2026初升高（高一）数学提升讲义：因式分解（学生版）

第2讲：因式分解

【考点梳理】

＞题型一：提取公因式和公式法因式分解

＞题型二：分组分解法

＞题型三：十字相乘法

＞题型四：因式分解的综合

【知识梳理】

知识点一、公式法(立方和、立方差公式)

o'+Z?3=(a+h)(a2-ah+b2)

/-by=(a-b)(a1+ab+b2)

这就是说，两个数的立方和(差)，等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和).

运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解.

知识点二、分组分解法

从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式.而对于四项以上

的多项式，如〃以+〃必+腐+，力既没有公式可用，也没有公因式可以提取.因此，可以先将多项式分

组处理.这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法.分组分解法的关键在于如何分组.

知识点三、十字相乘法

1.d+(p+4)x+pq型的因式分解

(1)二次项系数是1;(2)常数项是两个数之积；(3)一次项系数是常数项的两个因数之和.

+(p+q)x+pq=x+px+qx+pq=x(x+p)+q{x+p)=(x+p)(x+c/).

因此,x2+(〃+q)%+pq=(x+p)(x+q).

2.一般二次三项式云+。型的因式分解

大家知道，(4*+。］)(%3+。2)=。1〃2*2+(%。2+〃2。1)工+。1。2-

反过来，就得到：4a2—+(%。2+3CI)x+C1C2=(fljX+C1)(«2X4-C2)

我们发现，二次项系数。分解成《生，常数项。分解成cq，把49，c“2写成;X］，这里按斜

线交叉相乘，再相加，就得到+4。1，那么++Z＞x+c就可以分解成(qx+C］)(〃2X+C2).

这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法.

【题型突破】

题型一：提取公因式和公式法因式分解

1.(25-26高一•上海)分解因式：

.1

(1)("[2-1)(〃2-1)+痴〃;

(2)U+1)4+(X2-1)2+(X-1)4；

(3)?-9.r+8;

(4)x5+x+\.

2.(25-26高一上.全国•课前预习)计算:

,(IIVII1A

(1)-m+—n—m2---mn+—n~.

2A25104「

(2)®+2)(〃-2)(/+4/+16).

3.(25-26高一上•全国•课前预习)分解因式:

(l)-4ab-8b2+l0b；

(2)2(n-m)2-m(m-ri)；

(3)l5y(«-/?)2-3y(b-a).

题型二：分组分解法

4.(25-26高一上♦全国•课前预习)分解因式:

(l)x2-xy+3y-3x；

(2)2x24-AJ-j2-4x+5.v-6.

5.(25-26高一上•全国•假期作业)阅读理解题：

拆项法是因式分解中一种技巧较强的方法，它通常是把多项式中的某一项拆成几项，再分组分解，因

而有时需要多次实验才能成功，例如把寸-3寸+4分解因式，这是一个三项式，最高次项是三次项，

一次项系数为零，本题既没有公因式可提取，又不能直接应用公式，因而考虑制造分组分解的条件，

把常数项拆成1和3,原式就变成仁+1)-(3/-3),再利用立方和与平方差先分解，解法如下：

原式=丁+1—(3/—3)=(x+1乂/—x+1)—3(x+l)(x—1)

2

=(x+l)(x2-X4-1-3A+3)=(X+1)(X-2)2

公式：a，+Z/=(a+0)("-他+⑹，as-bs=(a-b^a1+ab+b~)

根据上述论法和解法，

(1)因式分解：x3+X2-2；

(2)因式分解：x3-7x+6;

(3)因式分解:x*+x2+1.

6.(25・26高一上•全国•假期作业)阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式

法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分

组分解.

例1：“两两分组”：ax+ay+bx+by

解:原式=(at+?)+(陵+by)=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y)

例2：“三一分组”：2xy+x2-\+y2

解：原式=(/+2邛+)，2)-1=*+.2-1=(x+y+D(x+y-])

归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解.

请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题：

(1)分解因式：

①Y-xy>+4x-4y；

@x2-y2+4y-4.

(2)已知的三边a,b,c满足从=o,试判断V4?C的形状.

题型三：十字相乘法

7.(25-26高一上•全国•课前预习)分解因式.

(1)x2—2,r-3;

(2)2/-7y+3；

(3)12r-5x-2；

(4)11X-X2-18;

(5)x2-3xy+2y2.

3

8.(25-26高一上.全国•课前预习)把下列各式因式分解.

(l)x2+(2/〃+l)x+M+m；

(2)7(a+M-5(a+〃)-2；

CW+『-3;

9.(2025高一•全国・专题练习)因式分解练习

(l)x2-7x+6

(2)X2-4X-21

(3)2』+15X+7

(4)3X2-11X+6

(5)6X2-7x-5

题型四：因式分解的综合

10.(25・26高一・上海•假期作业)分解因式:

(l)ab-2a-h+2；

(2)8/+4/-21-1;

(3)x2-xy-2y2-2x+7y-3；

(4)4a2-20ab+25b2-36;

(5)x6-y6-2x3+l；

(6)x2(j+l)-y(xy+x).

11.(2025高一♦全国•专题练习)因式分解练习

(1)r2+3x4-1

⑵/-3〃a+2病

(3)ma+mb+na+nb

(4)a2-3ab+ac-3bc

(5)a24-ab-3h-3a

12.（2025高一•全国・专题练习）因式分解练习

4

(1)X2-4X-5

⑵2/+7x+3

(3)f+(，〃-2〃)x-2nm

(4)2x2-7av+3a2

(5)f+(2a-b)x+(〃2-ab-2b2)

【专题突破】

一、单选题

1.(25-26高一上•全国•课前预习)下列因式分解中，结果正确的是（）

A.X2-4=(X+2)(X-2)B.l-（x+2）2=（x+l）（x+3）

C.2m2n-8〃'=2〃(〃P-4,/)n，111）

41x4/）

2.(25-26高一上•全国•课前预习)下列运算正确的是（）

A.(a-b)2=a2-b2B.9-»=〃3一分

C.-b''={a-b)(a1+ab+b'^D.a'+//=（4+与侬+他+〃2）

3.(25-26高一上•全国•课前预习)不能用十字相乘法分解的是（）

A.X2+X-2B.3x2-lOx+3

C.4/+x+2D.5.r2—6.n?—Sy2

4.（2025高一•全国・专题练习）将/+4/因式分解的结果是（）

A./+4父=任+2b2+2ab）（a2+2b2-2ab）

B./+484=(/-2/+2ab)(a2+2b2-lab)

C.a+4//=(/+2/r+2ab)(a2-2b2-2ab)

D.a4+4b4=(a2-2b2+2al))(a2-2b2-2ab)

5.(25・26高一上•福建厦门•阶段练习)给出下列等式，其中因式分解惇堡的是()

A.-x2-0.0l=f-.v-0.1Y-x+0.11B.27«3+1=(3«+1)(96?-3«+1)

913八3/

C.64-8。'=(4-2。)(16-8。+4叫D.a2-(b+c)2=(a-b-c)(a+b+c)

5

6.(25-26高一上.四川内江•开学考试)把f-2冲+)，2+.”)，分解因式的结果是()

A.(x-y)(x-y+\)B.

C.(x+y)(x-y+l)D.(x+y)(x-y-l)

7.(25・26高一上•湖北黄石•开学考试)下列因式分解的结果正确的是()

A.4«2-1=(4«4-1)(4«-1)B.a1-2ab-b~=(a-b)2

C.2a*+a=-a(2a+l)D.a?+a-6=(a-2乂〃+3)

8.(25-26高一上•全国•假期作业)由〃z(a+b+c)=〃?a+/汕+/可得

(a+b)[a--«/>+/?')=as-a-b+air+a2b-ab-+/?,=ay+/?',即(a+/?)(a2-ab+b2)=a+①，我们把等式①叫做

多项式乘法的立方公式.下列应用这个立方公式进行的变形不正确的是()

A.(x+4y)(-v2-4孙+16y2)=V+64>'5

B.(x-4y)(W+4孙+16)，2)=丁-64/

C.-?+27=(3-A)(.r+3x+9)

D.(“+1)(。'+4-1)=/+1

二、多选题

9.(25-26高一上•云南保山•阶段练习)下列选项中错误的是()

A.4f_)，2=(2x+y)(2x-)，)B.17工+6=(工+1"+6)

C.(a+b^f=(a-b)2+2abD.x2+5x+6=(x+2)(x+3)

10.(25-26高一上•云南昆明•开学考试)[±|m(a+b+c)=ma+mb+mc,可得：

(a+州/一"+/)="一/〃+加+/〃一加+。3="+吐即(〃+“(/一昉+/)="+/①，我们把等式①

叫做多项式乘法的立方和公式.下列应用这个立方和公式进行的变形正确的是()

22

A.(x+4)，)(f-4町+16y2)=丁+64『B(2x+y)(4x-2xy+y)=8.?+/

C.(tz+l)(a2+a+l)=a3+lD.V+27=(x+3)(x2-3x+9)

11.(23-24高一上.广西玉林•开学考试)下列因式分解中正确的是()

A.%2-8^+16/=(x-4y)2B.A>=x+y-l=(x+l)(y-l)

C.X2-4X-5=(X-1)(X+5)D.16X4-1=(4X2+1)(2X+1)(2%-1)

6

12.(23-24高一上.广西钦州•开学考试)将下列多项式因式分解，结果中含因式(x+1)的有()

A.x2+I2x+11B.x3-x2+x-l

C.+2x2+5x+4D.(x2-3x)2-2(x2-3x)-8

13.(23-24高一上.江苏泰州•开学考试)给出下列等式，其中因式分解正确的是()

A.-x2-0.01=|-X-0.1Y-A:+0.11B.64-昉3=(4-26)(16-泌+4/)

913八3>

C.27a3+1=(3«+1)(9。2—M+])D.a2-(/?+c)2=(a-b-c)(a+b+c)

14.(23-24高一上•福建宁德•升学考试)下列计嵬正确的是()

A.(x+y)2=x2+y2B.x2+4x-l2=(x+2)(x+6)

C.x2~(^a+b)xy+aby2=(x-«yj(.r-/?y)D.x3+9+3x2+3x=(x+3)(x2+3)

三、填空题

15.(25-26高一上•全国•课前预习)若将多项式丁―。因式分解为(x-2)(X+5),则。〃-3181920”的值

为•

16.(25-26高一上•全国•课前预习)在实数范围内分解因式2Y+2X-1=.

17.(2025高一•全国•专题练习)分解下列因式:

(1)3f+8x_3=；

(2)x2-\[2x-4=;

(3)\n+\)a2+ab-nb2=.

18.(2025高一•全国•专题练习)分解下列因式:

(1)1—m2—n2+2nm=;

(2)x2-y2-x+y=；

(3),v3+3x2-4x-12=.

四、解答题

19.(25-26高一・上海•假期作业)分解因式：

(l)x3+9+3x2+3x；

(2)2.r24-xy-y2-4x+5y-6；

(3)X3-3d+4.

7

2().(25-26高一・上海•假期作业)分解因式：

(1)(X24-X+1)(X2+X+2)-12；

⑵(丁+“+/)2一4孙(丁+力.

21.(25-26高一上•全国•课前预习)计算：

(1)(2〃+b)(4a2-2ab+/?2)；

(2)(5°一#)(25/+9/

⑶(5-2x)(4/+25+1Ox).

22.(25-26高一上•全国•课前预习)分解因式:

(1)3X2-I4X+15;

(2)(x2+2x)2—7+2x)-8；

(3)Y+2x-15-or-5a.

23.(2025高一•全国・专题练习)因式分解练习

⑴。+»-4—)，)+3

(2)x2-3^+2/

⑶/+9+3/+3X

(4)冲-l+x-y

(5)x2+2x-1

24.(2025高一•全国•专题练习)因式分解练习

(l)x2+3x-y2-3.y

(2)a2-6ab+9b2-c2

8

(3)x2-x+2y-2xy

(4)X'+2X2-3

(5)x3+5x2+7x+3

25.(25-26高一上•全国•课前预习)阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：

2

l+x+Xx4-l)+x(x+l)=(1+X)[I+X+X(X+1)]=(I+X)2(1+X)=(1+A)3

(1)上述分解因式的方法是________，共应用了次.

⑵若分解1+X+X(X+1)+X(X+1)2++式工+1严25,则需应用上述方法_________次，结果是_________.

(3)分解因式：1+X+MX+1)+X(X+1)2++X(X+l)"(〃为正整数).

26.(2025高一•全国・专题练习)因式分解练习

(1)x2-5x+3

(2)X2-2X-4

(3)x2+2x-15-ar-5a

(4)/-2成+从+2。-2〃-3

(5)/?2+c2+lab+2ac+2bc

27.(2025高一•全国•专题练习)因式分解练习

(\)3x2+bx-2h2

(2)公y一7agi0

(3)a,b-45ab-4a2b

(4)x2+x-(4-ci)

(5),r2-a2-2x-2f/

28.(25-26高一上•河北邯郸•阶段练习)【教材呈现】人教版八年级上册数学教材121页有“阅读与思

考”：根据多项式的乘法法则，可知(工+，)(工+4)=/+川+"+〃9=丁+(〃+4)工+的.那么，反过来，也

有工2+(〃+4)工+N=(1+〃)"+4这就是将某些二次项系数是1的二次三项式进行的分解因式.例如，因

式分解f+3x+2.这个式子的二次项系数是1,常数项2=1x2,一次项系数3=1+2,符合*+(p+q)x+pq

9

类型，于是有f+3x+2=(x+l)(>2)这个过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项

系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下

角;然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.这样，我们也可以得到W+3x+2=(x+l)(x+2).

利用上面的方法，因式分解以下题目：

(2)x2y+x2-3xy+xy2-4y2.

29.(25-26高一上全国•假期作业)阅读理解：

在松松与南南学习到分解因式的知识时，发现8年级上教材第65页有一种因式分解的方法叫十字相乘

法，即(、+〃)(1+，/)=丁+(〃+夕.+/矽，则可按此多项式乘法计算逆向思考，将二次三项式V