解三角形-新高三数学专项复习

i.正弦定理、余弦定理

在aABC中，若角A,B,C所对的边分别是b,c,R为△ABC外接圆半径，则

定理正弦定理余弦定理

(2)〃=〃+c2—2bccos_A；

内容⑴sin/in/厂sinC~2Rb1=c2-\-a1-2cacos_B；

(r=(r-\-tr-2abcos_C

(3)a=2RsinA,

h=2Rs\n_B,

c=27?sin_C；

⑺cosA=2bc：

/八.Aa.nb._c

(4)sinA—2R，sin6-2R，SWC-2R；/+/—从

变形cosB-2ac；

(5)。：b:c=sin_A:sin_B:sin_C；

/+82-，

(6)〃sin8=〃sinA,COSC-lab

切inC=csinB,

asinC=csinA

2.在△ABC中，已知”，。和A时，解的情况

/为锐角A为钝角或电用

CC

&忌..春江

图形

关系式a=Z)sin,4从inA<a<ba》bd>b

解的个数.解两解一解.解

3.三角形常用面积公式

⑴力，儿表示边a上的高）：

⑵S=Ja戾inC=%csin8=J》csinA：

（3）S=，（a+8+c、）（r为三角形内切圆半径）.

【知识拓展】

1.三角形内角和定理

在△ABC中，4+8+。=兀；

A+B7tc

变形：

2.三角形中的三角函数关系

(l)sin(A+8)=sinC；(2)cos(A+B)=—cosC；

A+BC4+8=sinf.

(3)sin-—=cos(4)cos

2

3.三角形中的射影定理

在中，a=bcosC+ccos&

b=acosC+ccosA；

c=/?cosA+«cosB.

4.实际测量中的常见问题

求图形需要测量的元素解法

底部\

NACB=a,BC=解直角三角形

求可达

aAB=Mana

£H

底部不

直/\NACB=a,解两个直角三角形

高可达NADB=P，,门atanatanB

AB------------

tanp-tana

度CDBCD=a

山两侧

用余弦定理

r

AC=bf

AB=\J插+吩-2abccsa

BC=a

河两岸XACB=a.

求

住NABC=。,用正弦定理23=工

sin(a+/?)

水

CB=a

平

河对岸“A八―，—asina

ZADC=a,在ajpc中，AC=———；

距sin(a+7)

NBDC=P，

离B

在△BDC中，BC=

4BCD=&,S1D0+。)

Slc

L

^ACD=y,在&4BC中，应用

CD=a余弦定理求dB

【知识拓展】

实际问题中的常用术语

1.仰角和俯角

与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水

平视线下方叫俯角(如图①).

北

2.方向角

相对于某正方向的水平角，如南偏东30。，北偏西45。等.

3.方位角

指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为a（如图②）.

4.坡度（又称坡比）

坡面的垂直高度与水平长度之比.

1.在△/18C中，a=W，B=三•5b=3,则c的值为()

A.V3B.26C.3V3D.3

【答案】B

【解析】

22222

由余弦定理可得9=b=a+c-2accosg=3+c-V3c,2pc-V3c-6=0,

vc>0,解得c=2V3.

故选:B.

2.在△4BC中，角所对的边分别是Q,b,c,且c=2acosB,贝IJA/IBC的形状为(

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

【答案】A

【解析】

因为c=2acosB,所以sinC=2s\nAcosB,

即sin(4+8)=sin/lcosF+cosAsinB=2sir)4cos8,

整理得到sinAcosB-cosAsinB=sin(4—B)=0,

因为0<B<7T,所以一TTV力一8<TT,

即力一8=0,A=B,△力8c为笔腰三角形.

故选:A

3.如图所示，为了测最A,8处岛屿的距离，小明在。处观测，A,8分别在。处的北偏西15。、北偏东

45。方向，再往正东方向行驶40海里至。处，观测3在C处的正北方向，A在C处的北偏西60。方向，则

4,4两处岛屿间的距离为（）

A.20后海里B.40后海里C.20（1+6）海里D.40海里

【答案】A

【解析】

由题意可知CO=40,Z.ADC=105°,ZFDC=45°,/.BCD=90°,Z.ACD=30°,

所以乙&40=45°,^ADB=60°,

在AACD中，由正弦定理得焉=就£，得力。=20企，

在Rtz\BCO中，因为=45。/次:0=90。，

所以8D-V2CD-40^2-

在448。中，由余弦定理得

AB=y/AD2+BD2-2AD-BDcos^ADB

I~~1

=8004-3200-2x20V2x40V2x-

=5=20倔

故迄A

4.在MAC中，AC=3,BC=小，A4=2,则A4边上的高等于（）

A.-B.乌C.迪D.2V3

222

【答案】c

【解析】

在A718。中，由余弦定理得：COS-小而一*32+22一（"」

7ACRC2x2x2?

则有siriA=V1—cos2?1=与所以A8边上的高h=/ICsin/l=苧.

故选：C

5.已知△A8C的三边a、/?、c满足：a3+b3=c3,则此三角形是（）

A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.无法确定

【答案】A

【解析】

因为a?+〃=c',所以c>a,c>b

两边同除以c3,得（匀3+©）3=1

因为0<^<1,0<^<1,所以（§2+Q）2>1.所以小+垓>

即COS。=>0

2ab

所以C为锐角，又C为最大角,所以此三角形是锐角三角形

故选：A

6.在锐角AABC中，若遥sirL4gF+?3=sinBsinC,且百sin。+cosC=2,则a+b的取值范围是

)

A.(2V3,4]B.(2,2>/3|C.(0,4]D.(2,4]

【答案】A

【解析】

由仃sinC+cosC=2sin(C+-)=2,得C+-=-4-2k.Tr,kWZ,

662

f由题答+等=舞罂，由正弦定理有等+等=泉金故黑+黑=

••・cw(0,7

/即cos/rsinc+sin".cose=嘤=第故sin(4+C)=sinB=普即亮=竽，由正弦定理有

忌=焉=肃=笄故"竿M心殍sin/?,又锐角AABC,且C=条M6(0,%8=J

W解得4W(弓，)Q+b=竽(sirt/1+sinB)二警[sin/1+sin(与一4)]=W(sin/1+/cos4+：

sin4)=4sin(zl+7),

6

vAG》二"+看€&争,sinQ4+》W(争1]，

••・a+b的取值范围为（2g,4].

故选：A.

7.在△A8C中，内角4,B,。所对的分别为a,b,c,下列结论错误的是()

A.若a=2,。=2021,c=2022,则△ABC为钝角三角形

B.若sin2A=sin28,则△ABC是等腰三角形

C.若出Cc=2：3：4,则△ABC中最小的内角为A,且4E(0,匀

D.若〃=2,c=VS，。=一则5=3

【答案】B

【解析】

在A/18C中，最大的内角为C,cosC=吐第二当里守”<0,故△A8C为钝角三角形，A正确.

2ab2x2x2011

因为sin2A=sin28,所以2A=28或24+25="，即A=8或力+8=枭故△4BC是等腰三角形或直角三角

形，B错误.

设。=2_r,b=3x,c=4x(x>0),△ABC中最小的内角为4,由余弦定理知cos4=匕上士二

2bc

空上牛铝=2.因为遗<Z〈i，所以0<4v±故△48C中最小的内角为A,且力E(0,。，C正确.

$也4=空型=小=正因为0s令，所以力=?或4=工又因为。>小所以04.财4=斗不符合题

51nHc乃2444

意，舍去，故B=TT—三一^=整，D正确.

3412

故选:B.

8.在△ABC中，角4,B,。所对的边分别为mb,c,若sinC=26sinBshvbb=/la,则实数4的最小

值是()

A.1V3B.1+V3C.2-V3D.2+V3

【答案】C

【解析】

由sinC=2V3sinfisin/4，可得c=2V3Z?sin/4»

由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA,

两式结合得：a2=12b2s\n2A+b2-2bx275bsinAcosA,

即？=12sin2A+1-2百sin2A=7-6cos24-2百sin2A,

即(=7-46sin(2A+^),AE(0,n),

则当/=工时，(/)max=7+46,贝女,1皿=4=7—4逐，

故由a=3可得其最小值为外7-48=2_6，

故选:C

9.在锐角△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=2bcosB,月力工c,则下列命题正确

的有（）个

①4=2B②角8的取值范围是（0,9

③cos4的取值范围是（0j）④割勺取值范围是（企,8）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

解：因为a=2hcosB,由正弦定理可得sin/l=2s\nBcosB=sin2B,

所以4=28或4+2B=TT.

因为bwc,所以B工C,

所以A+28不力+8+C=7i,则4=28,故①正确.

因为A+B+C=TT,所以C=TT-A-8="一3B.

因为△力8c是锐角三角形，

(0<A

所以《0VBV；,

[ovY

|0V28

即|OVBV?，解得*<8<%

\0<7i-3B<-

、2

所以立<cosB<更，

22

利用正弦定理：;==2COS5e(V2,V3),故②错误，④正确.

因为A=28,所以

所以O<c。s力va则③正确.

故选:C.

10.在面积为S的锐角三角形ABC中，内角人B,C所对的边分别为a,b,c,若5=吴2,则tanAtanB的

最小值为（）

A.1B.4C.2V3D.2

【答案】B

【解析】

解：由S=：c2,所以gbcsin力=92,可得bsinA=c,由正弦定理可得sinAsinB=sinC,

所以sinAsinB=sin(4+B),所以sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB,

r-r-.sinAcosB,cos.sinB1,1<

所以1=------+-------,即ni1——+——=1,

sin/lsinBsin/lsinBtan.4tanB

所以‘一+」一二122I二----匚=7=_---，所以tanAtanBN4,当且仅当tan/1=tanB=2时取等号；

tanAtanByjtanAtanfiVtan4tanB

故选：B

11.在AABC中，角所对的边分别为a/、c,下列说法中正确的是()

A.sin(j?+C)=sin/1

B.若sin/l>sir)8,则A>B

C.若acosB-bcos/l=c,则△/BC是宜角三角形

D.若b=3,4=60。，三角形面积S=3次，则三角形的外接圆半径为巫

3

【答案】ABC

【解析】

对于A,在Ai48c中，sin(B+C)=sin(n-4)=sinA,A正确；

对于B,在△48C中，由正弦定理得：sinA>sin8=a>b=.4>8,B正确；

对于C,在A/IBC中，由余弦定理得：0・贮士丝一6•史士贮=的整理得/+C2=Q2,4=90。，C正

2ac2bc

确；

对于D,依题意，S=-bcsinA=-x3csin600=^-c=3V3»解得c=4,

224

由余弦定理得：Q=y/b2+c2-2bccosA=V324-42-2X3x4cos600=«5，

由正弦定理得外接圆半径/?=上3=景=叵，D不正确.

2snA\!33

故选：ABC

12.在△ABC中，a,b,c分别为乙4,乙B,的对边，下列叙述正确的是()

A.若△48。为钝角三角形，则a2+》2<c2

B.若△718。是锐角三角形，则不等式sin/1>cosB恒成立

C.a-bsinC+ccosB,则zC=g

4

D.若tanA+tanB+tanCV。，则△48C为钝角三角形

【答案】BCD

【解析】

对于A中，由余弦定理可得cosC=Q*^<0,所以角C为钝角，但是△ABC为钝角三角形，不一定是角

。为钝角，故选项A不正确；

对于B中，若△ABC矩锐角三角形，可得4+8>泉所以力冶一凡

且0<4<g,0<Bvg,可得Ovg-Bv1所以sin4>sinG_8)=cos8,

即不等式siMAcosB恒成立，所以B正确；

对于C中,因为a=bsinC+ccosB,由正弦定理得s为A=sinBsinC+sinCcosB,

又由sin/=sin(8+C)=sinFcosC+cosBsinC,

所以sinBcosC+cosFsinC=sinFsinC+sinCcosB,可得sinBcosC=sinBsinC,

因为8E(O,TT),可得sinB>0,所以cosC=sinC,即tanC=1,

又因为C€(O,TT),所以C=3,所以C正确；

对于D中，在△ABC中，可得tanC=-tan(4+8)=-snA+ian,

1-tan/ltanB

所以tan4+tanF=tan^tanFtanC-tanC,

因为tan4+tanfi+tanC<0,可得tanAtanBtanC<0,

所以tan4tan8,tanC必有一个小于0,不妨设tanC<0,可得CG(pTT),

所以△ABC为钝角三角形，所以D正确；

故选：BCD

13.已知角4B,C是△ABC的三个内角，下列结论一定成立的有()

A.若sin24=sin28,则△ABC是等腰三角形

B.若sin/1>sinZ7,则人>B

C.若44BC是锐角三角形,则si若>cosB

D.若AB=近,AC=1,B=30°,则仆ABC的面积为遗或遗

42

【答案】BCD

【解析】

解：对于A：若sin24=sin28,QiJsin(jr-2A)=sin2B,整理得：24=28或TT-24=28,

即4=8或4+B=],故△ABC为直角三角形或等腰三角形，故A错误；

对于B：若sin4>sinB,即2RsinA>2RsinB,利用正弦定理得：a>b,故4>8,故B正确；

对于C：△ABC是锐角三角形，所以A+B*,整理得”力冶一8>0,故sia4>sinC-B),

整理得：sin/l>cosB,故C正确；

对于D：由余弦定理人2=小+-2accos8,即十一3a+2=0,解得a=l或Q=2,

所以SMBC=[acsinB=^xlx\^x1=/或SA.BC=^acsinB=^X2XV3X^=Y»故D正确；

故选：BCD

14.设△4BC的内角A、氏C所对的边分别为〃、Ac,且力一•若成等差数列，则cos8=

【答案】细0.75

4

【解析】

由4+B+C=7T且4一。=与，故4=3+。，3二弓一2。>0,则OVC<£,

2224

所以sin/l=sin(1+C)=cosC,s\nB=sin—2。)=cos2C,

因为a,b,c成等差，则2b=a+c,故2sinB=sinA+sin。,

所以2cos2c=2(cosC+sinC)(cosC-sinf)=cosC+sinC,而cosC+sinC=V2sin(C+》>0,

所以cosC-sinC=5两边同时平方(cost*-sinC)?=%化简2sinCcosC=即sin2c=：,

所以cosB=cosC—2C)=sin2c=*

故答案为：7

4

n

15.在中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知。=3,b=4,sinH=p则4=

【答案】:##300

o

【解析】

解：因为a=3,b=4,s\nB=a<b,

所以，A为锐角，由正弦定理号二号可得sim4=当”=3

sin/4s\nBb2

所以8=*

O

故答案为：7O-

6在三角形力"中，角A,B,C所对的边分别为小，c,若誓=誓二号,则该三角形周长的最

大值为

［答案］乎

【解析】

由正弦定理变形布誓=誓,又因为等=管£=多所以限osB=sEB,则tan8=f.BW，

又因为由詈=争所以小争26x；二瓜

V2—2'

又因为房=a2+c2-2accosB=(a+c)2-3ac>(a+c)2-3•("；，)=；(a+c)2,

所以(a+c)2<4b2=4x^=6=>a+c<瓜当且仅当“a=c”时取等.

4

则该三角形周长的最大值为0+",=乃+当=乎

故答案为：吟

17.在①^^②sin%=cos*③Wb=a(sinf+75cosC),这三个条件中任选一个，补充在下面

的横线上，并加以解答.

在AABC中,角A,8,C的对边分别是a,4c,若.(填条件序号)

(1)求角4的大小;

(2)若a=3,求^ABC面积的最大值.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】⑴条件选择见解析，A=^

⑵、

【解析】

⑴选①，在OBC中，由正弦定理及鬻得：答泮=鬻

即2sinCcos4=sinAcosB4-cosAsinB=sin(4+2)=sinC>而0<C<IT,即sinC>0,

因此，cosA=又0V力V7T,所以4=弓.

选②，2sin^cos^—cos^,在△48C中，有Ovgv?,sin^=解得J=[,所以幺=?.

选③，在△ABC中，由正弦定理及6b=a(sinC+V5cosC)得：V3sin^=sinzl(sinC+V3cos0»

sin^sinC4-V5sinAcosC=V3sin(4+C)=V5sin4cosc+V3cos4sinC»即sinAsinC=75cosAsinC，

而OVC<TT,UPsinC>0,有tan4=d5，又又0V4V"，所以力=?.

*5

(2)由(1)知，4=5，由余弦定理得：4=a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-be>2bc-be=be,

•J

当且仅当b=c时取”=；

则SAABC=^besinA=jbesin^=^-bc<V3，

所以当b=c=2时，△力BC面积的最大值为百.

18.在△48C中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.在①bcos/4+acosB=2ccosC,②(a+b+c)(a

+力-c)=3ab,③cos2C+cosC=0中任选一个，

(1)求角。的大小；

(2)若c=2,求△力BC周长的最大值.

【答案】(l)C=g

(2)6

【解析】

(l)选①bcos力+acosB=2ccosC,得sinBeosA+sinAcosB=2sinCcosC

sin(/l+8)=sinf=2sinCcosC

VCe(O,TT)

/.sinC*0

:.cosC=1(0<C<7T)^C=^

选②(a+b+C)(Q+b-c)=3ab=(Q+b)2-c2=3ab=>c2=a2+b2-ab

Vc2=a2+b2—2abcosC

/.cosC=^(0<C<7T)=>C=^

选③cos2c+cosC=0=>2cos2c+cosC—1=0=(2cosC—l)(cosC4-1)=0

又0VCV7T

所以cosC=I，

所以C=g

(2)由余弦定理知：c?=a2+炉一2ab-cosC=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab

由基本不等式知：QbW(早)2

所以c?=(a+b)2-3ab>(a+6/-1(a+b)?=：(a+/?)2

所以：Q+bW2c=4(当且仅当a=b时，等号成立)，

所以a+b+c<6

综上：△人8c的周长的最大值为6.

19.在①Q=夕，②4c边上的高为苧，③sinB=4这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并完成

解答.

问题：记A4BC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知乙1=60。，c=b+l,.

⑴求c的值：

⑵若点。是边BC上一点，且乙4。8-418C=以求4。的长.

【答案】(l)c=3

(2)2

【解析】

(1)解：选条件①：a=由,c=b+1，

由余弦定理cos力==1,则/+6一6=0,

2bc2

解得b=2,则c=b+l=3；

选条件②：AC边上的高为这，

2

由三角形的面积公式;匕(b+l)sin/l=.b，

解得b=2,c=3.

选条件③：sinB="

由题意可知8VC,所以msA=71一siM/?=小一：=乎,

因为4+B+C=n,

sinC=sin(i4+B)=sinAcosB+cosAsinB,

V32V7।iVzT3Vn

272714

由正弦定理得当=2,即盘=白，

sinCc3Vzib+1

解得b=2,c=3.

(2)选条件①:

因为44DB—4ABC=£,^VXZ-ADB=/.ABC+-,

33

7+9—4_2\/7

2x77x317

sinF=V1—cos2B=11—-=-»

\77

则sinz/DB=sin(/.ABC+-)=^lx-+—x—=—.

\37727214

、VH

1+.Tn+当工mA。ABACABsinB3x~7~

由正弦定理一了二-——»AD=---=-^-=n2;

sinBsinz/lDBsinz/lDB3g

14

选条件②；

因为所以匕=

ca2+c2-b2

cosB=-------=——7+9--4=——277，

lac2XF\/7X37

sin3=V1-cos2fi=Jl一;=今，

贝！JsinzJlDB=sin(/.ABC+-)=—x-+—x—=

\3/727214

^2i

上十十^ABsinB

由正弦n定Ttu理AD而=而48而'“.0=而力而3=X宣--=2；