专项05-垂线（练习）

垂线-专题训练

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.（德惠市期末）如图，OA_LOB,若Nl=55°16',则N2的度数是（）

A.35°44'B.34°84'C.34°74'D.34°44'

2.（陕西）如图，ACLBC,直线经过点C,若Nl=35°,则/2的大小为（）

C.45°D.35°

3.（丛台区校级月考）如果直线ON_L直线小直线O例，直线〃，那么OM与ON重合（即。,M,N三

点共线），其理由是（）

A.两点确定一条直线

B.在同一平面内，过两点有且只有一条直线与己知直线垂直

C.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

D.两点之间，线段最短

4.（孝义市期末）下列各图中，过直线/外的点尸画直线/的垂线，三角尺操作正确的是（)

5.（江汉区月考）如图，4O_LAC交4C的延长线于点。，AEJ_8C交8c的延长线于点£,CF_LA3于点

F,则图中能表示点A到直线BC的距离的是（）

A.4。的长度B.AE的长度C.AC的长度D.CT的长度

6.（河西区期中）如图所示，在△ABC中，AE_L8。，点A到直线3。的距离指（）

A.线段48的长B.线段A。的长C.线段E。的长D.线段AE的长

7.（长安区校级月考）下列说法：

①两点之间的所有连线中，线段最短；

②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；

③连接直线外一点与直线上各点的班有线段中，垂线段最短；

④直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离，其中正确的个数有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

8.（长春期末）如图，ACL3cAe=4,点。是线段8C上的动点，则A、。两点之间的距离不可能是（)

A.3.5B.4.5C.5D.5.5

9.（乐山）如图，E是直线C4上一点，NFEA=40°,射线E8平分NCEEGE1EF.则/GEB=（）

A.10°B.20°C.30°D.40°

10.（仁寿县期末）如图，。为直线A8上一点，OCIOD,OE平分N4OC,OG平分N8OC,。尸平分N

8。。，下列结论：①NOOG+/8OE=180°；（2）ZAOE-ZDOF=45°:③NEOO+NCOG=180°：

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上

11.（西华县期中）若线段AM,AN分别是△ABC的高线和中线，则线段AM,AN的大小关系是

（用“W”，“2”或“二"填空）.

12.（鱼台县期末）如图，村庄4到公路的最短距离是A。的长，其根据是.

衬庄y

CDB

13.（绿园区期末）如图，-Afil/i,AC111,已知A8=4,BC=3,AC=5,则点A到直线1\的距离是

c

14.（东城区校级期末）如图，ZC=90°,线段A8=15cm,线段4。=12。小线段AC=9c〃i,则点A到

BC的距离为，

15.（岳阳期末）如图，在三角形A8C中，ZABC=90°,BDLAC,垂足为点。，A8=5,BC=12,AC

=13,下列结论正确的是.（写出所有正确结论的序号）

①NAQB=90。；

②NA=/OBC；

③点C到直线BD的距离为线段CB的长度;

④点3到直线AC的距离为目

16.（顺庆区校级月考）如图所示，N84C=90°,ADA.BC,则下列结论中，正确的为（填序号）.

①点A到BC的距离是线段AD的长度;

②线段AB的长度是点B到AC的距离;

③点C到人8的垂线段是线段AB.

17（绿园区期末）如图,直线AB.CD相交于点。,OEA.AB于点0,且NCOE=48°,则NA。。为

B

---------D

A

18.（南岗区校级期中）已知，/AOB和N80C互为邻补角，且NBOCNAOB=4：1,射线。。平分N

AOB,射线OEJ_OO,则N80E=.

三、解答题（本大题共6小题，共46分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19.（赣州期末）如图所示，码头、火车站分别位于A,B两点，直线〃和人分别表示铁路与河流.

（I）从火车站到码头怎样走最近，画图并说明理由；

（2）从码头到铁路怎样走最近，画图并说明理由；

（3）从火车站到河流怎样走最近，画图并说明理由.

b_________________

20.（孟村县期中）如图，AB.CD、NE1相交于点O,OM平分NBO。,NMON=90°,NAOC=50°

（1）线段的长度表示点M到NE的距离；

（2）比较MN与的大小（用“V”号连接）：,并说明理由：：

（3）求NAON的度数.

21.（长春期末）如图，直线4B与直线MN相交，交点为。，OCLAB,04平分NMOQ,若NBON=20。，

求NCO。的度数.

22.（海曙区期末）如图，直线AB,CO相交于点。，0D平分/BOE,0/平分N40E.

（1）证明：0DiOF.

（2）若/BO。一28°,找出/6OD的补角，并求出“6O尸的度数.

Et

23.（姜堰区期末）如图，直线4B、CO相交于点O,0M上AB,Z1=Z2.

（1）求NNOQ的度数：

（2）若NAOO=3N1,求N/tOC和NM0。的度数.

24.（市中区期末）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点。按如图方式叠放在一起.

（1）如图（1）,若NBOO=35°,则NAOC=；若NAOC=135°,则/80。=；（直

接写出结论即可）

（2）如图（2）,若NAOC=140°,则；（直接写出结论即可）

（3）猜想NAOC与N80。的大小关系，并结合图（1）说明理由；

（4）三角尺408不动，将三角尺C。。的0。边与0A边重合，然后绕点。按顺时针或逆时针方向任

意转动一个角度，当锐角NA。。等于多少度时，这两块三角尺各有一条边互相垂直，直接写出NA。。

角度所有可能的值，不用说明理由.

AD4

图1图2

垂线-专题训练（解析版）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.（德惠市期末）如图，OA_LOB,若Nl=55°16',则N2的度数是（）

A.35°44'B.34°84'C.34°74'D.34°44

【分析】直接利用垂线的定义结合度分秒转化得出答案.

【解析】•••Q4_LOB,

••・NAO8=90°,

VZ1=55°16,，

.\Z2=90°-55°16'=34°44,.

故选：D.

2.（陕西）如图，ACLI3C,直线EF经过点C,若Nl=35°,则N2的大小为（）

C.45°D.35°

【分析】由垂线的性质可得/AC8=90°,由平角的性质可求解.

【解析】

/.ZACB=9（V,

VZl+ZACB+Z2=180°,

/.Z2=180a-90°-35°=55°,

故选：B.

3.（丛台区校级月考）如果直线。N_L直线5直线。M_L直线a,那么OM与ON重合（即。，M,N三

点共线），其理由是（〉

A.两点确定一条直线

B.在同一平面内，过两点有且只有一条直线与已知直线垂直

C.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

D.两点之间，线段最短

【分析】利用垂线的性质解答.

【解析】如果直线ON_L直线小直线OM_L直线小那么0M与ON重合（即0,M,N三点共线）,

其理由是在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，

故选：C.

4.（孝义市期末）下列各图中，过直线/外的点P画直线/的垂线，三角尺操作正确的是（）

【分析】根据垂线的作法，用直角三角板的一条直角边与/重合，另一条直角边过点P后沿直角边画直

线即可.

【解析】用百角三角板的一条百角i力与/重合，另一条直角动过点〜后沿直角动画育线，

••・C选项的画法正确，

故选：C.

5.（江汉区月考）如图，AQ_LAC交8c的延长线于点。，AE_L8c交8c的延长线于点£C〃_LA8于点

F,则图中能表示点A到直线8c的距离的是（)

，B

A.A。的长度B.4E的长度C.AC的长度D.C/的长度

【分析】利用点到直线的距离定义进行解答即可.

【解析】图中能表示点A到直线BC的距离的是AE的长度,

故选：B.

6.（河西区期中）如图所示，在△ABC中，AE_L8。，点A到直线3。的距离指（）

A.线段AB的长B.线段4。的长C.线段E。的长D.线段AE的长

【分析】利用点到直线的距离解答即可.

【解析】点八到直线8。的距离指线段AE的长，

故选：D.

7.（长安区校级月考）下列说法：

①两点之间的所有连线中，线段最短；

②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；

③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；

④直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离，其中正确的个数有（）

A.4个B.3个C.2个D.I个

【分析】根据线段、点到直线的距离，垂线的概念或性质逐项分析即可.

【解析】①两点之间的所有连线中，线段最短，说法止确；

②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，说法正确；

③连接直线外•点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，说法正确；

④直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，说法错误.

故选：B.

8.（长春期末）如图，AULBC,4C=4,点。是线段BC上的动点，则A、。两点之间的距离不可能是（）

A.3.5B.4.5C.5D.5.5

【分析】利用垂线段最短得到AO2AC，然后对各选项进行判断.

【解析】V4C1BCAC=4,

•••AO2AC,即AO24.

观察选项，只有选项4符合题意.

故选：A.

9.（乐山）如图，E是直线C4上一点，/广£4=40°,射线仍平分NCE凡GELEF.则NGEB=（）

A.10°B.20°C.30°D.40°

【分析】根据平角的定义得到/CEr=180°-ZFEA=I8O0-40°=140°,由角平分线的定义可得

LCEB=jzCFF=1x140°=70°,由GE_LEF可得NGEF=90°,可得NCEG=180°-ZAEF-Z

G£F=180°-40°-90°=50°,由NGE8=/CEB・NCEG可得结果.

【解析】•・・NFE4=40",GELEF,

/.ZCEF=180°-ZFEA=180°-40°=140°,NCEG=1800-ZAEF-ZGEF=180°-40°-90°

=50°，

•・•射线EB平分NCEF,

11

：.LCEB="CEF=IX140°=70°,

:.NGEB=/CEB-NCEG=70°-50°=20°,

故选:B.

10.（仁寿县期末）如图，O为直线A8上一点，OC_LO。，OE平分NAOC,OG平分N8OC,Ob平分/

8。。，下列结论：①/OOG+N8OE=180°；（2）ZAOE-ZDOF=45a:③NEOO+/COG=180°；

④NAOE+N。。/=90°.其中正确的个数有（）

c

G

A

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】根据角平分线的定义可设乙40E=NC0E=a,NB0G=NC0G=6,利用平角等于180°得出

a+p=90°,ZEOG=90°.根据同角的余角相等得出NOOG=NCOE=90°-NCOG=a,则NBOO

=ZDOG-ZBOG=a-p.ZBOF=ZDOF=^(a-p).然后根据互余、互补的定义分别判断即可.

【解析】•「OE平分NAOC,OG平分NBOC,

・•・可设NAOE=/COE=a,NBOG=NCOG=0,

:。为直线AB上一点，

••・乙4。8=180°,

.\2a+2p=180°,

.*.a+p=90°,NEOG=90°.

VZDOC=90°,

，NOOG=NC。七=90°-NCOG=a,

ZBOD=/DOG-ZBOG=a-0.

OF平分4BOD,

ZBOF=ZDOF=1(a-01.

①・・・NOOG=a=NAOE,/AOE+N8OE=180°,

•••NOOG+/8OE=180°,

故本选项结论正确；

@VZAOE=a,ZDOF=^(a-p),

AZAOE-ZDOF=a-^(a-P)=1(a+p)=45°,

故本选项结论正确；

③・・・/EOO=NEOG+NGOO=9(r+a,NCOG=0,

・・・NEOO+NCOG=9(T+a+p=180°,

故本选项结论正确；

(4)VZ4OE+ZDOF=a+i(a-p)=(90°-a)=2a-45°，

乙乙乙乙乙

・••当a=67.5°时,NAOE」N£)O>=90°，

但是题目没有a=67.5°的条件，

故本选项结论错误.

综上所述，正确的有：①②③共3个.

故选：C.

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上

II.（西华县期中）若线段AM,AN分别是△ABC的高线和中线，则线段AM,AN的大小关系是AMW

AN（用“W”，“2”或“="填空）.

【分析】利用垂线段最短进行解答即可.

【解析】•・•线段AM，AN分别是aAAC的高线和中线，

故答案为：

12.（鱼台县期末）如图，村庄A到公路BC的最短距离是AO的长，其根据是垂线段最短.

衬庄y

cDB

【分析】利用垂线段的性质解答即可.

【解析】村庄人到公路"C的最短距离是AD的长，其根据是垂线段最短，

故答案为：垂线段最短.

13.（绿园区期末）如图，A8_L/i,AC_L/2,已知人8=4,BC=3,4C=5,则点A到直线八的距离是4.

【分析】由A8_L/i,即可得出答案.

【解析】

则点4到直线/1的距离是AB的长=4；

故答案为：4.

14.（东城区校级期末）如图，ZC=90°,线段AB=15cm,线段AO=12c/〃，线段4c=9CM,则点A到

BC的距离为9cm.

【分析】根据点到直线的距离的定义，可得答案.

【解析】因为NC=90°,

所以ACLAC,

所以A到的距离是AC,

因为线段AC=9c〃?，

所以点A到3C的距离为她儿

故答案为：9.

15.（岳阳期末）如图，在三角形A8c中，/4BC=90°,BDLAC,垂足为点D,AB=5,BC=\2,AC

=13,下列结论正确的是①②⑷.（写出所有正确结论的序号）

①/4。8=90°；

②NA=NQBC；

③点C到直线BD的距离为线段CB的长度；

④点B到直线AC的距离为”.

【分析】①根据垂直的定义即可求解；

②根据余角的性质即可求解；

③根据点到直线的距离的定义即可求解；

④根据三角形面积公式即可求解.

【解析】①・・・BDJ_AC,

：,ZADB=90°,故①正确：

②・.,乙48。+乙4=90°,NABD+NO8C=90。，

AZA=ZDBC,故②正确；

③点C到直线8。的距离为线段CO的长度，故③错误;

④点B到直线AC的距离为:X5X12X24-13=詈故④正确.

故答案为：①②④.

16.（顺庆区校级月考）如图所示，NBAC=90°,ADA.BC,则下列结论中，正确的为①②（填序

号）.

①点4到BC的距离是线段AD的长度；

②线段AB的长度是点B到AC的距离；

③点C到AB的垂线段是线段AB.

【分析】利用点到直线的距离定义可得正确答案.

【解析】VAD15C,

・••点A到BC的距离是线段的长度，①正确；

VZB/1C=9O°，

：.ABA.AC,

・•・线段A3的长度是点3到AC的距离，②正确

・・・C到A8的垂线段是线段AC,③不正确.

其中正确的为①②，

故答案是：①②.

17.（绿园区期末）如图，直线AB、C。相交于点O,OEJ_AB于点0,且NCOE=48°，则NAOD为138°

【分析】利用垂线定义可得N8OE=90°,然后可得NC08的度数，再利用对顶角相等可得答案.

【解析】VOEVAB,

••・NBOE=90°,

VZCOE=48°，

/.ZC6>Z?=90°148°=138°,

・・・NAOQ=138°,

故答案为：138°.

18.（南岗区校级期中）已知，和N80C互为邻补角，且NBOC：NAOB=4：1,射线0。平分N

AOB,射线OEJ_O。，则NBB/=72°或108°.

【分析】根据平角的意义、角平分线的意义，邻补角，垂直的意义，分别计算各个角的大小即可.

【解析】・・・乙408和NBOC互为邻补角，

AZAOB+ZBOC=\^0o,

又,：NBOC：ZAOB=4：1,

41

，NBOC=180。x^=144°,NAOB=180。x^=36°，

•••射线。。平分/AOB,

1

AZAOD=ZBOD=^ZAOR=\S°，

yOEIOD,

，NOOE=90°,

如图1,NBOE=NDOE-NBOO=9（）°-18°=72°,

如图2,NB（）E=NDOE+NBOD=90°+18°=108°,

图1

三、解答题（本大题共6小题，共46分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19.（赣州期末）如图所示，码头、火车站分别位于A,8两点，直线〃和b分别表示铁路与河流.

（1）从火车站到码头怎样走最近，画图并说明理由；

（2）从码头到铁路怎样走最近，画图并说明理由；

（3）从火车站到河流怎样走最近，画图并说明理由.

b______幺____

a-R

【分析】（I）从火车站到码头的距离是点到点的距离，即两点间的距离.依据两点之间线段最短解答.

（2）从码头到铁路的距离是点到直线的距离.依据垂线段最短解答.

（3）从火车站到河流的距离是点到直线的距离.依据垂线段最短解答.

【解析】如图所示

（1）沿AB走，两点之间线段最短；

（2）沿AC走，垂线段最短；

（3）沿3。走，垂线段最短.

20.（孟村县期中）如图，AB.CD、NE相交于点O,OM平分NBO。,NMON=90°,NAOC=50°

（1）线段MO的长度表示点M到NE的距离；

（2）比较MN与的大小（用“V”号连接）：MOVMN,并说明理由：乖线段最短；

（3）求NAON的度数.

【分析】（1）根据点到直线的距离解答即可；

（2）根据垂线段最短解答即可；

（3）根据垂直的定义和角之间的关系解答即可.

【解析】（1）线段MO的长度表示点"到NE的距离；

（2）比较MN与MO的大小为：例0VMM是因为垂线段最短；

（3）*：ZBOD=ZAOC=50°,OM平分N3。。，

:・/BOM=25°,

・・・NAON=180°・/MON=180°-25°-90°=65°.

故答案为：MO；MOVMN；垂线段最短.

21.（长春期末）如图，直线A8与直线MN相交，交点为。，OCLAB,0A平分NM。。，若/BON=20°,

求NCOD的度数.

D

【分析】利用对顶角相等可得NAOM的度数，再利用角平分线的定义和垂线定义进行计算即可.

【解析】•：NBON=20°,

，N4OM=20°,

t：OA平分NMOO,

AZAOD=ZMOA=2()°,

\*OC±AB,

AZAOC=90°,

，NCOD=90°-20°=70°.

22.(海曙区期末)如图，直线AB,CO相交于点O,OD平分/BOE,。”平分NAOE.

(I)证明：OD上OF.

(2)若NBOD=28°,找出NBO。的补角，并求出NBO/的度数.

【分析】(1)根据角平分线的定义和垂直的定义解答即可；

(2)根据互补的定义和结合图形找到相关角间的和差关系进行解答即可.

【解析】证明：(I)TOD平分NBOE,O/平分NAOE,

JZEOF=^ZAOE,ZEOD=^ZEOB,

VZAOE+ZEOB=\^r,

AZFOD=ZEOF+ZEOD=^°,

：.ODVOFx

(2)・・・/80。=28°,

・・・NAOO=1800-NBOO=180°-28°=152°,

•・•OD平分/BOE,

ZEOD=NBOD,

AZCOE=1800-ZEOD=180°-28°=152°,

JZBOD的补角是NCOE和NA。。，

VZFOD=90°,

・・・/80尸=/。。尸+/8。。=900+28°=118°.

23.（姜堰区期末）如图，直线48、CO相交于点O,OM1AB,Z1=Z2.

（1）求NNO。的度数；

（2）若NAOD=3N1,求N4OC和NMO。的度数.

【分析】（1）利用垂直的定义得出N2+NAOC=90°,进而得出答案;

（2）根据题意得出/I的度数，即可得出4OC和的度数.

【解析】证明：（I）,：OM1AB,

:・NAOM=NBOM=90°,

/.Z14-ZA6）C-90O,

VZ1=Z2,

・・・N2+NAOC=90°,

即NCON=90°,

••・NNOO=180°-NCON=180°-90°=90°；

（2）VZAOD=3Z1,

・・・NNOQ=2N1=90°,

解得：Zl=45°,

AZAOC=ZAOM-Z