人教版七年级数学上册：一元一次方程的实际应用（讲义+练习）

一元一次方程的实际应用

适用学科初中数学：适用年级!初一!

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适用区域人教扳区域!课时时长（分钟），120，

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1—1

知识点1、解一元一次方程

1

1

2、一元一次方程的实际应用

3、根据实际问题找到等量关系

1

1

1

教学目标通过列方程解决实际问题，逐步建立方程的思想

1

教学重点自主分析题意的过程中能够使已设未知数参与其中。

教学难点找到问题中的数量关系，将未知数参与其中的代数式用"二"连接起来，

使之构成方程

I

【教学建议】

一元一次方程的实际应用是这一章的重点和难点，也是学生最容易出现问题以及最怕

的内容，因此在教学过程中要由易到难，慢慢递进，慢慢引导学生读题，再用自己的语言

表述问题，分析问题、理解问题、进而找出等量关系，最后根据问题列出方程。找等量关

系是比较困难的，因此要多次引导学生对问题的思考和解决过程。

【知识导图】

1.知识链接：根据实际问题列方程。

（1）、世界上最大的动物是蓝鲸，一只鲸重124吨。比一头大象体重的25倍少一吨,

这头大象重几吨？若已知大象的重量（如X吨）如何求蓝鲸的重量？

（2）顾客用540卢布买了两种布料共138尺，其中蓝布料每俄尺3卢布，黑布料每俄

尺3卢布，黑布料每俄尺5卢布。两种布料各买了多少？（设蓝布料买了X尺）

2.复习与预习：

（1）方程的解的概念

使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解.

注：①方程的解和解方程是不同的概念，方程的解实质上是求得的结果，它是一个数值（或

几个数值），而解方程的含义是指求出方程的解或判断方程无解的过程.②方程的解的检验

方法，首先把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值，其次比较两边的值是

否相等从而得出结论.

（2）移项法则

把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项.

（3）去括号法则

（1）括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同.

（2）括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号改变.

（4）解方程的一般步骤

1）去分母（方程两边同乘各分母的最小公倍数）.

2）去括号（按去括号法则和分配律）.

3）移项（把含有未知数的项移到方程一边，其他项都移到方程的另一边，移项要变号）.

4）合并（把方程化成冰="伍工0）形式）.

5）系数化为1（在方程两边都除以未知数的系数得到方程的解K=2）.

a

（1）计算盈利和亏损问题与那些量有关.

商品利润=商品售价一商品进价

商品利润

=商品利润率

商品进价

打x折的售价二原售价X二

10

（2）如何计算盈亏问题，公式是什么？

盈利=售价一进价

亏损=进价一售价

盈利=利润率X进价

（1）行程问题中的三个基本量及其关系：路程=速度X时间。

（2）基本类型有：①相遇问题；②追及问题；常见的还有：相背而行；行船问题；环形

跑道问题.

流水问题是研究船在流水中的行程问题，因此，又叫行照问题。流水问题有如下两个基本

公式：

顺水速度=船速+水速（1）

逆水速度=船速水速(2)

水速=船速-逆水速度(3)

船速二逆水速度+水速（4）

船速=（顺水速度+逆水速度）4-2（5）

水速二（顺水速度-逆水速度）4-2（6）

工程问题中的三个量及其关系为：

个体工作量二个体工作时间X个体工作效率

总工作量=各个个体量的和

经常在题目中未给出工作总量时，设工作总最为单位1.

等积变形问题

“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提。常用等量关系为:

①形状面积变了，周长没变；

②原料体积=成品体机

类型一：方程的实际应用

为了参加全校文艺演出，某年级组建了46人的合唱队和30人的舞蹈队，现根据演出需

要，从舞蹈队中抽调了部分同学参加合唱队，使合唱队的人数恰好是舞蹈队的人数的3

倍.设从舞蹈队中抽调了万人参加合唱队，可得正确的方程是()

A.3(46—x)=30+xB.46+x=3(3O-x)

C.46-3x=30+xD.46-x=3(30-x)

【答案】B.

【解析】解：设从舞蹈队中抽调了x人参加合唱队，由题意可得：

46+x=3(30-x)

今年春节，

小明到奶奶家拜年，奶奶说过年了，大家都长了一岁，小明问奶奶多大岁了.奶奶说：“我

现在的年龄是你年龄的5倍，再过5年，我的年龄是你年龄的4倍，你算算我现在的年龄

是多少？”聪明的同学，请你帮帮小明，算出奶奶的岁数.

【答案】75岁

【解析】解—：设小明现在的年龄为x岁，则奶奶现在的年龄为5x岁，由此得到：

4(x+5)=5x+5,

解得：x=15,

经检验，符合题意，5x=15X5=75(岁)，

答：奶奶现在的年龄为75岁.

某市为更有效地利用水资源，制定了居民用水收费标准：如果一户每月用水量不超过15立

方米，每立方米按2.8元收费；如果超过15立方米，超过部分按每立方米3.3元收费.若

某户一月份共支付水费58.5元，求该户一月份用水最.

【答案】解：若某户每月用水量为15立方米，则需支付水费15x2.8=42元，

而42<58.5,

因为该户一月份用水量超过15立方米.

设该户一月份用水量为x立方米，依题意，得

42+3.3(x75)=58.5

解得产20.

答：该户一月份用水量为20立方米.

小明和小东两人练习跑步，都从甲地出发跑到乙地，小明每分钟跑250米，小东每分钟跑

200米，小明让小东先出发3分钟之后再出发，结果两人同时到达乙地，求甲、乙两地之间

的路程是多少米？

【答案】3000.

【解析】可以分两种方法求解，一是设小明经过x分钟追上小东，依据题意列方程求解，

再计算甲、乙两地的路程；二是直接设甲乙两地的路程为y米，列方程求解即可.

方法一：设小明经过X分钟追上小东，可列方程为:

250x=3X200+200x,

解得：x=12,

路程：250X12=3000米；

方法二：设甲乙两地的路程为y米，可列方程为：

上-上=3,

20250

解得：y=3000,

故甲、乙两地之间的路程是3000米.

1.今年“地球停电一小时”活动的某地区烛光晚餐中，设座位有x排，每排坐30人，则有

8人无座位；每排坐31人，则空26个座位.则下列方程正确的是（）.

A.30%-8=3lx+26B.30x+8=31x+26

c.30x-8=31x-26D.30X+8=31^-26

2.某种商品因换季准备打折出售，如果按原价的七五折出售，将赔25元，而按原价的九折

出售，将赚2（）元，那么这种商品的原价是（）

A.500元B.400元C.300元D.200元

3.足球比赛的规则为胜一场得3分，平一场得1分，负一场得。分，一个队打了14场比赛,

负了5场，共得19分，那么这个队胜了场.

答案与解析

1.【答案】D.

【解析】解：设座位有才排，由题意可得，

3()x+8=31x—26

2.【答案】C.

【解析】解：设这和商品的原价是万元.根据题意,

得75%好25二90%尸20,解得尸300.故选C.

3【答案】5.

【解析】解：设这个队胜了x场，由题意可得，

3x+(14-5-x)=19

2x+9=19

2x=10

x-5

1.甲、乙两人骑自行车同时从相距80千米的两地出发，相向而行，2小时后相遇，己知

甲每小时比乙多走2.4千米，求甲、乙每人每小时走多少千米？

2.为促进交于均能发展，A市实行“阳光分班”，某校七年级一班共有新生45人，其中男

生比女生多3人，求该班男生、女生各有多少人.

答案与解析

1.【答案】解：设乙每小时走x千米，则甲每小时走Cx+2.4）千米，

由题意得：

2x+2x（x+2.4）=80

角毕得：x=18.8

.*.x+2.4=21.2

答：甲、乙分别每小时走21.2千米、18.8千米.

2.【答案】设女生x人，则男生为（x+3）人.

依题意得x+x+3=45,

解得，x=21,

所以x+3=24.

答：该班男生、女生分别是24人、21人.

【解析】设女生x人，则男生为（x+3）人.再利用总人数为45人，即可得出等式求出即

可.

1.一个长方形的养鸡场的长边靠墙（墙长14米），其他三边用篱笆围成，现有35米长的篱

笆，小李打算用它围成一个鸡场，其中长比宽多5米：小张设计成长比楙多2米，你认为

谁的设计更符合实际？此时鸡场的面积是多少？

2.一艘载重480t的船，容积是1050希,现有甲种货物45()威，乙种货物350t,而甲

种货物每吨的体积为2.5”，乙种货物每立方米0.5t.问：

(1)甲、乙两种货物是否都能装上船？如果不能，请说明理由.

(2)为了最大限度地利用船的载质量和容积，两种货物应各装多少吨？

答案与解析

1.【答案】解：根据小李的设计可以设宽为x米，则长为(x+5)米.

根据题意得：2x+(x+5)=35

解得：x=10

因此小李设计的长为x+5=10+5=15(米)，而I啬的长度只有14米，小李的设计不符合实际.

根据小张的设计可以设宽为y米，长为(y+2)米，

根据题意得：2y+(y+2)=35

解得：y=ll.

因此小张设计的长为>2=1"2=13(米)，而增的长度只有14米，显然小张的设计符合要

求，此时鸡场的面积为11X13=143(m2).

2.【答案】⑴不能.

450

理由：甲种货物重丁；=180(t),180+350=530>480,

2.5

所以甲、乙两种货物不能都装上船.

（3）设装甲种货物xt,则装乙种货物（480-x）t.依题意有

480-x

2.5x4=1050,

0.5

解得x-180.

480-产300.

答：为了最大限度地利用船的载质量和容积，应装甲种货物180t,乙种货物300t.

【解析】求出甲种货物和乙种货物的吨数，与载质量进行比较即可作出判断；设装甲种货

物xt,乙种货物（480-幻3通过理解题意可知本题存在等量关系：甲种货物所占的总体

积+乙种货物所占的总体积二1050”，根据这个等量关系列出方程求解即可.

1、一元一次方程的实际应用

2、一元一次方程中的常见问题分析

3、一元一次方程的实际应用的基本解题思路

1.某商贩同时以120元卖出两双皮鞋，其中一双亏本20%,另一双盈利20%,在这次买卖

中，该商贩盈亏情况是()

A.不亏不盈B.盈利10元C.亏本10元D.无法确定

2.某班同学分组，若每组7人，则有2人分不到组里；若每组8人，则最后一组差4人,

若设计划分x组，则可列方程为()

A.7x+2=8x-4B.7x-2=8x+4

C.7x+2=8x+4D.7x-2=8x-4

3.某村原有林地108公顷，旱地54公顷，为保护环境，需把一部分旱地改造为林地.使

旱地面积占林地面积的20%.设把x公顷旱地改为林地，则可列方程()

A.54-x=20%X108B.54-x=20%(108+x)

C.54+x=20%X162D.108-x=20%(54+x)

答案与解析

1.【答案】C

【分析】一元一次方程应用中的打折销售问题

2.【答案】A

【分析】一元一次方程应用中的配套问题

3.【答案】B

【分析】解：设把x公顷旱地改为林地，根据题意可得方程：54-x=2O%(108+x).

故选B.

1.学校机房今年和去年共购置了100台计算机，己知今年购置计算机数量是去年购置计算

机数量的3倍，今年购置计算机的数量是（）

A.25台B.50台C.75台【）.100台

2.某商品的标价为200元，8折销售仍嫌40元，则商品进价为（）元.

A.140B.120C.160D.100

答案与解析

1.【答案】C.

【分析】解：设今年购置计算机的数量是x台，去年购置计算机的数量是（100-x）台，

根据题意可得：x=3（100-x）,

解得：x=75.

故选C.

3.【答案】B.

【分析】解：设商品的进价为每件x元，售价为每件0.8X200元，由题意，得

0.8X200=x+40,

解得:x=120.

故选：B.

1.某品牌自行车1月份销售量为100辆，每辆车售价相同.2月份的销售量比1月份增加

10%,每辆车的售价比1月份降低了80元.2月份与1月份的销售总额相同，则1月份的售

价为（)

A.880元B.800元C.720元I).1080元

2.某文具店一支铅笔的售价为1.2元，一支圆珠笔的售价为2元.该店在“6・1儿童节”

举行文具优惠售卖活动，铅笔按原价打8