直角三角形全等的判定 同步提升练习-2026-2027学年湘教版八年级数学下册

53直角三角形全等的判定

知识点1斜边、直角边定理

1如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上.已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯的水平长度DF相等，那么

判定△ABCDEF全等的依据是

A.边边边B.边角边

C.角边角D.斜边、直角边

2如图，在RtAABC与RtADCB中，已知NA=ND=90。,为了使RtAABC^RtADCB,需添加的条件是________

（不添加字母和辅助线）.

3如图，在△ABC中.AD平分/BAC,AD_LBC于D,EC_LBC于C,且AB-BE,CD-CE.求证:RsABDMRsBEC.

知识点2斜边、直角边定理的应用

4如图，在Rl△ABC中,NBAC=9（T,DEJ_BC,AC=6,EC=6,NACB=60。,则/ACD等于（）

A.45°B.30°C.20°D.15°

5如图.在RtAABC中,NB=90。点E在边AB上点D在边BC上,DE=CD,DF_LAC于点四日菖及连接八

D.若AB=12,BD=4,AABC的面积是54,则线段AC的长为（）

A.I3B.I5C.16D.18

6如图,已知在RtAABC和RSBDE中,NABC二NBDE=9()0,BC=DE,AC=BE.如果NBAC=20。,那么NBDA的

大小为__________

7如图，在△ABC和^DCB中,NA=ND=9()o,AC=BD,AC与BD相交于点O.

⑴求证:△ABC^ADCB;

（2）AOBC是何种二角形?证明你的结论.

AD

刷提升

1如图，长方形纸片ABCD中,AB=7.BC=9,M是BC上的点且CM=2将长方形纸片ABCD沿过点M的直线

折叠，使点D落在AB边上的点P处，点C落在点Q处，折痕为MN,则线段AP的长是（）

A.4B.5C.6D.7

2如图.在△ABC中,PB=PQ.PR=PS,PR_LAB于R,PS±AC于S,则三个结论:①AS=AR;②QP〃AR;③AB+AQ=2A

R中（）

A.全部正确B.仅①和③正确

C.仅①正确D.仅①和②正确

3在数学拓展课上，有两个全等的含45。角的直角三角板ADE,ABC重叠在一起.李老师将三角板ADE绕点

A顺时针旋转（保持/BAEV90。）,作DE的延长线与CB的延长线交于点F,如图所示，随着NBAE的增大.CF-EF

的值（）

A.一直变小B.保持不变

C.先变小,后变大D.一直变大

D

A

卫

，午'BCBPC

（第3颗图）（第4题图）

4如图，已知在RSABC中,NACB=90o,AC=8,B012,D是AC上的一点CD=3点P从B点出发沿射线BC

方向以每秒2个单位的速度向右运动.设点P的运动时间为1秒.过点D作DE1AP于点E.在点P的运动过程中,

当t为时，能使DE=CD.

5如图（1）,E,F分别为线段AC上的两个动点，且DE1AC于E,BF1AC于F,若AB=CD,AF=CE.BD交AC

于点M.

⑴求证:MB=MD,ME=MF.

（2）当E,F两点移动到如图⑵的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立?若成立,请给予证明；若不成立，

请说明理由.

图（1）图（2）

刷素养

6如图，在△ABCADE中,AB=AC,AD=AE,NBAC=NDAE,CE的延长线交BD于点F.

⑴求证:△ACE^AABD.

（2过点A作AH1BD于点H,求证:EF+DH=HF.

刷基础

1.D【解析】因为滑梯、墙、地面正好构成直角三角形在RQABC和RSDEF中，｛祭;郎所以RsABC

0RSDEF（斜边、直角边），故选D.

2.AB=DC（答案不唯一）【解析】解法一:因为NA=ND=9（）o,BC二BC.所以再添加AB=DC,所以RsABC^RtAD

CB（斜边、直角边）.解法二:因为NA=ND=9（T,BC=BC,所以再添加AC=BD,所以RsABCgRsDCB（斜边、直角

边）.解法三:因为NA=ND=9（）o,BC=BC,所以再添加NABC二NDCB,所以RsABC^RtADCB（角角边）.解法四:因为

NA=ND=9（）o,BC=BC,所以再添力口NACB=NDBC,所以RsABC^RtADCB（角角边）.

3.【证明】因为AD平分NBAC,所以NBAD=NCAD.因为AD_LBC,

所以/ADB=NADC=90°.

UBAD=3CAD.

在AABD和aACD中，｛AD=AD,

r\ADR=-]ADC,

所以△ABDgZ\ACD（角边角），所以AB=AC.

因为ADJ_BC,所以CD=BD.

因为CD=CE,所以BD=EC.

在RSABD和RtABEC中，所以ABD^RtABEC（斜边、直角边）.

4.B【解析】因为DE_LBC.所以NDAC=NDEC=90。在RtAACD和RtAECD中，（纥?，.所以RtAACD^

RtAECD（斜边、直角边）,所以NACD=ZECD.又因为ZACB=60。,所以/ACD=30。.

5.B【解析】因为DF_l_AC,NB=90。,所以NCFD=NB=90。.因为BE=CF,DE=CD.所以RsBDE^RtAFDC（斜

边、直角边）.所以DF=BD=4.因为S/IBC=SABD+S「皿87x/cx。b=54,所以；x12'4+1力。乂4=54,解得AC=

15,故选B.

【解析】因为。。,所以在和中，森二役所以

6.55“ABC=4DE=9NABD=90ODBERsABCRtABDE

RtAABC@RSBDE（斜边、直角边）所以NBAC=NDBE=20°,AB=BD,所以NABD=90°-20°=70°,ZBDA=ZBA

D.因为/8口人+/8人口=2/8口人=18（）°-/人8口=180°-70。=110°,所以/13口人=55。,故答案为55.

7.⑴【证明】在RtAABC和RtADCB中，｛票二*'所以RtAABC^RtADCB（斜边、直角边）.

（2）【解】△OBC是等腰三角形.证明如下:因为RtAABC0RSDCB,所以NOCB=NOBC,所以OB=OC所以△O

BC是等腰三角形.

刷提升

1.B【解析】如图，连接PM.因为长方形纸片ABCD中,AB=7,BC=9,所以CD=7.因为CM=2所以BM=7.由折

叠的性贡可知CD=PQ=7,NQ=9（）o=NB,QM=CM=2,所以BM=PQ=7.又因为PM=PM,所以RsPBM£RsMQP（斜边、

直角边），所以PB=QM=CM=2,所以PA=AB-PB=5,故选B.

2.B【解析】在R（AAPR和RtAAPS中，｛?沫?所以RsAPR^RIAAPS（斜边、直角边），所以AR=AS,

PR—PS

①正确因为在RIABRP与RIAQSP中，｛即_”‘所以RIABRP^RIAQSP（斜边、直角边）.所以BR=QS,所以AB

Dr=r\J^

+AQ=2AR.故③正确.因为无法得出NAPQ二NBAP,所以得不出QP〃AR,故②错误.故选B.

3.B【解析】如图.连接AF.由题意得/ABF=lNADF=9(r,AB=AD,DE=BC.在R(AABF和RlAADF中，

《窘j所以RQABFgRiaADF(斜边、直角边)，所以BF=DF,所以CF-EF=BC+BF-EF=BC+DE+EF-EF=BC+DE

=2BC,所以随着NBAE的增大,CF-EF的值保持不变.故选B.

4.3或9【解析】①当点P在点C左侧时连接DP.如图（I）.因为/DCP=/DEP=90o,DC=DE,DP=DP所以Rt

△DCP^RtADEP（斜边、直角边），所以PC=PE=122.在RtAADE中,AD=AC-CD=5.DE=DC=3,

所以AE=五旧一口*=代-¥=4在放匚中，PC=12-2t,AP=PE+AE=12-2t+4=16-2t,所以（12-27）2+82=

（16-202解得t=3.

图（1）图⑵

②当点P在点C右侧时连接PD,如图⑵.同理，可得AE=4.PE=PC=2l-12.在欣□/PC中,PC=2l-12,AP=AE+PE

=4+21-12=21-8,所以（2I2）2+82=（2L8）2,解得t=9.综上，当1=3或9时，DE=CD.故答案为3或9.

5.（1）【证明】因为DE_LAC于E,BFJ_AC于F,所以ZDEC=/BFA=90。.

在RtADEC和RlABFA中，因为｛[七%所以RSDEC^RlABFA（斜边、直角边）.所以DE=BF.

□DMEEBMF,

在ADEM和^BFM中.因为｛LDEMEBFM,

DE=BF,

所以△DEM^^BFM（角角边），所以MB=MD.ME=MF.

⑵【解】成立.

证明:因为DE_LAC于E,BF±AC于F,所以NDEC=NBFA=9（T.

在和中.因为仁广二所以为△（斜边、直角边），所以

RtADECRtABFA。匕=力一J,DEC^RtABFADE=BF.

匚DME=DBMF,

在ADEM和^BFM中，因为