2017-2026年高考数学试题分类汇编：解三角形选填题综合（解析版）

i正弦定理解三角形

0

1.（2024•全国甲卷高考真题）记”8C的内角A5,C的对边分别为若6=60、/则

4

sinA+sinC=（）

A.-B.72C.—D.2

222

【答案】C

113

【分析】利用正弦定理得sinAsinC=§,再利用余弦定理有/+d=]ac,由正弦定理得到sin：A+sii?。的

值，最后代入计算即可.

941

【详解】因为8=60°®则由正弦定理得sinAsin。=十府8=彳.

493

由余弦定理可得:b2=3a2+c2-ac=^c,

4

131313

即:"+d=—ac,根据正弦定理得si-A+sin2C=-sinAsinC=—,

4412

7

所以（sinA+sinC）2=sin2A+sin2C+2sin4sinC=—,

4

因为4。为三角形内角，则0111人+$11]。＞0,则S吊4+§出。=立.

2

故选：c.

2.（2023.北京•高考真题）在一ABC中,(a+c)(sin4—sinC)=Z»(sinA-sinB),则Z.C)

n5兀

AfD.一

-T6

【答案】B

【分析】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解.

【详解】因为(〃+c)(sinA-sinC)=b(sinA-sinB),

所以由正弦定理得3+c)(a-c)=b(a-b),即/“2=ab-b\

则/+〃~2=加

7T

又0＜。＜兀，所以c二§.

故选：B.

3.（2023・全国乙卷・高考真题）在.ABC中，内角的对边分别是&〃,c,若优os8-AosA=c，且C=q,

2

则()

【答案】C

【分析】首先利用正弦定理边化角，然后结合诱导公式和两角和的正弦公式求得NA的值，最后利用三角形

内角和定理可得NA的值.

【详解】由题意结合正弦定理可得sinAcos6-sin6cosA=sinC»

即sinAcosB—sin8cosA=sin（A+B）=sinAcos8+sinBcosA,

整理可得sin4cosA=0,由于8«0,兀），故sinB>0,

据此可得COSA=0,A=2,

故选：C.

4.（2019・全国I卷・高考真题）ZkABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asinA—Ain8=4csinC,

cosA=—7,贝心二

【答案】A

【分析】利用余弦定理推论得出“，b,c关系，在结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果.

【详解】详解：由已知及正弦定理可得〃2—Z>2=4C2,由余弦定理推论可得

【点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用.

5.（2017・山东・高考真题）在AA比中，角A&C的对边分别为“，h,c.若A48C为锐角三角形，且满

足sinB（l+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC,则下列等式成立的是

A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.B=2A

【答案】A

(详解】sin(A+C)+2sin4cosc=2sinAcosC+cosAsinC

所以2sin8cosc=sinAcosC=2sin8=sinA=2Z?=a,选A.

【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和差的三角函数公式进行恒等变形.首先用两

角和的正弦公式转化为含有A,B,C的式子，用正弦定理将角转化为边，得到〃=功.解答三

3

角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视.

6.(2017.全国I卷.高考真题)zvIB。的内角人、B、。的对边分别为mb、c.已知

sinB+sinA(sinC-cosC)=0,a=2,c=及，则O

【答案】B

【详解】试题分析：根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可

详解:sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,

VsinB+sinA(sinC-cosC)=0,

AsinAcosC+cosAsinC+sinAsinC-sinAcosC=0,

cosAsinC+sinAsinC=0,

VsinC^O,

/.cosA=-sinA,

tanA=-1,

由正弦定理可得

sinCsinA

Va=2,c=0,

22

故选B.

点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦

定理是两个主要依据.解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、

简捷一般来说，当条件中同时出现他及从、力时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函

数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.

4

7.（2。26・天津•高考真题）在一ABC中'8c=4,AC=3,cos.=--,则sin八

恪案】嘤片后

【详解】在.."C中，COS4=-r所以sinA=Jl-cos"=

々而L

由正弦定理可得.8=433x丁_3而.

RC-416

8.（2024・上海•高考真题）三角形杵中,BC—W"；%则小

【答案】竽

【分析】根据已知条件，结合正弦定理，即可求解.

7T7TSir

【详解】三角形A8C中，-AB+C=n,A=-,B=-^.C=—

+J114

兀兀.兀兀兀.兀\?2+^6

sinC=sin—+—=sin-cos—+cos—sin—=-------

4646464

BCAB

由正弦定理,BC=2,A=-

sinAsinC3

9V2+V6

/曰BCsinC2X-4-3夜+6

得叱=

y

故答案为：逑产

9.（2019・上海・高考真题）在小比中，AC=3.3sinA=2sin8,且cosC=‘，则=

4

【答案】M

【分析】根据正弦定理求出再利用余弦定理求出A从

【详解】由正弦定理可知：当?=更「又3sinA=2sin4

sinBsinA

ACsinA2

nBC=-----------=—AC=2

sinB3

由余弦定理可知：AB2=AC2+BC2-2AC-BCcosC=9+4-2x3x2x-=\0

4

AB=A

本题正确结果：M

【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形问题，属于基础题.

5

10.（2018・浙江•高考真题）在aABC中，角A,B,C所对的边分别为mb,c.若a=>/7,b=2,A=60°,

则sinB=,c=.

【答案】叵3

7

【详解】分析:根据正弦定理得5,山，根据余弦定理解出c.

详解：由正弦定理得£="，所以sinB=~^=xsin[=,

bsmBV737

由余弦定理得a2=〃+c2-2〃ccos4/.7=4+c2-2c,/.c=3（负值舍去）.

点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化为边和

角之间的关系，从而达到解决问题的目的.

II.（2017.全国in卷•高考真题）AA8C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知060。，b=瓜,c=3,

则A=.

【答案】75

fj

【详解】由正弦定理工=」;;，得八〃力sinCV2,结合/"c可得3=45,则

sinBsinCsinB=-----=-------=—

c32

A=1800-B-C=75°.

【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理，结

合已知条件灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：

第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方

向.

第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.

第三步：求结果.

12.（2017・全国H卷•高考真题）A/WC的内角A8.C的对边分别为〃/，c,若加884=〃8§。+（?854则

B=.

【答案】g

【分析】根据正弦定理将边化为角，再根据两角和正弦公式以及诱导公式化简得cosB的值，即得B角.

【详解】所法：由2/jcosA=acosC+ccosA及正弦定理，得2sinBcos8=sin4cosc+sinCcos4.

2sin8cosB=sin（A+C）.

又A+8+C=7C,/.A+C=n~B./.2sinBcosB=sin（n—B）=sinB.

6

又sin8,0,/.cosB="./.B=~r.

解版"•,在△ABC中,«cosC+ccosA=/?,；・条件等式变为2力cosB=8,/.cos^=".

又()<8<n，

【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和

角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：

第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.

第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.

第三步：求结果.

余弦定理解三角形

1.(2025•全国二卷•高考真题)在..A3C中，BC=2,AC=l+g,48=后，则4=()

A.45°B.60°C.120°D.135°

【答案】A

【分析】由余弦定理cosA=过二%二%直接计算求解即可.

2AB>AC

AB2+AC2-BC2(拘:(1+6)2-21啦

【详解】由题意得cos4=

2AB»AC2X>/6X(I+73)2

又()vA<180，所以A=45。.

故选：A

2.(2()23•全国乙卷•高考真题)正方形/WCO的边长是2,E是A3的中点，则EC.EQ=()

A.75B.3C.26D.5

【答案】B

/——XUUUmm

【分析】方法一：以卜伐4。｝为基底向量表示EC,ED，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系,

利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求cos/DEC,进而根据数量积的定义运算求解.

【详解】方法一：以为基底向量，可知网=卜4=245乂。=0,

uiinuirmuimunimminmruuniumirnii

则EC=E8+8C=-A3+ADEQ=E4+4£>=——A8+AO,

22

」加+加=-1+4=3；

所以EC-EO=^AB+AD\^AB+AD

4

7

方法二：如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，

则后(1,0),。(2,2),。(0,2),可得£。=(1,2),石。=(—1,2),

inaiuiM!

所以EC£O=-1+4=3；

方法三：由题意可得：ED=EC=6CD=2.

DF2+CF2-DC25+5-43

在△CUE中，由余弦定理可得c。，J*7=5,

2DECE2xV5xV55

所以EC.EO=|EC|归4cosNOEC=x/5x括x|=3.

故选：B.

片+//一

3.(2018•全国III卷•高考真题).ABC的内角A，B,C的对边分别为。，c,若.ABC的面积为

~7~

则。=

A.-B.-C.-D.-

2346

【答案】C

【详解】分析：利用面积公式S胸=｝而加。和余弦定理/+加-/=2出的支进行计算可得

详解：由题可知SM=加“C/+：“2

所以/+/?2-/=2absinC

由余弦定理a'+lr-c2=labcosC

所以sinC=cosC

Ce(0,7i)

:.C=-

4

故选C.

点睛：本题主要考查解三角形，考查了三角形的面积公式和余弦定理.

4.(2018•全国H卷•高考真题)在AABC中,cos-=—,BC=1,AC=5,则AB=

25

8

A.4&B.病C.V29D.2V5

【答案】A

【详解】分析：先根据二倍角余弦公式求cosC,再根据余弦定理求AB.

详解：因为cosC=2cos2C—l=2x（立）2一1=一3,

255

所以c2=a2+/-2C=l+25-2xlx5x（-|）=32「.c=4&,选A.

点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角

之间的关系，从而达到解决问题的目的.

5.（2017•全国•高考真题）-ABC的内角A民C的对边分别为瓦。，若/=廿+bc+d,则4=（）

A.150°B.120°C.60°D.30。

【答案】B

【分析】根据余弦定理求解即可.

【详解】由/=〃+儿，+c2,得加+C2—/=一尻.，

因为0。<4<180。，所以A=120。.

故选：B.

6.（2023•全国甲卷•高考真题）在,A8C中，/胡。=60。,月8=2,8。=6，/8AC的角平分线交8C于。,

则A£）=.

【答案】2

【分析】方法一：利用余弦定理求出AC,再根据等面积法求出/V）：

方法二：利用余弦定理求出AC,再根据正弦定理求出氏C,即可根据三角形的特征求出.

【详解】

如图所示：记AA=C',AC=〃,BC=4,

方法一：由余弦定理可得，22+Z/-2X2X/?XCOS60=6,

9

因为b>0,解得：b=l+5

由S+S可得,

sAftc=AR[)ACD

—x2x/?xsin60=—x2x/!Dxsin30+—x/4Dx/?xsin30,

222

®_2频+®.

解得：AD=

在一3+G一

2

故答案为：2.

方法二：由余弦定理可得，22+/?2-2X2X/7XCOS6()=6»因为力＞0,解得：人=1+百,

由正弦定理可得，———=―-—=―-—»解得：sinB="\",sinC=»

sin60sinBsinC42

因为1+所以C=45,4=180-6()-45=75,

又/84£>=30"，所以44£>8=75，即/W=/W=2.

故答案为：2.

【点睛】本题压轴相对比较简单，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，也可以用角平分定义

结合正弦定理、余弦定理求解，知识技能考查常规.

7.（2023•上海•高考真题）在4ABe中，已知a=4,〃=5,c=6,则sinA=

【答案】昱

4

【分析】先利用余弦定理求得cosA,再利用同角三角函数关系式求得sinA.

【详解】萨_25+36-1645_3

-60-60-4

A为.A8C的内角，

sinA-\l\-cos2A-Jl--=—.

V164

故答案为:立.

4

【点睛】本题考查余弦定理以及同角三角函数关系式的合理运用，是基础题.

8.（2018•北京高考真题）若A皮?的面积为1d且/C为钝角，则NB=£的取值

a

范围是___________.

【答案】60(2,+x)

10

［分析］根据题干结合三角形面积公式及余弦定理可得tanB=x/3,可求得ZB=y;再利用sinC=sin（A+B）,

将问题转化为求函数/（A）的取值范围问题.

+c2-〃)=gacsinB,

【详解】75MBC

a2+c2-b2_sin/?”，nsin3

,即COSB=r-,

2ac~V3

则二亘-L+L

2tan/12

・•・NC为钝角，NB=W，/.0</4<m，

36

,J。,匈」c(6+oo),故%(2,同.

3(aiiA

故答案为（，（2,+8）.

【点睛】此题考查解三角形的综合应用，能够根据题干给出的信息选用合适的余弦定理公式是解题的第一

个关键；根据三角形内角A+3+C=万的隐含条件，结合诱导公式及正弦定理，将问题转化为求解含乙4的

表达式的最值问题是解题的第二个关键.

三角形的面积

1.（2019・全国H卷•高考真题）”8。的内角A3C的对边分别为。力,。.若〃=6M=2C,8=1,则一A8c的

面积为.

【答案】6V3

【分析】本题首先应用余弦定理，建立关于c的方程，应用的关系、三角形面积公式计算求解，本题属

于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查.

【详解】由余弦定理得从

所以（20）2+02-2乂20乂0''=6?,

2

即。2=12

解得e=2月,（?=-2\/5（舍去）

11

所以a=2c=4\/3,

Sg8c=gacsinB=与=6瓜

【点睛】本题涉及正数升平方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误.解答此类问题，

关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算.

2.(2018・江苏•高考真题)在二A8C中，角4&C所对的边分别为“也c,ZABC=120°,448c的平分线交

4c于点。，且40=1,贝Ij4a+c的最小值为.

【答案】9

【分析】方法一：先根据角平分线性质和三角形面积公式得条件再利用基本不等式即可解出.

ac

【详解】［方法一］:【最优解】角平分线定义+三角形面积公式+基本不等式

由题意可知，S.C=SAM+S"6,由角平分线定义和三角形面积公式得

—ticsin120°=—67x1xsin60°+—cxlxsin60°,化简得ac=a+c,即,+1=1,

222ac

因此4〃+c=(4a+c)('+1)=5+£+eN5+2j£.^=9,

acacyac

当且仅当c=2〃=3时取等号，则4a+c的最小值为9.

故答案为：9.

［方法二］:角平分线性质+向量的数量积+基本不等式

由三角形内角平分线性质得向量式8。=」一切+」二8。.

a+ca+c

zx2(、2

因为80=1,所以1=」一8才+—jBC2+2ClC-BABC,化简得1="，^ac=a+c,亦即

\a+cj\a+cj(a+cYa+c

所以4«+c=4(a-l)+(c-l)+525+274(a-l)(c-l)=9,

当且仅当4(〃-l)=c-l,即〃=3:/=3时取等号.

2

［方法三］:解析法+基本不等式

如图5,以3为坐标原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系.设。(40),D

为A,D,C三点共线，则&仙=%>,即2r—±=，则有a+c=ac,所以•L+'=l.

11ac

——c——1——a

222

12

A

Cx

图5

下同方法一.

［方法四］:角平分线定理+基本不等式

在4〃笫中，CD=+1-2«coSy=＞］a2+\-a,同理40=行了根据内角平分线性原定理知

条繇即两边平方’并利用比例性质得三4,整理得(…)-0=0,当

a=c时，可解得”=c=2,4a+c=10.当a+c=ac时，下同方法一.

［方法五］:正弦定理+基本不等式

在二与..38中，由正弦定理得一二嘤=」7，名高二一二.

sin60sinAsin60sinC

,用始ahAD+CDADCD

在「ABC中，由正弦定理得「：=「；=.=.+..

sinAsinBsin120sin60sin60

所以二=」7+」7；,由正弦定理得1=色='+,，即改="+c,下同方法一.

sinAsinAsinCaac

［方法六］:相似+基本不等式

如图6,作4E〃8C,交3。的延长线于£易得一A8E为正三角形，则4E=c,OE=c-L

图6

4FDFcC—\

由-AOESACOB,得芸=芸，即£==，从而a+c=ac.下同方法一.

BCBDa1

【整体点评】方法一：利用角平分线定义和三角形面积公式建立等量关系，再根据基本不等式'”的代换求

出最小值，思路常规也简洁，是本题的最优解：

方法二：利用角平分线的性质构建向量的等量关系，再利用数量积得到。，。的关系，最后利用基本不等式求

出最值，关系构建过程运算量较大；

方法三：通过建立直角坐标系，由三点共线得等量关系，由基本不等式求最值：

13

方法四：通过解三角形和角平分线定理构建等式关系，再由基本不等式求最值，计算量较大；

方法五：多次使用正弦定理构建等量关系，再由基本不等式求最值，中间转换较多；

方法六：由平面几何知识中的相似得等量关系，再由基本不等式求最值，求解较为简单.

3.（2018・全国I卷・高考真题）aABC的内角A，B,C的对边分别为。，力，。，已知

/?sinC+csinB=々/sinBsinC,b2+c2-t/2=8,贝!J△ABC的面积为.

【答案】巫.

3

【分析】方法一：由正弦定理可得sinBsinC+sinCsin4=4sinAsin8sinC,化简求得sinA=1,利用余弦定理，

结合题中的条件，可以得到处“相=8,由A为锐角，求得COSA=3,反=更，利用三角形面积公式

23

即可解出.

【详解】［方法一］:【最优解】边化角

因为Z?sinC+csinB=4«sinBsinC,由正弦定理得sinBsinC4-sinCsinB=4siii4sinBsinC,

因为sinBsinCwO,所以sinA=；.又因为+c?-/=8,

由余弦定理+/-IbccosA，可得TbccosA=8,

所以8sA>0,即A为锐角，且8sA=走，从而求得儿=巡，

23

所以乙ABC的面积为S=—/?tsiny4=—•）巨•—=--.

22323

故答案为：述.

3

［方法二］:角化边

因为Z?sinC+csinA=467sin4sinC,由正弦定理得〃c+〃c=4a/?sinC,即。=2asinC,又一--=——,所以，

sinCsinA

sin.4=.乂因为/?2+。2-42=8，

由余弦定理/=A?+c］-2£?ccosA,可得》ccosA=8,

所以cosA>0,即A为锐角，且cosA=无，从而求得反=述，

23

所以,A8c的面积为S=—Z?csinA=—.

22323

故答案为：—.

3

【整体点评】方法一：利用正弦定理边化角，求出sinA,再结合余弦定理求出即可求出面积，该法是

本题的最优解；

方法二：利用正弦定埋边化角，求出sin八，再结合余弦定理求出永;即可求出面积.

14

4.（2017•浙江•高考真题）已知△"（?,4gAe=4,BC=2.点。为48延长线上一点，BD=2,连结C。,

则Z^BQC的面积是______,cosNBDC=

晅

【答案】M

24

【详解】取8C中点E,由题意：AE1BC,

BF।I

△ABE中，cosZA^C=——=-,AcosZD1?C=一一,sinZDBC=

AB44

S、=-xBDxBCxsinZDBC=—.

,1

/ABC=2/BDC,/.cosZABC=cos2ZBDC=2cos-ZBDC-1=-,

4

解得cos或cos/3£>C=-（舍去）.

44

综上可得，△8CO面积为巫，cosNBDC=叵.

24

【名师点睛】利用正、余弦定理解决实际问题的一般思路：（1）实际问题经抽象概括后，已知国与未知曷

全部集中在一个三角形中，可以利用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未

知量涉及两个或两个以上三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，再逐步解其他三角形，

有时需要设出未知量，从几个三角形中列出方程（组），解方程（组）得出所要的解.

5.（2017・浙江・高考真题）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率兀，理论上能把兀的值计算

到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”，将兀的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割

圆术••的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积$6，56=

【答案】史

2

【详解】将正六边形分割为6个等边三角形，则S6=6x（Lx1xlxsin60）=述.

【名师点睛】本题粗略看起来文字量大，其本质为计算单位圆内接正六边形的面积，将正六边形分割为6

个等边三角形，确定6个等边三角形的面积即可，其中对文字信息的读取及提取有用信息方面至关重要，

考生面对这方面题目时应多加耐心，仔细分析题目中所描述问题的本质，结合所学进行有目的的求解.

解三角形及其应用

1.（2026・北京・高考真题）摇杆机械装置，如图，4,B为定点、,C,。是动点，AD=\,CD=3,BC=|,

A8=4,则cos48C的取值范围（）

15

c

553573

运而

【答案】B

【分析】根据边长范围结合余弦定理计算求解范围.

【详解】因为人。=1,。。=3,则3—