命题与常用逻辑-新高三数学专项复习

।.命题

用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假

的语句叫做假命题.

2.四种命题及其相互关系

(1)四种命题间的相互关系

(2)四种命题的真假关系

①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；

②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系.

3.充分条件、必要条件与充要条件的概念

若p=q，则〃是4的充分条件，q是〃的必要条件

〃是q的充分不必要条件p=>q且

〃是4的必要不充分条件p#q且q今p

〃是，/的充要条件p0q

〃是"的既不充分也不必要条件p»q且q/p

【知识拓展】

从集合的角度理解充分条件与必要条件

若p以集合A的形式出现，4以集合8的形式出现，即A={x|p(.r)},B={x\q(x)},则关于充分条件、必要条

件又可以叙述为：

(1)若人与氏则〃是q的充分条件；

(2)若A。"，则〃是q的必要条件；

（3）若A=3,则〃是q的充要条件；

（4）若AC4则〃是q的充分不必要条件；

（5）若A3氏则〃是q的必要不充分条件；

⑹若A^B且AQB,则p是q的既不充分也不必要条件.

1.若小>为实数，则，<；''是"晦》>1咤2夕’的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

由题意可知当x=-2,y=1时，满足：<但不满足log?%>logy：

xy2

由log?%>log?、，得％>y>0,满足

xy

所以‘弓VF是"10g2%>嗓2、”的必要不充分条件，

xy

故选:B.

2.命题“VxeR,%>sinx”的否定是（）

A.3x06R,x0<sinx0B.3x0$R,x0<sinx0

C.VxG/?,x<sinxD.3x0GR,x0<sinx0

【答案】D

【解析】

对于全称量词的否定是特称量词，并对结果求反，

即比oER,x0<sinx0；

故选:D.

3.已知集合4={%|±工0}，％E4的一个必要条件是不工内则实数Q的取值范围为（）

A.a<0B.a>2C.a<-1D.a>-1

【答案】C

【解析】

解不等式3WO,即［（*+1）（；-2）4°,得_1<%与2,

x+15+1黄0

故H={x|-1<x42},

所以XG么的一个必要条件是x>a,

则对于A,a<0,A={x\-1<x<2}不一定是［a,+8)的子集,A错误：

对于B,a>2,4={%［-1<%W2}不是［a,+8)的子集，B错误；

对于C,a<-1,A=(x\-1<x<2}是［a,+8)的子集，C正确；

对干D,a>一1,4={x|-1<x<2)不一定是［a,+8)的子集，比如Q=0时，D错误；

故选：C

4.下列命题正确的是()

A.命题“若M-3x+2=0,则x=2”的否命题为“若%2-3%+2=0,则xH2”

B.若给定命题pT%eR,x24-%—1<0,则ip:V%WR,%2+%—1>0

C.己知p:-1VxV2,q:2"+i+log2(x+2)<10,则p是q的充分必要条件

D.若pVq为假命题，则p,q都为假命题

【答案】D

【解析】

命题“若％2-3x4-2=0,则x=2”的否命题为“若X2-3x4-2^0,则％H27A错;

命题p:3xGR,x24-%-1<0的否定是VxWR,x2+x-1>0,B错；

易知函数/(x)=2大+1+log2a+2)在定义域内是增函数，/(-I)=1,/(2)=10,

所以-1<%<2时,1<2Kl+log2(x4-2)<10满足2*+i+log2(x+2)<10,

但严+1+log2(x+2)V10时，-2Vx<2不满足一1VxV2,因此题中应不充分不必要条件，C错；

pVq为假命题，则p，q都为假命题，若p,q中有一个为真，贝UpUq为真命题，D正确.

故选:D.

5.已知条件p:直线x+2y—1=0与直线a?%+(Q+i)y-1=o平行，条件q：。=1,则p是q的()

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【解析】

当直线无+2y-1=0与直线a2%+(a+l)y-1=0平行时，

Y==#1»解得Q=-g，

当a=1时，直线％+2y-1=0与直线+(a4-l)y-1=0重合,

所以p是q的既不充分也不必要条件，

故选：D

6.设a,beR,则“|a|+1<b”是“|a+b\>1”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

d>|a|+l=>|a+b|>|a+|a|+l|>1,所以充分性成立，

当a=0.8=一5时，满足|a+b|Nl,但|a|+1Wb不成立，所以必要性不成立.

所以“同4-1<b”是“|a+b\>1”的充分不必要条件.

故选：A.

7.己知％y€R,则“|无|V1且|y|V2”是“忱+y\<3”的（〕条件.

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

【答案】A

【解析】

解：充分性：若田vl,|y|<2,则|x+y|W|R+|y|<3,充分性得证;

必要性：若|x+y|<3,取％=2,y=0.5满足条件,但不能得出㈤V1,|训V2,

故为非必要条件：

综上所述，“㈤Vljy|<2”是“忱+yl<3”的充分不必要条件，

故选:A.

8."x>1”是T°g式%+2）V0”的（）

2

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

当x>l时，可得第+2>3,可得log<x+2）<0,即充分性成立；

2

反之：当】。gKx+2）V°时，可得％+2>1,解得无>一1,所以必要性不成立，

2

综上可得'>1”时“bgjx+2）<0”的充分不必要条件.

故选：B.

9.设命题pTQoV0,劭+康>0,则~12为（）

A.Va0>0,a0+<0B.Va<0,a+—^―<0

C.三。。<0,%+W0D.Va>0,a4-<0

【答案】B

【解析】

根据全称命题与存在性命题的关系，可得:

命题“p:Ba0V0,%+募,0”的否定为“「p：Va<0,a+^<0”.

故选：B.

10.已知命题q:V%6R,x2+x-l>0,则()

A.命题「q:Vx€R,/+工一1W0为假命题

B.命题-1q:V%ER,/+%一1W。为真命题

C.命题—)q:mx6R»x2+x—1<0为假命题

D.命题-iqTxER,/+%-1二0为真命题

【答案】D

【解析】

解：显然当％=0时不满足为2+》一I>0,故命题q：Vx€R,为假命题,

所以/+工一140为真命题，

故选：D.

11.下列命题中正确命题的是()

A.已知a、b是实数，则"GY<0)、”是"log3a>logs"’的必要不充分条件

B.命题：3xe(-oo,0),2X<3\其否定形式为：Vxe(-oo,0),2X>3X

C.函数y=/(I+x)与y=/(I-x)的图象关于直线％=1对称

D.在等比数列｛册｝中，a,、/2是方程/+3%+1=0的两根，则他=一1

【答案】AD

【解析】

对于A选项，已知a、力是实数，住)”<(J”0a>b，log3a>log3b=a>b>0,

因此,“G)0<G)"'是"log3a>log3/必要不充分条件，A对;

对干B选项，命题：BxG(-co,0),2X<3X,其否定形式为：VxE(-8,0),2X>3X,B错;

对干C选项，函数y=/(l+x)与y=/(l-幻的图象关于直线y轴对称，C错；

对干D选项，在等比数列｛册｝中，a4、％?是方程/+3%+1=0的两根，

设等比数列｛四｝的公比为q,则a4al2=1，+%2=%。+/)=-3,则叫<0，

■:他=。4口,<0，所以，。8=—、'a4a12=—1»D对.

故选:AD.

12.下列说法正确的是()

A.对于任意两个向量G,方，若|G|>同，且d与田司向，则

B.已知同=6.3为单位向量.若〈,,/>=与.则不在W上的投影向量为—3戊3

C.设记质为非零向量，则“存在负数人使得沆=24'是"沅♦五<0”的充分不必要条件

D.若五不<0，则G与族的夹角是钝角

【答案】BC

【解析】

选项A：向量是既有大小又有方向的量，但不能比较大小，故选项A错误；

选项B：&在单位向量让的投影向量为(|G|cosvd,3>)3=6x(—^”=—3V^，故选项B正确；

选项C：若存在负数人使得沅=4汽，则沅•元=2而2=入同2V肌

若记•kV0,则向量沅与云的夹角为钝角或180。，故选项C正确：

选项D：若则d与阴勺夹角是钝角或180。角，故选项D错误；

故选：BC.

13.在半径为1()的圆上有三点M,N,C,其中M,N两点的坐标分别为(0,—4)、(10V5,6).现有两个命题

如下：p：若NMNC为60。,则三角形MNC的面积为50旧：依若而=(一旧,3)，则四边形MCND的面

积为40百.那么下列选项正确的是()

A.命题〃是真命题B.命题〃是假命题

C.命题q是真命题D.命题g是假命题

【答案】AD

【解析】

M,N都在圆上，线段|MN|=J(10百-0)2+(6+4尸=20,因此MN为直径.由圆的性质知△MNC为直

角三角形，有一个角为60。，|NC|=10,因此其面积为2x20x10x3=506,故命题〃为真命题，因此

22

A正确.

MN=(10V3,10)»CD=(-73,3),则而•丽二10百x(-遥)+10x3=0，所以而与而垂直，因此

四边形A/CNQ的面积应当为|柘J|.蜉!=20百，命题q为假命题，故D正确.

故选:AD.

14.命题p：若％22,则/一x+2022>0.则命题〃的否命题是.

【答案】若工<2,则无2一%+202240

【解析】

根据否命题的定义，若不工2,则.一一%+2022>0的否命题为：若XV2,则/-X+2022W0.

故答案为：若％V2,则/一%+2022工0.

15.若命题,三勺€长,4，1211勺>771''是假命题，则实数m的取值范围是.

【答案】［V5,+8)

【解析】

由题意得“V%oEt，*tan%oWm”为真命题，故zn工ftanx9=tan^=V3,

163Jitiuxj0

故答案为：［b,+8)

16.已知下列命题：

①命题:“V无6(0,2),3、>/，，的否定是:Fx£(0,2),3X<r37

②若/(x)=2X-2-x,则VxGR,/(-x)=-/(x)；

③若/(无)=无+W，贝归&6(0,+8),/(x0)=1；

④等差数列｛册｝的前几项和为Sn,若。4=3,则57=21；

⑤在AJBC中，若4>乩贝Usin/>sinB.

其中真命题是_________________.(只填写序号)

【答案】①②④⑤

【解析】

对于①，全称命题的否定为特称命题，所以命题:“Vx6(0,2)，3、>/，，的否定是：，七万£(0,2)，3^<

炉'；故①正确；

对干②，因为“工)=2"-2-%所以/'(一%)=2-%一2七所以/(—%)=-f(x),故②正确；

对于③，vx0G(0,+8),所以fQo)=&+六=工0+1+卷―122J(%o+1)X(点)-1二L当

今当与+1=/，即(%。+1)2=1,所以%=0(舍去)，

所以故③错误；

对于④，等差数列｛即｝中，57=超普=7%，因为。4=3,所以57=21,故④正确；

刈于⑤，在△A8C中，若A>B,则a>b,所以2Rsin/l>2Rsin8,所以sinA>sin8,故⑤正确；

故答案为：①②④⑤

17.已知函数f(x)=ln(/+。％+1).

(1)若外外为偶函数，求a；

(2)若命题FX€(O,1],为假命题，求实数a的取值范隹.

【答案】(1)Q=O

⑵(-2,-1)

【解析】

(1)解：因为函数f(%)=ln(x2+ax+1)为偶函数，

所以/(一切=/(%),即ln(/-ax+1)=ln(x2+ax+1),

所以—ax+1=x2+ax+1>即2ax=0,

所以Q=0.

⑵解:因为命题叼(0,1],fCOZO”为假命题，

所以命题“Vxe(0,l],/⑺V0”为真命题,

所以，对V%6(0,1],x2+ax<0且7+ax4-1>0恒成立，

所以，对VxG(0,1],a<一％且a>-：恒成立，

由对勾函数性质知，函数y=一%在(0国上单调递增，

所以,。<一1且。>一2,即实数Q的取值范围是(—2,-1).

18.已知命题P：方程/+观+£=0没有实数根.

(1)若P是真命题，求实数,的取值集合A：

(2)集合8=[t\2a-1<t<a+l),若t6A是tG8的必要条件，求a的取值范围.

【答案】(l)4={t|0VtV4}

⑵a>!

【解析】

(1)若P是真命题,则A=£2-4t<0,解得0<t<4,则{={t|0<£<4}.

(2)因为£64是£6B的必要条件，所以BG4

当B=0时，由2Q-1NQ+1,得QN2,此时8G4,符合题意；

2ct—1VQ+1

当BH。时，则有2a-1>0,解之得之<a<2,

a+1<4

综上所述，。的取值范围为Q2

19.已知pTxER,x2+ax+2=O.q:Vxe(0,1),x2—a<0.

(1)若p为真命题，求a的取值范围；

(2)若p,q一个是真命题，一个是假命题，求a的取值范围.

【答案】(1)[2短+8)11(-8,-2甸

⑵(-8,-2&]u[1,2V2)

【解析】

(1)解：由pTxwR,x2+ax+2=0,

若P为真命题，

则/=一8N0,解得Q>2企或a<-2V2,

所以Q的取值范围为[2&,+8)u(-oo,-2V2]；

(2)解：若q为其命题时，

则a>/对VxG(0,1)恒成

所以Q>1,

若p，q一个是真命题，一个是假命题，

当p是真命题，q是假命题时，

则{a>产或卜!丁伍解得a<