广东省湛江市2025-2026学年高二年级下册期末测试数学试卷（含答案）

广东湛江市2025-2026学年第二学期期末调研考试高二数学试卷

一、单选题

1.如图，要让电路从A处到B处只有一条支路接通，则不同的路径有（）

A.5种B.6种C.7种D.9种

2.曲线在点处切线的倾斜角为（）

A.0B.-C.一

434

3.（x+2y）（x-y）s的展开式中一）”的系数为（）

A.5B.-5C.15D.-15

4.已知数列乩｝的通项公式为数，则数列｛4｝的前I。项和为（）

A.127B.192C.235D.747

5.为了检测某种药物A对预防疾病8的效果，进行了小动物试验，得到如下列联表:

疾病8

药物4合计

未患病患病

服用18725

未服用12820

合计301545

n(ad-be)2

已知/P（/23.841）=0.05.根据小概率值a=0.05的独立性检验，则下列结

(a+/?)((?+d)[a+c)(b+d)

论正确的是（）

A.药物4对预防疾病4有效吴

B.药物A对预防疾病8有效果，这个结论犯错误的概率不超过0.05

C.药物4对预防疾病8无效果

D.药物A对预防疾病4无效吴，这个结论犯错误的概率不超过0.05

6.湛江市某次期末考试成绩统计如下，优等生占30%,中等生占50%,后进生占20%,优等生通过考试的

概率为95%,中等生通过考试的概率为70%,后进生通过考试的概率为40%,随机抽取一名学生调查，抽

到的学生通过考试的概率为（）

A.68.5%B.71.5%C.73.5%D.75.5%

7.一个箱子中装有七张除了分数外完全相同的卡片，其中有四张2分，三张1分，从箱子中随机取出四张

卡片，求四张卡片分数之和大于6分的概率是（）

8.设已知随机变量g的分布列如下表，则下列结论正确的是（）

012

P\-tt2t-r

A.尸偌=0）＜。仔=2）B.尸偌=0）的值最大

C.石⑷随着/的增大而减小D.当/二时，力2

216

二、多选题

9.口袋内装有大小、质地均相同，颜色分别为红、黄、蓝的3人球.从口袋内无放回地依次抽取2个球，记

“第一次抽到红球”为事件A,“第二次抽到黄球''为事件从则（）

A.P（A）=；B.P（同4）=；

C.A与8为互斥事件D.A与8相互独立

10.已知函数-3%+lru,则（）

A.的极小值为-2

B./（X）有两个零点

C.存在。使得关于工的方程“力=。有三个不同的实根

D./（J）〉"村的解集为（1,依）

11.已知（2X—1）9=4+4&_1）+&*T）2+则下列结论正确的有（）

9

A.a。=1B.%=144c.方q=3。D.Z%=

1=1J=1

三、填空题

12.若随机变量X〜B（8,p）,且E（X）=2,则Q（4X-3）=.

13.已知随机变量¥服从正态分布N（5,〃），且P（XN3）=3尸（X27）,则尸（5<X<7）=.

CXy+1

14.已知数列也｝与｛b„｝的前〃项和分别为S“，T”，且为>0,2a+a”，nwN+，b.=\、——-

则】的取值范围是__________.

四、解答题

15.S”为｛《,｝的前〃项和，已知4S”+3%=1.

⑴求｛《,｝的通项公式；

⑵设〃,二（T）（心）,求数列应｝的前〃项和

a”

16.某款电动汽车由r其优异的性价比，逐渐在市场获得认可，订购数量日渐增多.根据统计数据，该款

电动汽车某区域4s店过去5周的订单数如下：

时间X（周）12345

订单数y（辆）1321455566

为了进一步了解订单数的变化情况，A4两个数学学习小组分别进行了研究，

（I）A小组决定用线性回归模型进行拟合，求此时）'关于1的线性I口I归方程»=八+心

417?

（2）8小组采用非线性回归模型进行拟合，求得y关于X的非线性回归方程为a=号丫-6,并计算出

决定系数收=0.9745.

①请计算A小组线性回归方程的决定系数R；,并说明哪个小组的模型拟合效果更好;

②用①中选择的模型预测该区域第1。周的订单数.

2

参考数据：272+192+52+152+262=2016,0.0278.

2016

17.已知函数/(x)=e'+(a-2)x+]-l.

(1)当a=1时，求)/(-r)的单调X间以及极值；

⑵若“X)有两个不同的零点，求。的取值范围.

18.如图，直线。。垂直于梯形A3CO所在的平面，ZADC=ZBAD=90°,尸为线段Q4上一点，尸。=&,

AB=AD=^CD=\f四边形PACE为矩形.

⑴若尸是A4的中点，求证：AC”平面DEF：

(2)求二面角A-BP-C的余弦值；

⑶若点尸到平面8b的距离为;，求〃尸的长.

6

19.已知点R是圆。：Y+y2=4上的动点，过点R作X轴的垂线段咫)，。为垂足，丁为线段处)的中点.

⑴求点下的轨迹方程E;

(2)过点M(4,0)的直线/与曲线E交于AB两点.

(i)求。4.08的取值范围：

\MP\

(ii)若曲线七与x轴交于4，A两点，直线A4，4B分别与直线X=4相交于P,。两点，求谒的值.

参考答案

1.C

【详解】由分类加法计数原理以及分步乘法计数原理可知，

不同的路径有l+2x3=7种.

故选：C.

2.B

【详解】—2,所以

tana=y（l）=I,所以a=（.

3.D

【详解】（x+2），Xx—），）5=a+2y）.（C；rS_c"d），+C2V—c；.AV+c；.x14—C.y5）,

故它的展开式中的系数为c；-2C；=-15,

故选：D.

4.D

【详解】设数列也｝的前〃项和为s.，

因为-3+1/为偶数’

所以Si。=4+%+…+《0=(q+6+G+%+(4)+(/+%+4+6+%o)

=(2+234-25+27+29)+(5+9+134-17+21)

用彗)365=747.

5.C

【详解】零假设：药物A对预防疾病5无效果，

根据列联表数据，〃=18,力=7,c=12/=8,〃=45,

n(ad-be)2

根据/=,将数据代入可得:

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

45x(18x8-7xl2)245x60?

2=0.72,

z=(18+7)x(12+8)x(18+I2)x(?+8)25x20x30x15

2

P(/>3.841)=0.05,根据小概率值c=0.05的独立性检验，Z=0.72<3.841,

所以我们没有充分证据拒绝原假设，即认为药物A对预防疾病B无效果.

故选：C.

6.B

【详解】设事件A为“抽到的学生通过考试”，设4事件为“抽到优等生”，生事件为“抽到中等生”，层事件

为“抽到后进生“，

则P（4）=30%,尸（用）=50%,P（8J=20%,

则P（A|4）=95%,2（4隹）=70%,P（A|四）=40%,

则P（4）P（A|4）=0.3x0.95=0.285,P（鸟）P（川员）=0.5x0.7=0.35,P（鸟）尸（A同）=0.2x0.4=0.08,

所以尸（A）=0.285+0.35+0.08=0.715,

所以随机抽取一名学生调杳，抽到的学生通过考试的概率为71.5%

7.A

【详解】从7张卡片中随机抽取4张的组合数为C；=C；=35.

设抽取2分卡片k张，则抽取I分卡片4-左张，其中后£{1,2,3,4}.

总分为S=2攵+1（4-Q=4+4,要求S〉6,即〃+4>6,解得k>2,故〃=3或〃=4.

当上=3时，抽取方法数为C：C=4x3=12.

当2=4时，抽取方法数为C：・C；=lxl=l,合计符合条件的事件数为12+1=13.

13

由占典概型公式得P二弓.

35

8.D

【详解】由分布列可得P（^=0）=l-r,P（J=1）=r，p（^=2）=/-/2.

对于A,因为所以1一〔>/一/=/（［—小即*4=o）>尸管=2）,A错误.

对于B,当/二：时，P（^=0）=1,尸值=1）=翌，所以。（4=0）的值不是最大，B错误.

DDND

对于c,£（^）=0（l-r）+lr+2（z-r2）=2r-z2,

因为0</<1时，力-产随/的增大而增大，所以C错误.

对于D,当/=；时，P（J=0）=；,Pe=l）=；,P值=2）=；,

所以E(力>2廿［,O=r4xrr

9.AB

【详解】对于A,P(A)=；,A正确；

对于B,「(AB、？*,p(同"=爷舁=!'B正确；

对于C,事件A/3可以同时发生，则A与B不互斥，C错误；

对干D,P(B)=g,由选项AB知，P(AB)HP(A)P(B),则A与A相互不独立，D错误.

故选：AB

10.AC

【详解】函数"X)的定义域为(0，m)，r(x)=2x_3+L(21)(、T),

XX

由r(x)>0得0<x<；或x>l;由/(/)<0得.•./⑴有极大值/(；)=-；Tn2<0,极小值

〃1)=一2<0,二.A正确；

由极大值和极小值均小于。知/(工)最多一个零点，，B不正确；

当工-0+时，f(x)f-co,当Xfgo时，/(.t)7*o,.•.当一2<。<一：一ln2时，/(%)=〃有三个不同的

实根，「.C正确；

当也<%vl时，^-<x2<x<\,此时/任)>〃力，JD不正确.

22

故选：AC.

11.ABD

【详解】对于A,令x=l,得：/二(2x1—1户=1,故A正确；

929

对于B»由(2x-l)9=[1+2(x—I)]=a()+aI(x—l)+a2(x—I)H---Ft79(,x—I)

9xRx4

2

由二项式定理可得：«2=C；-2=^-p=144,故B正确：

对于C,令x=l,得：%=(2xl-l)9=l,

再令％=2,得：£q=(2x2—1)9=3。，

J=4)

由此可得：立产性/-4=39-1,故C错误;

1=1\1=0)

对干D,令x=2,得：％+q+%+%+。4+%+4+%+6+%=(2x2-1)。=3。，

9

再令x=0,得：£70-«1+a2-a3+£74-a5+ab-a,+a^-ag=(2x0-l)=-l,

工39_(_n39+l

由此可得：Xa2i-l=Cll+a3+«5+^7+~--=F—，故D正确.

I-I22

故选：ABD

12.24

【详解】因为X~8(8,p),所以E(X)=8p=2,解得/)=»

于是D(X)=8N[「"=5

由方差性质D(aX+b)=a2D(X),得。(4X-3)=42。")=16x1=24

13.-/0.25

4

【详解】设~(5<丫<7)=%，由正态分布密度曲线的对称性可知。(3<Xv5)=x,

P(X>3)=1+x,P(X之7)=(T.所以g+x=36-x),

解得了=：.即P(5<X<7)=：.

故答案为：；.

4

14.二，3中心〃wN•对应的那些值

444

【详解】当〃=1时，2q=4：+q得〃：=q,因为外＞0,所以4=1,

当〃22时，2S1]=1，2G”=2S—2S01=%+a~a.,

所以q+4T=所+4e)(4“-%)，

因为〃“+%T＞。，所以%-勺.|=1，

所以数列｛%｝是首项为1,公差为1的等差数列,

所以4=4+(〃-l)d=1+(〃-1)x1=/?,

2x3"+l__1________1

所以2=(3"+〃)(3向+〃+1)=3"+〃-3'川+〃+1

「ST,,,111111

，“=#2+'+”=777-32+2+32+2-3:3++3”+八-3向+〃+1

:ii

一丁3叫〃+1'

因为数列"J为递增数列，所以72刀=：1-二1=三7，又1

49+2444

所以(的取值范围是[《7,：1).

444

71

故答案为：[打.)中方/eV对应的那些值.

444

⑵T=(“-1)3向+3.

【详解】(1)当〃=1时，4s+3%=1,即4q+3%=1.

当〃22时，有4Si+3%=1.

所以4(S”-S“T)+3(--%)=0,

所以3/+]+%=。，即可+]=-gan.

由4q+3/=l,且生=44，代入得4q-4=I,即3q=1,所以4=；.

JJ

故应｝从第一项起即为等比数列，公比g=T，首项4=指

⑵由⑴知。“=孚，则:二个百二㈠尸3”.

3an(-!)

于是a=㈠)"-2〃)=(_])"(]_2办•(一1)""3"=(-1)21(1-2〃)3”.

%

因为(-1)2"-*=-1,所以2=-(1-2〃)3"=(2〃-1)3".

因此骞=宜(2J)3".

£=1

设7；=].3+3・32+5・33+・，+(2〃—1)3”,

则3看=1•3?+3•33+…+(2鹿-3)3"+(2/1-l)3n+,.

两式相减得-27；=3+2(3?+33++3”)—(2,一1)32，

…++3"咛.

所以一2乙二一2（〃一1）3向一6,

故7；=5—1)3"”+3.

16.（1））'关于无的线性回归方程为£=14X-2

⑵①耳。09722,5小组的模型怒合效果更好:

②用①中选择的模型预测该区域第10周的订单数约111辆.

1+2+3+4+54-13+21+45+55+66

=40

【详解】（1）x="I-"3，)'=---------------

^)\;-i)(^.-^)=(1-3)(13-40)+(2-3)(21-40)+(3-3)(45-40)+(4-3)(55-40)4-(5-3)(66-40)

沁1\

=54+19+0+15+52=140,

=(1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(4-3)2+(5-3)2=10,

-£"(一).40

所以〃-----------=-=14,«=y-/>x=40-14x3=-2

Z")210

r=l

所以)'关于工的线性回归方程为卞=14x-2；

(2)①x=l时，$=14x1-2=12,y.-y.=\3-\2=\,

x=2时，y=14x2-2=26,y.-y.=21-26=-5>

x=3时，y=14x3-2=40,y.y,=45-40=5,

x=4时，2=14x4—2=54,y.-y.=55-54=1,

x=5时，>*=14x5-2=68,y.-y.=66-68=-2,

所以-yj=「+(-5)2+52+12+(-2『=56,

Z-l

5_,

-亍)~=(13—40『+(21-40)2+(45-40『+(55-40f+(66-40)2

=(-27)2+(-19)2+52+152+262=2016,

=1---xI-0.0278=0.9722,

2016

因为R；=0.9745,所以R；〈解，说明8小组的模型拟合效果更好；

②用8小组的模型预测，

A12?77R

x=l()时，y=——xlO2+--x10-6=---*111,

777

所以用①中选择的模型预测该区域第10周的订单数约111辆.

17.(l)y=/(力的单调递减区间为(-8,0),单调递增区间为(0,+8).

极小值为:，无极大值.

(2)。的取值范围为(F,2-

【详解】⑴当a=l时，/(x)=ex-x-1,定义域为(华,丘).

ru)=ev-l.

令f(x)<0,即e，<l,解得x<0；令r(x)>0,即/>1,解得x>0.

所以y=/(力的单调递减区间为(T>,。)，单调递增区间为(0,4-x).

当”=0时取得极小值，极小值为"O)=e0-O-g=;，无极大值.

(2)f(x)=ex+a-2,xe(—,+co).

当〃-220,即心2时，r(x)>0恒成立，所以/%)在(F,+<X)上单调递增，最多1个零点，不符合题意.

当〃-2<0,即〃<2时，令r(x)=O,即e、a-2=0,解得x=ln(2—a).

当H=ln(2-a)时，/<X)<0;当x>ln(2-时，/*(.r)>0.

所以在区间(y』n(2"))上单调递减，在区间(ln(2-a),*o)上单调递增.

所以x=ln(2-a)是极小值点，也是最小值点，

且f(ln(2—a))=eW2-")+(a_2)ln(2_a)+]—l=(a—2“ln(2_a)_g.

当力-—8时，/(x)->+cc；当时，/(%)->+co.

因为/(“有两个不同的零点，所以〃皿2—。))<0,即(〃一2)1俏一〃)一；<0.

又因为。<2,所以ln(2-a)-g>。，解得a<2-正.

所以a<2-y/e.

综上所述，若/（X）有两个不同的零点，〃的取值范围为（-8,2-&）.

18.（1）证明：如图，连接CP交乃E于点G,连接GF.

因为四边形PQCE为矩形，所以点G为CQ中点.

在.AC9中，F是Q4的中点，所以G尸〃AC.

因为Gbu平面£>七尸，ACu平面力石厂，所以AC〃平面OEF.

⑵-洛

3

⑶W

3

【详解】（1）略

（2）平面A8C£>,ZADC=90°

以。为原点，分别以DC，DA,。夕为克轴，）轴，z轴建立空间直角坐标系.

则D(0,0,0),C(2,0,0),A(0,l,0)，Wl』,0),P(0,0,&)

所以A8=(l,0,0),BP=(-l,-l,x/2),BC=(1,-1,O),

设平面的法向量为〃?=（再,y,Z1）,

m-AB=OX1=0

则,即

m-BP=0r-y+&Z|=o-

令K=J5,则X|=。，4=1,所以〃?=(o,

设平面8c产的法向量为〃=（毛,M，z?）,

n-BC=0“％二°

则J，即《

n-BP=0-X2-y2+V2Z2=0

令马=&，贝lj±=l,力=1，所以〃=（11，&）.

m-n0xl+&xl+lx&_\/6

所以8s〈,〃.〃〉二

|〃M〃|,+(可+12./+12+(03-

由图可得二面角A-4户-。为钝角，所以二面角A-BP-C的余弦值为-在

3

(3)设尸产=/l总(/It[0,1])

因为PA=（（U—所以刊'仅

\PF-n\|oxl+Axl4->/2Ajx\/2||_2.|।

点F到平面I3CP的距离为解得

ME同二丁不

所以尸产=0,;,-

所以尸产的长为无

3

2

19.(1)—+/=1

4,

(2)(i)y；\MP\

(ii)

【详解】（l）设点T的坐标为（KF）,点R的坐标为（七,九），

则点。的坐标为（而,0）.

由点7是线段电）的中点，得x=%，y=^

因为点/?（%,%）在圆y+），2=4上,所以工：+）,：=4,.

把%=X,%=2y代入方程4+）：=4,

2

得/+4）?=4,即二+）3=1

4

2

所以点7的轨迹方程E为二+9=1.

4

（