从立体图形到平面图形三（专项练习）-北师大版七年级数学上册

一、基础训练

1.如图，用一个平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面的形状是（）

2.小星用一个平面去截如图所示的三棱柱，截面的形状是一个n边形，则n的最大值是（）

3.将下列几何体沿如图所示的方向截开，所得截面的形状与其他三个不同的是（）

4.用平面去截一个几何体，如果截面的形状是圆，则该几何体可能是（）

A.圆柱B.长方体C.正方体D.三棱柱

5.作为中国四大传统节日之一，中秋节自古有祭月、赏月、吃月饼、玩花灯、赏桂花等民俗.如图

所示，某月饼可以看成一个圆柱体，用一个平面去截该圆柱，’本，则截面不可能是（）

A.三角形B.圆C.长方形D.正方形

6.截面都为圆形的儿何体是_______.

7.用一个平面去截一个五棱柱，截面最多可以是边形.

8.用一个平面截一个几何体，所截出的面出现了如图所示的四种形式，试猜想，该几何体可能

①②③O

9.如图所示，过长方体的一个顶点，截掉长方体的一个角，则剩余部分的顶点有个.

10.如图，往一个密封的正方体容器持续注入一些水，注水的过程中，可将容器任意放置，水平面

形状可能是o（填序号）

①三角形；②正方形；③六边形；④七边形。

11.如图，截一个正方体，可以得到三角形，但要得到一个最大的等边三角形，你会切吗？你能说

12.如图，用一个平面去截正方体，截面分别是什么形状?

（1）截面的形状可能是三角形吗?先想一想，再试一试。

（2）截面的形状还可能是几边形？

二、巩固提升

13.下列选项中，说法正确的是（）

A.五棱柱有7个面和10条棱

B.圆锥的侧面展开图是一个三角形

C.用一个平面去截圆柱，截面不可能是正方形

D.将一个长方形绕它的长旋转一周得到的立体图形是圆柱

14.如图，用一个平面去截一个三棱柱，截面的形状不可能是（）

A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形

15.如图，对正方体进行两次切割，得到如图⑤所示的几何体，则图⑤几何体的俯视图为（）

16.如图，往一个密封的正方体容器持续注入一些水，注水的过程中，可将容器任意放置，水平面

形状不可能是（)

A.七边形B.五边形C.正方形D.三角形

17,下列说法正确的有（）

①五棱柱有10个顶点，10条棱，7个面；

②点动成线，线动成面，面动成体；

③圆锥的侧面展开图是一个圆；

④用平面去截一个正方体，截面的形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形.

A.1个B.2个C.3个D.4个

18.如图，圆柱高为8,底面半径为2,若截面是长方形，则长方形的最大面积为（）

A.16B.20C.32D.18

19.在学习完第一章《丰富的图形世界》后，小红对棱柱的内容进行了归纳与思考：

（1）【棱柱的性质】

一个棱柱的命名是由底面边数决定的，而面数、顶点数、棱数都与它的底面边数有关，一个六棱

柱有个面，个顶点，条棱.

（2）【棱柱的展开】

由于正方体的表面沿某些棱剪开可以展开成一个平面图形，发现每一次都剪开了7条棱，小红又

尝试将其他棱柱的表面沿某些棱剪开展开成•个平面图形，无录如下:

剪开棱的条数保留棱的条数

三棱柱54

四棱柱75

五棱柱96

根据以上规律，二十棱柱要剪开条棱.

（3）【棱柱的截面】

用平面截一个正方体将其分为两个几何体，当截面是三角形时，所分出的两个几何体的顶点总个

数可能是.（填序号）

①8②9③10@11⑤12⑥13⑦14⑧15（9）16⑩17

20.作为中国四大传统节日之一，中秋节自古有祭月、赏月、吃月饼、玩花灯、赏桂花等民俗.如

图所示，某月饼可以看成一个圆柱体，用一个平面去截该圆柱体，则截面不可熊是（）

A.三角形B.圆C.长方形D.正方形

三、能力应用

21.如图①，从大正方体上截去一个小正方体之后，可以得到图②的几何体.

（1）设原大正方体的表面积为S,图②中几何体的表面积为Si,那么SI与S的大小关系是

A.Si>SB.Si=SC.Si<SD.无法确定

（2）小明说：“设图①中大正方体各棱的长度之和为1,图②中几何体各棱的长度之和为h,那

么h比1正好多出大正方体3条棱的长度.”你认为这句话对吗？为什么？

（3）如果截去的小正方体的棱长为大正方体棱长的一半，那么图③是图②中几何体的表面展开

图吗？如有错误，请子修正.

答案解析部分

1.【答案】B

【知识点】截一个几何体

【解析】【解答】解：用平行底面的平面截圆锥体，截面是圆形，

故选：B.

【分析】根据圆锥体的特征即可求出答案.

2.【答案】C

【知识点】截一个几何体；棱柱及其特点

【解析】【解答】解：三棱柱有五个面，所以用平面去截如图所示的三棱柱，截面形状可能是三角

形、四边形、五边形，

故n的最大值是5.

故答案为：C.

【分析】根据截面经过几个面，得到的多边形就是几边形判断即可.

3.【答案】D

【知识点】截一个几何体

【解析】【解答】解：A项截开后所得截面的形状是矩形，8项截开后所得截面的形状是矩形，

C项截开后所得截面的形状是矩形，。项截开后所得截面的形状是三角形，

故选：D.

【分析】本题考察截一个几何体的截面形状判断，解题的核心是结合常见几何体的结构特征，分析

特定截法下截面的形成规律。先需明确不同几何体被给定方向截取时，截面边的构成情况：A、B、

C先项对应的几何体，其被截部分的棱均为平行关系，因此截开后截面由平行线段围成，形状为矩

形：而D选项的几何体，由于其顶点和棱的分布特点，截开后截面由三条不平行的线段围成，形成

三侑形。通过对比四个选项的截面构成，即可找出形状不同的那个。

4.【答案】A

【知识点】截一个几何体

【辞析】【解答】解：四个选项中，圆柱的上下两底面是圆形，因此截面的形状是圆，其余三个选项

均不满足条件。

故答案为：A.

【分析】本题从选项讲行分析，长方体、正方体、三桥柱不可能截面出现圆形，只有圆柱满足“截面

的形状是圆“，从而得出答案。

5.【答案】A

【知识点】截一个几何体

【解析】【解答】解：A选项不管从哪个方向截都不能得到；

B金项沿着底面平行的方向截该圆柱体所得截面为圆，所以该选项有可能；

C先项沿着垂直于底面的方向截该圆柱体所得截面为长方形，所以有可能；

D选项沿着垂直于底面方向并靠近边缘截该圆柱体所得截面为长方形，使得所得长方形长与宽相等

即为正方形，所以有可能；

故选A.

【分析】

根据从不同方向截圆柱体所得截面进行判断即可.

6.【答案】球

【知识点】截一个几何体

【解析】【解答】解：用一个平面截球体的截面永远是圆，

截面都为圆形的几何体是球，

故答案为：球.

【分析】用一个平面截球体，它的截面永远是圆，即可得到所求的几何体.

7.【答案】七

【知识点】截一个几何体

【解析】【解答】解：用一个平面去截一个五棱柱，截面最多与七个面相交，产生七条交线，形成七

边形.

故答案为：七.

【分析】根据几何体的截面即可求出答案.

8.【答案】圆柱

【知识点】截一个几何体

【解析】【解答】解：平面倾斜竖截圆柱侧面和底面可得图①，平面倾斜竖截圆柱侧面截圆柱可得图

②，平面经过两个底面截圆柱可得图③，平面平行与底面截圆柱可得图④，

故该几何体可能是圆柱.

【分析】根据几何体的截面特征逐项进行判断即可求出答案.

9.【答案】9

【知识点】截一个几何体

【解析】【解答】解：如图，剩下的几何体有9个顶点.

故答案为：9.

【分析】本题考查了平面截一个几何体，其中几何体是由点、线、面等基本元素构成的复杂结构，

点是几何体的最小单位，线是由无数个点按一定顺序排列而成的，面是由无数条线按一定顺序排列

而成的，而体则是由无数个面按一定顺序排列而成的，根据长方体有8个顶点，截掉长方体的一个

角后，顶点就多出了1个，即可求解.

10•【答案】①②③

【知识点】截一个几何体

【解析】【解答】解：正方体有六个面，注水的过程中，可将容器任意放置，水平面形状可能是三角

形、正方形、六边形，不可能出现七边形.

故答案为：①②③.

【分析】正方体有六个面，用一个平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相

交得三角形，进而可得出所有可能的情况.

1L【答案】解：如图所示.

沿着对角线切即可

【知识点】截一个几何体

【解析】【分析】要切最大的等边三角形，只须边长最大即可，由题意可知，正方形中最长的线段是

对角线，所以只须沿着对角线切即可。

12.【答案】⑴解:如图所示,

截面与正方体的三个面相交，贝J截面为三角形，故可能是三角形

（2）解：依据题意，正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三

个面相交得三角形；截面可能为三角形、四边形（梯形，长方形，正方形）、五边形、六边形

【知识点】截一个几何体

【解析】【分析】（1）依据题意，用平面去截正方体时与三个面相交，可得三角形；

（2）由题意，正方体有六个面，月平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交

得三角形；因此用一个平面去截一正方体，截面可能为三角形、四边形（平行四边形）、五边形、六边

形共有四种情况.

13.【答案】D

【知识点】点、线、面、体及之间的联系：几何体的展开图：截一个几何体：几何体的点、棱、面

【解析】【解答】解：A：•・•五棱柱有两个底面（五边形）和五个侧面（矩形），・•・面数为7,但棱数

应为上底面5条、下底面5条、侧棱5条，共15条，故A错误；

B：・・♦圆锥的侧面展开图是扇形，不是三角形，故B错误；

C：•・•当圆柱的高等于底面直径时，用垂直于底面的平面截圆柱，截面可为正方形，故C错误；

D：•・,长方形绕其长旋转一周，长作为高，宽作为底面半径，形成圆柱，故D正确.

故答案为：D.

【分析】根据五棱柱的特征可得出A错误；根据圆铢的侧面展开图可得出B错误；根据当圆柱的高

等于底面直径时，用垂直于底面的平面截圆柱，截面可为正方形，可得出C错误；根据圆柱的特征

可得出D正确，即可得出答案。

14.【答案】D

【知识点】截一个几何体；棱柱及其特点

【解析】【解答】解：由题意可得:

用一个平面去截一个三棱柱，截面的形状可能是：三角形，四边形，五边形，不可能是六边形；

故答案为：D

【分析】根据三角形的截面形状即可求出答案.

15.【答案】A

【知识点】截一个几何体；简单；L何体的三视图

【解析】【解答】解：根据题意可得：从该几何体正上方看，棱4E的投影为点E,棱48的投影为线

段BE,棱AD的投影为线段ED,棱4c的投影为正方形"DE的对角线，

••・该儿何体的俯视图为:

【分析】正方体经过两次切割后得到的几何体得形状是一个四棱锥,其底面是一个F方形,四条侧

棱相交于一点；俯视图就是从几何体上面看得到的视图，能看见的轮廓线画成实线，看不见但又存

在的轮廓线画成虚线，据此可得该四棱锥的俯视图是一个正方形，且正方形中有一条从左上至右下

的对角线.

16.【答案】A

【知识点】截一个几何体

【解析】【解答】解：正方体有六个面，用一个平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少

与三个面相交得三角形，

・••注水的过程中，可将容器任意放置，水平面形状最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交

得三角形，

，所得水平面形状可能是三角形、四边形、五边形和六边形，不可能出现七边形，

故选：A.

【分析】本题考查了正方体的截面，正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六

边形，最少与三个面相交得三角形，据此作答，即可求解.

17.【答案】B

【知识点】点、线、面、体及之间的联系：几何体的展开图；截一个几何体；棱柱及其特点

【解析】【解答】解：①五棱柱有10个顶点，15条棱，7个面，所以①错误，不符合题意.

②点动成线，线动成面，面动成体，所以②正确，符合题意.

③圆锥的侧面展开图是一个扇形，所以③错误，不符合题意.

④用平面去截一个正方体，截面的形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形，所以④正确，符

合题意.

综上可得，说法正确的有2个，

故答案为：B.

【分析】根据立体图形的特征，点、线、面、体，圆锥的特征和截一个几何体的方法判断即可求

解.

18.【答案】C

【知识点】截一个几何体

【解析】【解答】解：由题意可知，垂直于圆柱底面且经过底面圆直径所截得的长方形面积最大，

•••圆柱的高为8,底面半径为2.

・••截面的面积为：8x（2x2）=32.

故答案为：C.

【分析】由题意可知垂直于圆柱底面”.经过底面圆直径所被用的长方形血积最大，然后根据长方形

的面积等于长x宽计算即可求解.

19.【答案】（1）8,12,18

（2）39

（3）④⑤⑥⑦

【知识点】几何体的展开图；截一个几何体；几何体的点、棱、面

【解析】【解答］解：（1）根据棱柱的性质可知，六棱柱有6+2=8个面，2x6=12个顶点，3x

6=18条棱,

故答案为：8,12,18：

解：（2）有表格可知，三棱柱剪开棱的条数为5=3x2-1

四棱柱剪开棱的条数为7=2x4-1

五棱柱剪开棱的条数为9=2x5-1

兀棱柱剪开楂的条数为：2n-l.

把n=20代入，得2x20-1=40-1=39

故答案为：39；

解：（3）①不过顶点，所分出的两个几何体的顶点总个数为：10+4=14（个"

②过一个顶点时，所分出的两个几何体的顶点总个数为9+4=13（个）；

③过两个顶点时，所分出的两个几何体的顶点总个数为8+4=12（个）；

④过三个顶点时，所分出的两个几何体的顶点总个数为7+4=11（个）：

综上所述，所分出的两个几何体的顶点总个数可能是④⑤⑥⑦.

故答案为：④⑤⑥⑦.

【分析】（1）根据棱柱的几何结构特征，以及棱柱的性质，进行作答，即可得到答案；

（2）根据表格中的数据，找出三棱柱，四棱柱，五棱柱剪开棱的条数，找到规律，得到九棱柱剪

开楼的条数，代入九=20,进行计算，即可求解；

（3）根据题意，当截面时三角彩时，分不过顶点，过一个顶点，过两个顶点，过三个顶点，四种情

况，分别求得分出的两个几何体的顶点总个数，进而得到答案.

（1）解：根据棱柱的性质可知，六棱柱有6+2=8个面，2x6=12个顶点，3x6=18条棱，

故答案为:842,18；

（2）解：有表格可知，