有理数的乘法与除法（知识清单）原卷版

有理数的乘法与除法

口知识点一有理数的乘法

i.有理数乘法法则：

①两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积；

②任何数同o相乘，都得0;

③几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：负因数的个数是偶数时,

积是正数，负因数的个数是奇数时，积是负数。

2.有理数乘法运算律：

①乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。

即：ab=ba(>

②乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数把乘，先把前两个数相乘，或者先

把后两个数相乘，积不变。即：abc=(ab)c=a(bc)o

③乘法分配律：一般北，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数

分别与这两个数相乘，再把积相加。即：a(b+c)=ah+aco

□特别提醒

①当用字母表示乘数时，“X”号可以写为“•”或省略；

②在遇到多数相乘的时候，注意寻找乘数为“0”或者互为倒数的因数，往往会起到事

半功倍的效果。

□知识点二倒数

1.倒数：乘积是1的两个数互为倒数。

2.倒数的性质:

①倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数;

②0没有倒数。

③互为倒数的两个数的乘积一定是1,即互为倒数，贝ljaxb=l；反之亦然。

3.求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可：

①非零整数可以看作分母为1的分数后再求倒数；

②带分数一定要先化成假分数之后再求倒数。

口特别提醒

①注意是乘积为1,要与相反数的概念区分开来；

②互为倒数的两个数的符号一定是相同的；

③倒数等于本身的数有：1、-1。

□知识点三有理数的除法

1.有理数除法法则1：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。即：Q+b=

三3手0).

2.有理数除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的

绝对值除以除数的绝对值的商。

3.0除以任何一个不等于0的数，都得0。

4.有理数的乘除混合运算：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结

果。

5.有理数的加减乘除混合运算：乘除混合运算要“从左到右”运算，有括号的先算

括号里面的，分数可以理解为分子除以分母。

6.有理数的和、差、积、商仍然是有理数。

易错点1多个非零数相乘，负因数个数判符失误

•错例：(-2)x(—3)x(—4)=24

•错因：数错负因数个数，三个负因数为奇数个，积应为负数，误判为正数

•规避方法：多个非零数相乘，逐一清点负因数个数，奇负偶正，先确定最终符

号，再计算所有数绝对值的乘积

易错点2混淆倒数与相反数概念

•错例：认为一2的倒数是2,3的倒数是一3

•错因：混淆核心定义，相反数是和为0、符号相反，倒数是乘积为1、符号相同

•规避方法：牢记定义：互为倒数=乘积为1、符号相同；互为相反数0和为0、符

号相反，严格区分二者

易错点3除法变乘法时，漏变除数为倒数

•错例：6^(-2)=6x(-2)=-12

•错因：违背除法法则，除以一个数等于乘它的倒数，误将除数直接相乘，未取倒

数

•规避方法：除法转乘法两步走：除号变乘号，除数变为自身倒数，被除数保持不

变

易错点4有理数混合运算违背从左到右运算顺序，随意结合

•错例：24+4X2=24+(4x2)=3

•错因：乘除同级运算无括号时，必须从左到右依次计算，不能随意加括号结合

•规避方法：同级乘除运算，无括号严格从左至右计算，如需简便运算，必须先统

一转化为乘法再分组

易错点5乘除混合运算符号遗漏、混乱

・错例：(-4)x2+(=-16

•错因：多个符号参与运算，漏判负号个数，符号判断错误

•规避方法：所有除法统一转为乘法后，数清负因数个数，按“奇负偶正”定符

号，再计算数值

题型一：有理数的乘法运算

□方法技巧

1.符号规则：同号得正，异号得负，任何数乘0得0；

2.多个数相乘：奇数个负数结果为负，偶数个负数结果为正，再乘绝对值；

3.简便运算：活用乘法交换律、结合律、分配律，优先凑整、约分；

4.特殊值：1乘任何数得原数，-1乘任何数得原数相反数。

I.(25-26九年级上•广东清远•期末)计算：(-2)x(-3)=()

A.-6B.6C.-5D.5

2.计算：-4x(-2024)x(-0.25)=.

3.计算：

(1)(-3)x|x(-|)x(-l)：

(2)(-5)x6x(一§x

4.计算：(：一焉+看)x(-36).

题型二：有理数乘法的应用

□方法技巧

1-先定正负：增长、上升、收入为正，减少、下降、支出为负；

2.核心逻辑：单一变化量x变化次数/数量，列出乘法算式；

3.计算后结合实际场景解释结果含义。

I.(25-26七年级上•河南平顶山•期末)人体的血液的质量约占人体的7%至8%之间.已知

小红的体重为35kg,则她体内的血液质量可能为()

A.2kgB.2.4kgC.2.7kgD.3.1kg

2.某玩具商店周年店庆，全场八折促销，持会员卡可在促销活动的基础上再打六折.某电

动汽车原价300元，小明持会员卡购买这个电动汽车需要花元.

3.(25-26七年级上•黑龙江大庆•期末)为节约用电，某市实行阶梯电价：每月用电不超过

180度，每度0.5元；超过180度，超出部分每度0.6元.

(1)小明家12月用电150度，应交电费多少元？

⑵小红家12月用电220度，应交电费多少元？

4.(25-26六年级上•山东烟台・期末)某食品厂计划每天生产1000袋食品，实际每天生产

量与计划量相比有出入，卜.表是某周的生产情况(超产为正，减产为负)：

星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日

+50-30-60+110-90+80+90

(1)这周产量最多的一天比最少的一天多生产袋食品;

（2）已知本周生产的食品全部在本周售出，生产这些食品的总成本为30000元，食品售价为

8元/袋，且需缴纳本周销售总额10%的交易税，求本周的收益总额.

题型三：有理数的除法运算

口方法技巧

1.核心法则：同号得正，异号得负，除以一个不为0的数，等于乘它的倒数；

2.运算步骤：先定符号，再将除法转化为乘法，约分计算；

3.特殊规则：0除以任何非0数得0.0不能作为除数。

I.计算2+□得一4,则口是（）

A.2B.-3C.1D.三

2.计算：（―3）+（—：）=.

3.计算：（一唠）+（-5）=.

4.（25-26六年级上•上海松江・期末）计算：2

\34/12

5.（25-26七年级上•广西崇左•期末）计算：

⑴-*泉

（2）（-8）+（-1.25）；

4

（3）-24-+（-8）；

（4）24"（一》

题型四：有理数除法的应用

□方法技巧

1.适用场景：平均分、求单位量、求变化速率、均分差值；

2.核心公式：单位量=总变化量子数量/次数；

3.先定总量正负，再列式计算，最后解释实际意义，

1.甲跑100米用15秒，乙跑80米用13秒，则甲的速度比乙的速度（）

A.快B.慢C.一样快D.无法判断

2.（2026•黑龙江佳木斯•一模）龙东地区推进老旧小区改造，某小区计划铺设健身步道，若

甲工程队单独铺设需10天完成，乙工程队单独铺设需15天完成，两队合作铺设需

天完成.

3.某冷冻厂的一个冷库现在的温度是-2。a一批食品霜要在-28留下冷冻保存，如果该冷

库每小时能降温4汽，那么需要几小时才能降到这批食品所需的保存温度？

题型五：有理数的加减乘除混合运算

□方法技巧

1.运算顺序：先乘除，后加减；有括号先算括号内（小―中一大）；

2.同级运算：从左到右依次计算，不可跳步、乱序；

3.优先简便运算：合理使用运算律，约分、凑整简化计算。

1.计算:"15x（-高得（）

A.--B.---C.--D.—

51255125

2.计算：+；

3.计算：3.2+（；—：）x4.可+1.8.

4.计算:

⑴（一?+（-»（一/

⑵1+（2）“a

⑶G+/JX（-24）；

（4）12：+（-0.25）-（-4：）+|-3-i|.

题型六：有理数加减乘除混合运算的应用

□方法技巧

1.通用步骤：定正负T梳理数量关系一列混合算式一规范计算一作答；

2.常见模型：分段计费、涨跌变化、总量均分、收支结余问题；

3.复杂问题拆分：先算乘除（倍数、均分），再算加减（累计变化）。

1.（25-26七年级上•河南洛阳•期末）最近几年，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其在我

国、新能源汽车产量都大幅增加.阳阳家把家中的燃油车换成了一辆新能源纯电汽车，他

连续7天记录了每天行驶的路程如下表，以50km为标准，多于50km的部分记为正，不足

50km的部分记为负，刚好50km的记为零.

第〃天1234567

路程/

-12-12-16-8-22-30-33

km

（1）这7天里第3天走的路程是_km,路程最多的一天比最少的一天多走_km；

（2）请求出阳阳家的新能源汽车这七天共行驶了多少km?

2.（25・26七年级上•江苏扬州♦期末）某种篮球的标准质量是600g,检查5个这种篮球的质

量，把超过标准质量的克数记作正数，不足的克数记作负数，检杳结果如表：

篮球的编号12345

与标准质量的差（g）+4+7-3-8+10

（1）最接近标准质量的是号篮球；

（2）求这5个篮球的平均质量.

3.（25・26七年级上•浙江宁波♦期末）近年来，我国的新能源汽车产销量大幅增加.王老师

购置了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如下表）.以40km为标

准，多于40km的记为“+”，不足40km的记为“一”，刚好40km的记为“0”.

第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天

路程/km-7-4+100-13+19+15

⑴这7天里路程最多的一天比最少的一天多行驶km.

（2）若该新能源汽车每行驶100km耗电量15度，每度电为0.56元，求王老师这7天开新能

源汽车的电费.

4.（25-26七年级上•广东汕头・期末）快递员王师傅骑电动车沿某条东西向道路配送快递，

约定向东为正方向.某天王师傅从快递站出发，当天配送快递的行程记录（单位：km）如

下:

—10,—3,+14,—2,—8,+6,—4,+12,+8,-5.

(1)王师傅最后所在的位置在快递站的哪个方向？距快递站多少千米处？

(2)如果电动车行驶1km耗电0.02度，那么这天电动车共耗电多少度？

5.(25-26七年级上•陕西榆林♦期末)某中学食堂•一周计划采购大米350千克，平均每天采

购50千克.实际每天采购量与计划量相比有出入，如表记录了上周的采购情况(超出计划

采购量为正，不足计划采购量为负，单位：千克)：

星期—二三四五六日

与计划量相比的差值+5-3-1+12-4+9-6

(1)采购量最多的一天比采购量最少的一天多采购千克；

(2)食堂与大米供应商签订每周采购协议，大米的基础采购成本为每千克4元.若实际采购

最超出计划采购最，超出部分食堂每T克可享受0.5元的优惠；若未完成计划采购最，不

足部分食堂每千克需多支付0.5元的违约金.该食堂上周采购大米的总费用是多少？

题型七：有理数运算中的新定义问题

□方法技巧

1.抓核心：严格照搬题目定义的运算规则，不