苏科版九年级数学上册：反比例函数的图象与性质（能力提升）

1.2反比例函数的图象与性质

能力提升题

题型一根据面积求解析式

1.如图，已知反比例函数y="A>0,%>0)的图像与线段8C有公共点，其中点8在)，轴上，8CII%轴,

点A是％轴上一点，连接48、AC,若△48C的面积为3,则氏的值可能为()

A.8B.7C,6.5D.5

【答案】D

【详解】解：设C(a,b)(a>0,b>0),

vBC||无轴，

则点8(0,8),

则线段长度为a,

在乙ABC中，S△人8C=；必=3，整理得：ab=6,

设反比例函数y=:与线段3C交尸点(x,b),

则0<x<a,k=xb,

••,x最大是。，所以女最大是ab=6,也就是kW6,

・•・四个选项里只有D选项5满足k<6,

M的值可能为5.

2.如图，反比例函数y=3又<0)的图象经过平行四边形ABC。的顶点40c在％轴上，若点/一1,3)048。=

3,则实数k的值为()

【答案】B

【详解】解:如图，过点A作401%轴,

•••点8(-1,3),

yA=3,即4。=3,

,*,SRABCO=℃xAD=3,

•••0C=1,

AAB=1,

A=—1—1=—2,

.•.4(-2,3),

将点力代入函数得，3=2，

解得：k=-6.

故选：B.

3.如图，在平面直角坐标系中，目0ABe的顶点C在％轴正半轴匕0为坐标原点，顶点A在反比例函数y=§

(k为常数，且kHO,%<0)的图象上，48边交、轴于点D,RBD=2AD,若团0/18C的面积为12,则k的

值为•

【详解】解：如图，连接。B,

OCWAB,

Z.ADO=乙DOC=90°,

•••I3O4BC的面积为⑵

••・△。48的面积为6,

•••BD=2AD,

AD=-AB,

3

：'^LOAD=3=2»

即抑I=2,

•••k=±4,

•反比例函数经过第二象限，

二k<0,

二k=—4.

4.如图，点4D在反比例函数y=§(kV0)的图象上，CDly轴，垂足为C,AB1CD,垂足为B.若四边

形。力BC的面积为8,BD=2CD,则k的值为.

【答案】一】

【详解】解：设点一。,一£),

VBCJLy轴，

CD=OC=

Q,a

•••BD=2CD,

•••BD=2a,

•••BC=3a,

ABLBCyBC1y轴，

二AB||y轴，

二点4(-3a,—,

kk

AB=---1.--=--2-k-,

a3a3a

•••四边形。ABC的面积为8,

1k勺

-X--X

2a3a

解得：k=-个.

题型二反比例函数与一次函数问题

1.如图，一次函数y=x+b的图象与反比例函数y=：的图象相交于/(—4,m)和8(&4)两点.

(1)求一次函数y=x+匕的表达式:

(2)根据函数图象，请直接写出不等式x+的解集.

【答案】(l)y="+3

(2)-4<x<0或%>1

【洋解】(1)解：必(一4,加)和8m,4)两点在反比例函数y=£的图象上，

•••m=—-4,n4=-,

•••m=—1,n=1,

点W(—4,-1),点

,••一次函数y=x+b的图象与反比例函数y=£的图象相交于八、8两点，

二将点4(-4,一1)代入y=x+b中，

得：-1=-4+b,

:.b=3,

则一次函数的表达式为：y=x+3；

(2)解：根据函数图象，不等式士的解集为：一4〈%〈0或%>1.

X

2.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=：(kHO)与一次函数y=。％+2(0装0)的图象交于4B

两点，点4,4的横坐标分别为2,-6,直线力8交)，轴于点C

(2)过点A作力。±X轴于点D,连接CO,求48CO的面积.

【答案】(1)攵=6,Q=g

(2)9

【详解】(1)解：把点A和点B的横坐标代入y=：(AH0),y=ax+2,

-=2a+2

得1/

—=-6a+2

7c=6

解得Q-

2

即A=6,a=-.

2

(2)解：当％=2时，y=1=3,即AO=3.

:SBCD=SMBD-S^ACD=^X3X(2+6)-1X3X2=9.

3.如图，在平面直角坐标系中，一次函数、=kx+b与反比例函数y=-7的图像交于4(—l,m)、B(n,—3)两

点，一次函数丫=kx+b的图像与y轴交于点C.

⑵分别联结。力、。氏点P是x轴上一点，且^BOP的面积等于△408面积的2倍，求点P的坐标.

【答案】(l)y=-3%+3

⑵P(6,0)或(-6,0)

【详解】(1)解：•••反比例函数y=-:的图象经过点力(一l,m)、85,-3),

・•・根=-三=6,-3T.

解得m=6,n=2.

•••力(-1,6),B(2,-3),

由4(一1,6)、8(2,—3)两点在一次函数y=kx+b的图像上,

徂f-k+b=6

+Z?=-3'

解得仁

•••一次函数的解析式为y=-3x+3.

(2)解：如图，

由)，=-3工+3,令x=U,得y=3,贝北(U,3),

11g

・•,SAAOB=S4Aoe+S^BOC=]X3xl+3X3x2=3・

设P(m,0),可得2••3=2x2.解得m=±6.

22

•••P(6,0)或(-6,0).

4.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=%+b与反比例函数y=：的图象交于A,8两点，其中点人、

点B的横坐标分别是-4和3.

(1)当％+匕>£时，自变量x的取值范围为；

⑵求出一次函数和反比例函数的表达式；

⑶珞直线？18向上平移后，与反比例函数图象交于CO两点，与两坐标轴分别相交于E尸两点.若S-8C=14,

求直线C。的函数表达式.

【答案】(1)一4<%<0或％：>3

(2)一次函数的表达式为：y=x+l,反比例函数的表达式为y=?

(3)直线CD的表达式为y=x+5

【详解】(1)解：•••一次函数y=x+b与反比例函数y=:的图象交于A,B两点,且点A、点B的横坐标分

别是一4和3.

由图象可得：当％+b>-时，自变量x的取值范围为一4Vx<0或x>3；

（2）解：•••点4、点8的横坐标分别是一4和3,

二点/(-4,-：)、8(3,?),

将点A（-4,-勺、B（3,§代入一次函数y=%+b得:

—44-b=--「

J,解得：fk=12

3+b=-1b=1

3

••.一次函数的表达式为：y=x+l,反比例函数的表达式为y=f；

（3）解：•••直线||CD,

S“8C=ABE=1%

设直线力8与,，轴交于点G,

令%=0,则y=1,

又：SMBE=S^AGE+S&BGE，

-必)=14，

即gGEx[3-(-4)]-14,

解得GE=4,

•­OE=4+1=5,

••.£1[0,5)

把E(0,5)代入y=%+b,得b=5,

•••直线CD的表达式为y=x+5.

题型三反比例函数与几何综合

1.如图，在平面直角坐标系中，0为坐标原点，RtaOBA的直角边0B在X轴上，40、/W分别与反比例函数

旷=；(4>0,%>0)的图象相交于点。、D,过点C作CE1%轴，垂足为E,E为0B的中点,连接若△BOE

的面积为今则k的值为.

【答案】2V5

【详解】解:设0(。，勺，

由题意得NCE。=乙480=90°,

•••E为。B的中点，

•••OB=2a,BE=a,

・"(2/，

cIcccrv1kkVs

S^BDE=RExBD=-ax—=-=—,

•••k=2V5.

2.小军用四根硬纸条和钉子制作了一个矩形，按如图方式摆放在平面直角坐标系中，矩形的边。4落在％轴

上，边0C落在y轴上，点C的坐标为(0,4).若将矩形向右平移1个单位长度，则点C恰好落在反比例函数y=

⑴求反比例函数的表达式；

(2)若固定矩形边。4向右“推”矩形，得到如图所示平行四边形OAB'C',当2048=30。时，边B'C'交反比

例函数图象于点0,求。点坐标.

【答案】(l)y=：

⑵D(2,2)

【详解】(1)解：由题意得，点C平移后落在反比例函数图象上的坐标为(1,4),

•••4=亨，k=4.

4

・•・V=-.

x

(2)解：过点跟作夕E_L。/!于点E,如图所示，

/.AB=0C=4.

：.AB'=48=4,

在Rtzk/IB'E中，乙。48'=30。，

B'E=-AB'=-x4=2.

22

•••y=2,代入y=士得x=2.

DX

D(2,2).

3.如图，矩形04?。的顶点。与坐标原点重合，点8的坐标为(4,2),点4c分别在坐标轴上，反比例函数y二£

的图象与力庆8C分别交于点0,E,且4D:BD=3:5.

(1)求反比例函数的解析式.

(2)连接DE,将ZBDE沿DE翻折，点8的对应点F落在“轴上，求点尸的坐标.

【答案】(l)y=：

⑵(30)

【详解】(1)解：•••B(4,2),四边形。力BC是矩形，

•••AB=4»OA=2,

vAD-.BD=3:5,AD+BD=AB=4,

•••AD=4x

3+52

.•.呜2).

0在y=5上，

/c=-x2=3,

2

3

y=-X.

(2)解：在BC上,横坐标为4,E在y=：上，

y=rE(4,：).

•­•fiF=2--=-,BD=4-^=；.

4422

由折叠得：DF=BD=3,EF=BE=：.

24

设F(t,0)，

•••C(4,0),

•••FC=4-t.

在RtAEFC中，EF2=FC2+EC2,

.*.4—t=±1,

•••F在C左侧，4-00,

***4—t=1,

•••t=3,

•••F(3,0).

4.如图，在平面直角坐标系中，矩形04BC的顶点4C分别在x轴的正半轴、y轴的正半轴上，顶点8的坐

标为(4,3),对角线4C,。8交于点0,反比例函数y=：(x>0)的图象经过8C的中点P.

⑵珞反比例函数y=>0)的图象向下平移n(〃>0)个单位长度后，恰好经过点D,且平移后的图象与线

段交于点求CE的长.

【答案】(l)y=：Q>0)

(2)CE=：

【详解】⑴解：•••四边形O48C是矩形，

•••BCII,轴,

••・矶4,3),P为BC的中点，

二P(2,3),

将P(2,3)代入y=§,得3=也

解得k=6,

・••反比例函数的表达式为y=^(x>0)；

(2)解：•••/)是矩形04BC对角线OB,AC的交点，B(4,3),

•••点。的坐标为(2,|),

又P(2,3),

二点P,D是平移前后的一组对应点，

如图，设点E是由反比例函数〉=：(%>0)的图象上的点口平移得到的，连接EET

乂〉'E=3,

•••=3+-3=9

22

将y=g代入y=：，得3

4

JX=39

4

•*,CE=1.

3

C拓展培优题.

I.如图，已知直线丫=/d+8与函数、=三。＞0）的图象交于第一象限内点4,与％轴负半轴交于点以过

点A作AC1%轴于点C,点。为48中点，线段C。交y轴于点E,连接BE.若△8EC的面积为6,则m的值

【答案】D

【详解】解:连接4E,如图,

，:AC1x轴，y轴1x轴,

'-AC||y轴,

.•.点E到4的距离等于0。的长,

•.•点。为48中点，

••.CD、ED分别是△力8C、△A8E的边力B上的中线，

'S&ADC=

:，ShADC~S/UDE=SABDC-S^BDE即SMEC=SaBEC，

■:S^BEC=6，

••,S^AEC=6,

''^tAEC=54C•0C,

.^AC0C=6,即4c-0C=12,

设点力的坐标为(%,y),则4C=y,0C=%,

•••点力在反比例函数y=r的图象上，

•-m=xy=AC-0C=12.

2.如图，一次函数丫=。%（。。0）与反比例函数丫=：（4不0,%>0）的图象交于点4（2,4）,过点A作x轴的

平行线/,将直线y=QX向上平移b（b>0）个单位长度后、分别与x轴，反比例函数，直线/交于点B,C,

D.当C0Z80时，6的取值范围为（）

A.0<d<6B.b>6C.0<b<4D.b>4

【答案】B

【详解】将点4(2,4)分别代入一次函数y=ax(aH0)与反比例函数y=：(k*0,x>0)中，

得4=2Q,4=p解得a=2,k=8,

・••一次函数的解析式为y=2x,反比例函数的解析式为y=?

二将直线y=2x向上平移b个单位长度后得到的新直线的解析式为y=2x+b.

•MD||x轴，4(2,4),

点。的纵坐标为4,易得点。的坐标为(芋,4),点8的坐标为(一表0),

当D为8c的中点时，点C的坐标为(4一/8),

•••点C在反比例函数y=3的图象上，

.-.(4-0x8=8,解得b=6,

结合函数图象可得，当CDN8D时，〃的取值范围为bN6.

3.如图，已知点G在矩形。力BC的对角线。8上，GDLAB,垂足为D,GE1FC,垂足为E,点,D和点E都在

反比例函数y=：(x>0)的图象上，连接。。，若四边形OGEC与ADG。的面积之差为百，贝此=—.

【详解】解:设原点。(0,0),矩形。4BC中8(a,b),

对角线。8的解析式为y-5右

设G点坐标为(m,誓)，

•••GDLAB.GE1BC,

二。点坐标为(m,b),E点坐标为(a,等)，

••・0、E都在y=:上，

二代入得k=m-b=a---,即bm=k,

a

•.•四边形0GEC是直角梯形，

二用坐标法求得面积：S°GEC=bm-字，

乙(4

△DG。的面积：S&DGO=Z—

/LC<-

根据题意，面枳差为百；SOGEC—SADGO=(bm—空~)—(Jbrn-空■)=萼=6，

代入bm=k,得?=V5,即k=2/.

4.如图，在平面直角坐标系中，点。是坐标原点，一