2026-2027学年浙教版八年级数学上册同步练习：直角三角形

2026-2027学年数学浙教版八年级上册同步练习

第2章特殊三角形

2.6直角三角形

第1课时直给三角形的性质

选择题每小题3分

固基础对点练

1.设直角三角形中一个锐角为"（0VxV90）,另一个锐声为了,则），与x的数量关系为（）

A.），=180+xB.y=180-x

C.y=90+xD.y=90-x

2.一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸。如图，已知NACB=90。,

点A,D,B对应的刻度分别为1,4,7,则CO的长为（）

A.3cm

C.4.5cmD.6cm

3.如图，一根木棍（A8）斜靠在与地面（OM）垂直的墙（6W）上，当木棍A端沿墙下滑，且8

端沿地面向右滑行时，AI3的中点P到点。的距离（）

A.变大B.变小

C.先变小后变大D.不变

4.如图，在RQA8c中，。是4c的中点，Z7?DC=60%AC=6,则8c的长是（）

A

A.3B.6D.9

5.（3分）如图，在RSA8C中，NA8O90。，。为AC的中点。若NO55。，则NA8D的

度数为

6.（3分）若直角三角形斜边上的高线长与中线长分别为5和6,则它的面积为.

7.（3分）某房梁如图所示，。，E,产分别是8C,48,AC的中点。若A8=AC=8m,则

DE的长为IBo

8.（3分）如图，在RSABC中，NACB=90。,D为AB的中点，。EJ_4c于点从若乙4=30。,

DE=4cm,则

9.（8分）求证：在直角三角形中，如果一个锐角等于30。，那么它所对的直角边等于斜边

的一半。

己知；如图，在RsABC中，NA=30。，NAC8=90。。求证：BC=^\BO

（1）（5分）请用两种方法完成证明。

（2）（3分）这个命题的逆命题是命题（填“真”或"假”）o

目综合提升练

10.如图，在AABC中，若人3=AC=4,ZBAC=\50°,则S△楮c的值为（）

A.2D.6

11.如图，在AABC中，AB=AC,ZBAC=\20°,AB的垂直平分线交A8于点E,交BC

于点凡若BF=5,则FC的长为（）

A.5D.12

12.（3分）如图，在△ABC中，ZC=90°,AB=\0,AG8,BC=6,线段。石的两个端点。，

E分别在边AC,上滑动，且DE=40若M,N分别是OE,A8的中点，则MN的最

小值为________

13.（8分）如图,在RsA8c中，ZACB=90°,CD是AB边上的中线，DELAB于点D,

交4c于点反求证：/AED=/DCB.

14.（8分）如图，RQA8D和RS8CO分别位于异侧，NDAB=NBCD=90。,。是B力

的中点，连结4C,40,OC.

（1）（4分）若/4。8=30。，ZBDC=40°,求NA0C的度数。

⑵（4分）若锐角ZADC=a,求N40C的度数（用a的代数式表示）。

・挑战备选练（选做）

15.（10分）［推理能力］如图，在△ABC中，。是边BC的中点，BELAC,CF1AB,垂足

分别是E,F,连结OE,DF。

（1）（5分）求证：DE=DF。

（2）（5分）若NA=75。，BC=8,连结EH求△〃£厂的面积。

第15题图

第2课时直角三角形的判定

分值：71分

选择题每小题3分

回基础对点练

1.在具备下列条件的△A8C中，不属于直角三角形的是（）

A.NA+N8=NC

B.Z/1-ZB=ZC

C.ZA:/B:ZC=1：2：3

D.ZA=ZB=2ZC

2.下列说法错误的是（）

A.三角形的三条高线都在三角形内部

B.三角形的三条角平分线都在三角形内部

C.三角形的重心是三角形三条中线的交点

D.有两个角互余的三角形是直角三角形

3.如图，在四边形A8CO中，AB//DC.若N84O的平分线与NCD4的平分线相交于点

E,则△AED的形状一定为（）

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.等腰三角形

4.如图，在△A8c中，AB=AC=6,A。是角平分线，8E是中线，则。E的长为（）

A.3B.4D.6

5.（3分）如图，在△ABC中，CO是A8边上的高线。若NDCB=NA,则NBCA二.

7.（8分）如图，CEJ_A。，垂足为E,ZA=ZCo求证：AAB。是直角三角形。

8.（8分）如图，在"8C中，NABO45。,ADLBC于点Q,E是AO上的一点，且DE=DC.

（1）（4分）求证：BE=ACO

（2）（4分）判断8E与AC的位置关系，并说明理由。

9.（8分）我们知道定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。请思考：上.述定理的

逆命题成立吗？若成立，写出其逆命题，画出图形，并证明；若不成立，试说明理由。

（1）（3分）逆命题是：..

（2）（5分）已知：>

求证：，

证明：

目综合提升练

10.（3分）如图，在^ABC中，。是8C边上的一点，AD=AB,E,产分别是8。，AC的中

点。若AO8,则E/的长为。

11.（8分）已知：如图，BDVAC,垂足为E,A48E的中线E尸的反向延长线交CO于点

G,NB二NC。

（1）（4分）求证：EG是aCDE的高线。

（2）（4分）若EG是△<?£>£的中线，判断△ABE的形状，并说明理由。

,、7c

E

A

12.（8分）如图，和AOCE都是等腰直角三角形，ZACB=ZDCE=90°.求证:

（1）（4分）AE=BD°

（2）（4分）AE_LBD。

・挑战备选练（选做）

13.（10分）［模型观念］如图，在8c中，ZC=90°,NA=30。，AB=4cm0动点P,。分

别从八，4两点同时出发，各在人从〃。边上匀速移动，它们的速度分别为%-2cm/s,

VQ=\cm/so当点夕到达点8时，P,。两点同时停止近动，设点P运动的时间为0）。

（1）（5分）当，为何值时，AP8Q是等边三角形？

（2）（5分）当t为何值时，&PBQ是直角三角形？

」fQ

答案解析

选择题每小题3分

固基础对点练

1.设直角三角形中一个锐角为工。（0<1<90）,另一个锐角为），。，则），与x的数量关系为

（D）

A.），=180+xB.y=180-x

C.），=90+xD.y=90-x

2.一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸。如图，己知NAC3=90。，

点A,D,8对应的刻度分别为1,4,7,则CO的长为（A）

A.3cmB.3.5cm

C.4.5cmD.6cm

3.如图，一根木棍（48）斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，当木棍A端沿墙下滑，且8

端沿地面向右滑行时，AB的中点P到点。的距离（D）

A.变大B.变小

C.先变小后变大D.不变

4.如图，在RSA8C中，。是AC的中点，ZBDC=60\AC=6,则BC的长是（A）

A

小

BC

A.3B.6C.8D.9

【解析】:。是RtzUBC斜边AC的中点，AC=6,

:.BD=CD=AD=^AC=30

又•；/BDC=60。,

“BCD为等边三龟形，

:・BC=Rg3。

5.（3分）加图.在R2BC中,N4BC=90。.Q为人。的中点,若NC=55。.则NRB力的

度数为35。。

A

BkC

【解析】VZABC=90°,。为AC的中点，C=55°,

：.BD=^AC=AD,ZA=900-ZC=35°,

：.ZABD=ZA=35°O

6.（3分）若直角三角形斜边上的高线长与中线长分别为5和6,则它的面积为“。

7.（3分）某房梁如图所示，D,E,f分别是8C,A8,AC的中点。若AB=AC=8m,则

DE的长为4m。

8.（3分）如图，在RtZkABC中，NAC8=90。,D为AB的中点，OE_LAC于点E。若NA=30。,

/9£=4cm,则A8=16cm,CD=Xcm。

B

【解析】9：DELAC,NA=30。，O£=4cm,

：.AD=2DE=8cnio

又・・・O为A5的中点，

,\AB=2AD=16cnio

又；ZACB=90°,

：.CD=^AB=8emo

9.（8分）求证：在直角三角形中，如果一个锐角等于30。，那么它所对的直角边等于斜边

的一半。

已知：如图，在RSA8C中，ZA=30°,NAC8=9（）。。求证：BC=^AB.

（1）（5分）请用两种方法完成证明。

（2）（3分）这个命题的逆命题是一命题（填“真”或“假”）。

证明：（1）方法一：如各图1,延长8c至点O,使CD=BC,连结AO,则易知N5C4=

ZACD=90°o

丸•：BC=CD,：.AB=AD,

：.ZDAC=ZBAC=3Q\：.ZBAD=6d°f

：.^ABD为等边三角形，

:.AB=BD,

：.BC=CD=^BD=^AB.

A

第9题答图

方决二：如答图2,取4“的中点,。，连结。C,51JCD=^AB=AD=DB,

・・・/DC4=NA=30。，

・・・ZBDC=ZDCA+ZA=60°,

•••△OBC为寺边三珀形，

：.BC=DB=^AB0

国综合提升练

10.如图，在△48C中，若AB=AC=4,N84O150。，则八八穴的值为（C）

【解析】如答图，过点C作COJL24,交B4的延长战于点办。

・・•在RSACO中，/CAO=180-/R4c=30°,AB=AC=4,

：.CD=^AC=2,

；・S△.8c•CD=^x4x2=4o

11.如图，在4A8c中，AB=AC,N84U120。，A8的垂直平分线交AB于点E,交,BC

于点心若BF=5,则/C的长为（C）

B

A.5B.7C.10D.12

【解析】如答图，连结4儿

第11题答图

•；AB=AC,/A4c=120',

/.ZB=ZC=30°o

•；EF为AB的垂直平分线,

：.AF=BF=5,

：.ZBAF=ZB=3^f

：.ZCAF=ZBAC-Z^AF=90°o

5LVZC=30°,

.•.FC=2AF=10o

12.（3分）如图，在&4BC中，ZC=90°,AB=iO,AC=8,BC=6,线段。上的两个端点。，

E分别在边AC，8C上滑动，且OE=4。若M,N分别是OE,AB的中点，则MN的最

小值为3。

【解析】如答图，连结CM,CN0

N

D

CEB

笫12飕苔图

在△ABC中，ZAC£?=90\M,N分别是DE,48的中点，

：.CN=^AB=5,CM=^DE=2O

当点C,M,N在同一条直线上时，MN取最小值，

・・・MN的策小值为5-2=3o

13.（8分）如图，在RQ4BC中，ZACB=90°,CO是AB边上的中线，DELAB于点D,

交4c于点石。求证：ZAED=ZDCBo

证明：VZACfi=90°,CO是4〃边上的中线，

：.CD=AD=DB,ZA+Z/?=90°,

：・/B=/DCB。

9：DELAB.：.Z4+ZAED=90°,

:・NB=/AED,

：.ZAED=ZDCBO

14.（8分）如图,RtAABD和RS8CD分别位于8。异侧,ZDAB=ZBCD=90°,0是BD

的中点，连结AC,AO,OCo

（1）（4分）若/AD/A30。，/BDC=40。,求NAOC的度数。

（2）（4分）若锐角乙ADC=a,求乙40C的度数（用«的代数式表示）。

I）

解：（1）;ZDAB=ZBCD=90%。是BO的中点，

：.OA=OD=^BD,OC=OD=^BD,

・・・乙4&加NOAO=30°,Z/?DC=ZOCD=40°,

:.NAO8=NAOB+ZPAO=60°,/BOC=/CDB+ZOCD=80°,

:.ZAOC=ZAOB-}-ZBOC=140°o

（2）同（1）可知，ZADB=ZOAD,ZBDC=ZOCD,

而^AOB=ZADB+ZDA0=2NADB,NBOC=ZCDB+Z0CD=2ZCDB,

:.4Aoe=NAOB+NBUC=2NADB+2NCDB=2NADC=2a°

*挑战备选练（选做）

15.（10分）［推理能力］如图，在AABC中，£＞是边BC的中点，BELAC,CF1AB,垂足

分别是E,F,连结DE,。凡

（1）（5分）求证:DE=DF.

⑵（5分）若乙4二75。，8c=8,连结石尸，求ZiQE/的面枳。

解：（1）・.・BEJ_AC,CFLAB,。是5c的中点,

：.DE=^-BC,DF=；BC°

：.DE=DFO

（2）如答图，过点E作EG1DF于点Go

VZA=75°,

ZABC+ZAC^=105%

易知BD=DF$C,

：./DBF=/BFD,

：.N5。尸=180。-2NOB尸。

同理NEOC=180°-2N5C4,

.,.ZFD/?+ZEDC=180o-2ZAZ?C+180o-2ZBCA=360o-2xl05o=150°,

・•・ZEDF=180A—150A=30no

•；BC=8,.\DE=4=DF0

又■:ZEGQ=90°,:.EG=^DE=2,

・•・§△/%产go尸•EG=jx4x2=4o

第2课时直角三角形的判定

分值：71分

选择题每小题3分

@基础对点练

1.在具备下列条件的△A8C中，不属于直角三角形的是（I））

A.ZA4-ZB=ZC

B.ZA-ZB=ZC

C.ZA：ZB：ZC=1：2：3

D.ZA=ZB=2ZC

2.卜列说法错误的是（A）

A.三角形的三条高线都在三角形内部

B.三角形的三条角平分线都在三角形内部

C.三角形的重心是三角形三条中线的交点

D.有两个角互余的三角形是直角三角形

3.如图，在四边形A8CO中，AB//DC,若N8AO的平分线与NCD4的平分线相交于点

E,则△AE。的形状一定为（B）

C.钝角三角形D.等腰三角形

4.如图，在ZLABC中，AB=AC=6,AO是角平分线，跖是中线，则OE的长为（A）

BD

A.3B.4C.5D.6

5.（3分）如图，在中，CO是AB边上的高线。若/OC8=NA,则38cA=90°。

6.（3分）在aABC中，若NA=/B=；NC,则此三角形是等腰直角三角形。

【解析】VZA=ZB=1ZC,/A+N8+/C=180。，

.•.izC+|zC+ZC=180°,

.\ZC=90°,

・•・ZA=ZB=1x90°=45°,

•••△ABC是等腰直角三角形。

7.（8分）如图，CE_LAO,垂足为E,NA=NC。求证：ZkABO是直角三角形。

证明：*：CE±AD,

/.ZC+ZD=90°o

又・・・N4=NC,ZA+ZD=90°,

•••△ABO是直角三角形。

8.（8分）如图，在ZiABC中，NA8C=45。,AO_LBC于点D,E是AO上的一点，且DE=DC.

（1）（4分）求证：BE二AC。

（2）（4分）判断8E与AC的位置关系，并说明理由。

1

解：(1)・・・AO_L8C,

:.ZADC=ZBDE=9Q°O

又「ZABC=45°,

/.LABD为答腰直角三角形，

：.AD=BDO

又•：DE二DC,

/..△ADC^A^DE(SAS),

：.BE=AC0

(2)BE±AC.理由如下：

如冬图，延长BE,交AC于点几

第8题答图

由（1）得，

:.ZDBE=ZDACO

又・.・Nn4C+NC=90。，

.•.ZDBE+ZC=90°,

:.ZBFC=180n—（ZC）=90n,

：.BELAC.

9.（8分）我们知道定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。请思考：上述定理的

逆命题成立吗？若成立，写出其逆命题，画出图形，并证明；若不成立，试说明理由。

（1）（3分）逆命题是：如果一个三角形一边上的中爱等于这条边的一半，那么这个三角

形是直角三角形。

（2）（5分）已知：）在448。中，C7）是44边的中线，且67）=1"

求证：C是直角三角形。

证明：

证明：（2）如答图。

第9题答图

PCD走AB边的中线，

：.BD=AD=^ABO

：.BD=AD=CD,

:./DCB=/B,/乃C4=/A。

•:/A+/△+ZAC«=180°,

・•・NA+NB+ZDCB+ZDCA=180°,

，2(NDCB+NDCA)=180。,

.\ZDCB+ZDCA=90°,

:.ZACB=90°,

•••△ABC是直角三角形。

日I综合提升练

10.（3分）如图，在△ABC中，。是8c边上的一点，AD=AB,E,尸分别是80,AC的中

点。若AC=8,则E尸的长为4。

【解析】如答图，建结4及

9：AB=AD,£是80的中点,

：.AELBD,•••△AEC是直角三角形。

又•・,/是AC的中点，AC=8,

：.EF=^AC=40

11.（8分）已知：如图，BDLAC,垂足为E,ZUBE的中线E尸的反向延长线交CD于点

G,ZB=ZCo

（1）（4分）求证：EG是△CDE的高线。

（2）（4分）若EG是△COE的中线，判断△ABE的形状，并说明理由。

解：（1）・.・3O_LAC,£尸是△A3E的中发,

:.EF=BF$B,

：.ZB=ZBEFO

又・.・N3=NC,

：.ZC=ZBEFo

又・；NAEF=NCEG,NBEF+NAEF=90。,

，/C+/CEG=90。，

・•・ZEGC=90°,

：.EG是XCDE的高线。

(2)A4bE是等腰直为三角形。理由如下：