基本不等式【八大题型】（解析版）

基本不等式【八大题型】

【人教A版（2019）］

【知识点1两个不等式】

1.两个不等式

不等式内容等号成立条件

重要不等式a2+b2>2ab(a.b^R)当且仅当2也”

时取“=”

基本不等式当且仅当2女”

时取、、="

号叫做正数〃，〃的算术平均数，标叫做正数a,的几何平均数.

基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

温馨提示：”当且仅当a=b时，等号成立”是指若a/b,则a2-\~b2^2ab,而江三要，即只能有a2+b2>2ab,

I_rCl^rb

-2•

【题型1对基本不等式的理解】

［例1］（2023・全国•高一假期作业）不等式（x・2y）+二丁22成立的前提条件为（）

•x-2y

A.x>2yB.x>2yC.x<2yD.x<2y

【解题思路】由均值不等式成立的前提条件是“一正、二定，三用等“，结合此条件即可得解.

【解答过程】解：由均值不等式的条件“一正、二定，三相等“，即均值不等式成立的前提条件是各项均为正

数，所以不等式（％-2丫）+&22成立的前提条件为第一2丫：>0,即x>2y.

故选:B.

【变式1-1]（2023•全国•高一假期作业）不等式。2+三之4中，等号成立的条件是（）

A.a=4B.a=V2C.a=—V2D.a=±V2

【解题思路】利用基本不等式的取等条件即可求解.

【解答过程】由基本不等式可知a?+向工2Ja2.*=*当且仅当02=煮

即口=土企时等号成立，

故选:D.

【变式1-2]（2022秋•河南焦作•高•一校考阶段练习）给出下列条件：①ab>0；②abV0；③a>0,匕>0：

®a<0,力<0.其中能使7+2^2成立的条件有（）

ba

A.1个B.2个C.3个D.4个

【解题思路】根据基本不等式可知，当E+222成立时，则三>0,可知a、b同号，据此可得出结论.

bab

【解答过程】由基本不等式可知，要使得三十々22成立，则？>0,所以，a、b同号，所以①©④均可以.

bab

故选：C.

【变式1-3]（2023•全国•校联考三模）已知a>0,b>0,且a+b=L则下列不等式不正确的是（）

A.ab<-B.a2+h2>-

42

C.-+-^->2D.y[a+Vb<l

ab+1

【解题思路】根据基本不等式逐项判断ABD,消元，化简，结合不等式性质判断C.

【解答过程】因为Q>0,b>0,且Q+b=l,

由基本不等式可得帅工（早?（当且仅当a=b时取等号），A正确；

由基本不等式知手工再，叫《再，

即小+川之：（当且仅当Q=b时双等号），B正确；

由题得2+---=---+-=21

ab+11-bb+11-b2

由已知ovbvl,故1一82£（0,1）,所以自>2,

故」+>2,C正确；

ab+1

由基本不等式可得竽工栏=1，

即、0+Cw近（当且仅当Q=b时取等号），D错误.

故选：D.

【题型2由基本不等式比较大小】

【例2】（2023・江苏•高一假期作业）已知尸=/+白存0）,。=小-41+7（1V后3）.则P、Q的大小关系为

（）

A.P>QB.P<QC.P>QD.P<Q

【解题思路】由基本不等式可得P>4,通过配方结合1<b&3可得Q<4即可选得答案.

【解答过程】P=a2+^>2Ja?嚏=4,当且仅当a=±e时等号成立，

Q=b2-4b+7=（b-2）2+3<4,当力=3时等号成立，

所以P>Q.

故选：C.

【变式2・1】（2023•全国•高三专题练习）若OVaVb,则下列不等式成立的是（）

Vab<a<<by[ab<<a<b

A.2B.2

C.a<y[ab<等^<bD.a<<y/ub<b

【解题思路】根据已知条件利用基本不等式直接得出病<噂.再结合0<QVb可得出结果.

【解答过程】由已知OVa<匕，利用基本不等式得出手，

因为0Vavb,则近<ab<b2,a+b<2b,

所以aVVHS<b,<b,

Aa<Vab<早<b.

故选：C.

【变式2-2]（2023•全国•高一假期作业）已知〃、人为正实数，。=噂3=*巳6=芯氏则（）

2Hab

A.G<H<AB.H<G<A

C.G<A<HD.H<A<G

【解题思路】利用基本不等式计算出H<G<A.

【解答过程】因为〃、力为正实数，

所以4=学27^=6,当且仅当Q=b时，等号成立，

>"岸2期=言，所以"三房，当且仅当Q=b时，等号成立，

综上：H<G<A.

故选：B.

【变式2-3］（2023秋・辽宁・高一辽河油田第二高级中学校考期末）若OVQ<1,0<b<l,jlQHb,则

a+b,2Vabt2ab,（^+川中最大的.一个是（）

A.a2+b2B.2y［ab

C.2abD.a+b

【解题思路】首先利用均值不等式比较a?+〃与2ab的大小和。+b与2面的大小，然后结合不等式的性质

即可确定四个表达式中最大的一个.

【解答过程】0<Q<1,0V3V1,且aHb,

2222

a+b>2ab,a+b>2y/ah,a>a,b>bt

•••Q+b>a?+匕2

故选：D

【题型3利用基本不等式证明不等式】

【例3】（2023•全国•高一假期作业）已知a>0,b>0,且Q+8=1,求证：（1+十）（1+3之9.

【解题思路】利用Q+b=1把（1+£）。+£）化为（2+;）（2+》，展开利用基本不等式求最值即可证明.

【解答过程】因为Q>0,b>0,a+b=l,

所以（1+3（1+3=（1+等）（1+誓）=（2+今（2+》=5+手+日

N5+2栏x与=9当且仅当m二善，即a=8=，寸等号成立.

故原题得证.

【变式3-1］（2023秋・河南•高一校联考期末）证明下列不等式，并讨论等号成立的条件.

（1）^0<x<1,则y（1一4）工：；

（2）若abHO,则F+E>2.

lab

【解题思路】（1）利用基本不等式即可证明：

（2）讨论M>0和abV0两种情况，脱掉绝对值符号，结合基本不等式证明即可.

【解答过程】（1）证明：因为0WXW1,所以0W441,1一日N0,

所以爪（1—爪）4甘当也『二；,

当且仅当近=1一代，即％=；时，等号成立.

4

⑵证明：因为abH0,当Qb>0时，.++=2,

当且仅当a=bH0时等号成立.

当ab<0时，|"：|=（4）+（-q2卜）（g）=2,

当且仅当a=-b丰0时等号成立.

综上，若ab不0,则卜+,工2成立，当且仅当02=/）200时等号成立.

【变式3-2］（2023•全国•高一假期作业）已知小b,c均为正实数.

（1）求证：Q+b+c之

（2）若a+b=l,求证：（1+（1+，）29.

【解题思路】（I）利用基本不等式证明即可；

(2)由(1+；)(1+")=1+专利用基本不等式求最值即可.

【解答过程】(1)因为a,b,c都是正数，所以

a+Z?+c=-[(a+b)4-(b+c)4-(a+c)]>-(2Vab+2\[bc+2Vac)

乙乙

=>!ab+y/bc+Vac,当且仅当a=b=c时，等号成立，

所以a+b+c>>Jab+\[bc+Vac；

(2)(l+’(l+1)=l+%+1+2=1+岑+^=1+三21+7^77=1+3=9,

\a/\bJabababababra+by

当且仅当Q=%=：时等号成立.

・・・（1+枳1+沪%

【变式3-3］（2023秋・江西新余•高三统考期末）已知Q>0,b>0,且a+b=2,证明.

⑴a2b3+b2a3<2；

⑵*b3+2a

b+2>a+b

【解题思路】（1）首先将不等式左边进行变形，利用公式2=a+b223，证明不等式;

（2）首先将不等式左边变形为。2+匕2,再利用基本不等式证明.

【解答过程】（1）a2b3+52a3-a2^z（a+b）=2a2b2,

因为Q>0,/J>0,2=a+b>2>[ab,则0<abW1,则小炉w1,当a=b时等号成立，

所以a2b3+b2a3<2；

(2)a?+2匕।b?+2a

Q+2b+2

G3+2a2-2Q2+2bb3+2b2-2b2+2a

+

a+2b+2

2b-2a22a-2b2

=G24-+b2+-b^

a+2

2(2-a)-2a2

=G2+

Q+2

2(a-l)(a+2)2(b—l)(b+2)

=a2+h2—

a+2h+2

=a2+b2-2(a+Z?-2)=a2+b2

而M+匕2=(。+切2_2ab=4-lab>4—=2=a+b,当Q=b时等号成立,

所以黑+翳

>a+b.

【知识点2基本不等式与最值】

1.基本不等式与最值

已知x,y都是正数，

（1）如果积盯等于定值P,那么当x=y时，和x+y有最小值入伊；

（2）如果和x+y等于定值S,那么当x=y时，积孙有最大值;S?.

温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：（l）x、y>0,（2）和（积）为定值，（3）

存在取等号的条件.

【题型4利用基本不等式求最值（无条件）】

[ft4]（2023春・广东揭阳•高一统考期末）设％>0,则函数、=学空的最小值为（）

A.6B.7C.11D.12

【解题思路】先化简为丫=工卫=>+竺+1,再利用基本不等式即可求解.

*X

【解答过程】VX>0,...y=/+1+25=%+0+122L--+1=11,

工X7X

当且仅当％=至,即％=5时,等号成立,

所以函数y=产上的最小值为11.

故选：C.

【变式4-1］（2023•全国•高一假期作业）函数y=2%+"%>0）的最小值为（）

A.2B.2V2C.3D.4

【解题思路】直接根据基本不等式即可得结果.

【解答过程】因为3>0,所以y=2%+：22口^=2企，

当且仅当2%=%即“当时等号成立，即函数y=2"+2>0）的最小值为2企，

故选：B.

【变式4-2］（2023春・河南信阳・高一统考期末）当%>a时，2x+±的最小值为10,则a=（）

A.1B.y/2C.2>/2D.4

【解题思路】应用基本不等式求解最小值，再根据最小值求参即可.

【解答过程】当x>a时，

o818

2xH--x-a=2（x-CL）H--x---a-F2aN272（x—a）Xx--a-F2Q=8+2Q,

即8+2Q=10,故Q=1.

故选:A.

【变式4-3］（2023春・湖南•高二统考学业考试）已知0cx<4,则Jx（4—x）的最大值为（）

A.-B.1C.V2D.2

2

【解题思路】利用基本不等式可求得%（4-%）的最大值，进而求解即可.

【解答过程】因为0<%<4,M4-x>0,

所以武4一%）工（竿）2=4,

当且仅当％=4-，即x=2时，等号成立，

所以J%（4-％）<V4=2,

所以J%（4-％）的最大值为2.

故选：D.

【题型5利用基本不等式求最值（有条件）】

【例5】（2023•重庆沙坪坝•重庆校考模拟预测）已知%>0,y>0,xy+2x-y=10,则为+y的最小值为（）

A.2V2-1B.2V2C.4V2D.4V2-1

【解题思路】用y表示％+y后，根据基本不等式可求出结果.

【解答过程】因为％>0,y>0,

由xy+2x-y=10,得％=

“Jy+2

所以％+y=^+y=/+y+2-l>2J袤.（y+2）-1=472-1,

当且仅当y=2或一2时，等号成立.

故x+y的最小值为4企—1.

故选：D.

【变式5-1］（2023春・陕西宝鸡・高一统考期末）已知4a?+〃=6,则劭的最大值为（）

335

A.-B.-C.-D.3

422

【解题思路】根据基本不等式的变形形式直接求解.

【解答过程】由题意得，6=4a2+标=（2«）2+b2>2-2a-b,即ab<

当且仅当2a=b,即Q=或Q=-y,b=一百时等号成立，

所以处的最大值为|.

故选：B.

【变式5-2］（2023春・山西•高一统考期末）已知正数小人满足Q+26=6,则々+三的最小值为（）

【解题思路】由Q+2b=6,得到Q+2+26+2=10,再利用“1”的代换求解.

【解答过程】解：因为a+2匕=6,

所以Q+2+2/7+2=10,

所以工+旨=々（白+-^-）（。+2+2匕+2）之工（5+2I—•=-

a+2b+110\a+22b+2j'710y］a+22b+210

当且仅当2万+2=2（a+2）,即a=g,b=（时，等号成立.

故选:C.

【变式5-3］（2023•河南安阳•统考三模）已知a>0/>0,则下列命题错误的是（）

A.若ab<1,+7>2

ab

B.若a+b=4,则三+：的最小值为4

C.若。2+匕2=4,则尤的最大值为2

D.若2a+b=1,则ab的最大值为?

【解题思路】直接使用基本不等式即可判断A,C,D；若a+b=4,piijl+^=l（a+b）展开后

ab4\ab/

使用基本不等式即可判断B.

【解答过程】二,。VabW1,Z1,+：22区>2,故A正确；

ababyjab

若a+b=4,则5+3=：缶+8尼+3=比+半+10）2：（2新手+10）=4,

当且仅当a=1,匕=3时等号成立，故B正确；

若M+炉=%则a/,三竺卢=2,当且仅当。=/）=金时等号成立，故C正确：

若2a+b=l,则1=2a+b/2、/2ab,即abW3当且仅当Q==：时等号成立，故D错误.

故选：D.

【题型6基本不等式的恒成立问题】

【例6】（2023春・四川成都•高二校考阶段练习）已知对匕6（0,+8）,不等式工,m—甘亘成立，则实数m的

最大值是（）

A.1B.2C.3D.不存在

【解题思路】将已知转化为对V%W（0,+8）,不等式血<%+：恒成立，利用基本不等式可知mV2恒成立，

即可得到答案.

【解答过程】对Vxe（0,+8）,不等式%>机一］亘成立，可化为机恒成立，

利用基本不等式知3+%之2「口=2,当且仅当x=L即％=1时等号成立

（X+D=2,即m<2恒成立，即实数，〃的最大值不存在.

\x^min

故选：D.

【变式6-1］（2023•高一课时练习）已知不等式（％+丫）@+329对任意正实数达丁恒成立，则正实数a

的最小值为（）

A.2B.4C.6D.8

【解题思路】由a+y)G+]=l+半+(+*然后利用基本不等式求最小值，利用最小值大于等于9,

建立不等式，解之即可.

【解答过程】由已知可得若题中不等式恒成7,则只要(％+、)(；+1的最小值大于等于9即可，

x>0,y>0,a>0,

・••(K+y)G+q)=1+/+1+aN1+a+2>/a,

当且仅当半=(即y=疝v时等号成立，.,・a+2>/a+1>9,

•,.*N2或仿W-4(舍去)，即a24

所以正实数。的最小值为4.

故选：B.

【变式6-2](2023春•黑龙江哈尔滨•高二校考阶段练习)若正实数%y满足1+：=1，且不等式工+^>m2-

3m恒成立，则实数m的取值范围运()

A.(-1,4)B.(-8,-1)U(4,+8)C.(-4,1)D.(-8,0)u(3,+8)

【解题思路】由工+±=1,可算出卜+9，再将最小值代入自+9>m2-3m,即可求解.

Xy14/minI4，min

(解答过程】•.•不等式x+与>根2-3m恒成立

4

(%+-)>m2-3m

'4,min

VX>0,y>0,且1+±=1

Jxy

•••x+-=(x+-)-+-=---1--+2>2---+2=4

4\4/\xy)y4xIy4x

当且仅当把二个，即x=2,y=8时取等号

y4x,

•••m2-3m<4,即(m+l)(?n-4)<0

解得—1VmV4

故实数m的取值范围是(-1,4)

故选：A.

【变式6-3](2023春•重庆沙坪坝•高三校考阶段练习)已知正数a,b满足三+：=1,若不等式Q+5+

aD2

+2炉—mabN0恒成立,则m的最大值为()

A.2B.1C.V2D.海

424

【解题思路】结合条件，由Q+g+柠公£一THQbN0可得m工喳堡近，然后由后匚3Hb可

得答案.

【脩答过程】因为乙+9=1,所以Q+b=Qb,

ab

[~^2a+-+—+2b2a+-+l—+2b2

所以由a+;h++2b2-mab>0可得m<―------=—二旺----,

2Y2aba+b

因为—。匕=(^—8)20,所以+2b^NT+b，

所以虫空竺牢=:,所以mw|,当且仅当Q=3,匕=》寸取等号，

故选：B.

【题型7基本不等式的有解问题】

【例7】(2023•江苏•高一假期作业)若两个正实数％,y满足4x+y=xy且存在这样的4,y使不等式=+?<

7n2+3m有解，则实数m的取值范围是()

A.(—1,4)B.(—4,1)C.(—co,—4)U(1,4-00)D.(―oo,—3)U(0,+oo)

【解题思路】依题意可得<+工=1,再利用乘“1”法及基本不等式求出％+:的最小值，即可得到"J+3m>4,

yx4

解一元二次不等式即可.

【解答过程】解：因为>>0,丫〉0且4%+、=秒，所以：+?=1,

所以X+*(X+J(；+3=2+£+VN2+2J^=%

当且仅当竺=j即y=4x=8时等号成立，

y4x,

所以m2+3血>4,即(m+4)(m—1)>0,解得m<-4或m>l,

所以7几的取值范围是(一8,-4)U(1,+co).

故选：C.

【变式7・1】(2023•全国•高三专题练习)已知x>0,y>0,且:+；=1,若2%+yV-87ti有解，则实

数加的取值范围为()

A.(-00,-I)U(9,+00)B.(-9,I)C.[-9,1]D.(-1,9)

【解题思路】由2X+yv7?"-8m有解，可知只要m?一8m大于2x+y的最小值即可，所以结合基本不等式

求出2x+y的最小值，再解关于m的不等式即可

【解答过程】因为％>0,y>0,且马+工=1,

所以2%+y=(2%+y)(|+l)=5+y+^>5+2柠§=9.

当且仅当方二§,即x=y=3时取等号，此时2x+y的最小值为9,

因为2%+yV血2—8m有解，所以血2一8巾>9,即m?—8m—9>0,

解得m<-1或m>9,

故选:A.

【变式7-21(2023春・山东德州•高二德州市第一中学校考阶段练习)已知正实数久,y满足3%+y+xy-13=

0,且t之2y+x有解，则t的取值范围是［一7十8立,十8).

【解题思路】根据已知表示出y=等，若tN2y+x有解，贝iJtZ(2y+%)min，表示出2y+x,然后利用

基本不等式即可求出其最小值，即可得出答案.

【解答过程】由题知，因为3x+y+xy-13=0,

所以(x+l)y=13-3x,y=

若比N2y+x有解,则t■之(2y+x)mh］即可，

因为％,y都是正数，

所以2y+x=X+x=^±ll+x

JX+lX+1

商^^—7=8H7,

当且仅当巨=%+1,即％=4&-1时，等号成立，

X+1

故tN8V2-7.

故答案为：卜7+8企,+8).

【变式7-3］(2023•全国•高三专题练习)已知正数x,y满足4%+9y=xy且无+y<血？-24加有解，则实

数m的取佰范用是(-8「1)U〔25.+8).

【解题思路】不等式％+y<7九2-24血有解，即(x+y)min<血2-24血，巧用均值不等式求最值即可.

【解答过程】由已知得：±+2=1,

yx

X+y=（X+y）（j+^）=y+^+13>+13=25,

当且仅当x=15,y=10时取等号；

由题意：（%+y）minVm?-24m,

BPm2—247n>25,

解得：由〈一1或^;>25,

故答案为：（-oo,-l）u（Z5,+00）.

【题型8基本不等式的实际应用】

【例8】（2023•高一课时练习）某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为400平方米的三级污水处理池，平

面图如图所示.已知处理池外圈建造单价为每米200元，中间两条隔墙建造单价每米250元，泡底建造单价

为每平方米80元.（隔墙与池底的厚度忽略不计，且池无盖）试设计处理池的长与宽，使总造价最低，并求

出最低造价;

【解题思路】设污水池的长为3米，总造价为y元，宽为^米，得到函数y=200x（2%+詈）+250x等+

80X400求解.

【解答过程】设污水池的长为工米，总造价为y元，则宽为手米.

y=200x（2x+哼）+250X哼+80x400=400%++32000>56000,

当且仅当400%=史%，即x=3D时等号成立.

所以设计污水池长为30米，宽为岑米时，总造价最低为56000元.

【变式8-1］（2023•全国•高一专题练习）如图所示，有一批材料长为24m,如果用材料在一边靠墙（堵足

够长）的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成两个面积相等的矩形，那么围成的矩形场地的最

大面积是多少？

//////////////

【解题思路】根据二次函数的性质即可求解.（或者利用均值不等式求解）

【解答过程】由题意所示3x+2y=24,Ay=12-|x,

Vj>0,y>0,0<x<8,

AS=2xy=-3x2+24%(0<%<8),

函数的对称轴为％=号=4,

，当％=4时，面积取得最大值，为一3x16+96=48,

2

(或者：由于0<%V8,所以S=2xy=-3x