2026高一数学（初升高）提升讲义：函数的概念及其表示（ 教师版）

第12讲：函数的概念及其表示

【知识梳理】

知识点一函数的有关概念

设4B是非空的实数集，如果对于集合力中任意一个数筋按

函数的定

照某种确定的对应关系£在集合4中都有唯•确定的数y和

义

它对应，那么就称/、：力-8为从集合力到集合8的一个函数

函数的记

y=f(x),x^A

法

定义域4叫做自变量，x的取值范围力叫做函数的定义域

值域函数值的集合｛(v)|x£.4｝叫做函数的值域

知识点二同一个函数

一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完

全一致，我们就称这两个函数是同一个函数.

特别提醒：两个函数的定义域和对•应关系相同就决定了这两个函数的值域也相同.

知识点三区间

1.区间概念(榛力为实数，且水力)

定义名称符号数轴表示

{x\a&x〈b

闭区间[a,b\abx

)

{x\a<x<b}开区间(a,b)abx

{x\aW水6}半开半闭区间[a,6)abx

{x\水xWb}半开半闭区间(a,b]abx

2.其他区间的表示

{x\{xxWa{xx<a

定义R{x\x>a\

)))

[a,+(—°°,

区间(—8,H-OO)(a,+00)

8)&]a)

1

知识点四函数的表示方法

解析法H就是用数学表达式表示两个变景之间的对应森

知识点五分段函数

1.一股地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量X的不同取值范围，有着不同的对应关系的

函数.

2.分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；

各段函数的定义域的交集是空集.

3.作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象.

【例题详解】

题型一、函数的定义

1.（25-26高一上•湖南邵阳-期中）已知集合加={1,2},N={1.2,4},给出下列四个对应关系：①尸L

X

②y=.x+l,③产W，④y=请由函数定义判断，其中能构成从M到N的函数的是（）

A.①②B.①③C.②④D.③④

【答案】D

【分析】由函数的定义一一判断即可.

【详解】对于①，当工=2时，尸JwN,故①不正确；

对于②，当x=2时，），=3£N,故②不正确；

对于③，当x=l时，兰x=2时，y=2eN,故③正确；

对于④，当x=l时，当x=2时，＞'=4e/V,故④正确.

故选：D.

2.（25-26高一上-全国-课后作业）下列说法正确的是（）

A.函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与之对应

B.函数的定义域和值域一定是无限集合

C.若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素

D.对于任何一个函数，如果K的值不同，那么p的值也不同

【答案】AC

2

【详解】A正确，函数值域中的每一个数一定有定义域中的一个数与之对应，但不一定只有一个数与

之对应：B错误，函数的定义域和值域不一定是无限集合，也可以是有限集，但一定不是空集，如函

数/（x）=l,x=l的定义域为{1},值域为{1}；C正确，根据函数的定义，定义域中的每一个元素都能在

值域中找到唯一元素与之对应；D错误，当/的值不同时•，y的值可能相同，如函数y=当工=1或

x=_l时，y=\,

3.（25-26高一上•全国）下列对应关系是集合A到集合8的函数的是（）

A.A=R,5={x|A>0},=N

B.A=Z,B=Z,/:x->>,=x2

C.A={0［},^={-1,0,1},f：A->y2=x

D.A={X|-1<A<1},B={0},/:x-），=。

【答案】ABD

【详解】选项A,B,D中，对集合A中任意实数盯按给定的对应关系/,在集合5中都有唯一实数），

与之龙应，故选项A,B,D符合函数的定义.选项C中，对于集合A中元素1,按对应法则/,在8中

有元素-1和1与之对应，不符合函数的定义.

题型二、求函数的定义域

4.(25-26高一上.广东深圳,期末)函数/3=*+内的定义域为()

A.12,+oo)B.[2,3)C.(3,—)D.[2,3)U(3,-HX))

【答案】D

【分析】分别根据这两个部分对x的限制条件列出不等式组，求解不等式组即可得到函数的定义域.

【详解】函数y=/（x）=」+Q,定义域满足不等式组「：之：.

x-3|工一3工0

解不等式X—2N0,可得XN2.

解不等式工-3工0,可得工工3.

所以不等式组的解为让2且XH3.

用区间表示函数的定义域为［2,3）53,转）.

函数广/（幻=工+^^的定义域是［2,3）53,3）.

x-3

故选：D

5.（25-26高一上-陕西渭南・阶段练习）求下列函数的定义域

V-x

⑵"辛x+三2x-3

3

【答案】(1)(-00,-2)U(-2,0)

(2)(-<x>,-3)U(-3,2]

【分析】(l)由解析式有意义可知x+2工0,-x>0,联立求解即可；

2

(2)由解析式有意义可知-2-丘0,X+2X-3^0,联立求解即可；

【详解】(1)解：由得工<。且工工一2

所以函数/。)=纬二的定义域为(TO,-2)U(-2,0)

—2—x>0x<—2

(2)由《,,»八，得〈IH1「

x+2工一3W0[XHIKXH-3

即X4-2且XH-3

所以函数g(x)=工EL的定义域是(F,—3)U(-3,2].

x~+2x-3

6.(25-26高一上•上海•课堂例题)(1)设函数/("的定义域为[。』，求下列函数的定义域:

①/⑶；②/(«-2).

(2)函数y=/(x+l)的定义域是[-2,3],求函数)，=/(2/-1)的定义域.

【答案】(1)①[叫；②[4,9]；⑵0,|

【分析】(1)利用抽象函数定义域的性质求解即可.

(2)利用抽象函数定义域的性质求解即可.

【详解】(1)①由已知，得0。2口，解得_1。金，故/(巧的定义域为卜川.

②由已知，得04«-2«1,解得4W9,故/(«-2)的定义域为[4.9].

(2)先求/(力的定义域：

因为/(x+l)的定义域是卜2,3],所以-2GW3,

所以-YX+1K4,即以1)的定义域是[T4].

再求J(2x-1)的定义域：

因为-解得OWXK|,

所以“2x7)的定义域是[。,|.

题型三、函数值域

7.(25-26高一上•全国•课前预习)求下列函数的值域:

(1)y=2x+kxe{1,3,5,7};

4

⑵产土.

x-3

【答案】(1){3,7,11,15}

⑵y,2)52,+oo)

【分析】（1）分别将X=1，3,5.7,代入函数的解析式，求得相应的函数值，即可求解;

7

（2）叱简函数为y=2+,结合反比例函数的性质，即可求解.

x-3

【详解】（1）因为KE（3,5,7）,代入求得y=3,7,11,15,所以函数的值域为［3,7,11,15}.

2x+l2(x-3)+7)7，因为£皿可得⑺,

（2）由函数y=---------=-------------------=24-------

x-3x—3x-3

所以函数的值域为（f，2）52,y）.

8.（25-26高一上•全国-课堂例题）求下列函数的值域:

⑴产2x+l,x€{1,2,3,4,5}；

⑵），=4+1；

⑶-4x+6,"[1,5]；

/八3x+2

⑷)'F

【答案】（1）{3,579,11}；

⑵ue；

(3)[2,11]；

⑷(f3)53,”).

【分析】（1）根据给定的自变量值求出函数值即可.

（2）利用二次根式的意义求出值域.

（3）利用二次函数的性质求出值域.

（4）利用分式函数，结合分离常数的思想求出值域.

【详解】(1)丁=21+1,且xe{l,2,3,4,5},贝I」,，£{3,5,7911}.

所以函数的值域为{357,9,11}.

（2）函数广五+1的定义域为［0.收），由五之0,得4+121,

所以），=五+1的值域为［1,田）.

(3)函数y=.d—4x+6图象的对称轴为x=2,而x[l,5],

当x=2时，ymin=2,当X=5时,y,nax=11,

所以函数的值域为⑵11］.

5

(4)函数y=二节的定义域为{xcRIxwi},

x-1

3A+23(A—1)+5e5c

V=-----=---------=3+----/3,

•x-\x-\x-\

所以函数的值域为(-8,3)53,a).

9.(25-26高一上-上海・随堂练习)求下列函数的值域：

⑴/(X)=3X2-X+2,X€[I,3]；

(2)/(x)=\I-X2-6X-5；

(3)/(x)=^y.

【答案】(1)[4,26]

⑵[0,2]

⑶(y,3)U(3*).

【分析】(1)判断函数的单调性，求出区间端点函数值，即可得解；

(2)首先求出函数的定义域，即可求出-/-6.厂5的取值范围，从而得解;

(3)利用分离常数法及反比例函数的性质计算可得.

【详解】(1)因为〃力=3/7+2=31-+1，xe[l,3],

所以/(“在x«l，3]上单调递增,

又/。)=4,/(3)=26,

・・・函数〃%)=3—,%«1,3]的值域为[4,26].

⑵令-丁-6工-5之0,即(x+l)a+5)W0,解得WW-I,

所以/(X)=7-X2-6X-5的定义域为,

XV-X:-6X-5=-(X+3)2+4<4,A()<-x2-6x-5<4,

i^V-r-6x-5e[0.2],

•**/(A)=\/-x2-6x-5的值域为[0,2].

(3)因为〃/)二笔=3噌+77

=3+

x-2x-27^2

又S=。，所以/(x)wo,

6

，函数/("=—7的值域为(T°，3)U(3,+OO).

X—2

题型四、同一个函数的判定

10.(25-26高一上•全国•课后作业)下列四组函数中，/(X)与g(x)表示同一函数的是()

V2-1..fx+1,x>-l,

A.f(x)=x-\,g(x)=---B./(%)=x+1,g(x)={

x+\x<-\

C./(x)=l^(x)=(x+l)°D./(x)=Jd_4,g⑶=Jx_2.Jx+2

【答案】B

【详解】A选项中，/G)的定义域为R，g(x)的定义域为(%"5L。)，所以二者不是同•函数，所以A

错误；B选项中，八力=卜+1|=।'一一；与以外的定义域相同，都是R,对应法则也相同，所以二

-1-x,x<-\,

者是同一函数，所以B正确；C选项中，/(X)的定义域为R,g(x)的定义域为yi)5T3),所以二者

不是同一函数，所以C错误；D选项中，"X)的定义域为(y,-2]U[2,+oo),g(x)的定义域为[2,+co),所以

二者不是同一函数，所以D错误.

11.(25-26高一上•贵州贵阳•期末)下列各组函数中，表示同一个函数的是()

A./(x)=x2,g(x)=(6)4B./(x)=x-l,=

X

C."x)=x,g(x)="D./(x)T4

【答案】D

【分析】分别求出函数的定义域和对应关系，根据函数的概念判断是否为同一函数.

【详解】对于A,函数=V的定义域为R,g(x)=(4)4的定义域为人的)，

两个函数的定义域不同，不是同一个函数，故A错误；

对于B,函数/(力=工-1的定义域为R,g("=三的定义域为3工工0},

X

两个函数的定义域不同，不是同一个函数，故B错误；

对于C,函数g(x)="=k|与函数=x的对应关系不同，不是同一个函数，故C错误；

对干D,"l)=国=『与函数定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数，故

D正确.

故选:D.

12.(25-26高一上•甘肃甘南•期末)下列四组函数：①二送(耳=病；②

/(力=竽^*3=(6)\③/(x)=Y-2x+l,g(/)=Q-l)2；④/(x)=l,g(x)=(x+D°；其中表示同一函数

X~i1

的是()

A.②④B.②③C.①③D.③④

7

【答案】B

【分析】根据函数的定义域和对应法则进行判断即可.

【详解】对于①，函数/("=寸的定义域为{x|x，O},函数g(x)=J7的定义域为xtR,

.I

其定义域不同，所以不是同一函数，故错误；

对于②，函数小)=*=%收")=(对Lx,两个函数定义域都是XWR,

对应法则也一样，是同一函数，故正确；

对于③，函数=f-2x+LgGl=Q—1尸=/一2/+1,

两个函数定义域和对应法则一样，是同一函数，故正确；

对于④，函数④力=1的定义域为1£R,函数g(x)=(x+D°=l定义域为{xlxwT},

两个函数定义域不一样，不是同一函数，故错误.

故选：B.

题型五、求函数解析式

命题角度1换元法

13.(25-26高一上•吉林通化•期末)已知/(6+1)="+2,则函数/(6的解析式为()

A./(x)=x2B.f(x)=x2+\(%>1)

C.f(x)=x2-2x+2(x>l)D./(X)=X2-2X+3(X21)

【答案】D

【分析】令4+l=f(dI),采用换元法求函数的解析式.

【详解】令6+1=/。川，则上=("琰,

22

.•./(z)=(r-l)+2=r-2z+3,

所以/(力=/一"+3(壮1).

故选：D.

14.(25-26高一上•云南文山•期中)己知函数四)二-2,则/(力的解析式为()

A.J\X)=JC-2X-\B./(x)=x2-2(x^0)

C."X)=W_2X_3(XN])D.〃x)=f_2x_l(xwl)

【答案】D

【分析】利用换元法求解即可.

8

【详解】令七四=1+Lzwl,则,=/-1,

XXX

所以加)=(1)2-2=r-21,

所以〃x)=f-2x—l(xwl).

故选：D.

15.(25-26高一上•山东威海•阶段练习)已知函数一工)==1(.-0),则/")=()

X

A.(、T(x-。)B.(:T(x.l)

(x-l)(x-1)

44

C.；一万一1("。)D.；一厅一1("1)

(1)(1)

【答案】B

【分析】令l-xn(fwl),得x=l一,表示出/⑺即可得到/(x)的解析式.

【详解】令1一工三，，贝Ijrwl,x^}-tf

/、l-(l-r)2\/、

J~~^=7-7_小1)，

(IT)(I7)

(I)(x-1)

故选：B.

命题角度2配凑法

16.(25-26高一上•甘肃•阶段练习)己知函数/⑺满足f(2x)=4W+2x,则()

A.f(x)=2x2+x2

B.f(x)=.x+2x

C./(x)=2?+2xD./(x)=x2+x

【答案】D

【分析】由已知结合配凑法即可求解函数解析式.

【详解】由/(2x)=(2"+2x,可得/(x)=/+x.

故选:D.

17.(25-26高一上•河南南阳•期中)己知函数=f+2/+/_2%且/色)=10,则”()

A.13B.-13

C.23D.-23

9

【答案】A

【分析】根据条件，利用配凑法，求得/(%)=/2〃(*二：),再结合条件，即可求解.

【详解】易知X?+X=(%+:)2,

244

又/(犬+%)=(/+-2a,所以/(%)=Y-2a(x>--^),

则/(6)=36-2〃=10,解得《=13,

故选：A.

18.(25-26高一上•天津滨海新•阶段练习)已知/(«+2)=x+l,则/5)=()

A.A:2-4X+5(X>2)B.X2-4X+3(X>2)

C.X2-4X+3(X>0)D.X2-4X+5(X>0)

【答案】A

【分析】由配凑法/(4+2)=%+1=(«+2)；4(«+2)+5和、G+222即可得解.

【详解】因为/(«+2)=x+l=(4+2『-4(6+2)+5,且五+222,

所以〃切=9-4.丫+5(X之2).

故选：A.

命题角度3待定系数法

19.(25-26高一上•福建福州•期中)若函数f(x)是二次函数，满足/(。)=2,/(x+2)-/(x)=4x,则

/(x)=()

A.x2+x+2B.x?-2x+2C.x2—x+2D.x~+2.x+2

【答案】B

【分析】利用待定系数法，由题意建立方程组，可得答案.

【详解】设/(x)=ad+〃x+c(〃工0),由f(0)=2,则c=2,

由/(x+2)-/(A)=4x,贝lja(x+2)2+b(x+2)+2-^ax2+/zx+2)=4x,

4a=4ci=\

整理可得4依+4〃+2〃=叙，则/力解得〃

4a+2b=0[b=-2

所以/(力=f-2x+2.

故选：B.

20.(22-23高三•全国•中职高考)若二次函数/(幻满足〃x+1)-/(x)=2x,且/(0)=1,则，⑸的表

10

达式为()

A.f(x)=-x2-x-\B./(x)=-x2+x-l

C./(x)=x2-x-lD./(x)=x2-x+l

【答案】D

【分析】设/(力=/+及+c,"0,根据/(。)=1得到“1,再根据/(x+l)-/(6=2x得到〃=1,b=-\f

从而得到函数的解析式.

【详解】设/(x)=ad+bx+c,。工0,

V/(0)=1,则c=l,/(x)=ar+M-+1

又/(x+l)-/(x)=2x,

令x=0,贝I/(1)一/(。)=0,/(!)=1,即。+匕+1=1,。+匕=0,

令x=l,则/(2)-/(1)=2,/(2)=3,即4a+2Z?+l=3,2a+b=\,

/.«=!,b=-\,/(x)=x2—x+l.

故选:D.

21.(22-23高一上•广西桂林•期中)已知一次函数/(“满足/(x+2)—2/(2x+l)=-9x-4,则“力解

析式为()

A./(x)=-2x-4B./(x)=-2x+3

C./(x)=3x+4D.f(x)=-3x+2

【答案】C

【分析】假设出一次函数的解析式，根据题意列出方程，待定系数法求解即可.

【详解】设一次函数/(工)=依+〃，

贝lj/(x+2)-2f(2x+})=ax+2a+b-4ax-2a-2b=-9x-4,

—3〃=—9fo=3

即一3④一〃=一9X一4,所以《解得(.

所以“r)=3x+4,

故选:C.

命题角度4构造方程组法

22.(25-26高一上•山东)已知函数/W的定义域为R,对任意人eR均满足：2/(X)-/(-A)-4X+1,

11

则函数/(X)解析式为()

4,、4

A.，(X)=QX+1B.f(x)=-x-\

JJ

C./(A)=-1X+1D./(A)=-1x-l

【答案】A

【分析】利用方程组法求解析式即可.

【详解】由2〃X)—/(T)=4X+1①，

可得2/(-x)-/(x)=Yv+1②，

4

①x2+②得：3/(x)=4x+3,B|J/(x)=-^+l.

故选：A.

23.(25-26高一上-四川成都-期中)已知定义在(。，+8)上的函数/3)满足八刈-3/(3=-3，则/(2)

XX

的值为()

A.7B.8C.13D.14

【答案】C

【分析】由构造方程法可先求出/@)解析式，再求出八2)的值.

【详解】由题意得，因为f*)-3fd)=-电，

xx

所以对于任意工€(。，田)，=

X

f(x)-3f(-)=-—

联立“*消去/(与可得，

/(-)-3/(x)=-16xA

x

....,2

/(x)=6x+-,

x

所以/(2)=6x2+l=13,

故选：C.

24.(25-26高一上-黑龙江哈尔滨-阶段练习)已知函数/(力的定义域为R,且满足了3+2/(T)=/一,

则/*)的解析式是.fW=.

【答案】#+工

【分析】根据给定条件，用-工换x建立方程组求解.

【详解】由/(x)+2/(T)=f-x,得/'(T)+2/(X)=X2+X,

联立两式消去了(T),得3/(x)=x：+3x,解得f(x)=#+x,

12

所以f0）的解析式是“丫）=#+x.

故答案为：+X

题型六、函数的表示方法

25.（25-26高一上•全国）某同学坐公交车去上学，出发一段时间后他妈妈发现他忘记带文具盒,

于是开车去追，在公交换乘时追上他，把文具盒交给他后便开车回家，忽略两人见面的时间，以下哪

个图象表示随着时间变化两人之间距离的变化（）

上两人之间的距离

A.

O

个两人之间的距向

C.

o时间

【答案】C

【分析】根据已知条件进行分析，结合图象来确定正确答案.

【详解】设公交车行驶速度为开车的速度为匕，

则该同学出门后到他妈妈发现他忘带文具盒这段时间两人之间的距离以匕的速度增大,

从妈妈出发到追上他这段时间两人之间的距离以（匕-匕）的速度减小;

分别后两人之间的距离以（岭+匕）的速度增大，C正确.

故选：C

26.（23-24高一上•广东江门•期中）若函数/（“为

X0123

fix)3210

则/[/⑴卜()

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】本题可先根据表格求出f（l）的值，再求出/[/⑴]的值.

【详解】由表格可知，当x=l时，"1）=2.

所以/[/⑴卜/⑵=1.

故选：B.

13

27.(23-24高一上•山西•期中)如图，四边形8CDE是矩形，8c=8,CD=6,△A8E是等腰直角三角

形.点M从点A出发,沿着动4反班;运动到点。,点N在边上运动.直线MNHCD.设点M运

动的路程为x，MN的左侧部分的多边形的周长(含线段MN的长度)为L").当点M在线段8c上运动

时,的解析式为()

A.l\x)=2x+6(3x/2<x<372+8)B.A(x)=2.r+6(0<J<8)

C.L(x)=2x+6V2+6(3V2<x<3x/2+8)D.L(X)=2X+6V/2(0<X<8)

【答案】A

【分析】根据题中条件可求得4B=3&,依题分析即可得到结果.

【详解】因为人48£是等腰直角三角形，BE-CD-6,

所以A8=3夜.当点M在线段8c上运动时，

3X/2<A:<3>/2+8,L(X)=2A+6.

故选：A.

题型七、分段函数求值

28.(25-26高一上•贵州毕节•期末)已知函数则/(〃-1))=()

人I4,八\z

A.2B.1C.-1D.0

【答案】D

【分析】根据分段函数的解析式计算直接得出结果.

【详解】由题意知，/(-1)=-1+2=1,/(1)=0,

所以/(/(-1))=().

故选：D

29.(25-26高一上•江苏南通•阶段练习)设则/(9)的值为()

2x-15,x>10

A.9B.11C.28D.14

【答案】B

【分析】由9<10,结合函数解析式可得外9)=/(/(14)),再由解析式求/(14),/(13)求结论.

14

/(/(x+5))„v<10

【详解】因为/")=9<10,

2x-15,x>10

所以49)=/(/(14)),

又14>1。，故/(14)=2xl4-15=13,13>10,

所以〃9)=/(13)=2X13-15=11.

故选：B

30.(25-26高一上•广东广州•期中)已知函数/。)=｛二祟］,则//图的值为()

A.B.C.D.-7

2222

【答案】B

【分析】由分段函数的概念直接代入解析式计算即可.

【详解】因为/图=-93弓，吗)=；+14

所以/呜)=i

故选：B.

题型八、解分段函数不等式

31.(25-26高一上•浙江嘉兴•阶段练习)设函数〃力="：2寸：：0,则不等式/(》)〉/⑴的解集

3x+6,x>0

是()

A.(-00,-4)M(1,+O9)B.(f,-2)11(1，”)

C.(^c,-4)o(2,-Foo)D.(-<O,-2)U(2,-K»)

【答案】A

【分析】先求出/⑴，然后分类讨论求解不等式八2>/⑴的解集即可.

【详解】由题意可得:/⑴=3+6=9,

当x<0时,A2+2A+1>9,解得*<-4或x>2,所以4<—4.

当x20时，3x+6>9,解得x>l,所以x>l.

综上所述：不等式/。)>川)的解集为：(FT)U(l,e).

故选：A

32.(25-26高一上•湖北•阶段练习)已知函数/(x)=e：2："T则下列关于函数/(x)的结论错

X,-1<X<2

误的是()

15

A./(/(-1))=1B.若〃x)=3,则x的值是6

C./(x)<l的解集为(fl)D./(x)的值域为(TO,4)

【答案】C

【分析】根据题意，由分段函数的性质，代入计算，逐一判断，即可得到结果.

【详解】因为〃-1)=-1+2=1,则/(/(-1))=〃1)=12=1,故A正确；

当时，x+2=3,解得x=l(舍去)，

当-1<工<2时，X2=3,解得X=G或X=-G(舍去)，故B正确；

当xW-l时，x+2<l,解得x<-l,

当-lvxv2时，fvl,解得Tvxvl,

所以/(6<1的解集为(口,-1)5-1,1)，故c错误；

当xW-l时，的取值范围是

当-l<x<2时，/(x)的取值范围是［0,4),

因此〃力的值域为(―，4),故D正确;

故选：C

33.(25-26高一上•天津•期中)设函数/(幻=4%+：,"0,则不等式/(>/(-3)的解集是()

x+6,x<0

A.(-3,1)U(2,+00)B.(-3,l)U(3,+oo)

C.(-U)U(3,y)D.(F,-3)U(L3)

【答案】B

【分析】求出八-3),再分段解不等式求出解集.

【详解】函数解产0,则〃-3)=3,

x+6,x<0

不等式/(x)>/(-3),当入Y。时，x+6>3,解得%>-3,因此-3<x<0；

当xNO时，x2-4x+6>3,BPx2-4x+3>0,解得x<l或x>3,因此0W1或x>3,

所以不等式/W>〃-3)的解集是(-3,1)U(3,+oo).

故选：B

题型九、函数的概念与表示综合问题

34.(25-26高一上-全国)求下列函数的解析式.

(1)己知/。)=丁+2%,求/(2工+1)；

16

(2)已知/•(4-1)=X+24,求/⑶；

⑶己知/⑴-2/(£|=3.E+2,求f(x).

【答案】(1)/(2X+1)=4X2+8X+3

(2)f(x)=x2+4x+3(x>-1)

2

⑶/(x)=-x—2

x

【分析】(1)利用代入法求解析式即可；

(2)解法一利用配凑法，解法一利用换元法求解析式；

(3)利用方程组法求解即可.

【详解】(1)用代入法，因为/(工)=/+2%，

所以/(2x+l)=(2x+1)2+2(2x+l)=4/+8x+3；

(2)解法一(配凑法)：

因为-1)=(&-1尸+4(&-1)+3,且,

所以函数的解析式为/(A)=X2+4A+3(X>-1)；

解法二(换元法)：

令f=6-1,则£之一1,且«=/+1,

所以/«)=(/+1)2+2«+1)=/+4/+3QNT),

故函数的解析式为fW=X2+4X+3(X>-1)；

(3)利用方程组法：/(x)-2/&)=3x+2①，

用，代换①式中的孙得斗2〃x)=3+2②,

由①②联立消去/(£|,得=

故函数的解析式为f(x)=r，-2.

x

35.(25-26高一上•全国)(1)已知出数/(X)=如+m—2匹+(加一+4.

①若/")的定义域为-2,11,求实数加的值；

②若/(x)的定义域为R,求实数力的取值范围.

(2)已知函数的定义域是E,3是求函数〃2x-l)的定义域.

(3)已知函数f(x+3)的定义域为(TO),求函数的定义域.

【答案】⑴①-1②(-8,-装Ufh+oo)；(2)[0,2];(3)(2.3).

17

【详解】解：（1）①由题意得不等式2卜2+（〃I）x+4之。的解集为[-2,1],所以

m+阳一2<0,-2<m<1,

[(〃—)+]=_],化简得.

-L解得〃[-T.故头数勿的值为-1.

in+/n-2m+2

4

—；------=—2x1=—2,,4=—2,

.m~+〃]一21犷+加一2

②由题意得不等式（〃「+〃?一2）x~+（，"-1）工+420在R上恒成立.当〃「+〃?一2=。时，/〃=1或〃?=一2,若"，=1,

则/。）=2,符合题意：若利=-2,则〃=其定义域不是R,不符合题意.当田+吁2E0,

，九2+〃2—2>0,11

｛△=（加-1>-16（加+加-2）<0解得'""-彳或'”二综上所述'”的取值范围是

18,一日UU什）.

（2）因为函数y=f（x）的定义域是[-1,3],所以TK2X-1T3,解得0。42,故函数的定义域

是[0,2].

（3）因为函数/*+3）的定义域为（-1,0））,即-IvxvO,所以2vx+3v3,即/（幻的定义域为（2,3）.

36.（25-26高一上•内蒙古包头­期中）已知函数，（”=2.

-x-2,x<-\

⑴若〃%）=1,求与的值；

（2）若〃。）<。+3,求实数。的取值范围.

【答案】⑴4=2或-3；

«eU,4

⑵12

【分析】（1）由〃%）=1,结合函数解析式解方程即可;

(2)/(〃)<々+3可得/或二;二3,解之即可求解•

------1<n+3

2

【详解】（1）由〃%）=1可得:

%>-1

(i)%：.1=>%=2(瓦=-2舍去);

-------1=I

2

(ii)

综上,X。=2或一3；

18

(2)由可得:

(i)2=>-{=>=>ae(-l,4)

幺a_]<a+3a92-2«-8<0-2<a<4'7

2

-H--1(51

-a-2<a+3a>--(2

2

综上兀得

【专项训练】

一、单选题

1.(25-26高一上•全国)下列表示函数图象的是()

【分析】根据函数的定义对图象一一判断即可.

【详解】在函数的基本概念中，自变量光和因变量y需要一一对应，且对于每个X值，仅有一个y值对

应，

所以选项ABD均不符合.

故选：C.

2.(25-26高一上-四川绵阳・阶段练习)下列表示是同一个函数的是()

2

A./(A-)=1^(A-)=X°B.f(x)=y/x^yg(x)=(4x)

C./W=|X+1|,g(/)=k+l|D.f(x)=x+\,g(x)=^-

x—1

【答案】c

【分析】根据定义域和对应法则是否相同逐项判断后可得正确的选项.

【详解】对于A,〃力=1的定义域为R,g(x)=x°的定义域为(y,0)U(0,y),

故j'(x)，g("不是同一函数，故A错误；

对于B,f(x)=正的定义域为R,g(x)=(&)2的定义域为［0,”),

故f(*),g(x)不是同故数,故B错误;

19

对于C,两个函数的定义域都为R,且对应法则也相同，故两个函数为同一函数,

故C正确：

对于D,的定义域为R,g(x)==l的定义域为(。,1)供1,包)，

故〃M，g(x)不是同一函数,故D错误；

故选：C.

3.(25-26高一上•全国•课后作业)已知函数g(x)=2x+3J(x)=g(2x-l),则/(x+l)=()

A.2x+lB.4x+5C.4x-5D.4x+l

【答案】B

【详解】由/U)=^(2x-l)=4x+l^/(.r+l)=4x+5.

4.(25-26高一上•全国.课后作业)函数广高匕的定义域为()

A.,XeRxw」垢*2.B.、xeRx工2.

22

•.

C.x&R-2s^x*--D.IX6RX工一2且KK—'

22

【答案】B

【详解】由2/_3x-2=0,解得且工工2,所以定义域为xeR|x。—且x工2,.

2

5.(25-26高一上•福建莆田•期末)设函数=则〃一2)=()

X—3X,A>0

A.-4B.-2C.0D.2

【答案】B

【分析】代入计算，得到/(-2)=/(2)=-2.

【详解】/(-2)=/(-2+2)=/(0)=/(04-2)=/(2)=22-6=-2.

故选：B

6.(25-26高一上•云南楚雄•期末)已知函数/("的定义域为(T2),则函数网力=牛"的定义

域为(：)

A.(-U)B.{1}C.(1,3)D.(-1,3)

【答案】C

【分析】由抽象函数定义域及具体函数定义域的概念构造不等式求解即可；

【详解】由题意：要使gw=3T有意义，则.।‘

VA—1IX>1,

解得K3,所以g(x)的定义域为(L3).

20

故选：c

7.（25-26高一上•福建泉州•期末）已知函数/（力=丁-2尔-5+2的值域为［0,3）,则实数，〃的值

为（）

A.一2或1B.-2C.1D.1或2

【答案】A

【分析】因为函数“x）=（x-〃）2-M_m+22-*—〃+2,贝IJ9题意得一1T〃+2=。，进而可求得答案.

【详解】因为函数/（丫）=r2—7mx—/„+?.=（r——m2—m4-?.>—m2—tn+?.,

又函数/（X）=V-2"a-〃?+2的值域为［0,+co）,

则-nV-???+2=0>解得〃?=-2或m—1.

故选：A.

8.（25-26高一上-上海虹口・期末）设小）=3-2|"g（x"-2x,尸（力=［配'，"配，则（）.

A.函数y="（x）的最大值为3,最小值为1

B.函数y=F（x）的最大值为2-不，无最小值

C.函数>=/（工）的最大值为7-2万，无最小值

D.函数>=/（工）的最大值为3,最小值为T

【答案】C

【分析】在同一坐标系中先画出人力