问题解决策略：归纳（专项练习）-北师大版数学七年级上册

一、选择题

1.计算：71-4=3,72-4=45,73-4=339,74-4=2397,75-4=16803,-，归纳计算结果中

的个位数字的规律，猜想72025—4的个位数字是（）

A.3B.5C.9D.7

234S

2.观察下列单项式：%,-4X,9X,-16X/25X/...»按此规律,可以得到第2026个单项式是

（）

A.2026/°26B.-2O26X2026

C.2O262X2026D.一20262/026

3.在一个圆周上取若干个点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生.新的点，可以将圆分割

成若干个不重叠的区域.如图所示：当圆周上有2个点时，圆被分成2个区域；当圆周上有3个点时，

圆被分成4个区域….当圆周卜有力（刀＞1）个点时.圆被分成的区域个数为（）

4.将一根绳子折成四段，然后按如图所示方式剪开.剪1刀，绳子变为5段；剪2刀，绳子变为9

段；剪3刀，绳子变为13段；……；若剪13刀，则绳子的段数变为（）

5.某烷类有机化合物中前4种化合物的分子结构模型如图所示，其中灰球代表碳原子，白球代表氢

原子，按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为（）

第I种第2种第3种第4种

A.18B.20C.22D.24

6.如图所示，用棋子撰成英文字母"H”字样，按照这样的规律摆下去，撰成第2024个需要

）个棋子.

⑴⑵⑶

A.10117B.10120C.10122D.10125

7.如图，每个图形都由若干个大小相同的白色和黑色的小正方形组成，按图中的规律推断，第20个

图形中黑色和臼色的小正方形共有（）

D.420个

8.如图，这是由一些火柴棒摆成的图案，按照这种方式摆下去，摆第n个图案需用火柴棒的根数为

()

第1个图案第2个图案第3个图案

A.n+4B.4n—1C.4n+1D.4n+3

9.化学中把仅由碳和氢两种元素组成的有机化合物称为碳氢化合物，又叫烧，如图是部分碳氢化合

物的结构式，第1个结构式中有1个。和4个“，第2个结构式中有2个C和6个"，第3个结构式中

有3个C和8个H,按照此规律，则第71个结构式中C、”的个数之和为（）

HHHHHHHH

iIIIIIII

cC-CCCCC-C

IIIIIIII

HHHHHHHH

个

个

第

新

第

个

2第3

A.3n+2B.2九+3C.3（九+1）D.2n+2

10.在多边形中，三角形是最基本的图形.如图所示，每个多边形都可以分割成若干个三角形.数

一数每个多边形中三角形的个数，根据你发现的规律，若一个多边形按图中的分割方式可分割成7

个三角形，则这个多边形的边数是（）

二、填空题

11.2025年4月25日至27日，在瑞士举办的竞技叠杯世界锦标赛中，中国队取得4金6银5铜的

优异成绩，若按照下列规律进行叠杯子游戏，则第10个图形需要个杯子.

12.观察下图，找出图形变化的规律，第2035个图形中黑色正方形的数量是个.

(1)(2)(3)(4)(5)

13.数学老师根据O中的三个数按照如下规律设置学校W/刊密码，根据提供的信息可以推断该校的

*

xuct沁欢迎你！

14.如图是一个运算程序，若开始输入的x的值是14,可以发现第一次输出的结果是7,第二次输

出的结果是10,规定第n次输出的结果记为a,,(n为正整数)，则a1=7,a2=10.,那么azozs的值为—

15.将图①中的正方形剪开得到图②，图②中共有4个正方形；将图②中的一个正方形剪开得到

图③，图③中共有7个正方形；将图③中的一个正方形剪开得到图④，图④中共有10个正方

形……如此下去，则第2025个图中共有正方形的个数是

111□□□生□器

1_11□□□□□□

图①图②图③图④

16.在北师大版教材七年级上册第三章的学习过程中，经历过很多次“归纳”的过程，即从几种特殊

情形出发，进而找到一般规律的过程.纳是发现数学结论、解决数学问题的一种重要策略，请用归

纳策略解答下列问题.

（1）将一根绳子折成3段，然后按如图1-1所示方式剪1刀，绳子变为4段，按如图1-2所示

方式剪2刀，绳子变为7段，那么剪3刀，绳子变为段……剪a刀，绳子变为

段；

三、解答题

17.结合具体的数的运算，通过特例进行归纳，然后比较下列数的大小：

（1）小于1的正数a,a的平方，a的立方；

（2）大于-1的负数b,b的平方，b的立方.

18.用同样规格的黑白两种颜色的正方形地砖，按如图所示的方式组成图案:

（1）根据排列规律，第4个图案中有个黑色正方形地砖，有个白色正方形地砖；

（2）请写出第九（九为正整数）个图案中黑色正方形地砖数和白色正方形地砖数（用含n的代数式

表示）.

19.再读教材

三）■探索与表达规律

（i»H步出的管住方枢中的

9MUWAii”靠正中间fiW有

什么关系？

（2）这个失系时K他这样的

方机或立吗？

（3）这个大条对任何•个”

的日历都年里叫？为H么？

（4）f不上能发妣样的方板

中的9个M间的火他人泵吗？用代电

请解答教材中的（1）、（2）问。

活学活用

小明是个爱动脑筋的同学，在发现教材中的用方框在月历中移动的规律后，突发奇想，将连续的

偶数2,4,6,8,…，排成如图形式，并用一个十字形框架框住其中的五个数，请你仔细观察十字

形框架中的数字的规律，并回答下列问题：

（1）十字框中的五个数的和与中间的数16有什么关系？

（2）设中间的数为％,用代数式表示十字框中的五个数的和；

（3）若将十字框上下左右移动，可框住另外的五个数，其它五个数的和能等于2010吗?如能，写

出这五个数，如不能，说明理由.

20.观察下列各式：1=^=1-1；卜羡=＞上与=忐=：1...我们把这一类恒等

变形的过程叫作裂项.类似的，对于羡，可以用裂项的方法变形为G-占X4.

类比上述方法，解答下列各题：

（1）95F10=-----------

（2）计算：七+++另+…+99*00=----------'

（3）计算：2^4+4^6+6^8++2024x2026,

21,归纳是发现数学结论、解决数学问题的一种重要策略.“归纳”的过程，即从几种特殊情形出

发，进而找到一般规律的过程.在数学的学习过程中，我们经常用这样的策略探究规律.

【数学问题】平面图的顶点数、边数与区域数之间存在什么样的数量关系？

【问题探究】为了解决这个问题，我们可以从类似于（Q）、。）、（c）、（d）、（e）五个图等具体

的情形入于，借助表格探索平面图的顶点数X、边数y与区域数z之间的一般规律.

图顶点数不边数y区域数z

⑷331

3)463

⑹694

⑷8m5

(e)1015n

(a)(b)(c)(d)

【问题解决】

(1)将表格数据补充完整，m=：n=；

(2)猜想：一个平面图的顶点数x、边数y、区域数z之间的数量关系

为：；

(3)现已知某一平面图有999个顶点和999个区域，试根据(2)中猜想的关系，确定这个图有

多少条边？

22.“归纳〃是我们研究数学问题的重要思想方法，即从几种特殊情形出发，进而找到一般规律的过

程，“归纳''是我们发现数学结论，解决数学问题的一种重要策略.“数形结合”也是研究数学问题的一

种重要思想方法，在归纳的过程中，借助这种方法能帮助我们直观发现与推理，获得规律与结论.

【探究】数学小组由特殊到一般，利用“归纳”的研究方法，将数字转化为图形变化，对1+2+3+

4+…+几的结果进行探究.具体操作如图：

直观发现：小正方形的数量和依次为1X2,2x3,3x4,4x5,...

因此空白部分的小正方形的数量和依次为华，缪，警士警

（1）请你归纳总结：1+2+3+4+5+…+几=；

【迁移】数学小组受此启发，继续对连续奇数的和、连续偶数的和进行研究.如图:

（2）连续奇数的和

□田更

11+31+3+5l+3+5+7+.>(2w-l)

①②③④

请你归纳总结：1+3+5+7+…+(2n-1)=

（3）连续偶数的和

m

22+42+4+62+4+6+8…2+4+6+8+...+2〃

①②③④

请你在网格中画出第④个图，并归纳总结：2+4+6+8+・・・+2几=；

【应用】

(4)利用以上结论，计算(101+103+105+…+199)+(202+204+206+…+300)的值.

答案解析部分

1.【答案】A

【知识点】探索数与式的规律；有理数的乘方法则

【解析】【解答】W-：V71-4=3,72-4=45,73-4=339,74-4=2397,75-4=16803,…，

A71-4,7?-4,73—4,…，7"-4这组数的个位数字以3,5,9,7四个数字为一组进行循环，

720254-4=506-1,

.・.72。25一4的个位数字是3,

故答案为：A.

【分析】根据变换规律：个位数字以3,5,9,四个数字为一组循环，用2025+4=506…1,确定

个位数字为3.

2.【答案】D

【知识点】单项式的概念：探索规律-系数规律

【解析】【解答】解：观察可知：系数为平方数且符号交替，指数与序号相同，

・••第n个单项式为(一1尸+1•M♦炉,

当几二2026时，(一1)2027=一1,

・•・第2026个单项式为:-20262—026

故选D.

【分析】本题考查单项式序列的规律探究。通过观察单项式的系数和指数变化规律，发现系数为平

方数且符号交替变化，指数与序号相同。由此推导出第n个单项式的通项公式，再代入n=2026进

行具体计算。

3.【答案】C

【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；用代数式表示图形变化规律：探索规律-图形的个数规律

【解析】【解答】解：•・•当圆周上有2个点时，圆被分成2x2-2=2个区域；

当圆周上有3个点时，圆被分成2x3-2=4个区域；

当圆周上有4个点时，网被分成2x4-2=6个区域；

当圆周上有5个点时，圆被分成2x5-2=8个区域；

・•・当圆周上有九(n>1)个点时，圆被分成的区域个数为2几一2,

故答案为：C.

【分析】根据前几幅图中图形的数量与圆周上点的数量的关系可得规律：当圆周上有n(n>1)个

点时，圆被分成的区域个数为2n-2,从而得解.

4.【答案】A

【知识点】探索数与式的规律；用代数式表示数值变化规律

【解析】【解答】解：剪1刀，绳子变为5段，即5=lx4+l；

剪2刀，绳子变为9段，即9=2x4+l；

剪3刀，绳子变为13段，即13=3x4+1；

，剪n刀，绳子变为4九十1段，

当剪13刀时，则绳子变为4x13+1=53段，

故答案为：A.

【分析】本题结合条件中的规律，归纳总结得出当剪n刀时.绳子变为4九+1段，最后将n=13代入

计算即可。

5.【答案】C

【知识点】有理数的乘法法则；有理数的加法法则；用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规

律

【解析】【解答】解：由题意可得：第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为4=1X2+2

第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为6=2x2+2

第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为8=3x2+2

・••第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为（2n+2）个.

・•・当n=10时，2n+2=2x10+2=22（个）

即第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为22个

故答案为：C

【分析】求出前3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数.总结规律，结合有理数的乘法，解法

即可求出答案.

6.【答案】C

【知识点】有理数的乘法法则；有理数的加法法则；用代数式表示图形变化规律；探索规律•图形的个数规

律

【解析】【解答】解：解：由图可知，摆成第1个“H”字需要的棋子的个数为7=3+4XI（个），

摆成第2个“H”字需要的棋子的个数为12=44-4x2（个），

摆成第3个“H”字需要的棋子的个数为17=5+4x3（个），

归纳类推得：摆成第n个“H”字需要的棋子的个数为4几+几+2=（5几+2）个，

当几=2024时，5九+2=10122,

故选：C.

【分析】根据前3个图形需要的棋子个数，总结规律，结合有理数的加法，乘法即可求出答案.

7.【答案】C

【知识点】探索数与式的规律；芍理数的乘方法则；探索规律-图形的个数规律

【解析】【解答】解：第1个图形中，黑色小正方形有4个，白色小正方形有产=1（个）；

第2个图形中，黑色小正方形有4个，白色小正方形有22=4（个）；

第3个图形中，黑色小正方形有4个，白色小正方形有3?=9（个）；

则第九个图形中，黑色小正方形有4个，白色小正方形有M（个）.

故第20个图形中，黑色小正方形有4个，白色小正方形有202=400（个），

第20个图形中黑色和白色的小正方形共有400+4=404（个）.

故答案为：C.

【分析】根据前儿幅图中黑色和白色小正方形的数量与序号的关系可得规律：第九个图形中，黑色小

正方形有4个，白色小正方形有足（个），再将n=2O代入计算即可.

8.【答案】C

【知识点】有理数的乘法法则；有理数的加法法则；用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规

律

【解析】【解答】解：由题图可知，摆第1个图案需用的火柴棒的根数为5=4x1+1；

摆第2个图案需用的火柴棒的根数为9=4x2+1；

摆第3个图案需用的火柴棒的根数为13=4x3+1；

・・・；

所以摆第n个图案需用的火柴棒的根数为4几+1.

故选：C.

【分析】根据前3个图案中需要的火柴的数量，总结规律，结合有理数的乘法，加法即可求出答案.

9.【答案】A

【知识点】合并同类项法则及应月：用代数式表示图形变化规律：探索规律-图形的个数规律：探索规律-图

形的递变规律

【解析】【解答】解：•・•第1个结构式中有1个。和2xl+2=4个”，第2个结构式中有2个C和2X

2+2=6个H,第3个结构式中有3个C和2x3+2=8个H,……

・••观察图形可得，第九个结构式中，碳原子的个数为工氢原子的个数为2几+2,

：・C、”的个数之和为〃+（2几+2）=3n+2,

故答案为：A.

【分析】认真观察题R情境中图形，分析发现笫九个结构式中，碳原子的个数为九，氢原子的个数为

2几+2,即可得第九个结构式中C、，的个数之和.

10.【答案】D

【知识点】有理数的加法法则；用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律

【解析】【解答】解：由图可知，四边形按图中的分割方式可分割成的三角形的个数为2=4-2个，

五边形按图中的分割方式可分割成的三角形的个数为3=5-2个，

六边形按图中的分割方式可分割成的三角形的个数为4=6-2个，

归纳类推得：n（n>4）边形按图中的分割方式可分割成的三角形的个数为5-2）个，

•・•一个多边形按图中的分割方式可分割成7个三角形，

・•・这个多边形的边数是7+2=9,

故选：D.

【分析】根据前3个图形的变换，总结规律，结合有理数的加减即可求出答案.

11.【答案】55

【知识点】有理数混合运算的实际应用；用代数式表示图形变化规律；探索规律•图形的个数规律

【解析】【解答】解：由图可知，第1个图形需要杯子的数量为i="土D（个），

第2个图形需要杯子的数量为3=凶|士D（个），

第3个图形需要杯子的数量为6=等土D（个），

第4个图形需要杯子的数量为10=殳与士D（个），

归纳类推得：第九个图形需要杯子的数量为吗由个，其中71为正整数，

所以第10个图形需要杯子的数量为竺坐士久=55（个），

故答案为：55.

【分析】根据前4个图形中需要杯子的数量，总结规律，结合有理数的混合运算即可求出答案.

12.【答案】3053

【知识点】用代数式表示几何图形的数量关系；探索规律-图形的个数规律

【解析】【解答】解：根据图形可知：

第［1）个图形中黑色正方形的数量为2个，

第［2）个图形中黑色正方形的数量为3个，

第13）个图形中黑色正方形的数量为5个，

笫：4）个图形中黑色正方形的数量为6个，

第［5）个图形中黑色正方形的数量为8个，

当n为奇数时，黑色正方形的个数为：（几+吟）个，

当n为偶数时，黑色正方形的个数为：（几+为个，

.♦.第2035个图形中黑色正方形的数量是：2035+2031+1=2035+1018=3053（个）.

故答案为:3053.

【分析】本题考查图形规律的探索与代数式求值，需通过分析前几个图形的黑色正方形数量，分奇

偶性总结规律。观察发现，当n为奇数时，黑色正方形个数为九+亨；当n为偶数时，个数为九+

7；判断2035为奇数，将其代入奇数对应的规律公式，即2035+型件，计算可得到第2035个图

形中黑色正方形的数量。

13.【答案】324880

【知识点】探索数与式的规律；有理数的乘法法则；有理数的加法法则；探索规律-数阵类规律

【解析】【解答】解：由前3个密码与三个数字的关系可以发现：

第1、2个数字为最上面的数与下面右边的数的积；

第3、4个数字为下面的两个数的积；

第5、6个数字为最上面的数与下面左边的数的和与右边的数的积.

4x8=32,6x8=48,（4+6）x8=80，

所以密码是324880,

故答案为:324880.

【分析】根据前3个密码与三个数字的关系，总结规律即可求出答案.

14.【答案】2

【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；探索数与式的规律；求代数式的值-程序框图；探索规律-末

尾数字规律

【解析】【解答】解：因为开始输入的x的值是14,

所以第一次输出的结果是7,即ai=7,

依此类推，a2=10,a3=5,a+=8,as=4,36=2,a7=1,as=4,…，

由此可见，这列数从as开始按4,2,1循环.

因为(2025-4)+3=673.......2,

所以32025=2.

故答案为:2.

【分析】先将x=14代入流程图计算，可得规律这列数从as开始按4,2,1循环，再结合(2025-4)

4-3=673.......2,求出02025=2即可.

15.【答案】6073

【知识点】有理数的乘法法则；有理数的加法法则；探索规律-图形的个数规律

【解析】【解答】解：图①中共有1个正方形，

图②中共有4个正方形，

图③中共有7个正方形，即3x2+1=7；

图④中共有10个正方形，即3x3+1=10；

图n中共有正方形的个数为1+3(n-1)=3n-2；

所以第2025个图中共有正方形的个数为：3x2025-2=6073.

故答案为：6073.

【分析】根据前四个图形中正方形的个数，总结规律，结合有理数的乘法，加法即可求出答案.

16.【答案】10；(3a4-1)；(4n+l)

【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则：探索规律•图形的个数规律

【解析】【解答】(1)解：•••剪1刀，绳子变为4段，4=3+1+3x0；

剪2刀，绳子变为7段，7=3+l+3xl；

由此可得，剪3刀，绳子变为3+1+3x2=10段，

剪4刀，绳子变为3+1+3x3=13段，

可得，剪a刀，绳子变为3+1+3x(a-1)=3a+1段;

故答案为：10,(3a+1).

(2)解：剪I刀,绳子变为5殁，5=4+l+4x0；

剪2刀，绳子变为4+1+4x1=9,9段；

・••剪n刀，绳子变为4+1+4x(n-1)=(4n+1)段.

故答案为：(4n+l).

【分析】本题考查图形变化类的规律归纳，核心是通过分析前几次的剪段结果找出通用规律。

(1)先观察已知情况：折成3段剪1刀得4段，剪2刀得7段，发现每多剪I刀就多3段，因此剪

3刀时，段数为4+3x(3-1)=10段；推导通用规律，剪Q刀时，段数为3a+1(初始剪1刀为4

段，符合3x1+1=4)；

(2)同理，折成4段剪1刀得5段，剪2刀得9段，每多剪1刀多4段，因此剪n刀时，段数为

4"+1(初始剪1刀为5段，符合4x1+1=5)。

3

17.【答案】(1)解：取,则十=('=*,a3=Q)=1.

因此.当a为小于1的正数时，a>a2>a3。

(2)取b=—i,

则心

因此，当b为大于-1的负数时，b2>b3>b.

【知识点】有理数的大小比较•直接比较法

【解析】【分析】分别按各小问的条件，先选定a、b,再进行平方、立方处理，再比较大小.

18.【答案】(1)13：14

(2)解：由(1)知，第九个图案中，黑色正方形地砖数为3n+1,白色正方形地砖数为3几+2.

【知识点】有理数的加减混合运算的实际应用；用代数式表示图形变化规律

【解析】【解答】解：由所给图形可知，

第1个图案中黑色正方形的个数为：4=3xl+l,白色正方形的个数为：5=3x1+2；

第2个图案中黑色正方形的个数为：7=3x24-1,白色正方形的个数为：8=3x2+2；

第3个图案中黑色正方形的个数为：10=3x3+1,白色正方形的个数为：11=3x3+2；

第4个图案中黑色正方形的个数为：13=3x4+1,白色正方形的个数为：14=3x4+2；

故答案为：13,14；

【分析】(1)通过逐步计算图形中黑色正方形和白色正方形的数量，找出其中的规律模式。

(2)基于第(1)问中发现的规律，进一步解决问题。

(1)解：由所给图形可知，

第1个图案中黑色正方形的个数为：4=3x1+1,白色正方形的个数为：5=3x14-2；

第2个图案中黑色正方形的个数为：7=3x2+1,白色正方形的个数为：8=3x2+2；

第3个图案中黑色正方形的个数为：10=3x3+1,白色正方形的个数为：11=3x3+2；

笫4个图案中黑色正方形的个数为：13=3x4+1,白色正方形的个数为：14=3x4+2；

故答案为：13,14；

(2)由(1)知，第九个图案中，黑色正方形地函数为3九+1,白色正方形地砖数为3n+2.

19.【答案】(1)日历图中框出的9个数之和为:2+3+4+9+10+11+16+17+18=90,

该方框正中间的数是10,90=9x10,

所以这9个数的和是该方框正中间的数的9倍；

(2)5个数之和为6+14+16+18+26=80,16x5=80；用代数式表示十字框中的九个数的和=5x；

(3)①•・•6+14+16+18+26=80=16x5,

・•・十字框中的五个数的和是中间的数16的5倍.

②设中间的数为x,则另外四个数分别为x-10、x-2、x+2、x+10,

/.(x-10)+(x-2)+x+(x+2)+(x+10)=5x.

③不能，理由如下：

设中间的数为X,

根据题意得：5x=2010,

解得：x=402.

•••402在第41行的第一个数字，

・•・框住的五个数的和不能等于2010.

【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；用代数式表示数值变化规律

【解析】【分析】(1)先求出9个数之和，找出与正中心的数的关系即可；

(2)先求出五个数之和，中间数乘以5刚好等于五个数之和，可直接列代数式；

(3)根据五个数之和等于5乘以中间数的积，列一元一次方程，解方程即可判断.

20.【答案】(1)义一书

100

(3)解.—1-----1-----'-----1-----------L...J-----------1---------

5g2x4十4x6十6x8十十2024x2026

11111\11

-X-----!+-X-

22446726

11111

--

-X+--+--+

24668

1

-

2

11O

12

-X

22O26

253

A1O1

【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；探索数与式的规律；用代数式表示数值变化规律

【解析】【解答］3）解：根据题意得:

1_11

9x10=9-10，

故答案为:之一存

⑵解:172+2^3+3^4+**+99x100

1111111

=1-2+2-3+3-4+,+99-100

1

=1~100

99

=Too-

故答案为：盖.

【分析】⑴根据裂项定义得乐*=2一人即可得答案.

VKJLUykU

（2）根据裂项定义上+另+忐+…+沟品得1一:+2-3++…+焉一志，进一步

计算即可.

（3）把品+嬴+嬴+…+2024：2026提出拊

10一寺）+界6—寺）+如信一寺）+—+品品5_赢），进一步根据裂项定义得^0/+

1-1+3-彳++…+盛一盛）‘进一步计算即可■

⑴解：痣^=

故答案为；a4

(2)解:15<2+2x3+3x4+，，+99x100

_1111111

=1-2+2-3+3-4+，，+99-100

=1-100

99

=100，

故答案为：器；

1]]1

⑶解：2x4+4x6+6x8++2024x2026

111\1/11卜/11\11

X-!+-(-i2x|-|++X

--42--66--2O24

227--X\41\872

1/1111111

---_-

=X(+--+