2026七年级下册数学期末试题分类汇编（人教版）相交线与平行线（解析版）

专题01相交线与平行线

会4大高频考点概览

考点01相交线

考点02平行线

考点03定义、命题、定理

考点04平移

一、单选题

1.（24-25七年级下•陕西商洛典末）镇安城区主要道路“迎宾路”与“永安路”相交，形成的四个角中其中一

个角的度数是48度，则它的邻补角的度数是（）

A.42°B.48°C.132°D.142°

【答案】C

【分析】本题考查了利用邻补角互补求角度.根据互为邻补角的两个角的和为180。.已知一个角为48。，则

其邻补角=180°-48。，即可作答.

【详解】解:依题意，邻补角=180。-48。=132。，

故选：C.

2.（24-25七年级下•湖北十堰期末）如图，直线力&CO相交于点O,EO1AB.若/4OC:NOOE=1:3,

则NQOE的度数是（）

A.22.50B.45。C.60°D,67.5°

【答案】D

【分析】本题考查了垂直的定义,对顶角的性质，由垂直得40旧=90。，由对顶角的性质得乙

即得N4OQ:NQOE=1:3,进而得至lj/力OE=,即可求解，正确识图是解题的关键.

4

【详解】解:•:EO工AB,

・•・/BOE=90°,

•・•ZAOC与NBOD是对顶角，

:.NAOC=/BOD,

1

,/^AOC:ZDOE=\:3,

・•・乙BOD2DOE=1:3,

33

，Z.DOE=-Z.BOE=90°x-=67.5°，

44

故选：D.

【分析】本题考查了内错角，能根据内错角的概念正确判断是解题关键.

根据内错角的概念逐一判断即可.

【详解】解：A.N1与N2不是内错角，故此选项不符合题意：

B.N1与N2不是内错角，故此选项不符合题意；

C.N1与N2是内错角，故此选项符合题意；

D.N1与22不是内错角，故此选项不符合题意；

故选：C.

4.（24-25七年级下•全国•课后作业）下列各选项中，N1和N2是同位角的是（）

【分析】本题考查了同位角.同位角是两直线被第三条直线所械形成的，具有特殊位置关系的两个角，解

决本题的关键是观察图中两个角的位置关系，是否符合同位角的位置关系.

两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁,

则这样一对角叫做同位角，由此即可判断.

【详解】解：A、N1和N2是同位角，故此选项符合题意；

B、N1和/2是内错角，故此选项不符合题意；

C、/I和N2是同旁内角，故此选项不符合题意；

D、N1和N2是两条直线被第三条直线所截形成的，但是N1在截线的左侧，/2在截线的右侧，不是同位角,

故此选项不符合题意；

故选：A.

5.（24-25七年级下•河南开封期末）如图，直线力8,CQ相交于点0,七。148,垂足为点。，ZB0D=56°,

则NEOC的度数为（）

2

E

34°C.56°D.124°

【答案】B

【分析】本题考查了垂直的定义，对顶角相等，熟记对•顶角相等的性质是解题的关键.

根据垂直定义求出NEO/i=9（T,进而利用对顶角相等求出Z/fOC的度数，再根据角的差得到答案.

【详解】解：•••EO•L4〃，

LEOA=90°，

•・•/BOD=4OC=56。,

；・CEOC=ZAOE-ZAOC=90°-56°=34°,

・•・ZEOC=34°,

故选：B.

6.（24-25七年级下•陕西咸阳•期末）如图，直线48,CO相交于点O,若Nl=40。，Z2=30\则NOOK

【答案】B

【分析】本题考查了对顶角相等，几何图形中角度的计算，解题的关键是掌握对顶角相等.

根据对顶角相等可得4=40。，再根据知的和差关系可得答案.

【详解】解：・・・/1=40。,

・•・Z5OD=Zl=40°,

•・•Z2=30°,

・•・ADOE=ZBOD+N2=40°+30°=70°.

故选：B.

7.（24-25七年级下•广东佛山•期中）下列图形中，线段4。的长度表示点力到直线距离的是（）

3

【答案】C

【分析】根据点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度这一定义，逐一判断各选项中线段是否

为点力到直线8C的垂线段.

【详解】解：选项A中，彳。不垂直于8C,线段力。的长度不表示点/到直线8C的距离：

选项B中，力。垂直的是8。，不是8C,线段力。的长度不表示点4到直线8c的距离；

选项C中，AD1BC,垂足为。，线段力。的长度表示点力到直线4c的距离；

选项D中，力。垂直的是40,不是4C,线段力。的长度不表示点力到直线8c的距离.

8.（24-25七年级下•湖南株洲,期末）如图，在AJBC中，AB=T2,△力3C的面积为24,D为43边上的

动点，连接C。，以。为边向左侧作正方形则正方形C0E厂面积的最小值为（）

A.12B.16C.20D.24

【答案】B

【分析】本题考查了垂线段最短，理解垂线段最短是解题的关键，根据面积公式求得CM的长，利用垂线

段最短得C。最小值为CM的长，从而即可得解.

［详解］解：过点C作CM1AB于点M,

：.-ABMC=24,BP-A/Cxl2=24,

29.

・・./WC=4,

4

为边/出上一动点，CM1AB,

・•・。。的最小值为CW的长4,

・・・正方形。£尸的面积的最小值为42=16

故选：B.

二、填空题

9.（24-25七年级下•福建度门•期末）如图，有一个破损的三角形零件（部分），可利用图中的工具直接测

得夹角的度数，依据的数学原理是.

【答案】对顶角相等

【分析】本题主要考杳了对顶角相等，根据“对顶角相等''可知，图中要测量的角的度数就是图中量角器所示

的度数.

【详解】解：利用图中的工具直接测得夹角的度数，依据的数学原理是对顶角相等，

故答案为：对顶角相等.

10.（24-25七年级下•福建厦门•期末）如图，直线与CO交于点O,于点O,若Nl=30。，则

【答案】60。/60度

【分析】本题考查了垂直的定义，对顶角相等，根据垂直得到乙40。=90。-/1,根据对顶角相等即可求解.

【详解】解：•・・。打，48，

・•・4OE=NBOE=9Q0,

・•・ZJOC=90°-Zl=60°,

Z2=Z^OC=60°,

5

故答案为：60°.

11.（24-25七年级下•广东汕头•期末）2025年1月30日（大年正月初二）晚上8点汕头在内海湾举办了“己

如意美美至汕''迎新春大型焰火晚会，吸引近50万观众现场观赏.市民小王也是现场观众之一，如图，他

家住。处，观赏地点海滨路可以看成直线/,则小王赶往观赏地点的最近路线是线段PC,理由是.

【答案】垂线段最短

【分析】本题主要考查了垂线段的性质，从直线外一点到这条宜线上各点所连线段中，垂线段最短.

【详解】解：•••直线/外的点P与直线/上的点力、B、C、。的连线段中，尸。是垂线段.

二•根据垂线段最短，小土赶往观赏地点的最近路线是线段PC.

故答案为：垂线段最短

12.（24・25七年级下•四川广元州末）如图，点8,C在直线/上，且BC=4cm,△相C的面积6岳m?.若

。是直线/上任意一点，连接力产，则线段力尸的最小长度为cm.

【答案】3&

【分析】本题考查垂线段最短，根据垂线段最短知：当时，力。的长度最小，从而由三角形的面积

公式可求出力?，即三角形48C的高；

【详解】解：根据垂线段最短知，当力P_L8C时，力？的长度最小，

此时△ABC的面积为6及cnf，

1

即-8CTP=6式，可得-x4/P=6万，

22

解得：AP=3五，

即AP的最小值为35/2cni

故答案为：3VL

13.（24-25七年级下•广东汕头•期末）如图，点儿B,。在一条直线上，已知Nl=53。，N2=37。，贝ijC£>

与CE的位置关系是.

6

【答案】互相垂直

【分析】本题考查垂直的定义，正确求得//。二90。是解题的关键.根据题意可得N4C8=180。，进而求

得NECQ=90。，即可得出答案.

【详解】解：B、C三点在一直线上，

.-.ZJC5=180°,

21=53。,Z2=37°,

4ECD=180°-Zl-Z2=180o-53o-37°=90°,

.•（DICE,

即。。与C£1的位置关系是垂直关系，

故答案为：互相垂直.

14.（24-25七年级下•福建福州期末）如图，已知。力JLO氏。CJ.。。，若/力。。=35。，贝UN3OD的度数

【答案】35

【分析】此题考查垂直的定义，余角的计算，根据垂直的定义得到/力。8=/。。。=90。，由此得到

400=400=35。.

【详解】解：-OALOByOCIOD,

・•・^AOB=ZCOD=90°,

・•・ZAOC+4BOC=ZBOD+ZBOC=90°

・•・CBOD=乙/iOC=35。，

故答案为：35.

15.（24-25七年级下•山东聊城期末）已知直线48与C。相交于点0,。/平分/。。氐/40。=5/月0。

若乙40C=a,则.（用含。的式子表示）

7

【答案】72。+］。

【分析】本题主要考查了角平分线定义，几何图形中角的计算，先根据乙40C=a,得出

N4OD=180。一N力00=180。一a,ZBOD=ZAOC=a,再求出/力。£二1/力0。=L(I8(P-a)=38—,

555

12

然后根据角平分线定义得出/。。尸二；/。。E=72°-^,最后求出结果即可.

【详解】解：・・・N/OC=a,

・•・/AOD=180。-40c=180°-a,/BOD=^AOC=ct,

*/ZAOD=5ZAOE,

：.AAOE=^AOD=g(18O-a>36-ga,

・•・CDOE=180°-ZJOf-/BOD

=lB0°-36°+-(z-a

5

4

=144。——。，

5

•・・。产平分/OOE,

12

・•・Z.DOF=-ZDOE=72°——a,

25

AABOF=ZDOF+ABOD=72°—«y=72°-H«.

55

3

故答案为：72。+:0.

J

三、解答题

16.(24・25七年级下•陕西宝鸡期末)如图，直线CD,OE,。尸相交于点。，NBOE=NDOF=90°.

⑴求证：/DOB=NFOE；

(2)若乙40"=69。，求N80"的度数.

【答案】(1)证明见解析

(2)111°

【分析】本题考查的是同角的余角相等，邻补角的性质:

(1)由/8。。+/。0七=//0£+/。0£：可得结论；

(2)利用邻补角的性质求解即可.

【详解】(I)解：VZBOE=ADOF=90°,

8

，/.BOD+/DOE=ZFOE+ZDOE,

・•・/DOB=/FOE.

(2)解：VZAOF+ZBOF=18(P,409二69。，

:.Z5OF=180o-69o=lll0.

17.(24-25七年级下•山东德州•期末)如图，已知点4在N0的一边04上.按要求画图并填空:

(1)过点力画直线48_1_04，与N。的另一边相交于点〃；

(2)过点力画。8的垂线段4C,垂足为点C：

(3)过点C画直线CZ)〃O4,交4B于点、D；

(4)点C到直线AB的距离是线段的长度.

(5)线段/C和线段48长度的大小关系为：，理由：.

【答案】(1)见解析

Q)见解析

(3)见解析

(4)8

(5)AC<AB,垂线段最短

【分析】本题考查作图-复杂作图，点到直线的距离，平行线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活

运用所学知识解决问题.

(1)根据要求作出图形即可：

(2)根据要求作出图形即可：

(3)根据要求作出图形即可;

(4)因为直线C'O〃O/,/81O4所以8_1.48,再根据点到直线的距离的定义，即可解决问题；

(5)根据点到直线的距离的定义，解决问题即可.

【详解】(1)解：直线如图所示：

(2)解：。8的垂线段力。如图所示:

9

A

oLB\

(3)解：直线CQ〃。力如图所示:

(4)点C到直线力〃的距离是线段CZ)的长度

(5)解：点力到直线04的距离是线段4C的长度，因为垂线段最短，所以力。<力4,

故线段力C和线段48长度的大小关系为：AC<4B,理由：垂线段最短.

18.(24-25七年级下•云南丽江・期末)点。是直线48上一点，射线0。平分/4OC.

A°B\

图①图②

(1)如图①所示，射线Of在N/10C内部，ZC0E=(4B0C,若NDOE=50。,求。的度数；

(2)如图②所示，射线OE在直线48下方，ZBOC:ZAOD:^AOE=2:5:8,求N8OE的度数.

【答案】(1)48。

(2)60°

【分析】本题考查了角平分线的定义及平角的定义，角的和差，熟练掌握知识点是解题的关键.

(1)设N3OC=3x,则NCO£=x,利用角平分线的定义求得4。。=/。。。=51+工，再利用平知的定义

列式计算求得x=16。，据此求解即可；

(2)由题意设/8OC=2a,D<OD=5a,^AOE=Saf利用角平分线的定义求得/COO=NX。。=5a,

再利用平角的定义列式计算求得a=15。，据此求解即可.

【详解】(1)解：设N8X=3x,贝l」NCOE=x.

•；/DOE=50°,

ZCC；£>=500+x,

•••。。平分//。。,

・•・AAOD=ZCOD=5(T+x,

10

:.5O°+x+5O°+x+3x=18O°,

解得x=l6。，

・•・ZBOC=3x=48°,

・•・/80C的度数为48。；

(2)解：•・•ZBOC:NAOD:ZAOE=2:5:8,

设乙BOC=2a,D4OQ=5a,ZAOE=8a,

•・•。。平分/40C，

・•・£COD=ZAOD=5a,

/.5a+5a+2a=180°,

解得a=15。，

；・HBOE=180°-/力。£=180°-M=180。-120°=60°.

平行线

一、单选题

1.（24-25七年级下•湖北宜昌•期末）如图，E为/C延长线上一点，下列条件中能判断48〃CD的是（).

B.乙4+乙48。=180。

C.ZD=ZDCED.Z1=Z2

【答案】D

【分析】本题考查平行线的判定，根据平行线的判定方法，逐一进行判断即可.

【详解】解：A、Z3=Z4,由内错角相等，两直线平行，能得到力CII8力，不符合题意；

B、4+480=180。，由同旁内角互补，两直线平行，能得到力CII8。，不符合题意；

C、ND=NDCE,由内错角相等，两直线平行，能得到力CII8。，不符合题意；

D、Zl=Z2,由内错角相等，两直线平行，能得至符合题意；

故选：D.

2.（24-25七年级下•广西百色・期末）如图，下列过程及括号中所注明的依据正确的是（）

A.因为N1=N4,所以48〃8（内错角相等，两直线平行）

B.因为j8〃CO,所以/84D+/8=180。（两直线平行，同旁内角互补）

C.因为力。〃8C,所以/2=/3（两直线平行，内错角相等）

II

D.因为乙4DE=/BCD,所以4O〃8c（同位角相等，两直线平行）

【答案】D

【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解决本题的关键.

根据平行线的判定定理，即“内错角相等，两直线平行”，“同位角相等，两直线平行”以及平行线的性质，即

“两直线平行，同旁内角互补”，“两直线平行，内错角相等“，由此判断选项即可.

【详解】解：A选项，因为N1=N4,所以月。||4C（内错角相等，两直线平行），故A错误；

B选项，因为48〃CZ）,所以/胡。+乙4OC=180。（两直线平行，同旁内角互补），故B错误；

C选项，因为力O〃6C,所以/1=N4（两直线平行，内错角相等），故C错误；

D选项，因为=所以<Z）〃8C（同位角相等，两直线平行），故D正确.

故选：D.

3.（24・25七年级下•陕西咸阳,期末）如图，AB//CD,=65',/8=6（T,则/4C8的度数为（）

A.55。B.60"C.63°D.65"

【答案】A

【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.

根据力8〃CO,得出/8CO=/B=6（T,再利用平角等于180。求解即可.

【详解】解।VAB//CD,

工4BCD=/B=60°,

・•・乙4。5=180。-/6。-/。。£=180°-60。-65°=55<,

故选：A.

4.（24-25七年级下•广东深圳•期末）下列各图形中，Z1=Z2,能确定的是（）

【答案】B

【分析】本题考查平行线的判定，由平行线的判定方法，即可判断，关键是掌握平行线的判定方法：同位

角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行.

【详解】解：A、由/1=/2能判定力£〃。尸，不能判定48〃CO,故A不符合题意；

B、由/1=/2,结合内错角相等：两直线平行判定力8〃CO,故B符合题意：

12

C、由N1=N2,不能判定"8〃CO,故C不符合题意；

D、由N1=N2不能判定48〃。，故D不符合题意；

故选:B.

5.（24-25七年级下•黑龙江七台河•期末）下列四个说法中，正确的是（）

A.相等的角是对顶角

B.两条直线被第三条直线所截，如果有两个角互补，那么这两条直线平行

C.两条直线被第三条直线所截，内错角相等

D.两直线相交形成的四个角相等，则这两条直线互相垂直

【答案】D

【分析】本题考查了平行线的判定和性质，对顶角定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.根据平行

线的判定和性质，对顶角定义，角的计算，逐一判断各选项，可得到结果.

【详解】解：A.相等的角不一定是对顶角，故原说法错误，不符合题意；

B.两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行，故原说法错误，不符合题意：

C.两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故原说法错误，不符合题意；

D.两直线相交形成的四个角相等，则每个角都是90。，这两条直线互相垂直，故原说法正确，符合题意，

故选:D.

6.（24-25七年级下•广东•期末）如图，N/1O8的一边04为平面镜，在08上有一点E,从点E射出一束

光线经。上一点。反射，反射光线DC恰好与OB平行，且NODE与ZADC相等，若ZAOB=37°,则/DEB

的度数是（）

A.74°B.75°C.84°D.106°

【答案】A

【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质得到NODE=N4）C=4108=37。，法而得到

/CDE=106。,再根据平行线的性质即可得出答案，掌握平行线的性质是解题的关键.

【详解】解：VDC//OB,408=37。，

；・LODE=Z.ADC=NAOB=37。，

:./CDE=1800-NODE-ZJDC=180°-37°-37°=106°,

DC//OB,

：.工DEB=1800-Z.CDE=180°-l06°=74°,

故选:A.

13

7.（24-25七年级下,浙江宁波•期末）将一把三角尺和一把无刻度的直尺按如图所示的方式放置，使三角尺

的直角顶点放在直尺的一边上，则N1与N2的关系为（）

B.Zl+Z2=90°

C.Z14-/2=180°D.Z2=2Z1

【答案】B

【分析】本题考查平行线的性质.由平行线的性质得出N3=N2,由平角定义得到"1+/3=90。，即可得出

结论.

•・•直尺的对边平行,

Z.N3=N2,

•・•Zl+Z3=l80o-90o=90°,

:.Zl+Z2=90°；

故选:B.

8.（24-25七年级下•陕西西安•期末）一把直尺和一把含有30。角的直角三角板按如图方式摆放，若4=24。,

36°C.46°D.60°

【答案】B

【分析】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出=由平行线的性质推出

NO4c=/1=24。，即可求出N2的度数.

【详解】解：VAB//CD,

14

A

B

:.乙%C=N1=24。，

・•・Z2=AEAC-ABAC=60°-24°=36°.

故选：B.

9.（24-25七年级下•河北•期末）如图，已知/18〃C。，NBAE=92。，NDCE=120。,则/£的度数为（）

A.28°B.34°C.56°D.46°

【答案】A

【分析】此题主要考查了平行线的性质与判定.作即〃力8,得到4律=88。，再结合48〃CO,得到

EF//CD,求出NC£尸=60。，最后根据4EC="'一NC"代入计算即可.

【详解】解：如图：作“V//8,

,:£BAE=92°,

:.ZJEF=88°,

VAB//CD,

/.EF//CD（平行于同一条直线的两条直线平行），

:.NOCE+NCE尸=180°,

•・,ZDC£-=120°,

:.LCEF=1800-ZDCE=60°,

,LAEC=Z.AEF-ZCEF=88°-60°=28°.

故选:A.

15

10.（24-25七年级下•吉林•期末）如图，点。、E分别在/出、BC上,DE//AC,AF〃BC,4C平分/〃6,

A.70°B.65°C.50°D,40°

【答案】C

【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，掌握相关知识是解决问题的关键.先利用平行线的

性质可得N1=NC,Z2=ZC,再根据已知得N2=65。，再利用角平分线的定义可得D&f尸=IX）。，然后利

用平行线的性质进行计算即可.

【详解】解:vDE\\AC,

N1=NC,

•;4尸〃BC,

Z2=ZC,

/.Z1=Z2,

•/21=65°,

Z2=65°,

•••/。平分/历1尸，

Z£?JF=2Z2=130°,

♦:AF〃BC,

.•.N8=I800-N8/尸=50。.

故选：C.

二、填空题

11.（24-25七年级下•甘肃平凉・期末）图1是男子竞技体操项目双杠的静止动作，图2是其俯视示意图,

已知。||6,若48与8c的夹角为100。，/1=45。，则N2的度数为.

图1图2

【答案】125。/125度

16

【分析】本题考查了平行线的性质与判定，结合图形构造平行线是解题的关键.过点8作利用平

行线的性质与判定即可求解.

【详解】解：如图，过点6作8。〃。，

'：a//b,BD//a,

c，

:.BD//b,DABD=Dl=45°,

/.Z2+ZD5C=!80°,

•.­ZJ5C=100°,

£DBC=/ABC-NABD=55°,

.•.Z2=180°-ZMC=125°.

故答案为：125。.

12.（24-25七年级下•陕西咸阳・期末）如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行.若

Zl=25°,Z3=140°,则N2的度数为.

支撑［台«口、

【答案】65。/65度

【分析】本题考查了平行线的性质,熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键.过N2顶点O作直线ECO,

直线将N2分成两个角NEOM、NEON,根据平行线的性质即可求解.

【详解】解：如图所示，过N2顶点。作直线E/〃CO,

工作修

E.........>2..尸•••/8〃CD・

\AB//CD//EF,

Z1=zmw=25°,Z.EON=180°-Z3=180°-l40°=40°,

22=400+25°=65°,

故答案为：65。.

13.（24-25七年级下•安徽合肥•期末）如图，将一副直角三角板作如下摆放,4=45。//=30。，当AC〃DE

17

时，则NOC「=

E

【答案】45。/45度

【分析】此题考查了三角板的角度计算，平行线的性质.由题意可得4cB=45。,/。。£=60。，根据平行

线的性质可得NE=zlACE=30。，由Z.DCF=1800-Z.DCE-zLACB-zLACE即可求解.

【详解】解：由题意可得/力。8=45。,/。。七=60。，

VAC//DE,Z£=30°,

・•・^E=^ACE=30°,

；・ZDCF=180°-NDCE-乙4cB-NACE=45°.

故答案为：45。.

14.（24-25七年级卜•湖南株洲•期末）如图，AB//CD,若Nl=124。，则/2的度数为

【分析】本题考查了平行线的性质，解题关键是熟记两直线平行同位角相等；先求出/I的同位角的度数,

再求N2的度数即可.

【详解】解：・・・44〃。。，

:.Z1=Z3=124°,

•・•Z2+Z3=180°,

・•・Z2=56°.

故答案为：56.

三、解答题

15.（24-25七年级下•新疆阿克苏•期末）已知：如图，ADJ.BC干点、D,EGLBC于点、G,且NE=N1.

求证：/2=/3.

18

E

下面是推理过程，请你填空或填写理由.

证明：•.•月。_1_8c于点O,EG18C于点G（）,

ZJDC=ZEGC=90°（）,

..AD//EG（）,

ZI=Z2（）,

vZE=Z1（已知），

ZE=Z2（等量代换），

vAD//EG,

=N3（两直线平行，同位角相等）.

=（等量代换）.

【答案】己知；垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；/E；Z2；

Z3

【分析［根据垂直的定义得到乙4OC=NEGC=90。，根据平行线的判定得到力。〃EG,由平行线的性质得

到N1=N2,等量代换得到/石=/2,由平行线的性质得到/E=N3,等量代换即可得到结论.

【详解】证明：8c于点。，EG工BC于点、G（已知），

，ADC=ZEGC=90。（垂直的定义），

AD//EG（同位角相等，两直线平行），

ZI=Z2（两直线平行，内错角相等），

vZE=Z1（已知），

AE=Z2（等量代换），

AD//EG,

ZE=Z3（两直线平行，同位角相等），

Z2=Z3（等量代换）.

16.（24-25七年级上•甘肃武威期末）如图，/1=/2,/。=50）,求的度数.

19

【答案】130°

【分析】本题考查了平行的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键.先判定力8〃CO,再根据两

直线平行，同旁内角互补计算即可.

【详解】解：VZl=Z2,Zl=Z.AGH,

:.Z2=NAG”,

；・AB//CD,

:.Z5+ZZ）=180o,

*/Z£>=50°,

・•・N8=130°.

17.（24-25七年级下•河南郑州•期末）如图，点D在三角形45c的边XC上（点。不与点4c重合），QE〃48

交8C于点£,DF〃BC交AB千点、F.

（1）若点M是线段8片上任意一点（点时不与点丛尸重合），连接补全图形解答下列问题：

①N8=45。，则/£7）/=。；

②用等式表示NFDW、/DME、N8EM之间的数量关系，并证明.

（2）若点W在线段.4广上（点“不与点4户重合），直接写出N尸八”、NDME、NAEAI之间的数量关系.

【答案】（1）①45；②ZDME="DM+ZBEM,见解析

⑵4BEM-4FDM=4DME

【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定与性质；

（1）①直接根据平行线的性质求解即可：

②过M作则NBEM=ZEMN,根据平行线的传递性得出〃。尸，根据平行线的性质得出

Z.FDM=ZDMN,结合2DME=£DMN+dEMN即可得出结论；

（2）过M作"N〃8C,则N8EM=/EMN,根据平行线的传递性得出跖V〃。/，根据平行线的性质得

出上FDM=NDMN,结合乙DME=£EMN-NDMN即可得出结论.

【详解】（1）解：①如图，

20

VDE//AB,/B=45。，

:./CED=/B=45。,

•・•DF//BC,

・•・AEDF=ZCED=45°,

故答案为:45；

②NDME="DM+NBEM:

理由：过M作则NBEM=NEMN,

*：DF//BC,MN//BC,

:・MN//DF,

:.£FDM=4DMN,

乂NDME=NDMN+ZEMN,

NDME=NFDM+4BEM:

(2)解：NDME=NBEM-NFDM；

理由：过A/作MN〃8C,则/BEM=NEMN,

VDF//BC,MN//BC,

:,MN〃DF,

:.£FDM=6MN,

又£DME=4EMN-ZDMN,

Z.NDME=ZBEM-NFDM.

21

18.（24-25七年级下•陕西咸阳・期末）如图，已知点。，E,F,G都在△力8C的边上，AE//DG,且

Zl+Z2=180°.

（独试说明月产〃4。；

（2）若EF平分N/EB,ZCZ）G=100°,求/C4£■的度数.

【答案】（1）说明见详解

（2）40°

【分析】本题考查三角形中求角度，涉及平行线的判定与性质、邻补角定义求角度、角平分线定义等知识,

熟记平行线的判定与性质是解决问题的关键.

（1）由力石〃OG得到同旁内角互补，再由Nl+N2=180。即可确定/。E=N1,从而由内错角相等两直线

平行即可得到

（2）由/E〃OG得到同位角相等，再由邻补角定义求出//E8,进而根据角平分线定义求出

Zl=lz^=40°,结合（1）中结论即可得到答案.

【详解】（1）M：''AE//DG.

N2+NCNE=180。，

Zl+Z2=180°,

/.ZCAE=N1,

...EF〃AC；

（2）解：•••力石〃OG,

.-.Z/lEC=ZCDG=100o,

贝ij乙4EB=180°-ZAEC=80°,

EF平分Z.AEB,

「./I」NA协=40°,

2

..•由（1）知，ZCJ£=ZI=40°.

19.（24-25七年级下福建厦门•期末）如图，ABLBF,CD工BF,Zl=Z2.求证：ZE+Z£CD=18（f.

22

AB

【答案】见解析

【分析】本题考查了平行线的性质与判定，垂直的定义，根据=得出力根据力3,〃产,

CD工BF,可得48〃。。，进而得出C。〃跖，根据两直线平行同旁内角互补，即可得证.

【详解】证明：VZ1=Z2,

/.AB//EF,

VAB1BF,CD1BF,

AAB//CD,

：.CD//EF,

・•・ZE+ZECZ)=18(T.

20.(24-25七年级卜・内蒙古赤倏•期末)如图1,是我国西北地区农村使用的太阳能烧水器，具原埋是利

用凹面镜的聚光技术，如图2是图1的轴截面示意图，太阳光线44〃CQ,经过凹面镜的反射后，反射光

线8E,。尸交于一点尸.

(1)如图2,若乙/尸二60。和NCQP=55。，则N8PQ=；

(2)如图3,已知点M,N分别在49,CO上，点尸是44,CO之间MV右侧任意一点，连接PM,

PN,若/MPN=a/BMP=02DNP=y,请写出出人7之间的数量关系，并说明理由；

(3)如图4,在(2)的基础上MQ平分N。平分/CN尸，若/BMP=m。，/DNP=n°，请直接求NP+/。

的信.(不需要写解答过程)

【答案】(1)115。

(2)。=4+7,理由见解析

(3加0。+争与

【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握平行线的性质是解决本题的关键.

(1)作辅助线构造平行线，从而得到/〃〃刊?〃C。，根据平行线的性质，即“两直线平行，内错角相等”

求解即可;

23

（2）作辅助线构造平行线，由平行线的性质可得=/NPH.4DNP,由此可求解;

（3）由角平分线的性质可得D4"Q=DPMQ,0CNQ=bPNQ,再根据（2）中的结论同理可得

NQ=NAMQ+NCNQ,由此可求.

【详解】（1）解：过点P作PR"4B（点R在点尸的左侧），如图，

VAB//CD,

/.AB//PR//CD,

BPR=/ABP=60。,/DPR=NCDP=55。,

・・・D8PQ=D6P&+DOPR=600+55°=U5°；

故答案为：115。：

(2)解：a=p+y,理由如下：

过点P作P〃〃力4(点〃在点尸的左侧)，如图,

VAB//CD,

・•・AB//PH//CD,

・•・/MPH=/BMP,/NPH=4DNP,

・•・£MPN=/MPH+4NPH=/BMP+NON?，

:£MPN=a,NBMP=0/DNP=y,

・•・a=夕+/；

(3)解：・・・M0平分4MP,N。平分NCNP,

.•.D4W0=DP/M0,bCNQWPNQ,

,:£BMP=〃产，4DNP=if,

・n]80°-疗nclS0°-n

..DAMQ=-------------,DCNQ=------,

由(2)中的结论可知，DP=DBMP+DDNP=m°+〃°,

1800礴180-n

同理可得D0=D4W0+DCN。=

22

24

・・.DP+D0=/+/+1^^1^L=1800+K+H.

2222

21.（24-25七年级下•河北•期末）综合与实践

【问题情境】在数学综合与实践课上，老师让同学们以“平行线与三角板''为主题开展数学活动.已知直线

/,/!A,在直角三角板"C中，ZABC=90"

【操作发现】

（1）如图所示，将直角三角板ABC顶点A放在直线上，设边AC与/,相交于点H,边AB与/,相交于点D.当

N4）H=90°时，发现BC〃k.请说明理由;

（2）如图所示，将图（1）中三角板48c的直角顶点8放在平行线4和6之间，两直角边48,分别与总

6相交于点P和。，得到N1和N2,试探究N1和N2的数最关系并说明理由.以下是小刚同学的解题思路:

过点B作4和6其中一条直线的平行线再利用平行线的有关知识就能解决问题.

请你帮助小刚同学书写完整的解题过程，或用其它方法解决；

【拓展运用】

（3）受小刚同学的启发，同学们继续探究以下问题，在（2）的情况下，分别作/I和N2对顶角的角平分

线，它们相交于点O,如图所示，请直接写出/。。。的度数.

【答案】（I）见解析；（2）Z14Z2=9OW,理由见解析；（3）N『OQ=45°.

25

【分析】本题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是正确的作出辅助线;

(1)根据同位角相等两直线平行和平行公理证明即可;

(2)根据平行公理可证再根据平行线的性质证明即可;

(3)过点。作。加〃/一则。A///2,根据平行线的性质可证NGP8+N〃08=9(F,再根据平分线的定义

可证NG尸0+/，。0=45°,再根据平行线的性质即可得证.

【详解】(1)证明：•••/力。〃=90。,/8=90。，

：.£B=2ADH,

.•""如

(2)解：Zl+Z2=90°,理由如下:

7八，

BD//1,〃4,

：.Zl=AABD,22=NCBD,

ZABD+ZDBC=ZABC=90°,

.\ZI+Z2=90°；

(3)解：〃。。=45。，理由如下:

过点。作。河〃乙,

/.OM〃/2〃4,

/.£GP()=4POM,4HQ()=NQOW,/GPB=/PBM=Zl,/HQB=/MBQ=Z2,

Zl+Z2=90°,

NGPB+NHQB=900,

•；PO,。。分别平分NGP4,』HQB,

:.ZGPO=g/GPB,/UQO=』NHQB,

26

AGPO+ZHQO=1NGPB+1NHQB=1(NG尸8+NHQB)=45°,

NPOM+/QOM=45。,

:.ZPOQ=45°.

22.(24-25七年级下,河北•期末i【发现】如图1,CE平分48,4E平分/胡C.

当ZEAC=NACE=450时，AB与CD的位置关系是：

当NE4c=50",4CE=40时，，48与CQ的位置关系是；

当/£4C+4CE=9(T时，请判断48与C。的位置关系，并说明理由；

【探究】如图2,AB〃CD,M是AE上一点,N4EC=90。保持不变，移动顶点E,使CE平分NMC。，NBAE

与/MC。存在怎样的数量关系？并说明理由.

【拓展】如图3,AB//CD,P为线段4C上一定点，。为直线CO上一动点，且点。不与点。重合.直接

写出/QPC+NPQC与/加C的数量关系.

图1图2图3

【答案】发现：平行；平行；平行，理由见解析；

探究：/比!E+；/MCO=90°,理由见解析：

拓展：/BAC=ZQPC+APQC或ABAC+AQPC+APQC=180°

【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质求角之间的关系，

对于【发现】，根据角平分线定义得/版C=2N£4C,N/CQ=24CE,再结合

NBAC+^ACD=2ZEAC+2ZACE=180°,然后根据“同旁内角互补两直线平行''得AB//CD；

对于【探究】，作Q7//8,由平行线的性质得N8花=4E£NFEC=NOCE,再根据角平分线的定义得

NECD二=/MCD,即可得出答案；

2

对「【拓展】，分两种情况：当点。在射线。。上运动时，作■PEHAB,根据平行线的性质得

ABAC=NEPC,NPQC=NE?。，再根据ABAC=NEPC=NEPQ+ZQPC=4PQC+ZQPC，可得答案；当点0

在射线CO的反向延长线上运动时(点C除外)，再作PE〃力民根据平行线的性质得

ABAC=ZAEP,APQC=AQPE,接下来得=180。，进而得出答案.

【详解】当/EXC=N4CE=45。时，AB//CD.

•・・。后平分/力。，4E平分NB/IC,

Z1BAC=2/EAC=90°,Z1ACD=2/ACE=90°,

27

:.WC+NACD=2NE4C+2NACE=1