二次函数综合-图形存在问题-2026-2027学年浙教版数学九年级上册

第一章二次函数专题训练

二次函数综合-图形存在问题

一、解答题

1.如图，抛物线丫:一4产+以+^与不轴交于^㈠,。)，8(1,0)两点，与y轴交于点C.

(I)求抛物线解析式及C点坐标;

(2)0是平面直角坐标系内一点，以4B,C,。为顶点的四边形是平行四边形，求点。坐标；

(3)该抛物线对称轴上是否存在点E,使得44CE=45。，若存在，求出点E的坐标；若不存在,

请说明理由.

2.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=a/+2%+。与不轴分别交十点43(点A在点8的

左侧)，与y轴交于点C(0,6),其对称轴为直线x=2.

(1)求该抛物线的表达式；

(2)点尸是上述抛物线上位于第一象限的一个动点，直线力"分别与y轴、线段BC交于点D,E,

过点/作RVlx轴于点N,交BC于点M.

①当CF=OF时，求点尸的坐标；

②试判断四边形OOMN的形状，并证明.

3.如图，已知抛物线y-ax2+bx十3经过点A(1,0)和点B(3,0),与y轴交于点C.

备用图

(I)求该抛物线的表达式；

(2)若P是直线BC下方的抛物线上一个动点，当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐

标.

(3)设抛物线的对称轴与BC交于点E,点N在y轴上，在抛物线的对称轴上是否存在点M,

使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说

明理由。

二、综合题

4.如图，在平面直角坐标系中，等边三角形OA8的边08在X轴上，点A在第一象限，OA的长度

是一元二次方程x2-5x-6=0的根，动点P从点O出发以每秒2个单位长度的速度沿折线04-AB

运动，动点。从点。出发以每秒3个单位长度的速度沿折线03-84运动，P、。两点同时出发，

相遇时停止运动.设运动时间为，秒(0<fV3.6),△。尸。的面积为S.

(1)求点A的坐标；

(2)求S与/的函数关系式；

(3)在(2)的条件下，当S=6百时，点M在y轴上，坐标平面内是否存在点M使得以点

。、P、M、N为顶点的四边形是菱形.若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由.

5.如图，抛物线的:丫=0/+4》一4的图象经过点与x轴交于点4,点8.

备用图

(I)求抛物线C1的表达式；

(2)将抛物线的向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线。2,求抛物线金的表达

式，并判断点。是否在抛物线上；

(3)在工轴上方的抛物线金上，是否存在点P，使△PBD是等腰直角三角形.若存在，请求出点P

的坐标；若不存在，请说明理由.

6.如图1,抛物线(尸力)2+左交X轴于。，A(4,0)两点，顶点为8(2,26)，点C为OB

的中点.

(2)过点。作C〃J_OA,垂足为〃，交抛物线于点£求线段CE的长.

(3)点。为线段。4上一动点(O点除外)，在OC右侧作平行四边形。CPQ.

①如图2,当点”落在抛物线上时，求点尸的坐标；

②如图3,连接8。.RF.求AQ+N产的最小值.

7.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=。、2+历；+3经过点4(3,0),与y轴交于点8,

且关于直线％=1对称.

(2)当一1二工工£时，丁的取值范围是0Wy求/的值；

(3)点。是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点。作x轴的垂线交直线A8于点。，在)，轴

上是否存在点E,使得以&C,D,E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不

存在，说明理由.

8.如图1,抛物线)，=，/+云・3与x轴交于点A(-3,0)和点8(1,0),与)，轴交于点C,点

。是抛物线的顶点.

m1闻2

（I）求抛物线的解析式；

（2）如图2,连接AC,DC直线AC交抛物线的对称轴于点M,若点尸是直线AC上方抛物线

上一点，且SAPMC=2S&DMCJ求点P的坐标；

（3）若点N是抛物线对称轴上位于点。上方的--动点，是否存在以点N,A,。为顶点的三角形

是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由.

9.如图1,在平面直角坐标系中，抛物线'=一/+以+。经过点4（一1,0）、点8（0,3）,股是抛物线

上第一象限内的点，过点M作直线MN_LX轴于点M

图1备用图

（1）求抛物线的表达式；

（2）当直线MN是抛物线的对称轴时，求四边形48MN的面积

（3）求4N+MN的最大值，并求此时点M的坐标；

（4）在（3）的条件下，若P是抛物线的对称轴上的一动点，。是抛物线上的一动点，是否存点

点P、。，使以点A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求点。的坐标，若不存

在，请说明理由.

10.如图1,在平面直角坐标系xO.v中，抛物线C：>=以2+日+。与x轴相交于A、B两点，顶点为。

（。，4）,"=4a，设点/（川，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线。绕点尸旋转180。，得到

新的抛物线C.

（1）求抛物线C的函数表达式；

（2）若抛物线C与抛物线C在），轴的右侧有两个不同的公共点.

①抛物线C的解析式为J（用含，"的关系式表示）；

②求〃?的取值范围；

（3）如图2,P是第一象限内抛物线C上一点，佗到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C上的

对应点为P，设用是。上的动点，N是。上的动点，试探究四边形夕A/PN能否成为正方形，若

能，求出山的值；若不能，请说明理由.

11.已知如图，抛物线y=%2+历；+c与％轴交于力，B两点，与y轴交于点C,04=0C=3,顶点为

D.

（I）求此抛物线的解析式；

（2）在直线4c卜一方的抛物线上，是否存在一点N,使四边形A8CN的面积最大？最大面积是多

少？

（3）点月在y轴上的一个动点•点「是坐标平面卜的一个动点，是否存在这样的点77和点儿使点

A,D,E,F构成矩形，若存在，求出点E,尸的坐标，若不存在，请说明理由.

12.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=/+匕％+。与％轴交于点A,B（点4在点8的左侧）,

（I）求该抛物线的函数解析式；

（2）如图1,已知点D为第三象限抛物线上一点，连接4a若4c=90。，求点。的坐

标；

（3）P（m,n）和点Q分别是直线y=-2%-4和抛物线上的动点，且点Q的横坐标比点P的横坐标大

4个单位长度，分别过P,Q作坐标轴的平行线，得到矩形PMQN.设该抛物线在矩形PMQN内部（包

括边界）的图象的最高点与最低点的纵坐标的差为£.

①如图2,当m=—2时，请直接写出t的值；

②请直接写出£关于m的函数关系式.

答案解析部分

1.【答案】⑴解：•・•点4(-3,0),B(l,0)在抛物线y=-*+bx+jt,

-3b4-c=0,8

,解得:h=-3,

+b+c=Oc=4

二抛物线的解析式为y=--^x2-nx+4»

令x=0,可得：点C的坐标为(0,4)；

(2)解：由题意知，以4B,C,。为顶点的四边形是平行四边形，可分成以下三种情况求解;

①当力。，B0为对角线时：

设AC的中点为F,则F(—|,2),

设D(a,b)，

l+a_3

~~~2

!燮=2,

解得a=-4,b=4,

AD(-4,4)；

②当AB,CO为对角线时：

设AB的中点为产,则F(-1,0),

设D(a,b)，

段=-1

'W=o'

解得a=—2,b=-4,

：.D(-2t-4)；

③当8C,40为对角线时：

设RC的中点为尸，则尸G，2),

设D(a,b),

-3+a_1

~^~=2

i燮"2,

解得a=4,d=4,

AD(4,4)：

综上可得：点0的坐标为(-4,4)或(一2,-4)或(4,4)；

（3）解.：存在，理由如下；

如图，作M力JL4C,使MA=AC,连接CM,交对称轴于点E,作MNJ.x轴于N,

\'MA1AC,MA=AC,

：.LACM=^AMC=45°,即N/ICE=45。，点E即为所求;

*：LMAN+"MN=90°=乙MAN+乙CAO,

・••乙AMN=Z.CAO,

又丁/ANM=乙C04=90°,

/.△ANM三△C0A(A4S),

：・MN=OA=3,AN=OC=4,

・・・M（-7,3）,

设直线CM的解析式为y=kx+d,

将M（—7,3）,C（0,4）代入得，「7:七［=3,

解得，卜=7,

二直线CM的解析式为y=；%+4，

由题意知，y-扉2_g%+4的对称轴为直线工=-1,

将工二-1代入y=+4得，y=与，

JE（一1,学），

J存在，E（-l,竽）.

【解析】【分析】（1）根据抛物线上的两点4（-3,0）,8（1,0）；利用待定系数法，即可求得抛物线的

解析式，然后令x=（）,即可求得抛物线y釉的交点C的坐标；

(1+a__3

(2)分三种情况进行讨论：①当4c,8。为对角线时：设。(Q*),可得|嘉「一解得。=一4,

0+a_

嬴一",解得a=

(-2-=0

(-3+a_1

-2,b=-4,可得出0(-2,-4)；(3)当BC,4。为对角线时：设O(a,b),则可得｛解

I-=2

得a=4,b=4,可得出0(4,4)：故而得出点。的坐标为(-4,4)或(一2,-4)或(4,4)；

(3)如图，作MAJ.AC,使MA=AC,连接CM,交对称轴于点E,作MN_L%轴于N,即乙ACE=45。,

点E即为所求；证明A4NM三△C04Q14S),则MN=。4=3,AN=0C=4>M(-7,3),待定系数

法求直线CM的解析式为y=*+4,将％=-1代入y=*+4,计算求解，进而可得E(—l,与).

2.【答案】(1)解：由题意得：%=2=一而，

c=6

则抛物线的表达式为：y=—^x24-2x4-6;

(2)解：①如图过点尸作GFly轴于点G,则FGII无轴/CGF=乙4。。=90°

：•z.1=z.2

•••CF=DF

：•z2=z.3

:.zl=z.3

FNCG

tanzl=AN=tanz2=FG

由+2%+6=0,得XI=-2，M=6

:0A=2,OB=0C=6

设点F(m,-2m2+2m+6)

11

•••CG=6—(—«•m24-2m+6)=«-nt2—2m

乙乙

12

FG=m,FN=+2m+6,AN=m+2

FNCG

：=AN=FG

-^m2+2m+6^m2-2m

"m+2=m

解得m=5

127

•••VF=-5m+2m+6=5

乙乙

7

•••R5,2)

②四边形。。MN为矩形

vFN1x轴

：・OD“FN映OD//MN,且乙8MM=90。

:.OD-.OA=FN-.AN

即。。:2=(―^7n2+2m+6):(m+2)

:.OD=6—m

•••OB=OC,Z.BOC=90°

:.乙OBC=45°

MN=BN=6-m

:.MN=OD

二四边形OOMN为矩形

当m=6—m,即zn=3时，ON=MN

••.m=3时，，矩形。DMN为正方形

【解析】【分析】(1)利用抛物线的对称轴以及与y轴的交点求得a,c的值，即可求解；

(2)①如图过点/作GF1y轴于点G,则尸GII一轴"G尸=LAOD=90°,得到，1=Z2,结合已知

得得乙1=43,再由三角函数求得。4=2,。8=。。=6,设点F(m,-/巾2+2巾+6),用含m的式

子表示CG,FG的长度，进而建立关于m的方程，解得m的值，从而求得点F的纵坐标，从而求

解；

②根据正方形的判定即可求解.

3.【答案】(1)解；•・•抛物线y=ax2+bx+3经过A(1,0)和B(3,0),

.ra+b+3=0

••19Q+3b+3=0

解得:{j二

・♦.抛物线的表达式为y=x2-4x4-3；

(2)解：,・•线段BC为定长，

，当点P到直线BC的距离最大时，BPAPBC的面积最大。

如图，过点P作PD_Lx轴交BC于点D,设P(m,m2-4m+3)(0<m<3),

则D(m,-m+3).

设直线BC的解析式为y=kx+n(k丰0),

•・•点B(3,0),点C(0,3),

・13k+n=0

n=3'

解得：{k=~^

In=3

・••直线BC的解析式为y=-x+3

/.PD=(-m+3)-(m2-4m+3)=-m2+3m.

S&PBC=S&PDC+S"DB=.PD

*,•8c=x3(-m2+3m)=-^m2

2

整理为顶点式得：.=-Um-k+器.

SPBC乙乙。

・二—1V0，0<m<3

・••当m=：时，S.PBC有最大值，

当m=|时，代入抛物线解析式得函数值y=-*.

(3)解：存在，M点的坐标为(2,1+2或)或(2,1-2V2)或(2,3).

【解析】【解答］解：(3)如图，

•••抛物线y=x2-4x+3的对称轴为x=2,直线BC的解析式为y=-x+3,

・••点E的坐标为（2,1）,

VC（O,3）,

1•EC=2VL

①以CE为边，

，EMi=EM2=EC=2V2,

•・•点M在对称轴x=2上，

.••点M的坐标为（2,1+2鱼）或（2,1-2鱼），

②以CE为对角线，

〈CE与M3N3互相垂直平分，LBCO=45%记CE与M3N3的交点为E

•••ACN3F为等腰直角三角形，

-'-EM3=CN3=y［2CF=2,

・••点M的坐标为：（2,3）,

综上所述，点M的坐标为（2,1+2鱼）或（2,1-2或）或（2,3）.

【分析】（1）利用待定系数法将点A和点B的坐标代入抛物线y=ax?+bx+3中，可得关于字母a、b

的方程组，求解得出a、b的值.进而即可求解；

（2）过点P作PD_Lx轴交BC于点D,设P（in,ni2-4iiH-3）（0<m<3）,则D（in,-m+3）,利用

待定系数法求出直线BC解析式即可得到PD=-m2+3m,然后利用割补法求出=

一式m—|j+F当m=M时.SNBC有最大值，进而即可求解；

（3）由题意知需分两种情况讨论，①以CE为边，②以CE为对角线，根据菱形的性质即可分别求

出点M的坐标.

4.［答案］（1）解：x2-5x-6=0,解得xi=6,X2=-1,

VOA的长度是x2-5x-6=0的根，

，OA=6,

•••△OAB是等边三角形，

AOA=OB=OC=6,ZOAB=ZAOB=ZABO=60°,

AZOAC=30°,

：.OC=10A=1x6=3,

・・・AC=VOA2-OC2=V62-32=3V5,

・••点A的坐标为A（3,3V3）;

（2）解：当0V£2时，过P作PDJ_x轴，垂足为点D,

A0P=2t,0Q=3t,ZOPD=30°,

AOD=t,

「.PD-VOP2-OD2-V（2t）2-t2-V3t,

・・S=i0Q-PD=1x3txV3t=|>/3t2,

当2VE3时，过Q作QE_LOA,垂足为点E,

VZA=60°,

AZAQE=30°,

又AQ=12-3t,

3

-22

2QE=yjAQ—AE=673—^^3

乂OP=2t,

13

--

22

当3VtV3.6时，过O作OFJ_AB,垂足为F,

AOF=y/OB2-BF2=3V3,

/•S=ix3>/3x(18-5t)=—^x/3t+27V3:

1V3t2(0<t<2)

-1V3t2+6岳(2<t<3)：

(一学屈+2773(3<t<3.6)

(3)解：点N的坐标为N(2,4+2V3),N(2,2百一4),N(-2,2R),N4(2,之W).

【解析】【解答】解：⑶解:当慨倔2=60.时,解得t=2,

乙

，OP=2x2=4,

过点P作PGJ_x轴于点G,贝iJOG_20P=2,

APG=y/0Pz-UG2=V42-22=26，

工点P的坐标为(2,2V3);

当OP为边时，将OP沿轴向下平移4个单位得N(2,2V3-4),此时M(0,4),四边形POMN是

菱形；将OP沿y轴向上平移4个单位得N(2,2国+4),此时M(0,4),四边形POMN是菱

当OP为对角线时，设OP的中点为T,过点T作TM_Ly轴，交y轴于点M,延长MT到N,使TN

=TM,连接ON,过点N作NH_Lx轴于点H,

则NMOT=NNOT=NHON=30。，OT=2,

A0N=2TN,

AON2=OT2+TN2,

即ON2=22+(1ON)2,

解得，ON=

.\NH=1V3,OH=2,

N(2)1V3);

•J

3-!\/3t2+6V3t=6V3,

解得t=2,不符合题意，此情况不存在；

当-号V5I+27V5=66时，

解得t=2,<3,

不符合题意，此情况不存在；

综上，点N的坐标为N(2,4+2V3),N(2,273-4),N(-2,273),N4(2,|V3).

【分析】(1)解一元二次方程得出OA的长度，利用特殊角及点的属性作垂解直角三角形得出其横

纵坐标即可；

(2)根据P,Q在不同边上构成的目标aPOQ面积的计算方式不同进行分类讨论，根据运动速度不

同画出对应运动草图并结合特殊角分析作垂表示目标△POQ的底和高，从而得出目标面积与运动时

间t的等量关系；

(3)在(2)的基础上代入S值得出3并由已知点OP进行分类，即以OP为一边或一条对角线，

结合菱形的性质进行草图分析并利用特殊角解三角形求出对应目标点N的坐标.

24

+-X

5.【答案】(1)解：:抛物线g:y=3一4的图象经过点。(1,一1)

4

-

3

解得a=j

抛物线Q的表达式为y=擀/+聂一4

(2)解：点D在抛物线的上；

将抛物线C1向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线C2,

，抛物线。2的表达式为冶-患

・,•点D(1,-1)在抛物线C2上.

(3)解：存在点P,使AP80是等腰直角三角形

①当NPiBD=90。，P.B=BD,如图所示，过点B作直线l〃y轴，过点P1作REJL1于E,过点D作

DFJJ于F,MZEPIB+ZEBPI=90°

ZEBPi+ZFDB=90°,

•・ZEPiB=ZFDB

:・AEP\B三XFBD(AAS)

：.EPi=FB=l,EB=FD=3

，点P的横坐标为-1,点Pi的纵坐标为3,

・••把-1代入抛物线。2的表达式y=g々一|)2一超得y二3=EB,则Pl在抛物线C2上

・••点P存在，坐标为(-1,3).

②当NPzDB=90。，P2D=BD,如图所示，过点D作直线l〃x轴，过点P2作PF_L1于F,过点B作

BE1I于E,

同理可证LFP2D=AEDB(AAS)

：.FD=EB=1,P2F=DE=3

二点P的横坐标为2,点P2的纵坐标为P2F-BE=3-1=2

・••把2代入抛物线C2的表达式y=|。一|)2一苣得y=2,则P2在抛物线C2上

・••点P2存在，坐标为(2,2).

③当NBP3D=90。，P3D=P3B,如图所示，过点P3作直线1〃K轴，过点B作BE_L1于E,过点D作

DFJJ于F,

同理可证AEPsB=AFDP3

ABE=P3F=1,EP3=FD

设点P3(m,n)

/.m+2=n+1,l-m=1

解得：m=0,n=l

Z.P3(0,1)

53219

)

y二-o-x--7

则m=0时，3515

则P3不存在

综上，在％轴上方的抛物线。2上，存在点P，使APB。是等腰直角三角形，点P的坐标为Pl(-1,

3)或P2(2,2).

【解析】【分析】(1)把点D坐标代入抛物线的3=。%2+/工一4可得表达式；

3219

)

5x---

(2)先根据平移规律得出平移后抛物线C2的表达式为y=9包15再把点D坐标代入,

可做判断；

(3)分/PBD=90。，ZPDB=90°,/BPD=90。三种情况讨论，结合等腰直角的性质，构造“一线三垂

直''全等,得到点P坐标.

6.【答案】(1)解：由题意得：y=a(x—2)2+

将点A的坐标代入上式得：0=Q(4-2)2+2国，

解得：Q=一空，

抛物线y=a(x-h)2+k的表达式为y=一空(％-2)2+28.

⑵解；由⑴知，y=_亨(.2)2十2后

由中点坐标公式得点C(l,国),

当x=l时，y=_§(1_2)2+2b=孽，

.•・E(l,甯，

则==挛_6邛

(3)解：①由(2)知，C(l,V3),

当丫=旧时,V3=-^(l-2)2+2V3»

则x=2+或(不合题意的值已舍去)，

即点/(2+企，⑹；

②设点D(m,0),则点F(m+1,⑥,

过点B作直线1，丫轴，作点F关于直线1的对称点产。〃+1,3V5),

则BD+BF=BD+BF2DF,当D、B、F共线时，BD+BF=DF'为最小,

设直线DF'的表达式为：y=kx+b,

将D(m,0),尸'(m+1,38)代入y=kx+b,

川J0=mk+b

"13V3=(m+l)k+b'

解得.|上=3晅

解得.ib——3gm'

由定点F'、D的坐标得，直线DF的表达式为：y=3V3(x-?n),

将点B的坐标代入上式得：2VJ=3>/5(2—m)>

解得：m=

则点F'G，3V5),点0(号，o),

贝IJBD+BF最小值为：DP=1+(375)2=2厅

【解析】【分析】(1)根据顶点坐标，设顶点坐标式，根据待定系数法求函数解析式即可；

(2)先求出点C。，6)，将x=l代入函数解析式，求出点E的坐标，即可求解；

(3)①将点C的纵坐标代入抛物线解析式，算出对应的自变量的值，求出点F的坐标即可；

②设点D(m,0),则F(m+L网,过点B作直线l_Ly轴，作点F关于直线1的对称点F•得出

点F的坐标，连接DF,得出当D、B、F共线时:BD+BF=DF为最小，待定系数法求出直线DF'的

表达式，将点B的坐标代入，求出m的值，即可得出点F和D的坐标，根据直角三角形中两直角边

的平方和等于斜边的平方即可求解.

7.【答案】(1)解：TA(3,0),抛物线的对称轴直线直线为x=l,

f9a+3d+3=0

，抛物线的解析式为y=-x^+2x+3；

(2)解：•・•当-10x0时，

，当x=-l时,y=-x2+2x+3=0,取得最小值,

・•・当x=t时(t<3),y取得最大值，

•・•抛物线开口向下，对称轴直线为x=l,

・•・当x=l,y=-x2+2x+3=4,取得最大值,

即2t-l=4,

解得t=2.5；

(3)解：存在，理由如下：

令y=-x2+2x+3=0中的x=0,得y=3,

AB(0,3),

设直线AB的解析式为y=kx+b,

将A(3,0),B(0,3)分别代入得

(3k+b=0

Ib=3

解得忆？，

「・直线AB的解析式为y=-x+3,

设点C(x,-x2+2x+3=0),则点D(x,-x+3),

当BD为边时，对应菱形为BDCE,贝IJCD二BD,

/.CD=-X2+2X+3-(-X+3)=BD=V2X>

解得％=3—x^2»

ABD=缶=3&-2,

当BC为边时，对应的菱形为BCDE,CD=BC,

(-x2+3x)2=x2+(-x2+2x)2

解得x=2(不符合题意的值已经舍夫)

/.CD=-22+3X2=2,

综上，菱形的边长为2或3或-2.

【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数

-特殊四边形存在性问题

【眸析】【分析】(1)将点A的坐标代入y=ax2+bx+3可得一个关于字母a、b的方程，根据抛物线的

对称轴直线可得力程-卓=1,联立两方程，求解得出a、b的值，从而即可得到抛物线的解析式；

(2)当IgxWt,由x=-l时，y取得最小值，当x=t时，y取得最大值，即可求解；

(3)令抛物线解析式中的x=0算出对应的函数值，可得点B的坐标，利用待定系数法求出直线AB

的解析式；根据点的坐标与图形性质，设设点C(x,-x2+2x+3=0),则点D(x,-x+3),当BD为边

时，对应菱形为BDCE,则CD=BD,据此结合两点间的距离公式建立方程，可求出x的值，从而得

到BD的长；当BC为边时，对应的菱形为BCDE,CD=BC,据此结合两点间的距离公式建立方

程，可求出x的值，从而得到CD的长，综上即可得出答案.

8.【答案】(1)解：由题意得：y=a(x+3)(x-1)=a(x2+2x-3)=ax2+bx-3,

-3a=-3

解得：a=l,

则勉物线的表达式为：y=x2+2x-3：

(2)解：由抛物线的表达式知，点C(0,・3)、D(-1,・4),抛物线的对称轴为直线x=-1,

过点D作直线DG〃AC交y轴于点G,在点C上方取点L使CL=2CG,过点L作直线BP〃AC交

抛物线于点P，则点P为所求点，

由点A、C坐标得，直线AC的表达式为：y=-x-3,

VDG/7AC,

则直线DG的表达式为：y=-(x+l)-4,

则点G(()•-5).贝ljCG=-3-(-5)=2,贝lJrL=4.

则点L(0,1),

则直线LP的表达式为：y=-x+l,

联立上式和抛物线的表达式得：x2+2x-3=-x+l,

解得：x=1或-4,

即点P(1,0)或(-4,5)；

(3)解：N(-1»±V14)或1・1,-1)或(・1,-3+“7).

【解析】【解答】解：(3)存在，理由:

设点N(・1,加)，

由点A、C、N的坐标得，A(^=18,AM=4+〃产，CM=1+(〃?+3)2,

当AC=AN时，

则18=4+〃落

解得：〃7—士

则点N(-1,±V14);

当AC=CN或AN=CN时，

则18=1+("7+3)2或4+闭2=1+(川+3)2,

解得：-3+m或-1(不合题意的值已舍去)，

则点N(-1,-1)或(-1,-3+g),

综上，N(-1,±g)或(-I,-1)或(-1,-3+/I7).

【分析】(1)由题意，根据点A、B的坐标可将抛物线的解析式化为交点式即可求解；

(2)过点D作直线DG〃AC交y轴于点G,在点C上方取点L使CL=2CG,过点L作直线

BP〃AC交抛物线于点P,则点P为所求点，用待定系数法可求得直线AC、DG、LP的解析式，然

后将直线LP与抛物线的解析式联立解方程组即可求解；

(3)存在，理由如下：设点N(-1,6)，用勾股定理可将AC?、CN\AN?用含m的代数式表示

出来，然后根据等腰三角形的性质可分三种情况：当AC=4N时，当4c=CN时，当AN=CN时，

可得关于m的方程，解方程即可求解.

9.【答案】(1)由题意得：/二；1一力+。解得：｛b=l

I3=c(C=3

，抛物线的函数解析式是：y=-x2+2x4-3.

(2)Vy=-x2+2x4-3=-(%-l)2+4.

・•・当MN是抛物线的对称轴时，抛物线的顶点是M(l,4),点M(1,O).

连接BN.

贝“S四边形ABMN~SXABN+S^BMN=xANxOB+^xMNxON=*x2x3+*x4x1=5；

(3)设点M的坐标是(科-病+2m+3),则点N(m,O).

:.AN=m4-1>MN=-m2+2m+3.

..3.25

•'AN+MN=m+1—m2+2m+3=—m2+3m4-4=-(?n—2)2+

・,・当机=|时，AN+MN有最大值导

这忖点竽).

(4)存在，理由如下：

由(1)⑶抛物线的对称轴是直线x=1,点"(,,知.

设点P(l,p),Q(q,-q2+2q+3).

分三种情况讨论：

3

2

①当AM是对角线时,解得:q=一；,这时点Q(一'

②当4P是对角线时，专1解得：q=一,这时点Q(一)3

③当4Q是对角线时，Z1±R解得:q=4这时点Q（：,_5）.

2

综上所述，存Q(-另)或或(”务使以点A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形.

【解析】【分析】(1)将点4(-1,0)和B(0,3)代入解析式即可求出b、c的值,即可得解析式;

(2)求出顶点M、N的坐标，分割成△ABN和△ABN,分别求出面积即可；

(3)求出AN和MN的长度表达式AN=m+l,MN=-m2-+2m+3得到AN+MN关于m的二次函

数，即可求出最大值；

(4)设P和Q的坐标，分AM、AP、AQ为对角线3种情况进行讨论，利用平移分别得到点Q的坐标

即可.

10.【答案】(1)解：由题意抛物线的顶点D(0,4),A(-2,0),设抛物线的解析式为y=

ax:+4,

把A(・2,0)代入可得。=一］

・・・抛物线C的函数表达式为y=-1x2+4.

(2)解：①y=3(x-2m)2-4.

(y=ix2+4

②由｛1,消去y得到x?-2mx+2m2-8=0,

(y=2(x~2mj—4

由题意，抛物线C与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，

(2m)2-4(2m2-8)>0

则有，27n>0»解得2<m<2注，

、2m2—8>0

••・满足条件的m的取值范围为2VmV

(3)解：结论：四边形PMPN能成为正方形.

理由：情形I,如图，作PEJ_x轴于E,MH_Lx轴于H.

由题意易知P(2,2),当4PFM是等腰直角三角形时，

四边形PMP'N是正方形，

・・・PF=FM,ZPFM=90°,

AZFPE=ZMFH,

.*.△PFE^AFMH(AAS),

・・・PE=FH=2,EF=HM=2-m,

AM(m+2,m-2),

.・•点M在y=-1x2+4上，

Am-2=-i(m+2)2+4,解得m=-/17-3或-V17-3(舍弃)，

时，四边形PMPN是正方形.

情形2,如图，四边形PMPN是正方形，同法可得M(m-2,2-in),

把M（m-2,2-m）代入y=-ix2+4中，2-m=-劣（m-2）2+4,

解得m=6或0（舍弃），

.•.m=6时，四边形PMP'N是正方形.

综上，四边形PMP'N能成为正方形，m=VT7-3或6.

【解析】【解答】(1)、解；由题意抛物线的顶点D(0,4),A(-2,0),设抛物线的解析式为y

=ax2+4,把A(-2,0)代入可得Q=-1,

・•・抛物线C的函数表达式为y=-Jx2+4.

(2)、解：①•・,将抛物线C绕点F旋转180。，得到新的抛物线C，，

・•・抛物线C'的顶点坐标为(2m,-4),

二抛物线。的解析式为y=1(x-2m)2-4.

【分析】(1)、设抛物线的解析式为y=ax2+4,把顶点D(0,4),A(-2,0),代入即可求出.

(2)、联立2个二次函|数消去y得至ljx2・2mx+2m2・8=0,根据题意列出不等式求出m的取值范围.

(3)、四边形PMPN能成为正方形.理由：情形1,如图，作PE_Lx轴于E,MH_Lx轴于H.由题

意易知P(2,2),当4PFM是等腰直角三角形时，证明APFEgaFMH(AAS),表示出M

(m+2,m-2),点M在y=-*+4上，求出m的值.

情形2,如图，四边形PMP'N是正方形，同法可得M(m-2,2-m),把M(m-2,2-m)代入y

=-ix2+4中，2・m=-i(m-2)2+4,综上求出m的值.

11.【答案】(1)解：•••OA=OC=3,

二抛物线y=x2+bx+c经过点A(-3,0),C(0,-3),

•••将其分别代入抛物线解析式，得F—;))；二°,

BC=_3

故此抛物线的函数表达式为：y=x2+2x-3；

(2)解：设直线力。的解析式为y=+

将4(-3,0),C(0,—3)代入，

得。二;。，

解得忆二;，

直线力。的解析式为y=—

y=x2+2x-3,令y=0得/+2x-3=0,

解得％=一3或1,

•••8(1,0),

过点N作直线NM〃y轴，交AC于点M,

设N的坐标为(n,几2+2几一3),则M(n,f-3),

:.MN=-n—3—(n2+2n-3)=—n2—3n,

ii113

•,«S四边形ABC、=S^+S4ACN~-OC+jMN-O?l=yx4x34-^x3(-n2—3n)=-^(n+

ABC乙乙乙乙乙

、)

力3+可75

把n=-|代入抛物线得：y=(一|)2+2x(-|)-3=一字

・•・N的坐标为(一|,一曷，

・•・存在一点N(-★，一竽)，使四边形力BCN的面积最大，最大面积是券；

(3)解：存在，理由如下：

y=%2+2%-3=(%+I)2-4,

:•。(-1,一4),

设E(O,m),

•••点40,E,F构成矩形，

是直角三角形，

=(3-1)2+42=20,

AE2=32+m2,

DE2=(m+4)2+I2,

①当以40为斜边》寸，AD2=DE2+AE2,

(m+4)2+#+32+62=20,解得m=-1或-3,

•••点E的坐标为(0,-1)或(0,-3),

•••点户的坐标为(一4,-3)或(一4,一1)；

②当以力E为斜边时，AE2=DE2+AD2,

32+m2=(m+4)24-I24-20»解得m=一登，

点E的坐标为(0,-韵，

•••点”的坐标为(—2,|);

③当以0E为斜边时，OE2=AD2+AE2,

(m+4/+I2=32+巾2+20,解得m=

•••点E的坐标为(0,|),

・••点F的坐标为(2,-各；

综卜.所述：存在，点E的坐标为(0