第1章 有理数 全章复习与测试（原卷版）

一.正数和负数

1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“-叫做负数，一个数前面的“+号

叫做它的符号.

2、0既不是正数也不是负数.0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数.

3、用正负数表示两种具有相反意义的量.具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，

是它们的意义相反，二是它们都是数量.

二、有理数

1、有理数的概念：整数和分数统称为有理数.

2、有理数的分类:

(正整数

整数0

①按整数、分数的关系分类：有理数,［负整数;

j正分数

分数

I负分数

「正整数

正有理数,

正分数

②按正数、负数与0的关系分类：有理数,0

负有理数［装非

1负分数

注意：如果一个数是小数，它是否属「有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循

环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有

理数.

三、数轴

1.定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.

要点诠释:

(1)原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可.

(2)长度单位与单位长度是不同的，单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段，而长度苴位是为度量

线段的长度而制定的单位.有km、m、dm、cm等.

(3)原点、正方向、单位长度可以根据实际灵活选定，但一经选定就不能改动.

2.数轴与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理教，还

可以表示其他数，比如乃.

要点诠释：

(1)一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用数轴上原点右边

的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示.

(2)在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.

四、相反数

1.定义：只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0.

要点诠释：

(1)“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同.

(2)“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉.

(3)相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数.

(4)求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可.

2.性质：

(1)互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等(这两个点关「原点对称).

(2)互为相反数的两数和为0.

五、多重符号的化简

多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，如-{-卜(-

4)]}:4:若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-4)]}:-4.

要点诠释：

(1)在一个数的前面添上一个“+”，仍然与原数相同，如+5=5,4-(-5)=-5.

(2)在一个数的前面添上一个“一”，就成为原数的相反数.如一(-3)就是一3的相反数，因此，一

(-3)=3.

六、绝对值

1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|.

要点诠释：

(1)绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数：。的绝对值是

0.即对于任何有理数a都有：

卜（a>0）

|a|=<0（a=0）

-a（a<0）

（2）绝对值的几何意义：•个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值

越大；离原点的距离越近，绝对值越小.

（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的.

2.性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0.

七、有理数大小比较

1.数轴法在数轴上表示出两个有理数，左边的数总比右边的覆小.如a与b在数轴上的位置如图所示,

则a<b.

■，■

ab

2.法则比较法：

两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下:

同为正号：绝对值大的数大

两数同号

同为负号：绝对值大的反而小

两数异号正数大于负数

正数与0：正数大于0

数为0

负数与0：负数小于0

要点：

利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小；（3）判

定两数的大小.

3.作差法：设a、b为任意数，若a-b>0,则a>b；若a-b=0,则a=b；若a-bVO,a<b；反之成立

4.求商法：设a、b为任意正数，若？>1,则。〉6；若£=1,则。=力；若:<1,则反之也

bbb

成立.若a、b为任意负数，则与上述结论相反.

5.倒数比较法：如果两个数都大于零，那么倒数大的反而小.

八.有理数的加法

（1）有理数加法法则：

①同号相加，取相向符号，井把绝对值相加.

②绝对•值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数

的两个数相加得0.

③・个数同0相加，仍得这个数.

（任进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0.从而确定用那一条法

则.在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值

（2）相关运算律

交换律：a+b=b+a；结合律（a+b）+c=a+（b+c）.

九.有理数的减法

（1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数.即：a-b=a+（-b）

（2）方法指引：

①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；

②将有理数转化为加派时，要同时改变两个符号一是运算符号（减号变加号）：二是减数的性质符号（减

数变相反数）；

【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律.

减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算.

十.有理数的加减混合运算

（1）有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法.

（2）方法指引：

①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的

形式.

②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化.

十一.有理数的乘法

（1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.

（2）任何数同零相乘，都得0.

（3）多个有理数相乘的法则①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数

个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正.②几个数相乘，有一个因数为0,积就为0.

（4）方法指引：

①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘.

②多个因数相乘，看。因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单.

十二.倒数

（1）倒数：乘积是1的两数互为倒数.

一般地，0•—=1就说。（。#0）的倒数是工.

aa

（2）方法指引：

①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”.正像减法转化为加法及相反数一样，非常重

要.倒数是伴随着除法运算而产生的.

②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0没有倒数，这与相反数不同.

【规律方法】求相反数、倒数的方法

求一个数的相反数求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“-”即可

求一个数的倒数求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一

求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置

注意：。没有倒数.

十三.有理数的除法

（1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：（6W0）

（2）方法指引：

（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数，都得0.

（2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝

对值相除”.如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分.乘除混合

运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右.

十四.有理数的乘方

（1）有理数乘方的定义：求〃个相同因数积的运算，叫做乘方.

乘方的结果叫做豪，在/中，。叫做底数，〃叫做指数.或读作。的〃次方.（将。，看作是。的〃次方的结

果时，也可以读作。的〃次鼎.）

（2）乘方的法则：正数的任何次第都是正数；负数的奇次第是负数，负数的偶次呆是正数：。的任何正整

数次事都是0.

（3）方法指引:

①有理数的乘方运算与有理数的抑减乘除运算一样，首先要确定塞的符号，然后再计算得的绝对值；

②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减.

指数

十五.非负数的性质：偶次方

偶次方具有非负性.

任怠一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加利为0时，则其中的每一项都必须等于0.

十六.有理数的混合运算

(1)有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；

如果有括号，要先做括号内的运算.

(2)进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化.

【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧

1.转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为

分数进行约分计算.

2.凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为

整数的两个数分别结合为一组求解.

3.分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算.

4.巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便.

十七.科学记数法一表示较大的数

(1)科学记数法：把一个大于10的数记成QX10。的形式，其中。是整数数位只有一位的数，。是正整数,

这种记数法叫做科学记数法.【科学记数法形式：aX10n,其中lWaVlO,。为正整数

(2)规律方法总结：

①科学记数法中。的要求和10的指数〃的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1;按此

规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数，.

②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是

前面多一个负号.

一.正数和负数（共3小题）

1.（2023•越秀区校级一模）某天的温度上升了-2℃的意义是（)

A.上升了2℃B.没有变化C.下降了・2℃D.下降了2℃

2.（2022秋•亭湖区期末）当前，手机移动支付已经成为新型的消费方式，中国正在向无现金社会发展.下

表是妈妈元旦当天的微信零钱支付明细：则元旦当天，妈妈微信零钱最终的收支情况是（）

微信转账+5000

扫二维码付款-75.00

微信红包+66.00

便民菜站-18.00

A.收入23元B.支出23元C.收入116元D.支出93元

3.（2022秋•聊城期末）在-22、（-2）2、-（-2）、-[-2|中，负数的个数是（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

—•.有理数（共3小题）

4.（2022秋•河池期末）下列数中，是正整数的是（）

A.-1B.0C.1D.

3

5.（2023•大新县校级模拟）下列各数中，是负整数的数是（）

A.2B.2.5C.-2D.-2.5

6.（2023•青岛三模）下列四个选项中的数不是分数的是（）

A.，B.22"D.80%

272

二.数轴（共1小题）

7.（2023♦馆陶县校级模拟）如图，数轴上的两个点分别表示数。和-2,则。可以是（

a-2

A.-3B.-1C.1D.2

四.相反数（共2小题）

8.（2023•西陵区校级一模）若。与-2互为相反数，则a的值是（)

A.-2B.-C.—D.2

22

9.（2023•五华区校级模拟）-（-2022）的相反数是

五.绝对值（共2小题）

10.（2023•大连）-6的绝对值是（)

11.（2023春•容县期末）|-3|=.

六.非负数的性质：绝对值（共3小题）

12.（2022秋•寻乌县期末）请根据图示的对话解答下列问题.

（1）a=,b=.

（2）已知制・a|+|b+川=0,求〃〃7的值.

已知a与2互为相反数

13.（2022秋•垫江县期末）如果|a+2|+|b-1|=0,那么（a+b）23的值为（）

A.-1B.1C.-2022D.2022

14.（2022秋•宁明县期末）若|a-2|+|b+3|=0,则a・6的值为.

七.倒数（共1小题）

15.（2023•清水县三模）-2的倒数是（）

A.2B.-2C.0D.-A

2

A.有理数大小比较（共3小题）

16.（2023•樊城区模拟）在数2,-2,-1,-工中，最小的数为（）

22

A.-2B.AC.-D.2

22

17.（2023春•沈阳月考）把下面的直线补充成一条数轴，然后在数轴上标出下列各数：-（-3）,-工,

2

0,2,并比较它们的大小.

比较大小：<<<<

18.（2023•靖宇县一模）比较大小：-2______-2（填“V”或“>”）

53

九.有理数的加法（共1小题）

19.（2023•洞头区二模）计算：2+（-3）的结果是（）

A.1B.-1C.-5D.5

一十.有理数的减法（共1小题）

20.（2023♦日照）计算2-（-3）的结果是（）

A.-1B.1C.-5D.5

一十一.有理数的加减混合运算（共2小题）

21.（2023春•黄浦区期中）计算:（2.4-ly）+（-l.6）-

22.（2022秋•高碑店市期末）粮库6天内粮食进、出库的吨数记录如下表（“+”表示进库，“-”表示出

库）：

时间第一天第二天第三天第四天第五天第六天

进、出库数量（吨）+25+8-12+34-3622

（1）在这6天中，进库或出库的粮食数量最多的是吨：

（2）经过这6天，粮库里的粮食是增多还是减少了？请通过计算说明；

（3）经过这6天，仓库管理员结算时发现库里还存有480吨粮食，那么6天前库里存粮多少吨？

一十二.有理数的乘法（共1小题）

23.（2023•宝鸡二模）计算8X（-A）的结果是（）

2

A.16B.-16C.-4D.4

一十三.有理数的除法（共1小题）

24.（2023•晋中模拟）计算-8：*的结果正确的是（）

A.-4B.4C.-16D.16

一十四.有理数的乘方（共2小题）

25.（2023春•长宁区期末）计算：（-1）2022x33=.

26.（2023春•沈阳月考）|。|=4,b2=9,且|a+b|Wa+b,则2a・b=.

一十五.非负数的性质：偶次方（共1小题）

27.（2023春•雁峰区校级期末）已知“，6满足I4-3|+（6+2）2=0,则式子3b）2022的值是.

一十六.有理数的混合运算（共12小题）

28.（2023•南召县模拟）如果定义新运算“※二满足。※/）=2a+3b+（-“），那么・1派2=.

29.（2023春•沈阳月考）有4个不同数字1,-2,2,3,用学过的运算方法（加，减，乘，除，乘方）使

其结果为24,写出运算式子.

（写出两种等式）和.

23

30.（2023春•长宁区期末）计算：-2+（-^）-yX[（-2）+1].

31.（2023春•浦东新区期末）计算：-23+|-5|-18X（■工）二

3

32.（2022秋•研口区期末）己知小人互为相反数，c,d互为倒数，x的绝对值等于2,求《?+6公2-

值.

33.（2022秋•鞍山期末）小明和同学们玩扑克牌游戏.游戏规则是：从一副扑克牌（去掉“大王”“小王”）

中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算，其中J代表11、。代表12、K代表13,若每张牌上

的数字只能用一次，并使得运算结果等于24.

（1）小明抽到的牌如图所示，请帮小明列出一个结果等于24的算式：

（2）请你抽取任意数字不相同的4张扑克牌，并列出一个结果等于24的算式.

34.（2022秋•鞍山期末）计算:

377

⑴(1-）子（令仔:

4812

(2)(-2)3+(-3)X[(-4)2+2]-(-3)2-r(-2).

35.（2022秋•泗水县期末）解密数学魔术：魔术师请观众心想一个数，然后将这个数按以下步骤操作：

魔术师能立刻说出观众想的那个数.

（1）如果小玲想的数是・5,请你通过计算帮助她告诉魔术师的结果；

（2）如果小明想了一个数计算后告诉魔术师结果为2023,魔术师立刻说出小明想的那个数，你知道小

36.(2022秋•洛江区期末)计算:

(1)(工・2・旦)X(-24).(2)-I4-(1-0.5)X-lx[2-(-3)2].

234

37.（2022秋•颍州区期末）计算:

(1)-48X⑵一

38.（2023春•凉州区期中）对任意有理数a,b,规定求（-2）45的值.

39.（2022秋•曹县期末）观察下列三个等式2咯NX?，5jWxg"盘乂含，我们称使等

3334342525

式。・6=帅成立的一对有理数”，/）为“有趣数对"，记为（a,b）,例如数对（2,日），4，—），

334

,名）都是“有趣数对"，清回答下列问题:

5

(1)数对（5,且）是“有趣数对”吗？试说明理由.

3

(2)若（a,擀）是“有趣数对”，求“的值.

(3)若（2,m2+2m）是“有趣数对”，求10-6〃於-⑵〃的道.

一十七.近似数和有效数字（共1小题）

40.（2022秋•大连期末）用四舍五入法将有理数3.695精确到（）.01,所得到的近似数为（）

A.3.6B.3.69C.3.7D.3.70

一十八.科学记数法一表示较大的数（共1小题）

41.（2023•夏邑县校级三模）河南省文化和旅游厅指出，河南五•期间接待游客5518万人次，游客接待量

位居全国第一，数据“5518万”用科学记数法表示为（）

A.55I8X104B.5.518X107C.551.8X1（）5D.5.51SX108

一、单选题

1.有四包真空小包装火腿，每包以标准克数（450g）为基准，超过的克数记为正数，不足的克数记为负

数，以卜的数据是记录结果，其中表示实际克数最接近标准克数的数（）

A.+2克B.-3克C.-1克D.+3克

2.-5+3的值为（）

A.2B.-2C.8D.-8

3.下列有理数的大小关系正确的是（）

/।\I3

A.-I——<——B.|+6|>|-6|C.-|-3|>0D.—<-1.25

I3J42

4.第七届世界军人运动会于2019年10月18H至27FI在湖北武汉举行，大会召开期间招募赛会志愿者

11C00名，其中11000这个数据用科学记数法表示为（）

A.l.lxlO3B.llxlO3C.1.1X104D.O.llxlO5

2

5.的相反数是（）

A5c5〃2

A.—B.-C.—

225

6.数3.949x105精确到万位约（）

A.4.0万B.39万C.3.95x105D.4.0x10s

7.在有理数-3,|-3|,-（-3）,（-3）\-于中，负数的个数是（)

A.2B.3C.4D.5

8.已知数轴上的4〃两点到原点的距离相等，且力8=8,则点A表示的数是（）

A.4B.-4C.4或-4D.8或一8

9.1的一是-1,则横线上可填写的数学概念名词是（）

A.倒数B.平方C.绝对值D.相反数

10.下列各组数中：①-32与32；②（-3）2与32；③-（-2）与-（+2）；④（-3）3与-33：

⑤-23与32,其中互为相反数的共有（）

A.4对B.3对C.2对D.1对

二、填空题

11.若|。|=一。那么2a―0；

12.若向东走5米记作+5米，则向西走8米应记作米.

13.已知互为相反数，c,d互为倒数，〃，是绝对值最小的数，则3。+2Hbed+一一的值为______

4ca

14.数轴上两点M、N表示的数分别为2、〃，若点M与点N的距离为3,则〃二.

15.计算：(-1)20,7+(-1)20,8=

16.取圆周率71=3.1415926…的近似值时，若要求精确到0.001,则n=

三、解答题

17.已知有理数x、y分别满足|x|=S,y2=4,且xyVO,求x-y的值.

18.计算题:

(2)-32-(1-0.5)+|X[2-(-3)2].

19.把一个四位数x先四舍五入到十位，所得的数为y,再将y四舍五入到百位，所得的数为z,再将z四

舍五入到千位，所得的数恰好为3x103.

⑴数x的最大值和最小值分别是多少？

⑵将数x的最大值和最小值的差用科学记数法表示出来

20.把下列各数填在相应的大括号里：

_|-2|,-3.14,0,18%,——3—,2019,——,-3^,—1

k5/72

整数：｛

正分数：｛…｝;

非负有理数：｛…｝.

21.将下列各数在如图所示的数轴上表示出来，并用，'把这些数连