2025-2026学年山东省临沂市兰山区八年级（上）期中数学试卷

2025・2026学年山东省临沂市兰山区八年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的，请将正确答案涂到答题卡中。

1.（3分）汉字是中华优秀传统文化的重要载体，在几千年的发展演变过程中，篆体是其发展中的重要阶

段.在下列篆体文字中，可以看作轴对称图形的是（）

2.（3分）用三角板作△/BC的边8c上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（）

3.（3分）在数学实验课上，小华想用铅笔支起一块质地均匀的三角形薄板，使薄板保持平衡，他想出了

以下方法来确定这个平衡点的位置，其中做法正确的是（）

A.画出三角形薄板的三条中线，取其交点

B.画出三角形薄板的三条高线，取其交点

C.画出三角形薄板的三条角平分线，取其交点

D.画出三角形薄板三边的垂直平分线，取其交点

4.（3分）2025年9月3R,我国隆重举行纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵

式，多种自主研发新型装备首次亮相.如图，以重型歼-20战斗机。，£所在的直线为^轴、过点/I

且垂直于。£的直线为y轴，建立平面直角坐标系xOy.若中型歼-35/1战斗机所在位置为点8（〃?，〃）,

歼-16。电子战飞机所在位置C与点8到大轴的距离相等，到y轴的距离也相等，则歼-16。电子战

斗机所在位置C的坐标为（）

y

A

B*•C

~D~O-W

A.(m,n)B.(-m,-〃)C.(w,-〃)D.(-m,〃)

5.(3分)下列条件不能确定△48C是直角三角形的是()

A.ZJ=90°-ZCB.ZJ+Z5=ZC

C.N力=2N8=3NCD.ZJ：/B：ZC=1：2：3

6.（3分）如图，在△力4。中，点。，E,F分别是4C,BD,月£的中点，若阴影部分的面积为4,则4

48。的面积是（）

A.32B.36C.28D.30

7.（3分）如图，为了估计池塘两岸48间的距离，在池塘的一侧选取点P,测得⑸=19米，PB=\0

米，那么48间的距离不可能是（）

A.11米B.15.8米C.26米D.30.5米

8.（3分）如图是某海域内三处观测站/,C,E的分布图，经测量可得C处在力处的南偏西400方向，

在彳处向南偏东25°方向可观测到E处，而E处在C处的北偏东80°方向，则在E处观测力处和C

处的视线夹角/力£。为（）

A.60°B.70°C.75°D.80°

9.（3分）如图，△48C中，外角NM4C,/4CN的角平分线力。，CO交于点。，点户在8N上，ZBAD+

ZDPZ?=180°,过点。作。£_L/4,垂足为E,连接4。，则下列结论中不一定正确的是（）

B.DC平分NADP

C.BP-2AE=ABD.S^DAB-S^DBC=AB：BC

10.（3分）如图，在△/BC中，ZABC=45°,过点C作于点Q,过点3作BA/_UC于点”，

连接MZ）,过点。作。交8M于点MC。与8M相交于点£,若点E是C。的中点，则下列

结论中正确的有（）

①AD=DE；

②DM=DN；

③/4"。=45°；

@EM：MC：NE=\：2：3.

A.①②③B.②③④C.①③④D.①②③④

二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）

11.（3分）如图所示，AB=AD,Z1=Z2,在不改变图形的情况下，请你添加一个条件，侵

12.（3分）如图是蜡烛的平面镜成像示意图，以桌面所在直线为尤轴，镜面所在直线为y轴建立平面直角

坐标系，若火焰顶部尸点的坐标是（3,1.5）,则对应虚像火焰顶部。点的坐标是.

3

13.（3分）在△力8C中，AB=3,8C边上的中线4）=4,则边力C的取值范围是.

14.（3分）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示的作图痕迹如下，其中，射线

OP为N4O8的平分线的有___________.

15.（3分）如图，在N/1OA的边04,04上取点股，N,连接MN,MP平分NAMN,NP平分NMNB,

若MN=2,/XPA/N的面积是4,△OMN的面积是6,则OM+ON的长是.

三、解答题（共8小题，共75分）

16.（8分）如图，在平面直角坐标系中，△力8C的顶点坐标分别为力（・3,1）,8（・5,-2）,C（-2,

-4）.

（1）画出△48。关于y轴对称的△小8C1，写出点81的坐标:

（2）求出△48。的面积；

（3）在歹轴上找一点P,使以+PC最小，并写出点P的坐标.

4

17.（8分）风筝又称纸莺，是中国民间传统工艺美术品的杰出代表，由骨架、蒙面、提线和尾巴等部分构

成.如图所示，风筝的两侧骨架底部骨架8c=8D,点〃在48的延长线上.求证：ZCBE

=NDBE.

图1图2

18.（8分）如图所示，△48C是等边三角形，。点是力。的中点，延长8c到E,使CE=CD

（1）求/£的度数.

（2）用尺规作图的方法，过。点作QM_L4E,垂足为（不写作法，保留作图痕迹）

（3）求证：BM=EM.

19.（8分）如图，在^力^。中，ZBAC=\30°,的垂直平分线分别交,48,BC于息E,F,4C的垂直

平分线分别交力C，8c于点N,直线ER交于点P.

（1）求/用N的度数；

（2）求证：点。在线段8。的垂直平分线上.

20.（10分）如图，在△48C中，。为△48C外一点，/C平分/胡。，CELAB于点、E,^B+ZADC=180°.

图1图2

(1)求证：BC=CD；

(2)若/AC8=g(T,连接8,AB=8,BE=2,/ABD=30’,求力。的长.

5

21.（10分）【材料阅读】

已知直线/同侧有两个点4B,要在/上确定一个点C,使得4C+C8最短.小明的做法如下：作力关

于直线/的对称点4,根据轴对称的性质，对于/上任意一点C,都有力。=4。，因此连接力'4与直

线/的交点即为所求点C,4'B=AC+BC,此时力C+8c最短.

M

N

B

图2图3

（I）上述材料中小明判断力C+8C最短的依据是,

【知识应用】

（2）如图2,有两条河力。和8。在村庄O处交汇，它们的夹角/力。8=30°,距离村庄500米处有一

个种植园P,现计划建立兼具灌溉排水功能的环形水渠，P-M-N-P,则水渠总长度最短为

米;

【拓展应用】

(3)如图4,在△/8C中，JC=6,BC=8,48=10,N4CB=9()°,力。平分N84C,A/,N分别是

AD,4C边上的动点，求CA/+A/N的最小值.

22.（11分）【问题背景】

半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等.通过翻折、旋转或

截长补短等方法，将角的倍分关系转化为角的相等关系，进一步构成全等三角形，从而构建模型，解决

问题.

如图1,在四边形力8co中，/84。=12（）°,ZB=ZADC=W，点、E,产分别是3C,CD

上的点，且N£4产=60°,连接后尸，探究线段EF,OF之间的数量关系.

G

图1图2

（1）探究发现：小雨同学的方法是延长尸。到点G.使Z）G=8£连结4G,先证明

再证明从而得出结论:

6

（2）拓展延伸：如图2,在四边形力8CO中，AB=AD,NB+NZ）=180°,E,厂分别是边8C,CDh

的点，且NE4尸二*/84。，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，

请说明理由.

23.（12分）【数学建模】

某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形.如图1,己知：在△/8C中，ABAC

=90°,AB=AC,直线/经过点6。_1_直线/、CEJ_直线/,垂足分别为点。，E.

（1）请直接写出DE,BD和CE之间的关系.

【变式探究】

（2）小丽认为当△/8C不是直角三角形时,，上述结论仍然成立.如图2,在△/AC中，AB=AC,D,

A,E三点都在直线/上，并且有N8Q4=N/£C=N8%C,可得。E=8£>+C£.你同意小丽的说法吗？

请说明理由.

【拓展应用】

（3）小华认为上述结论可以用来解决等边三角形中的问题.如图3,b和△4b均为等边三角形,

点。，力，E是同一直线/上不重合的三点，ZBDA=ZAEC=ZBAC,请说明△£>所为等腰三角形.

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2025-2026学年山东省临沂市兰山区八年级（上）期中数学试卷

选择题、填空题答案速查

题号12345678910

答案AAADCADCBD

11JC=4E或N8=NO或12.(-3,1,5)13.5<JC<11

14.①②③④15.110。16.②③

选择题、填空题解法提示

10.解：①・・・CO_L48于点Z),

:・/CD4=NBDE=90°,

/.ACDA和都是直角三角形，

在△3CO中，NBDE=9Q°,ZABC=45°,

・•・△3CO是等腰直角三角形，

：.CD=BD,

•・•£W_L4C于点A/,

AZAMB=90°,

是直角三角形，

AZA+ZDBE=90°,

在RtZ\CD4中，ZJ+ZDCJ=90°,

:・NDCA=NDBE,

在△QC4和△OBE中，

Z.CDA=Z.BDE

CD=BD,

/DCA=乙DBE

:•△DCA9XDBE(ASA),

：,AD=DE,

故结论①正确；

；・NNDM=NBDC=90°,

/NDM-ZNDE=4BDC-ZNDE,

/MDC=/NDB.

8

/DCA=/DBE,

/.4MCD=ZNBD,

在△MQC和△NOB中，

2MDC=乙NDB

CD=BD,

/MCD=乙NBD

:,△MDC/ANDB(ASA),

:,DM=DN,

故结论②正确；

③在△QMN中，/NDM=90°,DM=DN,

・•・△OMN是等腰直角三角形，

:,NDMN=NDNM=45°,

NAMD=Z.AMB-NQMN=90°-45°=45

故结论③正确；

④过点D作DHIMN于点H,如图所示：

•.•4W_L/1C于点

：・/DHE=NCME=90°,

•・•点E是CO的中点，

：.DE=CE,

在△£>〃£和△CA/E中，

乙DHE=Z.CME=90°

乙DEH=乙CEM，

DE=CE

:、XDHE在XCME(AAS),

:.设,EH=EM,DH=CM,

设EH=EM=a,

:・HM=EH+EM=2a,

•••△DWN是等腰直角三角形,

9

:.DH=HN=HM=2a,

:,NE=HN+EH=2a+a=3a,DH=CM=2a,

',EMzMC：NE=a：2a：3a=1：2：3,

故结论④正确，

综上所述：结论正确是：①②③④，

故选：

15.解：过户作PH工MN于",PCLOAC,PDLOB于D,连接P。,

，：MP平分/AMN,NP平分4MNB,

:.PC=PH,PD=PH,

:・PC=PD,

的面积=肪＞'・刊/=4,MV=2,

:・PH=A,

：,PC=PD=4,

的面积是4,△OMN的面积是6,

・•・APOM+APON=4+6=10,

；OA/・PC+：ON・PD=\(),

(OM+ON)X4=10X2,

・・・OM+ON=5.

故答案为：5.

解答题参考答案

16.解：⑴如图，A^iBiCi，即为所求，点口的坐标(5,-2)；

11112

(2)的面积=3X5-5x2X3-axlX5一aX2X3=S

10

(3)如图，点Q即为所求.P(0,-2).

17.证明：在△/〃。和中,

AC=AD

BC=BD,

AB=AB

AAABC^/\ABD(SSS),

，ZABC=ZABD,

•・•点七在/也的延长线上,

/.180°,ZABD+ZDBE=\^°,

:.NCBE=NDBE.

18.(1)解：•••△N5C是等边三角形,

AZACB=ZABC=60°,

又CD=CE,N4C8为△QCE的外角,

/.Z£=ZCZ)E=30o；

<2)如图所示:

(3)证明：•••△48。是等边三角形，。是4C中点,

；・/DBC=/ABD=30、,又/E=3(T,

11

，ZDBC=NE,

:.BD=ED,

又DM上BE,

:.BM=EM.

・・・N4+NC=180°-130°=50°,

•・・E/是48的垂直平分线，MN是/1C的垂直平分线,

工FA=FB,NA=NC,

:・NFAB=ZB,NNAC=NC,

：・4FAB+/NAC=NB+/C=50°,

；・/E4N=130°-50°=80°：

(2)证明：如图，连接RLP8、PC,

YEP是48的垂直平分线，加尸是4c的垂直平分线,

:,PB=PA,PC=PA,

:.PB=PC,

・•・点〃在线段4C的垂直平分线上.

20.(I)证明：如图，过点。作CRL/O于点八

图1

12

VZ5+ZJDC=180°,ZCZ)F4-ZJDC=180°,

：・/B=/CDF,

•・"C平分NA/iQ,CELAB,CF.LAD,

：.CF=CE,/CFD=NCEB=90°,

在.△CFD和ACEB中，

Z.CDF=乙B

Z.CFD=乙CEB,

CF=CE

:.4CFDmXCEB(AAS),

：,BC=CDx

(2)解：由(1)可知，/\CFD@/\CEB,

:.DF=BE,

在RtAJCF和Rt^ACE中，

(AC=AC

tCF=CE'

・・・Rt△4CbgRl△力CK(HL),

:・AF=AE,

,:AB=AE+BE,

:.AB=AF+BE=AD+DF+BE,

：.AB=AD+2BE,

艮［J8=40+2X2,

：.AD=4,

答：力。的长为4.

21.解：(1)小明判断4C+8C最短的依据是两点之间线段最短.

故答案为：两点之间线段最短；

(2)如图2中，作点P关于直线。力的对称点F,作点〃关于直线08的对称点G,连接尸G,

分别交。力、OB于M、N,

图2

13

:.MP=MF,NP=NG,

•••△PMN的周长的最小值为FG,

由轴对称的性质得：ZFOA=ZAOP,/POB=/GOB,

()P=OF,OP=OG,

•；N/1OP+NPOB=N4OB=3D°,OP=500米，

:,NFOG=NFOA+ZAOP+/POB+/GOB=60°,。产=OG=500米，

•••△FOG为边长为500米的等边三角形，

，FG=500米，

••.△PMN的周长的最小值为500米，

故答案为:500；

(3)如图，在力4上截取力2=4V,连接M尸，过点C作CEUB,垂足为E,

PE

图3

•:AD是NBAC的平分线，

:・/MAN=NMAP.

在AAMN与AAMP中,

AN=AP

AN=/-MAP,

AM=AM

：,44MNg4AMP(SAS),

:.MN=MP,

:・CM+MN=CM+PM,

当C,M,P三点共线且。尸_1_48时，CM+PM最短,

・•・这时CM+MN有最小值，即CE的长度，

VJC=6,力8=10,ZJC5=90a,8c=8,

•"△加=•CE=^AC-BC,

•24

•*CD—,

14

，CM+MN的最小值为w

22.解：（1）EF=BE+FD.

延长尸Z）到点G.使。G=8£连接4G,如图L

图1

VAABE=ZADG=Z.ADC=W,AB=AD,

J.^ABE^^ADG(SAS).

：.AE=AG,ZBAE=ZDAG.

：./B4E+NDAF=NDAG+NDAF=NEAF=60°.

：.AGAF=ZEAF=^°.

又•：AF=AF,

:AAGF丝AAEF(SAS).

：,FG=EF.

,:FG=DF+DG.

:・EF=BE+FD.

故答案为：EF=BE+FD；