初二（上）数学汇编：等腰三角形与直角三角形（北京版）

2025北京重点校初二（上）期中数学汇编

等腰三角形与直角三角形（北京版）（非解答题）

一、单选题

1.（2025北京第十五中学初二上期中）在下列条件中不能确定△力是直角三角形的条件是（）

A.ZJ+Z/?=ZCB.Z/1:ZZ?:ZC=1:2:3

C.4=90°—/8D.4=2N4=3NC

2.12025北京首师大附中初二上期中）如图,在等腰"5C中,已知,44-,4C,则下列不能说明5D-CQ的

是（）

C.Z-BAD=Z.CADD."BD%ACD

3.（2025北京第二十中学初二上期中）已知等腰三角形的一边长为4,另一边长为8,则它的周长是（）

A.12B.16C.20D.16或20

4.（2025北京第二十中学初二上期中）如图，Zl=Z2,PD104于D,PE1OB于E,下列结论错误的

A.PD=PEB.OP4分乙DPE

C.OD=OED.OE垂直平分OP

5.（2025北京清华附中朝阳学校初二上期中）如图，在△N8C中，NA4C=90。，AD，BC于点D,BE平

分/ABC,交力。于点£若N8/D=34。，贝IJN力£8的度数为（）

A.56°B.60°C.62°D.65°

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6.（2025北京人大附中朝阳学校初二上期中）如图,在正方形网格内，48两点都在小方格的顶点上,如

果点。也是图中小方格的顶点，且△力4C是等腰三角形，那么点C的个数为（）

7.（2025北京二中初二上期中）如图，XABCgHDEC,点E住,44边上，N"-70。，则44c。的度数为

8.（2025北京人大附中初二上期中）如图，已知N8C4=N8D4=90。，8c=80.则证明△历△历I。的

理由是（）

A.SASB.ASAC.AASD.HL

9.（2025北京工大附中初二上期中）如图，在3x3的网格中，每个网格线的交点称为格点.已知图中力，B

两个格点，请在图中再寻找另一个格点C，使△ABC成为等腰三角形，则满足条件的点C有（）个.

A.6B.8C.10D.12

10.（2025北京二中初二上期中）人们常用两个三角尺平分一个任意角，做法如下：如图所示，NAOB是

一个任意角，在边。力，08上分别取OM=ON,使两个三角形的一直角边分别与04。8重合，移动三

角尺使两个直角顶点分别与M，N重合，三角尺的另两条直线边相交于点C，作射线OC，可证得

△MOC知NOC,从而得0c是/408的平分线.在上述过程中，判定两三角形全等的方法是（）

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A

M一

B

A.HLB.ASAC.SASD.SSS

二、填空题

li.（2025北京第八中学初二上期中）如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则

"+NQ=度.

Q

12.（2025北京潞河中学初二上期中）如图，在△力8c中,AB=4,4c=3,BO、CO分别是46C、NACB

的平分线，MN经过点O,且MN〃BC,MN分别交＜从力。于点.历、N,则△4WN的周长是.

13.（2025北京北师大实验中学初二上期中）如图，C是路段4B的中点，两人从C同时出发，以相同的速

度分别沿两条直线行走，并同时到达。，E两地，已知D4148,EBLAB,由此可判定ACD^BCE,

判定的依据是“1（填文字或字母简写）

14.（2025北京延庆初二上期中）如图，射线OC平分N404,点。是OC上一点，过点。作OE1O/于点

E,在射线08上任取一点G,连接OG,在04上取一点尸，连接。尸，使得"'=OG.给巴下列结论：

①/OFD=NDGB；®OF+OG=2OE,③又8£=又。/；©ZJ^+ZFDG=180°.上述结论中，所

有正确结论的是.（只填写序号）

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15.（2025北京第十三中分校初二上期中）已知△48C中，AB=7,CA=2a+\,CB=2a-5,则a的取值

范围是：若NJBC=90。，点。在N/C5的平分线上，且满足D414C,则△力8。的面枳为.

16.（2025北京第十三中分校初二上期中）定义：等腰三角形的腰长与其底边长的比值A称为这个等腰三角

形的“优美比”.例如一个等腰三角形的腰长为2cm,底边长为3cm,则这个等腰三角形的“优美比Y为:.若

等腰三角形力8C的周长为13cm,48=5cm,则它的“优美比”为.

17.（2025北京第十三中分校初二上期中）如图，直线。〃6,直线/与直线*b分别交于点4B.点C在

线力上，JLCJ=CB.若Nl=a，则N2=（用含。的式子表示）.

18.（2025北京第八十中学初二上期中）己知等腰三角形的一个内角为80。，则这个等腰三角形的底角度数

为.

19.（2025北京人大附中初二上期中）如图，在△力NC中，AN=AC,AM1MN千M,且W:NC=1:2,

若匕NAC=42°,则NM4N=.

20.（2025北京三帆中学初二上期中）如图,在△NBC中,ZC=90°,DE垂直平分45于E,交CB于D,

DC=DE,则N4的度数为。.

21.（2025北京育才学校初二上期中）如图在△48C中，4C8=90。,4=30。，以点C为圆心，CB长为

半径作圆弧，交AB于点D,若C8=4,则3。的长为.

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c

22.（2025北京铁二中初二上期中）已知等腰三角形的一个内角为80。，则另两个角的度数是.

23.（2025北京第一七一中学初二上期中）如图，在△力8C和ADEE中，N4BC=NDEF=90。,AC=DF,

若要利用“HL”证明△/4。0△。印，则需要添加条件（答案不唯一）.

24.（2025北京汇文中学初二上期中）如图，ACjBD于P,AP=CP,添加下列一个条件,能利用“HL”

判定△/fBPgaCOP的条件是.

25.（2025北京潞河中学初二上期中）等腰三角形的两边长分别为5cm和7cm,则它的周氏为.

26.（2025北京日坛中学初二上期中）如图,在N8C和△QC8中,ZJ=ZD=90°,要使△ZBC已△0C3,

若根据“HL”判定，则还需要添加条件：.

27.（2025北京广渠门中学初二上期中）已知等腰△48。的一个内角是40。，则它的底角度数为.

28.（2025北京大兴初二上期中）等腰三角形的一个内角是80。，则它顶角的度数是.

29.（2025北京东直门中学初二上期中）如图，在△44。中，/A=4C=24cm,AC=16cm,点。为/4的

中点，点P在线段8C上以4cm/s的速度由8点向C点运动，同时，点。在线段C/上由C点向力点运动.若

能够在某一时刻使△8PO与CQP全等,则点。的运动速度为.

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3（）.（2025北京第八十中学初二上期中）如图，在△月中，已知乙18c和N4C8的平分线相交于点凡

过尸作OE〃8C,交于点。，交力C于点E,若BD=3,CE=2,则线段OE的长为.

31.（2025北京燕山初二上期中）如图，尸。1。力于点C,尸。108于点。，且PC=PO,如果〃OP=2（）,

那么Z.CPD的度数是.

32.（2025北京西城外国语学校初二上期中）如图,在△45C中,AB=AC.AB\\CDf过点8作8E1ZC于

E,BD1CD于D,C7）=8,8O=3Q/18E的周长为.

33.（2025北京清华附中朝阳学校初二上期中）如图,在等边△4BC中46=2,8。是4C边上的高，延长8C

至点E,使CE=CO,则BE的长为.

34.（2025北京中关村中学初二上期中）如图,已知点力、D、C、3在同一条直线上,NB=NE=90。,AB

=DE,若添加一个条件后，能用“HL”的方法判定RtZX/fBCWRtAOEF添加的条件可以是

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35.（2025北京二中初二上期中）在△/BC中，ZC=90°,/%一N8=30。，则4=.

36.（2025北京广渠门中学初二上期中）如图，△48cg点D在边8C上，ZE/fC=36°,则

4=________°.

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参考答案

题号12345678910

答案DBCDCCBDBA

1.D

【分析】本题考查直角三角形的判定，掌握三角形内角和是关键；通过三角形内角和为180。，分别验证各

选项是否能推出一个角为90。；选项A、B、C均能推出直角三角形，选项D计算后无90。角，故不能确定.

【详解】解：选项A：•「乙A+上B=4C,且ZJ+Z5+ZC=180°,

2ZC=180°,

ZC=90°,能确定直角三角形;

选项B：设乙A=k,4B=2k,4c=3k,则攵+2Z+34=180°,

/J:=30°,

/.ZC=90°,能确定直角三角形;

选项c：-/z/i=90'-z/y,

4+N8=90。，

乂4+N8+NC=180。，

NC=90。，能确定直角三角形；

选项D：设NC=x,则ZJ=3x,=

Z^+ZZ?+ZC=lr+-x+x=180P,

2

360°

.".x=—^32.727°,乙1=98.181。=90。，不能确定直角三角形;

故选：D.

2.B

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质，根据三角形的三线合一以及全等三角形的性

质，逐项分析判断，即可求解.

【详解】解：A、/AB=AC,4O18C,BQ=C。，故该选项不符合题意；

B、/AB=AC,N8=NC,不能说明8Z)=C£),故该选项符合题意；

：AB=AC,NBAD=NCAD,:.BD=CD,故该选项不符合题意；

D、・.•"BDAACD,：.BD=CD,故该选项不符合题意；

故选：B.

3.C

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【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系：对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有

明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论.

因为等腰三角形的两边分别为4和8,但没有明确哪是底边，却是腰，所以有两种情况，需要分类讨论.

【详解】解：当4为底时，其它两边都为8,则4、8、8可以构成三角形，周长为20；

当4为腰时，其它两边为4和8,因为4+4=8,所以不能构成三角形，故舍去.

故选：C.

4.D

【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线性质，全等三角形的性质和判定的应用，由角平分

线的性质定理可得PD=PE,再证明RbOPOgR匕OPE(HL),进而可得OD=OE,ZOPD=4OPE；而OQ,

力尸是无法证明是相等的，J：是答案可得，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等.

【详解】解：；4POB=NPOA,PD工OA,PELOB,

，PD=PE,故A正确；

•••PDLOAtPELOB,

/.2PEO=/PDO=90°,

在和Rt^OPE中，

PD=PE

OP=OP'

RaOPZMRa"E(HL),

；.OD=OE,NOPD=NOPE,故C正确，

：.OP平分乙DPE,故B正确；

根据已知不能推出。。=尸。，OE=PE,

二.DE不一定垂直平分。P,故D错误；

故选：D.

5.C

【分析】本题考查的是直角三角形的性质，先根据直角三角形的性质求出N48。，再根据角平分线的定义

求出NABE,根据直角三角形的性质计算即可.

【详解】解：..•力。14。，

/ADB=90。,

■/NBAD=34°,

...ZABD=90°-NBAD=90°-34°=56°,

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•/8E平分N/I8C,

Z.ABE=-Z.ABD=-x56°=28°,

22

在48C中，N84C=90。，48E=28。，

ZJE2?=90°-28°=62°,

故选：C.

6.C

【分析】木题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题.

分乂3为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点。的个数.

【详解】解:如图:当43为腰时，点。的个数有2个,

当AB为底时，点C的个数有1个,

7.B

【分析】由全等三角形的性质推出8C=CE,4DCE=4ACB,由等腰三角形的性质得到DCE8=DB=70°,

求出Z.ECB=180°-ZCEB—NA=40°,ZACD+AACE=ZECB+ZACE,即可得到ACD=NECB=40。.

【详解】•:△ABgADEC,

BC=CE,4DCE=AACB,

NCEB=NB=70。,

NECB=1800-/CEB-NB=40°,

■:/ACD+^ACE=NECB+ZACE,

NACD=NECB=40°.

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故选：B.

【点睛】本题考查全等三角形的性质，等腰三角形的性质，关键是由△力得到8C=C£,

Z.DCE=ZACB.

8.D

【分析】根据题意得到两个三角形是直角三角形，结合给出的条件：直角边和斜边分别相等，从而得出结

论.

(详解】•/ZBC4=ZBDA=90°,

。和△84。是直角三角形，

:BC=BD,AB=AB,

：.^BAC^BAD(HL)t

故选：D.

【点睛】此题考查了全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法及其应用.

9.B

【分析】根据题意，分三种情况：当=时，当力4=力。时，当C/1=C3时，即可解答.

【详解】解：如图所示：

分三种情况：

①当次1=8。时・，以点8为圆心，以84长为半径作圆，交网格线的格点为G，G，

②当/8=/lC时，以点力为圆心，以48长为半径作圆，交网格线的格点为G，

③当。=C8时，作力夕的垂直平分线，交网格线的格点为G，C6,G,C8,

综上所述：使/BC成为等腰三角形，则满足条件的点C有8个，

故选：B.

【点睹】本题考查了等腰三角形的判定，根据题意，分三种情况讨论是解题的关键.

10.A

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【分析】根据全等三角形的判定定理推出Rt4Moe@Rt4NOC,根据全等三角形的性质得出

NA/OONNOC,再得出答案即可.

【详解】解：由题意知：2CMO=4CNO=90°,

\oc=oc

在和&中'OM=ON

:.RfAMOC9RfANOC(HL),

N.MOC=/NOC,

.•・。。是/408的角平分线，

故选：A.

【点睛】本题考行了全等三角形的判定定理和性质定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，

注意：全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,两直角三角形全等还有HL.

11.45

【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、三角形外角的性质，找出图中的全等

三角形是解题的关键.

利用网格得出△P8C%C40(SASj,480=408=45。，再利用全等三角形的性质以及三隹形外角的性

质即可得出答案.

【详解】解：如图,

Q

由图可得，PB=AC,^PBC=ZCAQ=90°fAQ=AB=BC,

"8Cg.C/°(SAS),480=408=45。,

，NP=/ACQ,

ZP+乙BQC=ZACQ+4BQC=AABQ=45°.

故答案为：45.

12.7

【分析】本题考查了等腰三角形的判定，角平分线的定义，平行线的性质.根据角平分线的定义和平行线

的性质可证△M。。和ANCO是等腰二角形，从而可得MB=MO,NO=NC,然后利用等量代换可得；A4WN

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的周长=48+4。,即可解答.

【详解】解：:9、CO分别是48C、乙4c8的平分线，

:ZBO=/OBC,乙4co=NOCB,

'：MN//BC,

ZMOB=40BC,NNOC=4）CB,

Z.ABO=Z.MOB,Z.ACO=Z.NOC,

:.MB=MO,NO=NC,

'：AB=A,JC=3,

：“AMN的周长=AM+MN+AN

=AM+MO+ON+AN

=AM+MB+CN+AN

=/B+4C=4+3=7,

故答案为：7.

13.HL（答案不唯一）

【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据判定定理“HL”即可求证，掌握全等三角形的判定方法是解题

的关健.

【详解】解：:C是路段彳5的中点,

AC=BC,

•••两人从。同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达O,E两地，

：.CD=CE,

DALAB,EBLAB,

：.N4=N8=90°,

在RtAACD和RL8CE中,

iCD=CE

{AC^BC'

/.Rl△/C*RUCE（HL）,

••・判定的依据是“HL”或“斜边、直角边”，

故答案为：HL.

14.©@@

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质定理，三角形内角和定理，掌握知识点的

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应用是解题的关键.

过。作Q"108于点〃，由角平分线性质可得。£=。〃，证明可判断①；由

△DEFWADHG,则跖=〃G,证明RaOD£■丝RSOOH(HL),所以0E=0〃，通过线段和差即可判断②；

由AOOE丝△0。〃，则从而判断③；由2EFaDHG,则NEDF=N〃DG,通过角度和差

得出4FDG=4EDH,然后通过三角形内角和定理即可判断④.

【详解】解：如图，过。作。H_LO8于点”，

"GHB

/DELOA,射线0c平分/408,

DE=DH,NDEF=£DHG=90P,

:DF=DG,

RtADEF^RtA£）/7G（HL）,

；.NOFD=/DGB,故①正确；

•.­GEFADHG,

/.EF=HG,

'：DH1OB,DE1OA,

/.£0ED=40HD=9G,

DE=DH,OD=OD,

RtA（7Z）£^RtA（7Z）/7（HL）,

OE=OH,

:.OF-EF=OG+HGf

,'.OF-OG=2HG,

OF-OG=2{OH-OG]=2{OE-OG],

/.OF-OG=2OE-2OG,

：.0F+0G=20E,故②正确；

4DE区ODH,

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S.ODE~S4ODH»

'''S4ODEHS400G,故③错误；

•••GEF知DHG,

Z.EDF=2HDG,

/.tEDF+乙EDG=4HDG+NEDG,即4FDG=4EDH,

，•/OED=NOHD=9（r,

ZJOQ+NEQO=90。，4OD+=90。，

40〃+/EDO+乙BOD+41IDO=180。，即Z.AOB+4EDH=18（P,

4OB+N阳G=180。，故④正确；

综上，所有正确结论有①②

故答案为：©@@.

15.a>—21

4

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理和勾股定理的应用，学会构造三角形

全等是解决本题的关键.

第一部分利用三角形三边关系求解不等式；第二部分先由勾股定理求”，过。作OE18C的延长线于E,

由角平分线的性质定理可知D4=DE,则可以证明RtADJC^RuDfC,进而即可求出BE,判断出BE是

2ABD中边44的高，最后通过三角形面积公式即可求解.

【详解】解：在△48C中，由三角形三边关系得C4+C8>48,

（2a+l）+（2a-5）>7

4。-4>7

4/>11

解得。

4

同时C4>0和C8>0在。时自动满足，

4

的取值范围是。>¥，

4

...乙4蛇=90。,

AB2+BC2=AC2,

「.？2+（〃—5）2=（为+1『

49+-20〃+25=4/+4。+1

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一20。+74=4a+1

-24f/=-73

73

解得a吱,

I3Q<

,\CT=2a-5=—,CA=2a+\=—,

1212

过。作。E18C的延长线Ff,如卜.图,

•.•点。在N4C8的平分线上，且D414C,

DA=DE,

在RtaLMC和RQDEC中，

DA=DE

'DC=DC，

Rt△。力CgRt^OEC(HL),

/.EC=JC=—,

12

13

BE=EC-BC=------=6,

1212

ZJ5C=90，ABkBE,

8E是中边44的高，

A/18O的面积为：S»BD=；X4BXBE

1r，

=­x7x6

2

=21,

故答案为：“>[■；21.

4

16.:或1

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，分类讨论是解决本题的关键.

根据等腰三角形的性质利“优美比”的定义，分AB为腰利AB为底边两种情况讨论，分别计算腰长与底边长

的比值即可.

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【详解】解：根据题意得,等腰三角形48c的周长为13cm,AB=5cm.

当48为腰时，另一腰也为5cm,底边长为13-2x5=3cm,

二.优美比小腰长/底边长=g.

当48为底边时，腰长为&上2=4cm,

2

优美比人=腰长/底边长，4.

故答案为：;5或4

17.180。-2a

【分析】本题考查平行线性质与等腰三角形性质，解题思路是利用平行线得内错角相等，结合等腰三角形

的角关系推导：解题关键是识别等腰三角形的底角相等，易错点是混淆角度的等量代换.

【详解】解：•.•“〃〃，Zl=a

/CB4=/1=a

•••CA=CB

.•.△C48是等腰三角形，

:./CBA=NCAB=a

在△C/8中，4C8=180°-2o,Z2="B（两直线平行，内错角相等）

得/2=180。-2a；

故答案为180。-2-

18.50。或80°/80°或50。

【分析】本题考查等腰三角形的性质，运用分类讨论思想，分已知角为顶角或底角两种情况求解；解题关

键是考虑内角的两种可能性；易错点是忽略分类讨论导致漏解：根据等腰三角形性质，分80。角为顶角或底

角两种情况，分别计算底角度数.

【详解】解：①若80。为顶角，则底角度数为（180。-80。）-2=1。0。-2=50°

②若80。为底角，则底角度数为8（）。

故答案为50。或80。.

19.21°

【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，利用等腰三角形三线合一的性质得到

NH=CH=-CN,^NAH=-NAC=2\0,再证明g△.4HN,得到NM4N=NM4"=21。.

22

【详解】解：过点/作力，1CN于点〃，

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/AN=AC,/M4C=42。，

/.NH=CH=-CN,4NAH=L^NAC=21°,

22

•「MN:NC=1:2,

:.MN=，NC=NH,

2

ZM=乙AHN=90°,AN=AN,

公AMN9AAHN(HL),

：./MAN=/NAH=21。,

故答案为21。.

20.60

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、垂直平分线的性质、等边对等角和三角形内角和定理的应

用，掌握全等三角形的判定和性质是解决本题的关键.

根据HL证明石可得/1=/2,再根据垂直平分线的性质可得N2=N8,最后结合三角形

内角和定理即可求解.

【详解】解：连接力。，如图，

DK垂直平分.44于K,

/./。口=90。，

在RUJDC和Rt^ADE中,

CD=ED

AD=AD"

：.Rt“0cgRt△仞E(HL),

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/.N1=N2,

。上垂直平分48于E,

AD=BD，

/.N2=N8,

N1=N2=N8,

.,.在/AC中，ZC+Z^+ZCJ^=I8O°

90c+Z5+Zl+Z2=180°

90c+3/1=180°

3/1=90°

/I=30。，

ZJ=Zl+22=60°,

故答案为：60.

21.4

【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，连接8,证明△BCD为等边三角形，即可得出结果.

【详解】解:连接8,由作图可知:BC=CD,

/8=60。,

「.△8C。为等边三角形，

BD=BC=4；

故答案为：4.

22.50°,50。或80°,20°

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键.

等腰三角形两个底角相等，分两种情况：80。角为顶角和80。角为底角，分别计算另外两个角即可.

【洋解】解：若80。角为顶角，则另外两个底角为：(180°-80°)=50°；

若80。角为底角,则另外一个底角也为80。,则顶角为：180。-80。-80。=20。.

故答案为：50°,50。或80。，20°.

23.AB=DE(答案不唯一)

【分析】本题考查了全等二角形的判定，根据="=90。"。=。尸，旦要利用“HL”证明

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△ABC公ADEF,则添加=即可作答.

【详解】解：•..N/5C=N。叫"二川）彳0二力/且要利用“HL”证明△48CgZ\OE/L

「.需要添加条件48=。£,

故答案为：AB=DE（答案不唯一）

24.AB=CD

【分析1本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握“HL”是解答本题的关键.

根据“HL”所需的条件分析即可.

【详解】解：•••/，18。,

AAPB=Z.CPD=90°,

,:AP=CP,

」.要利用“HL”判定的条件是AB=CD.

故答案为：AB=CD.

25.17cm或19cm

【分析】本题考查等腰三角形的性质.在解题的过程中要注意二条线段能否构成三角形.根据等腰三角形

的性质进行分类讨论求解即可.

【详解】解：等腰三角形的两条腰相等，

①当腰为5cm时,三角形的三边为:5cm、5cm、7cm,能构成三角形,其三角形的周长为：5+5+7=17cm；

②当腰为7”?时，三角形的三边为：5cm、7cm、7cm,能构成三角形，三角形的周长为：5+7+7=19cm；

故答案为：17cm或19cm.

26.AB=DC（或力。=。8）

【分析】根据题意，8c是公共边，只需添加力8=。。或力。=。8即可解答.

本题考杳了三角形全等的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键.

【详解】解：根据题意，8。是公共边，只需添加或4C=O8.

故答案为：4B=DC^AC=DB.

27.40。或70。

【分析】本题考查了等腰三角形的定义，分类讨论是解题的关键；分别讨论顶角是40。，底先是40。即可得

解.

【详解】解：当等腰48。的顶角是40。，则它的底角的度数为：（180。-40。）-2=70。，

当等腰片8C的底角为40。，则它的底角度数为40。，

综上所述：它的底角的度数为40。或70。，

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故答案为：40。或70°.

28.20。或80°

【分析】本题考查了等腰三角形的顶角，根据等腰三角形的定义分80。为顶角和底角两种情况计算即可求解,

掌握等腰三角形的定义是解题的关键.

【详解】解：当80。的角为顶角时,顶角的度数为80。；

当80。的角为底角时，顶角的度数为180。-80°-80°=20°；

顶角的度数是20。或80。,

故答案为：20。或80。.

29.4cm/s或6cm/s

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质，设点P、。的运动时间为抬，则8P=4/cm,

PC=(16-4/)cm,分8。=CP或8P="两种情况解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键.

【详解】解：•.•”=4C=24cm,4c=16cm,点。为48的中点，

..8O」/4=12cm,=ZC,

2

设点尸、。的运动时间为抬，则4P=4/cm,

PC=(16-旬cm,

若2BPD厉C0P全等，则有40=CP或4尸=CP,

当8O=C尸时，16-4/=12,

/.CQ=BP=4cm,

点。的运动速度为4-1=4cm/s：

当BP=CP时,4/=16-4/,

t=2,

,/CQ=BD=12cm,

.・•点。的运动速度为12-2=6cm/s；

综上，点。的运动速度为4cm/s或6cm/s,

故答案为：4cm/s或6cm/s.

3().5

【分析】本题考查了角平分线以及平行线性质,等角对等边，掌握以上知识是解题关键.

题干要求线段EC的长，根据48C和NACB的平分线相交于点/，&DE〃BC得至BD=DF,EF=EC,

从而进行分析即可求解.

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【详解】解：•.•48C和N4C8的平分线相交于厂点，

:./DBF=NFBC,4ECF=4FCB,

乂DE〃BC,

Z.DBF=Z.FBC=Z.DFB,4ECF=4FCB=4EFC

...BD=DF,EF=EC,

/80=3,CE=2,

.\DE=DF+EF=BD+CE=5.

故答案为：5.

31.140

【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，先求出NCPO,再证明

Rt^OCP^RtOQP(HL),推出4/O=4)PO,即可求解.

【详解】.解：'.ZOP=20，PCLOA,

•••Z.CPO=90-20°=70%

在Rt.OC?和RUODP中，

PC=PD

OP=OP'

...Rt“)CPgRtOOP(HL),

£CPO=LDPO=70°,

ZCPD=2ZCPO=140°,

故答案为：140.

32.11

【分析】根据角平分线的性质得出4E=8。，再证明Ra8£CNRta8OC(HL),得出CE=CO即可求解.

【详解】解：:=

・,./ABC=&CB,

VAB\\CDt

：.ZABC=4BCD,

：.tBCD=L4CB,

平分N/CO,

1/BDLCD,BE1AC,

BE=BD,

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•・•BC=BC,

/.RtA^/?C=RU^DC(HL),

CE=CD,

・•・LABE的周长=ZE+8E+48,

,/AB=AC,

即dBE的周长=04+4E+BE=CE+BE=CD+BD=8+3=11,

故答案为：11.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键.

33.3

【分析】由等边三角形的性质可得/C=4C=/8=2,根据8。是力C边上的高线，可得力。=。。，再由题

中条件CE=C。，即可求得8E.

【详解】解：••.△48。是等边三角形，

AC=BC=AB=2,

8。是4c边上的高线，

.・•。为4c的中点，

AD=CD=-AC,

2

:CE=CD,

/.C£=-JC=1,

2

/.8E=8C+CE=2+1=3.

故答案为：3.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质及等边三角形的性质，考查了学生综合运用数学知识的能力，得到

AD=CD=；AC是正确解答本题的关键.

34.AD=CF^AC=DF

【分析】利用“HL”再寻找斜边相等即可判断直角三角形全等解决问题.

【详解】解：①当时，

,/RtA/lBC和RtADEF中，

,AB=DE

AC=DF'

:.RtAABCWRtADEF(HL)；

②当时，

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\AD=CF,

：.AD+CD=CF+CDg|JAC=DF,由①得RtZ\48CgRtZ\OM(HL)：

当添加/lOV/7或力。=。/时.，根据"HL”可判定RtA48CgRtZ\QM.

故答案为：AD=CF(i&AC=DF).

【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(简写成

“HL”)，掌握“斜边直角边”的判定方法是解题的关键.

35.60°

【分析】根据直角三角形两个锐角互余得出乙1+/8=90。，解方程组即可.

【详解】解：在4BC中,ZC=90°,

4+4=90。，

24+4=90°ZJ=60°

解方程组|ZJ_Zj5=30P得'G=30°

故答案为:60。.

【点睛】本题考查了三角形内角和和解方程组，解题关键是熟练掌握三角形内角和定理，列出方程组.

36.72°

【分析】先由△力8。g/\4。£',得至Ij/18=4Q,N£4C=ND4E,继而解得/8力。=/"。=36。，由等边对

等角解得4=408,最后根据三角形内角和180。解题即可.

【详解】•:AABCgAADE

/B=4D,/BAC=/DAE

/BAD+NDAC="AC+ZDAC

N£W=NE4c=36。

=Z.ADB

=^(18O°-Z5/1Z))

=1(180°-36°)

=72°

故答案为：72°.

【点睛】本题考查全等三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，是重要考点，难度

较易，掌握相关知识是解题关犍.

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2025北京重点校初二（上）期中数学汇编

等腰三角形与直角三角形（北京版）（解答题）

一、解答题

1.（2025北京日坛中学初二上期中）（1）如图1,△45。是等边三角形,DE〃BC,分别交4B,AC于点D,E.求

证：△力。E是等边三角形.

给出的另外一种证明方法，请补全：

课本中给出一种证明方法如下：

证明：•「△Z5C是等边三角形,

证明：•二△/8C是等边三角形,

/8=/。//=60。.

二=NC.

'：DE//BC,

■:DE〃BC,

NB=ZADE,Z.C=®________,

LADE=4B/AED=ZC,

②____=®_____，

.../.A=/ADE=AAED,

AD=AE,（④________）

是等边三角形.

△力。£是等腰三角形.

“想一想，本题还有其他证法吗？”

又7/力=6（）。,△/。上是等边三角形.

（2）如图2,等边三角形48c的两条角平分线相交于点延长8。至点E,使得花=4）,求证：ADE

是等边三角形.

2.（2025北京第十五中学初二上期中）如图，力。平分DELAE,DF1AC,垂足分别为E,F,

点B在彳£上，&BD=CD.

E

（1）求证：BE=CF；

⑵若AC=12,AB=7.5,求8E的长.

3.12025北京大峪中学初二上期中）己知：如图，EBiAC于B,AB=EB,D是EB上一点、,08=C8,AD

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的延长线交EC于八求证：AFLEC.

4.（2025北京大峪中学初二上期中）如图，在△48。中，4C于。，CE工AB于E,且BD=CE.求

证：BE=CD.

5.12025北京第八中学初二上期中）已知:如图,40E=N4京B,点C在。上的反向延长线上且=

求证：N8=NC.

6.（2025北京清华附中朝阳学校初二上期中）如图，在△力8c中，NO平分/历IC.请从条件①，条件②

中选择一个作为已知,使得GE=Gf成立,并证明.

条件①DE上AB于点E,DF1AC于点F；

条件②DE=DF.

7.（2025北京清华附中朝阳学校初二上期中）如图,四边形ZBCQ中,AB=AC,ZD=90°,8E1。。于

点凡交CD于点、E,连接£4,AF^AD.

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(1)求证：E/t平分/DEF；

(2)求证：BF=CD

8.(2025北京中学初二上期中)如图所示，将两个含30。角的三角尺摆放在一起，可以得到△48。是等边

三角形，于是我们得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于3。。，那么它所对的直角边等于斜边的一半.

C

(1)若交换上述命题的题设和结论将得到一个新命题，请写出此令题.

(2)请判断(I)中命题的真假，若为真命题，请写出已知和求证并给出证明；若为假命题，请说明理由.

9.(2025北京延庆初二上期中)在中，ZJCT=90°,AC=BC,直线/经过点C,过点力作4)1/

丁点。，过点4作丁点£.

图I阳2

(1)如图1,当4C,8c在直线/的同一侧时,

①求证：/\ADC沿ACEB；

②求证：DE=AD+RE；

(2)如图2,当AC,8C在直线/的异侧时，直接用等式表示。E,AD,之间的量关系：

10.(2025北京延庆初二上期中)如图，△ABC中，4B=AC,过点8作8Q14C,垂足为点。.求证:

NBAC=2/DBC.

11.(2025北京第十三中分校初二上期中)如图,△48C中点。为8c中点,BE12。于点CF1ADt

交4。的延长线于点凡G是。力延长线上一点，连接8G.

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G

A

（1）求证：BE=CF；

(2)若8G=C4,DF=\,求G4的长.

12.（2025北京陈经纶中学初二上期中）如图，在RtZXXBC和□△DEC中，/B=NDEC=90。，延长OE交

AB于点、F,已知=AC=DCf若力歹=3,DE=1,求即的长度.

13.（2025北京理工大附中初二上期中）小亮同学在几何学习过程中有一个发现：直角三角形中，如果一条

直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30。，下面是他的探究发现过程，请你与他一起用尺规

完成作图并补全证明过程.

如图，在△44C中，ZC=90°,BC=\-AB.

（1）尺规作图：作力8的垂直平分线分别交4C、于点。、E,连接3。（保留作图痕迹）

（2）补全证明过程（写出结论依据）

由作图可知:

是48的垂直平分线，

AE=EB,DA=DB.（）（填推埋