四川省成都市2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷（含答案）

四川省成都市2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填（涂）写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答在试卷上无效。3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和涂改液。4.考试结束后，将试卷、答题卡和草稿纸一并交回。一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在复平面内,若,则z的共轭复数对应的点位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2．(

)A.0 B. C. D.13．已知a,b是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列命题正确的是(

)A.若,,则 B.若,,则C.若,,则 D.若,,则4．若圆柱的底面直径和高都等于球的直径,则圆柱与球的表面积之比为(

)A.1 B. C. D.5．在中,若,,设,,则(

)A. B. C. D.6．在中,设甲：,乙：,则(

)A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件7．与正四棱锥的5个顶点的距离都相等的平面有(

)A.4个 B.5个 C.6个 D.7个8．已知,是方程在上的两根,则(

)A. B. C. D.二、多项选择题:本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．设函数,则(

)A.的最小正周期为B.的图象关于点对称C.的图象的对称轴为D.的单调递增区间为10．已知的外接圆圆心为O,且满足,则(

)A.B.C.若,则在上的投影向量为D.若,,则11．如图,在棱长为1的正方体中,E为的中点,F为线段上的动点,则(

)A. B.的最小值为C.四面体的体积为定值 D.与平面所成角的正切值的最大值为1三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知复数,则______________.13．如图所示,在倾斜角等于的山坡上有一根旗杆,当太阳的仰角是时,旗杆在山坡上的影子的长是20米,则旗杆的高为____________________________________米.14．在平面直角坐标系中,对向量,,定义.若单位向量满足,则的取值范围为______________.四、解答题:本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（13分）在平面直角坐标系中,已知向量,.(1)证明：；(2)求的最小值.16．（15分）如图,在三棱柱中,平面,,点E,F分别是线段,的中点.(1)求证：平面；(2)若平面平面,求证：.17．（15分）在一般条件下,青少年的心率会随呼吸发生周期性波动：吸气时心率加快,呼气时心率减慢,这一现象在医学上被称为呼吸性窦性心律不齐（）.研究发现,心率波动频率与呼吸频率高度一致,心率随时间的变化可用模型（）近似拟合,其中为心率（次/）,为稳态心率（次/）,f为呼吸频率（次/）,t为时间（s）,A为幅值（次/）.为了解自身心率的波动情况,小明在静息的条件下按节拍器的引导进行均匀呼吸（呼吸频率为10次/）,从一次吸气开始的时刻开始计时（即时刚好完成呼气,即将开始吸气）,记录了一个完整呼吸周期内的心率数据,如下表：时间0123456心率（次/）65758075656065呼吸时相吸气始吸气吸气呼气始呼气呼气吸气始设小明在静息和步行时的心率变化均满足该模型.(1)求小明静息时的表达式；(2)若小明在步行时,呼吸频率f为20次/,稳态心率提高到90次/,幅值A为4次/,没有发生变化,求小明步行时的最大值.18．（17分）在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知.(1)若.（ⅰ）求A；（ⅱ）已知的面积为,求b,c.(2)设的角平分线交于点D,若,求的取值范围.19．（17分）如图,在三棱锥中,,,,平面平面,设点为棱上的动点（不含端点）.(1)求证：；(2)若,三棱锥的各顶点均在球的球面上,求球的半径；(3)若二面角的大小为,求四面体体积的最小值.参考答案1．C2．A3．B4．D5．D6．A7．B8．A9．AD10．ABD11．ACD12．13．14．15．(1)因为,,又,所以.(2)因为,,所以,当且仅当时等号成立.故的最小值为.16．(1)因为平面,平面,所以.由题知,又,平面,平面,所以平面.(2)连接,,则与交于点F.因为E,F分别是,的中点,所以,又平面,平面,所以平面.又平面,平面平面,所以.17．(1)由表可知小明在一个呼吸周期内心率的最大值与最小值分别为80次/与60次/,可得次/,所以次/.又一个呼吸周期,即,解得.令,得,解得（）.又,所以.所以.(2)由题意知小明在步行时心率满足..所以,当且仅当时等号成立.所以小明步行时的最大值为.18．(1)（ⅰ）由正弦定理（R为外接圆的半径）,得,又,所以.所以原式化为.整理得,又,,所以,又,所以.（ⅱ）因为的面积,所以.又由余弦定理知,即,所以,即,所以.(2)因为为的角平分线,所以.由面积公式得,化简得,即.又由余弦定理得,即.化简得（*）.由基本不等式得,解得.当且仅当时等号成立.又由得,即.所以.代入（*）得,又,有,解得,当A点与B,C两点无限趋于共线时,无限逼近.综上,的取值范围为.19．(1)设的中点为O,连接,,由,得.同理.又,,平面,所以平面.又平面,所以.(2)连接,由(1)知.又平面平面,平面平面,平面,所以平面.又平面,所以.由,得,又,所以.因为,又,所以.又,得.所以E为的中点.所以,.设的外接圆圆心为G,显然G点满足,又的外接圆圆心为O,所以平面,平面.又平面