿相同方向同时出发，经

过25分钟哥哥追上了小勇，并且比小勇多跑了2（）圈.求：

⑴哥哥的速度是小勇速度的多少倍？

⑵哥哥经过25分钟追上小勇时，小勇跑了多少圈？

【变式训练】

1.（2023上•陕西咸阳•八年级咸阳市秦都中学校考阶段练习）一艘船从甲码头到乙码头顺流

而行，用了2小时，从乙码头到甲码头逆流而行，用了2.5小时，已知轮船在静水中的平均

速度为27千米/时，求水流的速度和甲、乙码头间的距离？（顺水速度=静水速度+水流速度；

逆水速度=静水速度-水流速度，用二元一次方程组的知识解答）

2.（2023下•浙江杭州•七年级校考阶段练习）从王老师家到学校有一段上坡路、一段（）.6km

的平路和一段下坡路，王老师每天步行上、下班，如果上坡路的平均速度为3km/h,平路

的平均速度为4km/h，下坡路的平均速度为5km/h,那么王老师从家到学校需30min,

从学校到家需28min.求从王老师家到学校的上坡路和下坡路的路程.

【题型十四二元一次方程组解决工程问题】

例题：（2023下•云南昆明•七年级校考阶段练习）巴川河是铜梁的母亲河，为打造巴川河风光

带，现有一段长为360米的河道整治任务由A、"两个工程队先后接力完成.A工程队每天整

治24米，8工程队每天整治附米，共用时20天.

⑴求A、8两工程队分别整治河道多少天？

⑵若A工程队整改一米的工费为200元，8工程队整改一米的工费为150元，求完成整治河道

时，这两工程队的工费共是多少？

【变式训练】

1.（2023上•山西太原•八年级山西实验中学校考期中）汾河作为太原市的“母亲河”，记录着太

原悠久的历史，是太原具有里程碑意义的宝贵资源.为打造汾河太原段滨河区景观，现有一

段长为289米的河道治理任务，分别由甲、乙两个工程队先后接力完成.甲工程队每天治理

13米，乙工程队每天治理9米，共用时25天.

⑴课堂上小宇和小军两位同学分别列出了尚不完整的方程组如下:

x+y=

小宇:

13x+9y=

x+y=

小军：.人

.139~

请在上面方框中补全两位同学所列的方程组；并根据小宇同学所列的方程组，指出未知数叫

）'表示的意义.

小宇：x表示；y表示.

⑵请求出甲、乙两工程队分别治理河道多少米？（写出完整的解答过程）

2.（2023上,黑龙江哈尔滨•七年级哈尔滨德强学校校考阶段练习）安居小区业主安先生准备

装修新居，装修公司派来甲工程队完成此项完程.由于工期过长，安先生要求装修公司再派

乙工程队与甲队共同工作.已知甲工程队单独完成此项工程需要大数恰好比乙工程队单独完

成此项工程需要的天数的3倍少5天，并且甲工程队单独完成此项工程需要的天数与乙工程

队单独完成此项工程需要的天数之和为55天.

⑴求甲、乙两队单独完成此项工程各需要多少天；

⑵若甲工程队工作io天后，与公司派来的乙工程队再合作多少天可完成此项工程的;；

（3）甲、乙工程队每天的施工费分别为800元和1000元，安先生装修工程施工完成时费用正

好为21800元，求甲工程队参加工作多少天？

【题型十五二元一次方程组解决数字问题】

例题：（2023上•江苏•七年级校考周测）一个两位数，个位上的数字与十位上的数字的和为13,

若把个位上的数字与十位上的数字对调，则所得的数比原数的2倍小4,求原来的两位数.

【变式训练】

1.（2023上•陕西西安•八年级校考阶段练习）一个两位数的十位数字与个位数字之和是7,若

把这个两位数加上9,所得的两位数的十位数字和个位数字恰好与原来的两位数的十位数字

和个位数字颠倒了，求原来的两位数.

2.（2023下•河南南阳•七年级校考阶段练习）小明和小华在一起玩数字游戏，他们每人取了

一张数字卡片，拼成了一个两位数，小明说：“哇！这个两位数的十位数字与个位数字之和恰

好是9.”他们又把这两张卡片对调，得到了一个新的两位数，小华说：“这个两位数恰好也比

原来的两位数大9.”

那么，你能回答以下问题吗？

⑴他们取出的两张卡片上的数字分别是几？

⑵第一次，他们拼出的两位数是多少？

【题型十六二元一次方程组解决几何问题】

例题：（2023上•吉林四平•八年级统考期末）如图，在大长方形4BCQ中放入10个相同的小长

方形（图中空白部分），若大长方形的周长是104,图中阴影部分的面积是327,设小长方形的

长为工，宽为）'，求一个小长方形的周长和面积分别是多少?

B

【变式训练】

1.（2024上.河北廊坊.七年级校考阶段练习）如图，这是某江滩公园正在修建的一运动场馆

的规划示意图，运动场馆A8CD是一个长方形，长为120米，宽AD为90米，计划在甲、

乙、丙三块形状及大小相同的小长方形地块上修建网球场，剩余两块形状及大小相同的空地

铺设塑胶草坪，求每块草坪的面积.

2.（2024下.全国.七年级假期作业）某校为学生开展拓展性课程，拟在一块长比宽多6机的长

方形场地内建造由两个大棚组成的植物养殖区.己知每个大棚的周长为44〃?，要求两个大棚

之间有间隔4m的路，设计方案如图所示.

⑴求每个大棚的长和宽；

⑵现有两种大棚的造价方案，方案一是每平方米60元，超过100m,优惠500元；方案二是每

平方米70元，超过lOOnf优惠总价的20%.试问选择哪种方案更优惠？

第10章二元一次方程组（16类题型突破）

重要题型

【题型一二元一次方程的定义】

例题：（2023上•陕西西安・八年级交大附中分校校考阶段练习）下列是二元一次方程的是（）

3

A.3x-6=xB.3A=2YC.2X+-=\D.2x-3y=x^

y

【答案】B

【分析】本题考查了二元一次方程的定义，注意：含有两个未知数，并且所含未知数的项的

最高次数是1次的整式方程，叫二元一次方程.

【详解】解：4、是一元一次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；

仄是二元一次方程，故本选项符合题意；

C、含有分式，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；

Q、最高次数为2次，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；

故选：B.

【变式训练】

1.（2023下•山东荷泽•七年级校考•阶段练习）方程2工一;=0,3x+y=0,2x+封=l,3x+y—2x=0,

/一工+2=0中，二元一次方程的个数是（）

A.1个3.2个C.3个O.4个

【答案】B

【分析】根据含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1,像这样的整式方程叫做

二元一次方程，逐个判定即可.

【详解】解：是分式方程，不是二元一次方程；

y

3x+y=0是二元一次方程；

2/+个=1是二元二次方程；

3x+y-2x=（）是二元一次方程；

/_工+2=0是一元二次方程.

所以二元一次方程有3%+y=0,3x+y-2x=0,共2个.

故选：B.

【点睛】本题主要考查的是二元一次方程的定义，掌握二元一次方程的定义是解题的关键.

2.（2023下•山东烟台•七年级校考阶段练习）下列各式，属于二元一次方程的个数有（）

（l）x）^+2x-y=7@4x+l=x-y-@-+y=5；④％='；（§）x2-y2=2；@6x-2y；⑦x+y+z=l；

;x

⑧义y-D=2y2-y2+x.

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根据二元一次方程的定义判断即可；

【详解】①P+2X-），=7；属于二元二次方程；故错误；

②4x+l=x-y；属于二元一次方程；故正确；

③,+）=5；属于分式方程；故错误；

x

④、=），；属于二元一次方程；故正确；

⑤V—）尸=2；属于二元二次方程；故错误；

⑥6x-2y；属于整式；故错误；

⑦x+y+z=l；属于三元一次方程；故错误；

⑧）0，-1）=2y2-y2+x；属于二元二次方程；故错误；

故选：B.

【点睛】本题主要考查二元一次方程的辨别，理解二元一次方程的定义是解题的关键.

【题型二根据二元一次方程的定义求参数的值】

例题：若（〃?-2卜+3日”=12是关于2的一元一次方程，则，〃的值是（）

A.23.2或0C.0D.任何数

【答案】C

【分析】从二元一次方程满足的条件：含有2个未知数和最高次项的次数是1这两个方面考

虑.

【详解】解：•••（〃，-2）》+3，恻=12是关于丸），的二元一次方程，

何-1|=1且〃?一200,

解得：〃?=0,

故选：C.

【点睛】本题主要考查二元一次方程的定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方

程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程.

【变式训练】

i.（2023上•陕西西安•八年级校考阶段练习）若关于x,J的方程（幺+2）/-「2），二1是二元一次

方程，则心.

【答案】2

【分析】本题主要考查二元一次方程的概念，二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，

含未知数的项的次数是1的整式方程，据此解答即可.

【详解】解：根据题意得：

W=1

4+200’

解得&=2.

故答案为：2.

2.（2023上•江西抚州•八年级江西省抚州市第一中学校考期中）已知关于x,y的方程

（〃+2）/T+），2”=5是二元一次方程，则〃〃?=.

【答案】1

【分析1本题主要考查了二元一次方程的定义，解题的关键是根据含有两个未知数，且两个

/〃+2工（）

未知数的次数都为1,这样的整式方程叫二元一次方程可得网-1=1,然后求解即可解答.

2〃=1

【详解】解：,・♦关于X,），的方程（利+2），++\，2”=5是二元一次方程，

m+200

2n=l

m=2

解得：1，

n=—

2

..mn=2x—=1,

2

故答案为：1.

【题型三判断是否是二元一次方程的解】

例题：（2024上.福建宁德.八年级统考期末）下列四组数值是二元一次方程2x-y=6的解的是

（）

x=2fj=4fx=2（x=2

A.〈8.〈C.〈D.

y=6[y=2[y=4Iy=3

【答案】B

【分析】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值.

将各项中x与丁的值代入方程检验即可.

【详解】解：A、把.二代人方程得：左边=4-6=-2,右边=6,左边工右边，不符合题意；

y=6

v=4

B、把‘一）代入方程得：左边=8-2=6,右边=6,左边二右边，符合题意；

C、把［=2代入方程得：左边=4+4=8,右边=6,左边工右边，不符合题意；

y=-4

x=2

0、把々代入方程得：左边=4-3=1,右边=6,左边。右边，不符合题意；

［y=3

故选：B.

【变式训练】

1.（2024上.甘肃兰州.八年级统考期末）下列二元一次方程的其中一个解是1=3的是（）

A.x+y=-2B.x+y=lC.2x-y=lD.2x+3y=-\

【答案】C

【分析】本题考查了二元一次方程的解，能使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做

x=3

二元一次方程的解.把一、分别代入各选项验证即可.

Y*-3

【详解】解：4.当一'津寸，x+y=3-l=2~2,故不符合题意;

x=3

B.当《时，x+y=3-1=2*1,故不符合题意；

x=3

C.当’|时，2.r-y=6-（-l）=7,故符合题意；

D.当［=3时，2工+3），=6-3=3/-1,故不符合题意；

故选C.

2.（2023上•辽宁沈阳•八年级统考期末）下列4组数值中，不是二元一次方程2、-）、=4的解的

是（）

fx=O[A=2fx=4fx=-2

[y=4艮（）,=（）C.|>1=4D.]=_8

【答案】A

【分析】本题科考查了二元一次方程的解，能使二元一次方程左右两边相等的文，了值，即为

二元一次方程的解，据此即可作答.

【详解】解：A、把x=0,y=4代入2x-y,则2x0-4w4,故不是二元一次方程2x-y=4的解；

B、把人=2,）=0代入2人-，，则2x2-0=4,故是二元一次方程2人-），=4的解；

C、把x=4,y=4代入2x-y,则2x4-4=4,故是二元一次方程2x-y=4的解;

D、把/=-2,）,=一8代入26），，则2x（-2）-（-8）=4,故是二元一次方程2x-y=4的解；

故选：A

【题型四二元一次方程的整数解】

例题：（2023上•河北保定•八年级统考阶段练习）在二元一次方程2x+3y=21中，若x,），均为

正整数，则该方程的解的组数有（）

A.5组B.4组C.3组D.2组

【答案】C

【分析】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握求二元一次方程正整数解的方法是解答本

题的关键.

9

根据题意得，二元一次方程2x+3y=21,变形得到y=7-卜，利用己知条件盯），均为正整数，

X=3V—Ay—Q

得到满足条件的解有一十‘一2，"一「由此选出答案.

y=j[），=3（y=i

【详解】解：由已知得：

二元一次方程2X+3），=21,

.2

••y=7

又盯>均为正整数，

x=3J.r=6Jx=9

一）,=5，[y=3fjy"

，二元一次方程2x+3y=21的解的组数有3组，

故选：C.

【变式训练】

1.（2023下•江苏•七年级专题练习）方程"2），=7在自然数范围内的解.

■5生.\x=1卜=5x=3x=\

【口案】(),=(),|J=1

y=2,y=3

【分析】此题考查了解二元一次方程，将），看作已知数求出X是解本题的关键.用），表示出X,

令），为自然数求出X的值，即可确定出方程的自然数解.

【详解】解：方程变形得：，=7-2丫,

当）,=。时，x=7；1y=1时，x=5；y=2时，x=3；，=3时，x=i,

则方程在自然数范围内的解为仁:，仁;x=3\x=1

y=2，y=3

故答案为：r=0,.1=5x=3lx=\

y=ly=2'y=3

2.（2023上•甘肃张掖・八年级校考阶段练习）二元一次方程x+2y=4的正整数解有.

r=2

【答案】\

【分析】本题考查了二元一次方程的解，先求出丁的范围，再求出答案即可，能求出》的范围

是解题的关键.

【详解】・・・x+2y=4,

.\x=4-2y,

・・・x是正整数，

.*.4-2y>0

解得：y<2,

.\0<y<2,

・•・）的正整数解为1，

代入x="2y=2,

x=2

.・.二元一次方程x+2y=4的正整数解为

)=1

\x=2

故答案为：,.

[y=]

【题型五判断是否是二元一次方程组】

例题：下列方程组中，是二元一次方程组的是（）

[x+y=1卜+y=51孙=2

y+z=2[j=2[x+y=l

【答案】B

【分析】含有两个未知数，且每个未知数的最高次数都是1的整式方程组是二元一次方程组,

根据定义判断.

【详解】解：A、C、。均不符合二元一次方程组的定义，8是二元一次方程组，

故选8.

【点睛】此题考查了二元一次方程组的定义，正确掌握二元一次方程组的定义的三要点：（1）

共有两个未知数；（2）未知数的项最高次数都应是一次；（3）都是整式方程，是解题的关键.

【变式训练】

1.下列方程组是二元一次方程组的有（）

①5rL5x-6y=53x+y=51x=4

②③

X+y=42x-7=8z-6=41.v=-3

A.1个B.2个C.3个O.4个

【答案】C

【分析】根据二元一次方程组的定义求解即可.

【详解】解：经过观察可发现方程组③有三个未知数，不是二元一次方程组，

方程组①②④都是二元一次方程组，共有3个.

故选：C.

【点睛】本题考查了二元一次方程组，利用二元一次方程组的定义是解题关键.二元一次方

程组的定义：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组.

,<[x-y=2

2.方程组（1）f~~人，（2），，（3）x+y=4,（4）（一:二中，属于二元一次

x+3y=6[x-z=\?3\[xy*+1=4

方程组有（）

A.1个B.2个C.3个O.4个

【答案】B

【分析】根据二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就

组成了一个二元一次方程组进行判定即可.

【详解】解：⑴>3斤6符合二元一次方程组的定义;

x+y=4

(2)中含有x、)'、Z三个未知数，不是二元一次方程组;

xz=1

x-y=2

⑶卜+》=4符合二元一次方程组的定义;

2x-3y=\

⑷仁工中含有未知项的最高次数为2,不是二元一次方程组;

综上，是二元一次方程组的有2个，

故选:B.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义：由两个一元一次方程所组成的方程组称为二元

一次方程组.

【题型六判断是否是二元一次方程组的解】

例题：已知一个二元一次方程组的解是｛-2,则这个方程组是

x+y=-3j+y=-3

B.

xy=-2=1

【答案】C

【分析】先根据二元一次方程组的定义排除A、。选项，再根据“方程组的解，指的是该数值

满足方程组中的每一方程”即可解答.

【详解】解：A.方程组9十）'"：不是一元一次方程组，不符合题意.

IAy=-2

氏%r=一-1代入方程组kx+v="—3可得i，=3八该数值不满足方程组中的方程.

c咪二代入方程组；：：二，可得这组解满足每一个方程，符合题意.

3x6y

D方程组2x+），=-4不是二元一次方程组，不符合题意.

故选：C.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的解以及二元一次方程组的定义，解决本题的关键是用

代入法进行检验.

【变式训练】

x=­I

1.解为一的方程组可以是()

y=-4

fx-y=-\[j-y=1fx-y=3[x-2y=-3

A.「B.-CJ.D.J,

3x-y=5[3x+y=5(3x-y=113x+y=5

【答案】C

v=-l

【分析】根据方程组的解的定义，只要检验一」是否是选项中方程的解即可.

y=—4

【详解】4、把二[代入方程左边-1-(~4)=3工右边，故，;二不是方程组的解，

故选项不符合题意；

*

B、把厂二一：代入方程工7=1,左边-1-(7)=3=右边，故厂二二不是方程组的解，故选项不

符合题意；

0、把厂=1代入方程方程x-)'=3,左边T-(Y)=3=右边，把厂=1代入方程方程

y=-4[y=-4

左边-以3-(^)=1=右边，故｛；二二是方程组的解，故选项符合题意；

D、把J；二代入方程x-2)，=-3,左边-1-2X(T)=5工右边,故;二不是方程组的解,故选

项不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，正确理解定义是关键.

2.方程组的解是()

2x+5y=28

x=2[A=-1[X=-\fx=-2

y=3[y=-6[y=6[y=-3

【答案】C

【分析】将各个选项依次代入原方程组中，能使两个方程都成立的x、y的值即为方程组的解.

【详解】[X+-V=5<D

L许肝」[2x+5)，=28②

A将［一;代入①式中得，左边=2+3=5=右边，成立.代入②式中得左边=2x2+5x3=19。右

卜=3

边，②式不成立.因此A选项不是方程组的解，不符合题意.

B.将厂"二代入①式中得，左边=（T）+（Y）=-7*右边，①式不成立，因此从选项不是方程

y=-6

组的解.，不符合题意.

C.将厂二1代入①式中得，左边=（-1）+6=5=右边，成立.代入②式中得左边

=2x（—l）+5x6=28=右边，②式成立.因此C选项是方程组的解，符合题意.

二;代入①式中得,左边--3）=-5‘右边,①式不成立，因此。选项不是方程组

D将）

的解，不符合题意.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解叫做二

元一次方程组的解，即二元一次方程组的解应满足各个方程，掌握这一点知识是解题的关键.

【题型七利用代入/加减消元法解二元一次方程组】

例题：（2024上.四川达州.八年级统考期末）解下列方程组

4x-y=3宰=-2

(1)(2)23

3x+2y=5

3x-4y=6

x=\

【答案】⑴

y=[

x=-2

(2)

y=-3

【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法

或加减消元法消去一个未知数.

（1）方程组利用加减消元法求解即可；

（2）方程组整理后，利用加减消元法求解即可.

4x-y=3©

【详解】（1）

3x+2y=5②

①x2+②得，llx=ll

解得x=l

将X=1代入①得，4-，=3

解得

・・,原方程组的解为｛小

3工一4)，=6

3x+2_y=-120

整理得,,3x-4y=6@

①~②得，6y=-18,

解得产-3,

将产-3代入①得，3x+2x(—3)=—12

解得工=-2

・,•原方程组的解为

【变式训练】

1.(2023下♦山东荷泽•七年级统考期中)解下列方程组

x+yx-y

\y-2x=O

(L[3x+y=15；(2)02~

2.r+3y=14

【答案】(1)k

x=4

y=2

【分析】(1)利用代入消元法解二元一次方程即可;

(2)利用代入消元法解二元一次方程即可；

【详解】⑴解："混

由①得y=2x③，

把③代入②得：5x=I5,

解得：x=3

把x=3代入①得：y=6

x=3

y=6

x+y

(2)32

2x+3y=14

x-5y=-6®

整理得：

2x+3y=l4②

由①得a=56③,

把③代入②得2(5.y-6)+3.v=14

解得：y=2,

把y=2代入①得：工=4,

[x=4

[y=2

【点睛】本题考查二元一次方程的解法，掌握代入消元法是解题的关键.

2.（2024上.陕西西安.八年级西安市铁一中学校考期末）解下列方程组:

.y+5

x+y=35x-\=------

(1)(2)3

2x+4y=94

5(y-l)=3(A-+5)

x=23

【答案】（1）

y=12

x=5

(2)

"7

【分析】本题考查解二元一次方程组;

（I）利用加减消元法求解;

（2）先去括号，再利用加减消元法求解.

x+>'=35(?)

【详解】（1）解：2x+4y=94②

①x4-②得，4x-2x=35x4-94

解得：x=23

将x=23代入①得：23+y=35,

y=I2

v_91

因此该方程组的解为：二;2

.y+5

x-\=----

(2)解：3

5（y-l）=3（x+5）

3x-3=y+5①

去括号、整理得:

3x+\5=5y-5@

②-①得：4y-10=18,

解得：y=7,

将)=7代入①得：3x-3=7+5,

解得：x=5,

因此该方程组的解为：

=7

3.(2023下•新疆阿克苏•七年级统考期末)用加减法解下列方程组:

.r-2y=3nJ3（x-y）-2（x4-y）=ll

（1r

'13工+2），二9y）+3（x+）‘）=9

x=3

【答案】⑴

y=0

x=I

（2）

y=-2

【分析】本题主要考查解二元一次方程组,熟练运用用加减法解二元一次方程组是解题的关

键.

(1)直接利用加减消元法求解即可；

(2)利用换元法和加减消元法求解即可.

【详解】⑴解：。+,二〉

①+②得：4x=12,解得：x=3,

将x=3代入①得：3-2y=3,解得：y=0,

工=3

故原方程组的解为一八.

y=0

(2)解：设=X+尸〃,

36-2〃=11①

则原方程组化为

4/7/+3〃=9@

①x3+②x2得：1力〃=51,解得：利=3,

将m=3代入①得9-2〃=11,解得；n=-\,

x-y=3@

则

x+y=-l©

③+④得：2.r=2,解得：x=\,

将x=l代入③得：i-y=3,解得：产-2,

故原方程组的解为二

【题型八二元一次方程组的错解复原问题】

例题：（2024上•山西晋中.八年级统考期末）下面是小莹同学解二元一次方程组的过程，请认

真阅读并完成相应任务.

2x-4y=-3①

解方程组，

4-②

解：①x2,得4x-8y=-3.③......................第一步

②-③，得3y=6.......................第二步

解得"2.

把产2代入①，得2工-8=-3.

解得工=：........................第三步

=5

所以该方程组的解是r二5

）=2

任务：

⑴这种解二元一次方程组的方