北师大版九年级数学上册 第2课时 一元二次方程的解及其估算（导学案）

第二章一元二次方程

2.1认识一元二次方程

第2课时一元二次方程的解及其估算

【学习目标】

1.理解方程的解的概念.

2.经历对一元二次方程解的探索过程并理解其意义.（重点）

3.会估算一元二次方程的解.（难点）

学习重点：经历对一元二次方程解的探索过程并理解其意义.

学习难点：会估算一元二次方程的解.

【复习导入】

问题1：一元二次方程有哪叱特点？

问题2：一元二次方程的一般形式是什么？

【合作探究】

探究点1:一元二次方程的根

试一试：下面哪些数是方程9-工-6=0的解？

-4»-3,~2,一1,0,1,2,3,4.

X-4-3-2-101234

X2-x-6

总结：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元

二次方程的解也叫作一元二次方程的根.

例1已知关于工的一元二次方程7+，江+，『0的一个根是3,求。的值.

方法点拨：已知方程的根求字母的值，只需要把方程的根代入方程中，得到一个关于这

个字母的一元一次方程，然后求解这个一元一次方程，就能得到字母的值.

变式：已知。是方程级-2=0的一个实数根，求2/+4。+2026的值.

方法点拨：求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察，有时需用到整体思想——求

解时，将所求代数式中的某一部分看作一个整体，再将这个整体代入求值.

探究点2：一元二次方程解的估算

问题1：在上一课中，我们知道四周未铺地毯部分的宽度x满足方程(8-2x)(5-2x)=18,

你能求出这个宽度吗？

(l)x可能小于0吗？说说你的理由.

x可能大于4吗？可能大于2.5吗？说说你的理由.

(2)你能确定x的大致范围吗？

(3)填写下表:

X0.511.52

(4)你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗？还有其他求解方法吗？与同伴进行交流.

尝试•思考

问题2：在上一课中，梯子的底端滑动的距离x满足方程(.1+6)2+72=102,也就是

1+12x-15=0.

(1)小明认为底端也滑动了1m,他的说法正确吗？为什么？

⑵底端滑动的距离可能是2m吗？可能是3m吗？为什么？

(3)你能猜出滑动距离工的大致范围吗？

(4)x的整数部分是几？十分位是几?

思考•交流

小亮求解上述“尝试•思考响题的过程如下:

X00.511.52

x2+12x-15-15-8.75-25.2513

可知x取值的大致范围是：lVxV1.5.

进一步计算:

X1.11.21.31.4

x2+I2x-15-15-8.75-25.25

所以l.l<x<1.2,

因此x整数部分是1,十分位部分是1.

(1)你明白小亮估算一元二次方程的解的想法吗？与同伴进行交流。

⑵如果要把x的小数部分精确到百分位，应该怎么做呢？说说你的想法。

【归纳总结】

规律方法上述求解是利用了“区间逐步缩小法”的思想

用“区间逐步缩小法”思想解一元二次方程的步骤：

①在未知数X的取值范围内排除一部分取值；

②根据题意所列的具体情况再次进行排除；

③对列出能反映未知数和方程的值的表格进行再次筛选；

④最终得出未知数的最小取值范围或具体数据.

例2请求出一元二次方程X2-2X-1=0的正数根(精确到0.1).

练一练

1.根据题意，列出方程，并估算方程的解：

一面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m,苗圃的长和宽各是多少？

当堂反馈

1.一元二次方程(x+2)(x—1)=0的根为()

Aa=-2B..r=l

Cx=-2或1D..r=2或一1

2.若关于x的一元二次方程W一工一机=0的一个根是K=1,则m的值是()

A.lB.OC.-lD.2

3.关于x的一元二次方程ad+/?x+c=0,若4a—26+c=0,则它的一个根是()

A.—2B.—C.-4D.2

4.［高频易错］若关于x的一元二次方程3±2)f+3x+〃F—4=0有一根为0,则m=

5.观察下表，确定一元二次方程x2—2r—2=0的一个近似解的取值范围.

XX2—2X~2

2.1-1.79

2.2-1.56

2.3-1.31

2.4-1.04

2.5-0.75

2.6-0.44

2.7-0.11

2.80.24

6.已知关于x的一元二次方程f+/M+C=0的两个根分别为2和3,求匕与c的值.

71整体思想］已知工=〃?是方程f—2L1=0的一个实数根，求2)—5的值.

参考答案

【合作探究】

探究点1:一元二次方程的根

试一试：解：3和-2.

例1解：由题意把尸3代入方程f+公+。=0,得32+3a+a=O,9+4a=0,4行一9,

\a=2

4

变式解：由题意得：£72+2«­2=0即〃+24=2.

，2/+4。+2026=252+2。)+2026=2*2+2026=2030.

问题1:(I)不能，因为x代表宽度，小于0不符合实际.

当x>4,不可能，5-2x<0,边长无意义；

当x>2.5,不可能，5-2x<0,地毯宽为负.

(2)8-2x>0,5-2x>0,

解得x<4,x<2.5,所以0VxV2.5

0.511.52

(8-2x)(5-Zv)2818104

(4)x=1

尝试•思考

(1)不正确./+12x1-15=-2

(2)都不可能.22+12x2-15=13；32+12x3-15=3()

(3)x表示宽度，所以x不可能小于0；

思考•交流

(1)

1.先通过较大步长确定根所在的大致区间l<x<1.5；

2.再在该区间内缩小步长，进一步精确根所在的更小区间l.l<x<1.2；

3.重复此过程，逐步逼近方程的精确解，从而确定解的整数部分、十分位等。

⑵在区间l.lvxvl.2内，以0.01为步长计算函数值,找到符号变化的区间(如1.14<

x<1.15),取区间内更接近零点的值作为近似解，即可精确到百分位(近似为xR.14)。

例2

解：(I)列表.依次取x=0,I,2,3…

X0123・・・

2

x-2x-1-1-2-12••・

由上表可发现，当2VxV3时，-IVx2-2x-l<2；

(2)继续列表，依次取x=2.l,2.2,2.3,2.4,2.5…

X2.22.32.42.5••・

x2-2x-1-0.79-0.31-0.040.25・・・

由表发现，当2.4<x<2.5时，-0.04<x2-2x-1V0.25；

(3)取x=2.45,则x2・2x・1HO.1025.・・・2.4VXV2.45.・・・XH2.4.

【练一练】

1.解•：设苗圃的宽为xm,则长为(x+2)m,根据题意，得

x-(x+2)=120.即X2+2X-120=0.

根据题意x的取值范围大致是OVxVIl.

由上可知，x的取值范围大致是0<xVU.

解方程X2+2X-120=0.

完成下表(在0<xVll这个范围内取值计算，逐步逼近)：

X・..891011・..

2

X-2x-1•・・-41-21023・・・

所以x=10.因此这苗圃的长是12米，宽是10米.

当堂反馈

1.C

2.B

3.A

4.2.

5.解：由表可发现,当2.7VxV2.8时,-0.11V%2—2》一2<0