2026-2027学年高二上学期数学单元检测卷 第三章圆锥曲线与方程 含答案

2026-2027学年高二上学期数学单元检测卷第3章圆锥曲线与方程用时：120分钟，满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点的轨迹为（

）A．线段 B．射线 C．椭圆 D．双曲线2．过椭圆焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于A、B两点，则等于（

）A．4 B． C．1 D．3．已知曲线，从C上任一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（

）A． B．C． D．4．设点为椭圆的两个焦点，点P在此椭圆上，若，则的面积为（

）A． B．2 C．1 D．5．已知某抛物线的顶点为坐标原点，焦点在直线上，则该抛物线的标准方程为（

）A． B．C．或 D．或6．已知椭圆的两个焦点为，，过作直线交椭圆于、，若，且，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．7．蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为．已知椭圆的焦点在x轴上，为椭圆E上任意两点，动点P在直线上．若恒为锐角，则椭圆E离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．8．如图，阴影部分的边界为四叶草曲线，曲线是由顶点在原点、焦点在坐标轴上的四条抛物线所围成的曲线，且这四条抛物线的焦点共圆.若开口向右的抛物线方程为，过点的直线与曲线相交，记第一、四象限的四个交点由下至上依次为，，，，且，则线段的中点到轴的距离为（

）

A． B． C． D．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9．方程表示的曲线为，下列正确的命题是（

）A．曲线不可能是圆；B．若，则曲线为椭圆；C．若曲线为双曲线，则或；D．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则．10．设椭圆与双曲线（其中）的离心率分别为，且直线与双曲线的左、右两支各交于一点，下列结论正确的有（

）A．B．C．的取值范围是D．的取值范围是11．随着我国航天科技的快速发展，双曲线镜的特性使得它在天文观测中具有重要作用，已知双曲线的左､右焦点分别为，，双曲线的光学性质是：从右焦点发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点，如图所示.由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角.若的最小值为2，且双曲线C的渐近线为，则下列结论正确的有（

）A．双曲线C的方程为B．若，则的面积为24C．若点处的切线交轴于，则轴D．当n过点时，光由所经过的路程为13三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分.12．已知双曲线的右焦点为，且到其中一条渐近线的距离为1，则该双曲线的离心率为．13．已知实数满足：，则的最大值为.14．已知直线与直线的交点为，椭圆的焦点为，，则的取值范围是.四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15（13分）．已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且椭圆的焦距为4.(1)求椭圆的方程；(2)设点，直线过且与椭圆相交于，两点，若是线段的中点，求直线的方程.16（15分）．已知点是抛物线：的焦点，纵坐标为2的点在上，以为圆心、为半径的圆交轴于，，．(1)求抛物线的方程；(2)过作直线与抛物线交于，，求的值．17（15分）．在平面直角坐标系中，已知动点与定点的距离和到定直线的距离之比是常数2．(1)求动点的轨迹方程；(2)过点的动直线与曲线交于两点，问：在轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．(1)求证：为定值；(2)求证：直线l过定点；(3)判断直线AN，BM的交点P是否在一条定直线上，并证明你的结论.18（17分）．已知椭圆E：的长轴端点为，，斜率为k的直线l与椭圆E交于M，N两点（与长轴端点不重合），记直线AM，AN，BM的斜率分别为，，，且满足.(1)证明：在定曲线上，并求出曲线的方程；(2)设，若直线的斜率为，①求；②证明：为定值.19（17分）．如图，已知圆心为，半径为的同心圆与直线在第一象限有个交点，，其中点关于轴的对称点为.

参考答案单项选择题1.A2.C3.A4.C5.D6.C7.D8.A多项选择题CD10.ACD11.ACD填空题解答题15.（1）设的焦距为，因为的长轴长是短轴长的倍，所以. 1分因为的焦距为4，所以，解得， 1分因为，所以，解得，所以，则的方程为. 5分（2）设，，因为点，在上，所以 7分两方程相减得，所以.因为是线段的中点，所以， 10分即直线的斜率为，所以直线的方程为，即. 13分

16.（1）设圆的半径为，以为圆心、为半径的圆交轴于，，点在轴上，为原点，所以.，.点坐标为，所以.设点坐标为，则，所以， 3分所以，即，解得，所以抛物线的方程为：. 6分（2）由（1）知.设直线的方程为，，. 7分代入抛物线方程，整理得，，所以，所以，. 9分 10分所以的值为2. 15分17.（1）由已知得：，所以，化简可得：，即动点的轨迹为双曲线. 5分（2）因为，所以，即， 7分所以．显然过点的动直线不与x轴重合，故设直线方程为， 8分，，，联立，可得，首先有，且，由韦达定理得，， 10分因为，所以， 11分即，整理得，所以，化简得，当时，方程恒成立，当时，解得，故在轴上存在点，使得． 15分18.（1）设椭圆上点，则，，，在椭圆上，，，，为定值； 3分（2）设斜率为k的直线l的方程为，直线l与长轴端点不重合，则， 4分将代入，得到，整理得，设，，则有， 6分，在直线，，，， 8分，，，，，，或， 10分当时，直线l的方程为，此直线恒过，不满足题意，舍去；当时，直线l的方程为，此直线恒过，则直线l过定点； 11分（3），，，，，直线的方程为，，直线的方程为， 12分联立和的交点为，解得的的值为交点的横坐标，整理得，由（2）知，，代入，得到将代入，得到，整理得，设，，