2027高考数学总复习：离散型随机变量及其分布列、均值、方差

10.2离散型随机变量及其分布列、均值、方差

考点离散型随机变■及其分布列、均值、方差

1.★★★(2025全国一卷,14,5分)有5个相同的球，分别标有数字1,2,345,从中有放回地随

机取3次,每次取1个球「EX为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望

E(为二.

答案

^★★★(2021浙江,15,6分)袋中有4个红球M个黄球,八个绿球.现从中任取两个球，记取

出的红球数为。，若取出的两个球都是红球的概率为占一红一黄的概率为士则加-

63

n=,E©=.

答案

士★★★(2()22全国甲理,19,12分)甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个

项目胜方得10分,负方得0分，没有平局.三个项目比赛结束后,总得分高的学校获得冠军.

己知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0区各项目的比赛结果相互独立.

⑴求甲学校获得冠军的概率；

⑵用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望.

解析(1)记“甲学校在第i个项目获胜”为事件4(i=l,2,3),“甲学校获得冠军”为事件

E.

则P(E)=P(A\A2A^+P(AiA2A3)+P(A\A2Ay)+P(A1A2Ay)=^^+会+9汉+衿x?=(

••・甲学校获得冠军的概率为*

(2)记“乙学校在第J个项目获胜”为事件由(/=123).

X的所有可能取值为0,10,20,30.

则P(X=0)=P(B1F2F3)=-X-X-=

ODLaO

P(X=10)=P①瓦尻)+尸(瓦82万3)+尸(瓦瓦&片x：x"+Ixixl=S

P(X=20)二尸(S&瓦)+尸伊瓦&)+P(用&网9法+吴X：+Hxl=总

DODO/DU

P(X=30)=P(8隹&片x统=总

・・・X的分布列为

X0102030

411173

1P

25255050

，E(X)=Ox导1Oxm20xa30x赛13.

4★★★(2021新高考I,18,12分)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A,B两类问题.每

位参加比赛的同学先在两类问题中选择•类并从中随机抽取•个问题回答，若回答错误

则该同学比赛结束;若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正

确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分,否则得()分;B类问题

中的每个问题回答正确得80分,否则得0分.

已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确回答B类问题的概率为0.6,旦能正

确回答问题的概率与回答次序无关.

⑴若小明先问答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；

⑵为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.

解析(1)由题易知X的所有可能取值为0,20,100,

P(X=O)=1-0.8=0.2,

P(X=20)=0.8x(1-0.6)=032,

P(X=100)=0.8x0.6=0.48,

所以X的分布列为

X020100

P0.20.320.48

⑵由⑴可知£(X)=0x0.2+20x0.32+100x0.48=54.4.

假设小明先回答B类问题，其累计得分为匕则y的所有可能取值为o,8o,ioo,p(y=o)=i-

0.6=0.4,

P(y=8Q)=0.6x(1-0.8)=0.12,

P（y=100）=0.6x0.8=0.48,

所以y的分布列为

YI680100

P6^40J20.48

所以仇午0x0.4+80x0.12+100x0.48=57.6,

所以E（Y）＞E（X）,

所以小明应选择先回答B类问题.

^★★★（2022北京,18,13分）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛

成绩达到9.50m以上（含9.50m）的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军

得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩,并整理得到如下数据（单位:m）：

甲980,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25；

乙978956,9.51,9.36,9.32,9.23;

丙985,9.65,9.20,9.16.

假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.

⑴估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；

⑵设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望

EX;

⑶在校运动会铅球比赛口，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）

解析⑴甲以往参加的10次比赛中，有4次比赛成绩达到获得优秀奖的标准，则甲得优

秀奖的概率尸TI

⑵随机变量X的所有可能取值为0,123,设甲、乙、丙获得优秀奖分别为事件A,8,C,则

瓦2相互独立,RP（A）=IP（B）=P（C）=1P（A）=1-P（A）=1耳）

则P（X=0）二尸（「BC）=P（A）P（B）P（C）=^^=A；

n/XU

P(X=1)=P(ABC)+P(ABC)+P(A

万C)=P(A)P®唯)+P(1)P⑻碓)+P(加(万)P(C)号/+起彳+|x|xl=^=1;

P(X=2)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=P(A)PWP(C)+P(/\)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)=^^+

-2x1-x1-H,—3x1-1x-=一7:

52252220

7111

P(X=3)=P(ABq=P(A)P(B)P(q=|xlxl=高

故E(X)=0x—+lX?+2X-^-4-3X—=

''20520105

⑶丙.

详解:乙夺冠的概率为卜乙月吟4+H4+H4+/君+H4=得

丙夺冠的概率为「(丙)三+力利=.

44561N

甲夺冠的概率为。(甲)-12一3=2

124o16

P(丙)最大，所以丙夺冠的概率最大.

^★★★★(2024新课标II,18,17分)某投篮比赛分为两人阶段，每个参赛队由两名队员组

成.比赛具体规则如下:第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中,则该队

被淘汰，比赛成绩为()分;若至少投中1次,则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一

名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分,该队的比赛成绩为第二阶段的得分

总和.

某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p,乙每次投中的概率为名各次

投中与否相互独立.

⑴若〃=().4,夕二0.5,甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率.

⑵假设0</)<q.

⑴为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？

(ii)为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？

解析(I)由题意知甲参加第一阶段比赛与乙参加第二阶段比赛是相互独立事件.

因此甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率为［1-(10加-(103］="・(1-0.4丹［1-(1-

0.5)>0.686.

⑵⑴设由甲参加第一阶段比赛，该队比赛成绩为15分的概率为Pi,乙参加笫一阶段比赛,

该队比赛成绩为15分的概率为外，

则P1=[1・(12)3]夕3,尸2=[1-(1-q)3]p3.

则多-22=口-(1-〃)]/-[]-(Lq)3]p3=3pq(q-p)(q+p-pq),又C<p<qWI，所以q-p>O,p+q-pq=p(1-

g)+q>0,所以外>2,则应由甲参加第一阶段比赛，这样才能使得甲、乙所在队的比赛成绩

为15分的概率最大.

(ii)设甲参加第一阶段比赛，该队比赛成绩为X,则X的可能取值为0,5,10,15.则

P(X=0)=(lW+U.(Lp)3](l・q)3,

尸(X=5)=U・(12丹西(14,

P(X=10)=[l-(l-p)3].C%2(%),

P(X=15)=[l-(l-p)3]^,

所以由甲参加第一阶段比赛，该队比赛成绩的数学期望为E(X)=0+5[l-(l-p丹屐夕(1-

4+10[1-(1/丹C财(1切)+15[1-(1-〃)3M3

=15q(3p-3P4/力.

设乙参加第一阶段比赛，该队比赛成绩为匕同理可得乙参加第一阶段比赛,该队比赛成绩

的数学期望E(r)=15p(3q-3/+/).

E(X)-E(Y)=15q(3p-3P2+p3)-15P(34-3/+/)=j5Pq(q-p)(3-p-q),

因为0<p〈qWl,所以伏p>0,3-p”/>0,所以E(X)>E(Y).

则由甲参加第一阶段比赛时，该队比赛成绩的数学期望最大.

7.★★★★★(跨学科•生物)(2021新高考H,21,12分)一种微生物群体可以经过自身繁殖

不断生存下来，设一个这种微生物为第0代,经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后

为第2代……该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示I个

微生物个体繁殖下一代的个数,P(X=i)=p,(i=0,1,2,3).

⑴已知po=O.4,pi=O.3,0=0.2,p3=0.1，求£(X)；

⑵设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率,〃是关于X的方

程:po+pix+p4+P'V^x的一个最小正实根，求证:当E(X)W1时,p=l,当E(X)>1时,P<1；

⑶根据你的理解说明⑵问结论的实际含义.

解析⑴E(X)=0x0.4+1x0.3+2x0.2+3x0.1=l.

⑵证法一由题意得po+pi+〃2+P3=I,E(X)=PI+2〃2+3〃3,

因为PO+P\X+P2X2+P^=X,

所以M)+p2X2+/>3X3-(1-pi)A-O,

即〃0+〃2$+〃1-仍。+〃2+〃3)4o,

即(X-1)[/?4+3+〃3)4〃0]旬，

令./(.V)=pxr+(/23+p3)X-pn,

则以)图象的对称轴为直线户上产<0,目.欣)=3<0,

2P3

/⑴=2〃3+〃2俨=Pl+2P2+323・1=E(X)-1.

当E(X)<1时J⑴WO,/)=0的正实根的21,则原方程的最小正实根p=l；

当E(X)>\时,川)>0,危)=0的正实根xo<l,则原方程的最小正实根p=xo<l.

证法二设/(1)=小/+〃2父+。)1-I)X+〃O,

由题易知〃3+6+〃1+〃0=1,

故/W=〃二户+〃2/-(/刀+〃()+尸3*+〃0,

2

/(A)=3/?3A-+2/72A：-(/?2+/^O+PJ),

£(X)=Opo+1・pi+2-p2+3-〃3;pi+2〃2+3p3,

若E(X)W1,则pi+2P2+3p：W1,

故而+2而Wpo,

因为f(O)=-(P2+po+p3)<O,

/(I)=P2+2〃3-p()WO,

所以r(x)有两个不同零点X|,X2,且X1<O<1Wx2,

当xe（・8㈤）U（M,+8）时,八力＞0,

当X£（X1,X2）时J3＜（）,

故外）在（-8,沏）,但,+8）上为增函数，在但M）上为减函数,

若X2=l,因为贝X）在（右,+8）上为增函数，在5,2）上为减函数，且/⑴=0,

所以在（0,+8）上，小）司⑹=/（1）=0,

故1为关于x的方程:po+pM+p4+p4=x的一个最小正实根，即p=l,故当E（x）Wl时,p=l.

若迫＞1,因为41）=0且./«在（0阳）上为减函数，

故1为关于X的方程：/%+小工+〃2/+〃3/二%的一个最小正实根.

综上，若凤X）＜l,则p=l.

若石（X）＞1,则〃什2〃2+3曲＞1,

贝|J/九+2〃3＞〃0,

此时八0）=«2+〃（）+〃3）＜0,八1）=〃2+2〃3-〃（）＞0,

故/（X）有两个不同零点孙X4且X3＜0＜.\4＜1,

故Ar）在（-8,3,（M+8）上为增函数，在（右阳）上为减函数，

而川）=0,故贝刈〈0,

又大。）二网＞。，所以/（1）在（0陷）上存在一个零点沏,且x0＜l,

所以Xo为关于X的方程:用+〃1.丫+〃*+〃+1=］的一个最小正根，即〃＜1,故当E（X）＞\时，P＜1.

⑶意义:若一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过I,则若干代后会临近灭绝，若繁殖后

代的平均数超过1,则若干代后还有继续繁殖的可能.

1.★★（2025届甘肃金昌金川高级中学二模,6）已知随机变量X的分布列如下:

X123

21，

Pin-2m-2m--m0.4

则数学期望灰X)=()

A.0.8B.1.4C.2w-3D.2

答案D

2.**(2025届广东适应性测试,3)已知随机变量X的分布列如表所示:

X-101

1

Pmn

3

若p(xwo)［，且2x+y=i厕。⑺;()

29°47「29卜38

AA—B.—C.—D.—

181899

答案c

3$*(2026届湖北部分重点中学联考,3)设0<〃<1,随机变量X的分布列如下表：

X012

1l-p

P

22

则当〃在区间(0,1)内增大时，()

A.E(X)减小B.E(X)先减小后增大

C.E(X)增大D.E(X)先增大后减小

答案C

4.★★★(2025届四川第二次大数据联考,6)若随机变量X的分布列如下表，表中数列仇｝是

公比为2的等比数列，则E(X)=()

X123

PPiP2P3

.111315「17

ADB.—rC—D.—

7777

答案D

5.***(2026届河南部分学校质检,7)不透明袋子里装有大小、材质完全相同的3个白

球、8个黑球，现从中每次随机不放回地抽取1个小球，直到选中第1个黑球为止,则选取

次数X的数学期望E(X);)

545

A.-B.-C.2D.-

233

答案B

'★★★（2026届广东综合能力测试一,8）•个盒子里有3个相同的球,分别标有数字2,34

若每次不放回地从盒子中随机取出一个球，直到取出的所有球的数字之积大于或等于8

为止.记此时取出的所有球的数字之和为X,则E（X）=（）

A.-B.7C,-D.6

34

答案A

/★★★（2026届广东深圳红山中学等期中联考,14）一个箱子中有大小质地完全相同的小

球共5个，其中红球2个，蓝球3个.现依次不放回地从箱子中取球,直到取完所有红球为

止.设取球次数为X,则X的数学期望E（X）=.

答案4

8$***（2026届安徽六校测试,14）一个袋中装有形状、大小完全相同的6个球，其中2

个红球,4个白球.从袋中有放回地取球，每次随机取1个记下颜色后放回，直到取出3次红

球停止，记X为4次之内（含4次）取到红球的次数，则X的数学期望E（X）=.

答案黑

"★★★（2026届福建三校协作体联考,15）在某次篮球团体比赛中，甲、乙两支球队进入总

决赛，比赛采用5局3胜制,只要有一支球队先获胜3场，比赛即结束.在第一场比赛中甲

队获胜，已知甲队第2,3,4场获胜的概率为*第5场获胜的概率为|,各场之间互不影响.

⑴求甲队以3：1获胜的概率；

⑵设X表示决出冠军时比赛的场数，求X的分布列与数学期望.

解析⑴设A二”甲队以3：1获胜”，则甲队必在第四场获胜，第2,3场中胜1场负1场,

则尸缶）=6彳*《］=稳.

⑵根据题意,X可取3,4,5,

当X=3时，即甲再连胜2场，

所以W=3)=(|)2=2

当X=4时，有2种情况，甲胜或乙胜,

所以如仁4)=(|丫+瑞=/；

当X=5时，有2种情况，甲胜或乙胜，

所以P(X=5)=废亭(|)飞+盘格(I?彳=瑞,

所以X的分布列为

X345

94436

rn

25125125

所以E(X)=3磷+4x急+5x我二491

'125'

^.★★★★(2026届江苏连云港联考,18)在两个大小相同、距离不同的区域内进行投掷沙

包的比赛，每人至多投3次.具体比赛规则如下:①在距离较远的区域内投一次特制沙包，

投进得5分，没投进不得分;②在距离较近的区域内投两次普通沙包,每投进一次得3分，

没投进不得分(若可以投两次普通沙包,则连续投两次普通沙包);③若前两次均投进或均

未投进，都停止比赛;④得分高于5