武昌区2024-2025学年高二年级下册末质量检测数学试卷（解析版）

2024-2025学年度高二年级期末质量检测

数学

命题单位：武昌区教研培训中心

考试时间：2025年6月26日

本试题卷共4页，共19题.满分150分，考试用时120分钟.

注意事项：

L答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在

答题卡上的指定位置.

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在

试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和

答题卡上的非答题区域均无效.

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.在复平面内，复数z的共扼复数5对应点的坐标为(1,6),则z•:()

A.4B.2C.TD.-2

【答案】A

【解析】

【分析]利用复数的几何意义即可得彳=1+Gi，再利用共挽复数可得z=l-63最后由复数的乘法即

可求解.

【详解】由复数z的共腕复数5对应点的坐标为(1,6),得彳=1+/，

则z=l—Gi，所以Z2=0-Y与i)(l+Gi)=l+3=4,

故选：A.

2.设集合A=<xlnxwg},3={>>=4-x],则人。3=()

A.B.卜町心]C.0,7e]D.(0,Ve]

【答案1D

【解析】

【分析】利用对数函数单调解不等式，及二次函数求值域，最后求交集即可.

【详解】由A=«x山工一B=y=4-x2|={y|>7<4|,

所以An3=（o,x/T|,

故选:D.

3.已知双曲线C：1一二二1卜>0）,焦距为10,则实轴长为（）

a24a2V7

A.1B.2C.2>/5D.475

【答案】C

【解析】

【分析】利用双曲线中的关系式02=/+/，结合2c、=10,即可求解2。=2遥.

【详解】由题意得:从=4。2,2c=10,、2=/+/,

联立可解得：/=54=20,即实轴长为2〃=26,

故选：C.

4.已知圆锥底面半径为3,高为9,用平行于底面的平面截该圆锥，截得的圆台上，下底面半径之比为

1:3,则圆台的体积为（）

A.13兀B.26KC.39兀D.52n

【答案】B

【解析】

【分析】利用相似比，结合圆台体积公式即可求解.

【详解】根据相似可知，圆台的上、下底面半径分为1、3,圆台的高为6,

所以由圆台体积公式得：V=g兀0+9+疝3）6=26兀，

故选：B.

5.已知函数/（x）=sin2x+cosx,则/（同在区间（0,兀）上的极大值点为（）

71-兀八2兀〜5兀

A.-B.-C.—D.—

6336

【答案】B

【解析】

【分析】利用求导，结合定义域可判断极大值点.

【详解】由/'(x)=2sinxcosx-sinx=sinx(2cosx-l),

因为工£(0,兀)，所以由/'(x)=sin2cosx_1)=0得cosx=—,BPx=—,

23

当工£0,-时,//(x)=sinx(2cosx-l)>0,所以/(力在XG0,^上单调递增,

k3,I3J

当上£时，/'(x)=sinx(2cosx_1)<0,所以/(x)在兀J上单调递减,

即f(x)在区间(0,兀)上的极大值点为全

故选：B.

6.下列能整除55%+9的数是()

A.5B.6C.7D.8

【答案】D

【解析】

【分析】通过二项式定理展开进行计算判断即可.

【详解】55"+9=(56—1)5’+9

56”+Cl56幺(―1y+C；5653(―1尸+…+C；；56(―I)"+C^(-l)55+9

=56"-C'5654+…+《；56+8,能被8整除.

故选：D.

7T

7.已知函数/(x)=tan(3x-e)(O<°<7t),其函数图象向左平移五个单位长度后关于原点对称，则实

数。的最大值为()

7T37t7兀

A2B.-C.—D.—

.8448

【答案】C

【解析】

【分析】由已知利用图像的平移变换规律写出函数平移后的解析式，再利用函数关于原点对称，列出等式即

可得到结果.

【详解】/(x)=tan(3x-0)函数图象向左平移展个单位长度得到：

/(%)=tan3(xI：10=tanI3xI0|美于原点对称,

Ttkit/.卜门,47tkitz.

——(p=一(kwZ),解得9=------(ZeZ),

4242

7Tkit3]

因为0<9<兀，所以0<------<7t,keZ,解得——<k<一，keZ,

4222

故攵二0或一1

当小。时，.二%当4=7时,3兀

展彳

故实数。的最大值为二

4

故选:C.

8.已知函数=二一，记/（x）=/（力，,九』上）=/"（司）（A=1,2,3,...），则不等式

1-x

2加（立）＞111%的解集为（）

A.不能确定B.(1,+8)C.(o,i)U(i，HD.(0,1)

【答案】D

【解析】

【分析】利用迭代求函数式，可判断4次迭代后返回到第一个函数，由此可得九03（司二力（"=二，再

XI1

利用作差构造函数，通过求导来判断单调性，结合特殊值即可求解不等式.

【详解】由/(x)=p,可得==

1—X\—X

]+1+X

叱)=小(»，(割=1=3

1-X

x-l

7+T

X-1

X1+

力⑴=/(力(x))=dUX+1-Y

J1-士!

7+1

力(力=/(九(x))=/(x)=M，

1—x

所以有力（X）=工（X）,故A（x）是每代入4次就返回到第一个函数,

由于403=100x4+3,所以Zm(x)=A(x)=三,

.XI1

则由不等式2启3(x)>lnx可得：2—>lnA：,

-V-I-1

V-1

构造函数g(x)=2ty-lnx,求导得

22

2_二4I_4x-(x+l)_-|x-l)

(x+1)2^-(x+1)2「X(X+1)2-X|X+1)2

因为x>0,所以有/(x)vo,即4(x)=2得-Inx在(0,y)上单调递减,

乂因为g(l)=2x*-lnl=0,所以g(x)>0的解集为(0,1),

故不等式D*>x的解集为(0,1),

故选:D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.

9.已知数列｛%｝满足q+2%+…+2”-%二小2”十1,则()

A.4=3B.数列｛凡｝是单调递增数列

C.数列｛%｝不是等差数列D.数列｛4｝不是等比数列

【答案】ACD

【解析】

【分析】令〃=1,可求出4,然后当〃22时，由％+2%+226+--+2'14=(〃-1)2"+1,得

4+2^+22%+…+2”-2〃,一=(〃—2)2”T+1,两式相减可求出。”，即可判断选项.

【详解】当〃=1时，％=lx?+l=3,A正确；

1/r

当〃22时，由4+2a2+…+2"(in=n-2+1,

得%+加2+2?q+…+2〃-=1+1,

两式相减得，2"74=〃2"+1-[IH-1)2M-14-1],

化简得+

3,〃=1

因为《二3不满足此式，所以q=｛।c

71+1,7?>2

由于4=3,%=2,所以数列｛a,,｝不是单调递增数列，B错误；

CD正确.

故选：ACD

10.根据国家质量监督检验标准，保温杯的密闭性是重要的参考标准，为监控一条生产线的生产过程，检

验员每天从生产线上随机抽取10个保温杯，并检测其密封性.根据长期生产经验，可认为此条生产线正常

状态下生产的保温杯的密封性参数X服从正态分布N（〃,b2）.假设生产状态正常.记y表示一天内抽取的

10个保温杯中密封性参数小于3o■的数量，则（）

附：若随机变量X服从正态分布N（〃,b2）,则①夕（〃-b<x<〃+b）=0.6827；②

「（"一2。<X=0.9545：③P（〃-3b<X<〃+3b）=0.9973：参考数据：

O.9986510«0.9866

A.P（y=1）=0.0013RP（y>1）=0.0134C.E（y）=O.I29n.E（y）=0.0135

【答案】BD

【解析】

1_（）9973

【分析】利用正态分布计算产（X<〃-3b）=~\—=0.00135,再利用二项分布来云计算概率与期望

即可得到判断.

1-09973

【详解】由题意得：P（X<〃-3b）=—­——=0.00135,

因为y表示一天内抽取的10个保温杯中密封性参数小于"-3。的数量，

所以y〜8（10,0.00135）,

即p（y=1）=C；0.00135X0.998659«。。晨晨夜=0.01333711^0.013,故A错误；

（）

因为尸（y=0）=0.99865'°工0.9866,所以尸（丫21）=1（丫=0）。1-0.9866=0.0134,故B正

确；

因为y~8（10,0.00135）,所以E（y）=1OxO.OO135=O.O135,故C错误，D正确；

故选：BD.

11.数学中有许多形状优美的曲线，曲线。：/+）:=2凶一2百|），|就是其中之一，其形状酷似数学符号

8”，设P（x,y）为曲线。上任意一动点，则（）

A.曲线C与直线y=x有3个公共点B.曲线C上任意两点距离最大值为4

XTTL

C.、/ii+y的最大值为2百D.曲线C所围成图形面积为彳一46

【答案】BCD

【解析】

【分析】联立曲线c与直线y=x的方程，根据公共解的个数判断A选项；求出曲线c与汇轴的交点坐标，

数形结合可判断B选项；利用圆的参数方程结合三角函数的有界性可判断c选项；求出曲线。在第一象限

的圆弧与X轴围成区域的面枳，结合对称性可计算判断D选项.

【详解】曲线c的方程可化为(w-1)2+(3+=4,

当KNO,yNO时，曲线C的方程可化为(工一1『+()，+百)2=4,

在曲线C上任取一点p(x,y),则该点关于》轴的对称点为e(-x,y),

因为(卜M-iy+(N+J5)2=(N-i)，(N+J5)2=4,即点Q也在曲线c上，

所以，曲线C关于)'轴对称，同理可知，曲线C关于X轴、原点对称，作出曲线C的图形如下图所示：

y=x

对于A选项，由3户2国_2回「得2八2闻1叫，

所以即k『=国0_6)，可得N=()或N=I_J5(舍去)，

故x=),=o,所以曲线。与直线y=x只有1个公共点，A错；

对于B选项，在曲线C的方程中，令y=o,可得£=2国，解得工=0或1=±2,

所以，曲线C交工轴于点4(一2,0)、0(0,0)、8(2,0),

结合图形可知，曲线。上任意两点距离最大值为|A卸=4,B对；

对干C选项,当百工取最大值,则必有x>0,V>0,

此时点(x,y)必在第一象限或两坐标轴正半轴上，

设x=l+2cos6,y=-G+2sin。，其中0工。〈2兀，

cos^>--

由x>八()可得V所以色空,

)后().外石33

sin。2——

2

所以行八十y=>/3（1+2cs。）一石十2sin0=2siu。十2石cusO=4sin（。十］,

因为工则如<8+四工兀，故o《sinje+工］"且，

3333I3)2

故6工+丁=4$皿即J5x+)，的最大值为26，C对；

对于D选项，设圆(“一1)2+()，+行)2=4的圆心为加(1,-6).该圆的半径为厂=2,

因为|。叫=2,故△O8W是边长为2的等边三角形，

所以圆M在第一象限的圆弧与x轴围成区域的面积为‘X工x2?—，x22xsinH=^—G,

23233

所以曲线。所围成图形面积为4x(1一百)=弓-4月，D对.

故选:BCD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知不，马是两个不共线的向量，a=e1+2e2,B=24一小，若。与5共线，则实数Z的值是

【答案】-4

【解析】

【分析】利用向量共线的充要条件建立方程组进行计算求解.

【详解】因为口与5是共线向量，所以存在实数4,使得彳=几人

所以q+2々二42《一Ze?),即(l-22)q+(2+2^)e2=0,

___11-24=0

又因为6*2是两个不共线的向量，所以<0_n.

N।zt/C—U

2=L

解婚2

k=-4.

故答案为：-4.

13.已知三棱锥?一ABC的四个顶点均在同一个球面上，底面A5C满足BA=及，BC=3收,

乙钻。=4，若该三棱锥体积的最大值为3,则该球的半径为_________.

2

7

【答案】一

3

【解析】

【分析】画出示意图，利用体积最大时产所处的位置，计算出球的半径即可.

【详解】因为该三棱锥的底面积不变，则若要使体积最大，则三棱锥的顶点P和底面ABC分别位于球最

大截面的两侧，如图所示：

设球心为。，VA8C所在圆面的圆心为。则。Q-L平面A8C：

因为8A=J5，BC=36,/ABC：］，所以VA8C是直角三角形，

所以。।是4c中点，且47=〃82+3。2=，2+18=2石,

所以当三棱锥体积最大时，P为射线«。与球的交点，

因为S：=>AB,BC==x6x3垃=3,

所以V八迎=g.PQ.=；PQ1X3=3,解得股=3,

设球的半径为R,所以POi=P0+OOi=R+JR?-AO；=人质-5=3,

解得：R二.

3

7

故答案为：—.

14.已知一个正方形的四个顶点都在函数/(力=2丁一3工一1的图象上，则此正方形的面积为.

【答案】4或5

【解析】

【分析】先判断“X)的对称性，设出直线AC、直线引)的方程并与函数y=/(x)联立，根据|AM=|8W|

列方程，由此化简求得正方形48co的面积.

【详解】由/(x)+/(-x)=2/-3x-]+2(-X)3-3(-X)-1=-2,

得函数/(x)关于点中心对称，

显然该正方形43co的中心为M，

由正方形性质得AC1B力于M,且IAM1=1BM|=|CM|=|DM|,

设直线AC的方程为丁=kx-\(k>0),则直线的方程为y=-7x-l,

K

设A(X[,y),B(x,y),则。(-4一2-

22-y),D(—X2»—2—y2)•

联立直线AC方程与函数>=fW得)?=kx-\

a,即2JT-(Z+3)x=0,

;=2r-3x-1

所以才等+=,同理焉

22-22k

又|=，1+/|百一0|,|83|二Jl+j!|工2-01,

所以(1+公)(H)=(1+拱。一白，gPp+J_+3f^_iY0>

N乙八乙乙KK\kJK

11

化简得(女一7『9+3伏—：)+2=0,

kk

所以火_L=一]或％——=-2,

kk

当k一，=_1时，k+-=J(k--)2+4

=75

kk\k

2

当女=-2时，k+L=J(k-)+4=2x/2

kk'k

SABCD=2k陷•忸M=271TF.J1U

r,|v2|

所以SABCC=5或丛88=4.

故答案为：4或5

四.解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.如图，四棱锥P—A3CD中，平面ABCD,ABA,AD,AD//BC,AD=2AB=2BC=2.

P

（1）证明：CZ）_L平面%C；

（2）若PA=2,求平面南8和平面PC。夹角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵当

U新斤】

【分析】（1）由八和尸A_LC£>,根据线面垂直判定定理可得CO_L平面力C：

（2）以4为原点，分别以AB,AD,4尸所在直线为-y,z轴建立空间直角坐标系，求出两平面法向

最，利用空间向量两向晟的夹角公式求解.

【小问1详解】

已知AB_LAD,ADHBC,AB=BC=1,AO=2，

在直角梯形ABC。中，

AC7AB'Be?=J〃+]2=0,CD=yl（AD-BC）2+AB2=7（2-l）2+l2=72,

因为AC2+CZ）2=（夜『+（行『=4=AZ）2,可知AC_LCD.

因为Q4_L平面人8CQ,C£）u平面"CD,

所以Q4_LCQ,又尸Ap|4C=A,可得COJ•平面%C

【小问2详解】

以4为原点，分别以AB,AD,AP所在直线为­），，z轴建立空间直角坐标系，

已知PA=2,则A(0,0,0)，C(l,l,0),£>(0,2,0),P(0,0,2).

所以6=(-lJ0),PD=(O,2,-2).

设平面PCD的法向量为。=(x,y,z),

n-CD=0f-x+y=0

则,一,即(八,

h-PD=0|2y-2z=()

令x=l,则y=l,z=l,所以为=(1,1,1).

平面以8的一个法向量为比=(OJO).

设平面以B和平面PC。夹角为a(0«a,

则cosa=|cosW㈤卜黯=高=理.

cosC1

16.在VABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且一:—=—.

2a+c2b

(1)求角8的值；

(2)若a=6,c=4,点。，石在边AC上，且是N43C的角平分线,BE是2。BC的角平分线,

求VBOE的面积.

【答案】(1)B=—

3

0366

35

【解析】

【分析】(1)由正弦定理及两角和的正弦公式化简求解即可；

1?得BE=M~，即可得解.

（2）利用S^ABC=SfiBD+SKBD先求出BD=—,再由=S.EBD+S

DBC7

【小问1详解】

cosCIcosC1

已知-,由正弦定理得

2a+c2b2sinA+sinC2sinB

即2sinBcosC=2sinA+sinC.

因为sinA=sin(8+C),展开式子得2sin3cosC=2sinBcosC+2cosBsinC+sinC

移项可得2cos8sinC+sinC=0,即sinC(2cos3+l)=0.

因为所以sinCwO,则2cosB+l=0.

解得cos8=—,,又0<3<兀，所以8=空.

23

【小问2详解】

己知。=6,c=4,B=—,因为8。是/ABC的角平分线,

3

则SjBC=SyWD+S/BD»

=—x6x4xsin-=—x6xBDxsin—+—x4xBDxsin—,

232323

所以葭

又因为3E是』O3C的角平分线,

则S&DBC=SABD+S.CUE，

S=-x6x—xsin—=-x-xBExsin—+—x6xBExsin—,

25325626

所以BE邛

--_112c12.兀_36g

所rF以HSc&DBE=~X--X—XSin-=--

2/3O

17.已知函数/(x)=e""，g(x)=lnx.

(1)若丁=1一々既是曲线)，=/(x)的切线，也是y=g(x)的切线，求实数”和机的值

(2)若”x)+〃72g(x)恒成立，求实数用的取值范围.

【答案】(1)a=\,m=-2

⑵m>-\

【解析】

【分析】(1)利用导数的几何意义，先由y=g(x)的切线可得/=1,则可得在g(x)上的切点为(L。)，所

以。=1,则可解：

(2)根据题意可得m+x+efNlnx+e加、恒成立，设〃("=x+e"利用导数得函数单调性，则

〃221nx—x(x>0)恒成立，令f(x)=lnx-x,再利用导数求最值.

【小问1详解】

因为<(x)=,=l，则X=1，

X

所以y=x-a在g(x)上的切点为(1,0),即0=1；

又因为f\x)=eA+,M=1,贝ijx=-m,

所以y=》-i在上的切点为(一九1)；

所以&=———=1,则加=—2.

—m-\

【小问2详解】

因为/(x)+“？g(x)，

t+w,r+mlnr

即e+m>\nx=>ni+x+e>lnx+x=lnjt+e.

设方(x)=x+e",/:,(x)=l+e'>0,故/?(x)单调递增.

所以〃z+x之Inx恒成立=〃zNInx->0).

11—y

令1(力=111工一次，〃(x)=——1=----=0,贝ijx=l.

xx

当工«0,1),«x)>0,f(x)单增;

当上£(1,+»),f(x)<。，G)单减；

所以mNf(l)=-1.

18.有甲，乙两个不透明的盒子，甲盒子中有五个除颜色外大小完全相同的小球，其中红球有3个，黑球

有2个，乙盒子中无球.某人通过投掷一枚质地均匀的骰子，进行摸球游戏，规则如下：每次先从甲盒子中

随机摸出一球，随即投掷一次骰子，若骰子向上点数为质数，则将该球放入乙盒子：否则将该球放回甲盒

子，当甲盒子中无球时，游戏停止.

(1)求游戏进行三次后，乙盒子中球个数X的分布列和期望；

（2）求游戏进行三次后，乙盒子中恰有红球，黑球各1个的概率；

（3）设游戏进行到第〃（〃EN*，5）次后停止的概率为凡，试问P”是否存在最大值？若存在，求

出最大值；若不存在，试说明理由.

【答案】⑴分布列见解析，E（X）=-

⑵—

40

35

（3）存在，最大值为k

【解析】

【分析】（1）利用二项分布来研究分布列即可；

（2）利用条件概率乘法公式，结合分类讨论思想来求解该事件的概率；

（3）利用二项分布求解概率，利用数列递推思想来求最大值即可.

【小问I详解】

投掷一次骰子，向上点数为质数的概率为由题知，

<।\3

Lp(x

则p(x=o)=c；，P(X=2

8i

P(X=3)=C；g一，则X的分布列为:

8

X0123

331

p

8888

13

则其期望为E（X）=3X5=].

【小问2详解】

记必="此人投掷三次骰子后，乙罐内恰有红、黑各一•球”,

记A,="第/•次摸出红球，并且投掷出质数"，i=l,2,3,

记句="第/次摸出黑球，并且投掷出质数"，J=l,2,3,

记。="第％次摸出黑球或红球，并且没有投掷出质数“，k=l,2,3,

所以M=A82G++4C2B3+B[C2A3+G4B3+QB2A3,

又P(A)=/=K，2(即)=；$=5P(C3|AB2)=1X1=1,

Q1|3

所以p(A32Ghp(A与)，(c31A层)=P(4)P网A)P(g|A刍)=6、广3=正,

iuqz($u

3

同理P(4&G)=P(4C2&)=P$C4)=P(GA/3)=PC3M)=逅,

oU

a9

所以P(“)=P(AB2G)x6=^x6=^

【小问3详解】

第〃次投掷后游戏停止的情况是：前,z-1次投掷出质数恰好为4次，没投掷出质数〃-5次，且第〃次骰

子投掷出质数时游戏停止，

令2（〃_4）N，解得〃48,令2（〃_司＜，解得〃＞8,即〃之9,

35

〃5<〃6<凸<〃8=〃9>Pio>•••，所以P“的最大值〃8=〃9=—

256

19.已知椭圆G：，=+£=1（々＞。＞0）的焦点坐标为（°，土3），双曲线。2：三—£=1的渐近线方程

为y=±y/2x.

（I）求椭圆G和双曲线G的方程：

（2）直线/：）二乙+机与椭圆C有唯一公共点加，过点M且与/垂直的直线分别交x轴、），地于不同的

两点A（x,0）,3（0,），），当点M运动时，求点N（x,y）的轨迹。的方程；

（3）已知点丁卜&,0）,乂有不同的两点尸卜20,，，。'卜2a,-2_）,直线TP,〃?'分别与曲

线C交于点P,Q，过T作直线也的垂线，垂足”.探究川的最小值，若存在则求出该最小值；若不存

在则说明理由.

【答案】（1）椭圆G：工+工=1，双曲线C：=1

42-42

（2）C：y+/-l（A＞'^0）

（3）不存在，理由见解析

【解析】

【分析】（1）根据椭圆、双曲线几何性质求出。泊的值，即可得方程；

（2）联立直线与椭圆方程，根据△=（）得加2=2公+4（加工0）,求出A（.%0）,*0,），）坐标代入上式即

可；

⑶设直线国方程：，a+P,尸（/乂），。（与,必），联立方程组化简可得

*』=五=*』,进一步得直线也恒过定点5卜0,1）,由于7HJ.P。，故点〃在以7S为

直径的圆上，圆心G（-夜,一g],半径厂二，，从而可得解.

I2）2

【小问1详解】

22

对于椭圆Gg+'=1（〃＞人＞o）,已知焦点坐标为（。,±3）,

则c二血，a2-b2=c2=2.

22

对于双曲线C：二一三~二1,渐近线方程为y=±JIr,所以：=即〃

-a2b-b

cr-b1=2「

联立，i—,将〃=J为代入/—=2得2"—从=2，解得22=2，«2=4»

a=\j2b

所以椭圆G的方程为?+]=1，双曲线G的方程为（一5=1.

【小问2详解】