甘肃省兰州市2025-2026学年上学期八年级期中数学考试卷（解析版）

甘肃省兰州市2025-2026学年上学期八年级期中数学考试卷

一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共33分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的）

1.下列能准确表示榆中县某个地点位置的是（）

A.北纬35。51'B.东经104。09'

C.兰州东北方D.东经104。09',北纬35。51'

【答案】D

【解析】【解答】解：A：仅提供北纬35。5「，缺少经度信息，无法唯一确定位置，故A不符合题意；

B：仅提供东经104。09，，缺少纬度信息，无法唯一确定位置，故B不符合题意；

C：描述为“兰州东北方”，属于相对方向，未提供具体坐标，无法精确定位，故C不符合题意；

D：同时提供东经104。09,和北纬35。5「，符合经纬度坐标的完整要求，故D符合题意。

故选：D

【分析】确定地理位置需要经度和纬度两个参数，单独的经度或纬度只能确定一条线，而方向描述不够精

确。选项D提供了完整的经纬度坐标，因此能准确表示位置。

2.下列各组数据为勾股数的是（）

A.V3,V4,V5B.1,V2,V3C.5,12,13D.2,3,4

【答案】C

【解析】【解答】A、（再）2+（）2羊（遍）2,不能构成直角三角形，故不符合题意；

12+（V2）2=（V3）2,能构成直角三角形，但不是整数，故不符合题意；

C、12452=132,能构成直角三角形,故符合题意；

。、22+3V42,不能构成直角三角形，故不符合题意.

故答案为：C.

【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的

平方.

3.下列四个函数中属于一次函数的是（）

A.y=（%#：0）B.y=i+xC.y=x2+1D.y=1

X乙

【答案】B

【解析】【解答】A、y=gx#））的分母含x,属于分式函数，不符合一次函数的定义，故选项A错误；

得+x可表示为尸+④，符合y=kx+b的形式（k=l/0）,因此是一次函数，选项B正确；

C、y=x2+l中x的次数为2,属于一次函数，不符合一次函数的定义.故选项C错误：

D、y=l为常数函数，可视为y=0x+l（k=0）,不满足一次函数修0的条件，因此选项D错误,

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故选：B

【分析】根据一次函数的定义，即形如y=kx+b（其中k、b为常数且导0）,逐一分析选项足否符合条件。

4.下列与275是同类二次根式的是（）

A.2^|B.3近C.V24D.V75

【答案】D

【解析】【解答】解：A.2J1=孚与26不是同类二次根式；

B.3应与2A不是同类二次根式；

C.岳=2乃与26不是同类二次根式；

D.5b与2次是同类二次根式.

故选：D.

【分析】

根据同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二

次根式。先将各选项化为最简二次杈式，再与2遮比较被开方数是否相同即可。

5.下列计算正确的是（）

A.（75）2=2B.72）3=2C.（V^2）3=-2D.J（-5）2=-5

【答案】C

【解析】【解答】解：A、计算（梃尸：因为"二2（算术平方根），因此（45）2=22=4,但选项A结果为2,故选

项A错误；

B、计算及R：因为（-2）3=8,因此正可=2,但选项A结果为2,故选项B错误；

C、计算正不：因为（-2）3=8,因此正可=-2,选项C结果为-2,故选项C正确；

D、计算（-5F：因为（-5）2=25,V25=5（算术平方根）,但选项D结果为-5,选项D错误。

故选：C

【分析】根据二次根式的性质（而=|a|）和立方根的性质（/=Q）,分别对选项中的式子进行计算即可

判断。

6.如图，在古诗《春夜洛城闻笛》中，建立平面直角坐标系，使"折'’字用表示，“暗''字用62,1；

表示，则（一1,一2）表示的字是（）

春夜洛城闻笛

李白

谁家玉笛暗飞声

散入春风满洛城

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此夜曲中闻折柳

何人不起故园情

A.人B.入C.不D.中

【答案】A

【解析】【解答】解：已知"折''字对应坐标(3,-1),“暗”字对应坐标(2,1),结合古诗文字排列布局，以此

为基础确定平面直角坐标系的原点、x轴与y轴的方向及单位长度，在建立好的平面直角坐标系中，查找横

坐标为-1、纵坐标为-2的位置，该位置对应的字为“人”，因此选择选项A。

故选：A

【分析】根据已知"折''和"暗''的坐标结合古诗文字排列布局，建立平面直角坐标系，进而找到坐标(-1,-2)

所对应的字。

7.估计J用的值在哪两个整数之间()

A.6和7B.7和8C.8和9D.9和10

【答案】C

【解析】【解答】解：・・・82=64,92=81,

?.64<76<81o

.,.V64<V76<V81»

即8<V76<9,

・・・依的值在8和9之间。

故选：Co

【分析】首先寻找两个相邻的整数，使得它们的平方分别小于和大于76,根据平方根的单调性(若a<b<c,

则府<方<〃)进行化简即可得出答案。

8.如图，在数轴上，点48对应的实数分别为1,3,8C1A8,BC=1,以力为圆心，AC为半径画弧，交

数轴正半轴于点P,则点P对应的实数为()

A.V5B.V5+1C.9D.V104-1

【答案】A

【解析】【解答】解：•・•点A,B对应的实数分别为1,3,

/.AB=3-1=2,

VBC1AB,

・•・△ABC是直角三角形，

AAC=V?1B24-BC2

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=V22+I2

=V5

/.AP=AC=V5,

乂丁点A对应的实数为1,点P在数轴正半轴上，

・••点P对应的实数为1+V5o

故选：A

【分析】先利用勾股定理求出直角三角形斜边AC的长度，再结合“圆的半径相等“得到AP二AC,最后依据数

轴上点的位置关系确定点P对应的实数。

9.《九章算术》是我国传统数学中重要的著作之一，奠定了我国传统数学的基本框架，其中方程术是《九章

算术》最高的数学成就.《九章算术》记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈.问户高、广各儿

何？“天意：有一扇形状是长方形的门，它的高比宽多6尺8寸，它的对角线长1丈，问它的高与宽各是多

少（1丈=10尺，1尺=10寸）?设长方形门宽为x尺，则所列方程为（）.

A.%2+（%+6.8旌=1。2B.必+J_6.8）2=102

C.（x+6.8）2-%2=102D.x2+6.82=102

【答案】A

【解析】【解答】解：设矩形门宽为x尺，

可列方程为：+（%+6.8）2=1（）2.

故答案为：A.

【分析】设门宽为X尺，先用X表示出门的高度，再利用勾股定理及门的对角线长1丈，可列出关于X的方

程.

10.如图，在中，ZC=90°,AC=4,BC=6.点E、/分别是边AC、AB上的点，连结EF,将4

4EP沿E尸翻折，使得点A的对称点落在边8c的中点。处，则DE的长为（）

CDB

A.券B.券C.3D.2

【答案】A

【解析】【解答】解：由翻折的性质可知，点A与点D关于直线EF对称，

.\DE=AE,

•・•点D是边BC的中点，且BC=6,

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ACD=lBC=lx6=3,

乙乙

设DE=AE=a,则CE=AC-AE=4-ao

在RtACDE中，

CE2+CD2=DE2

（4-a）2+32=a2

16-8a+a2+9=a2

-8a=-25

a-25

a」互

即：DE的长为：爷

故选：A

【分析】根据翻折的性质（对应边相等），可得DE=AE,根据D是BC中点求出CD长度，再在RtZkCDE中

通过勾股定理建立方程求解DE的长。

11.如图，等腰斜边40=4,分别以的边40、4C、为直径画半圆，所得两个月形图案AGCE

和DHCF的面积之和是（）

AD

A.4B.4TTC.27rD.专

【答案】A

【解析】【解答】解：•・•以等腰RtAACD的边AD、AC、CD为直径画半圆，

=

**«SffflACD^7T-(）2，S半p]AEC=J兀.(iAC)2,StPJCFD=i7l-(1CD)2,

•・・△ACD是直角三角形，

.\AC2+CD2=AD2,

S半HACD=S半WAEC+S半HICFD,

・•・两个月型图案AGCE和DHCF的面积之和二口△ACD的面积马x2x4=4,

一

故选：A.

【分析】先根据半圆的面积公式确定出半圆ACD、半圆AEC、半圆CFD的面积，然后由勾股定理可得

222

AC+CD=AD,从而得出Sf.MACD=SmAEc+S半掰CFD,进而得出两个月型图案AGCE和DHCF的面积之和等

于RIAACD的面积，最后根据三角形的面积公式求解即可。

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二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）

12.若V7T1在实数范围内有意义，则X的取值范围是.

【答案】x>-l

【解析】【解答】解：依题意得x+lX）,

解得x>-l

故答案为：x>-l

【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数，列出不等式，即可求解.

13.在—1.732,VI，TV,3.14,24V3,0.1010010001?这些数中，无理数有个.

O

【答案】4

【解析】【解答】解：-1.732：有限小数，属于有理数；V2：无法表示为分数，是无理数；兀：无限不循环小

数，是无理数；3.14：有限小数，属于有理数；2：整数，属于有理数；2+V3：无法表示为分数，是无理

数；0.1010010001...：无限不循环小数（无固定循环节），是无理数；|：分数，属于有理数。

无理数有：V2>兀、2+国、0.1010010001...,共4个。

故答案为：4

【分析】根据无理数的定义（无限不循环小数或不能表示为分数形式的数）逐一分析题目中的数，统计无理

数的个数。

14.把平面直角坐标系中点？1（1,几）向上平移3个单位得到点3,若点8在x轴上，则兀=.

【答案】-3

【解析】【解答】解：•・•点A（l,n）向上平移3个单位单位得到点B,

・••点B的坐标为（1,n+3）,

由于点B在x轴上，其纵坐标为0,

即：n+3=0o

解得：n=-3

故答案为：-3

【分析】根据点的平移规律，点A向上平移3个单位（横坐标不变，纵坐标+3）后得到点B的坐标，再利

用x轴上点的纵坐标为。的特性，建立方程求解n的值。

15.第14届数学教育大会（ICME-14）会标如图1所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦

图”.如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，若4E+BE=8,

GH=2,则大正方形48co的面积为.

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D

【解析】【解答】解：由题意得AH=BE,GH=HE=2,

设4H=BE=x,则AE=x+2,

'：AE+BE=S,

.*.%4-2+x=8,

解得x=3,

：.AH=BE=3,AE=5,

:△ABE为直角三角形，

：.AB2=AE2+BE2=52+32=34,

・•・大正方形力BCD的面积为34,

故答案为:34.

【分析】

先根据AE+BE的值以及小正方形边长与AE、BE的关系，设AH=8E=X,则AE=x+2,得到x+2+

x=8,解方程求出AE和BE的长度。再利用勾股定理求出大正方形的边长的平方，由于正方形面积等于边

长的平方，进而求出正方形ABCD的面积.

三、解答题(本大题共11小题，共75分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

16.解方程：(x-1)2=9.

【答案】解：两边开方得：x-l=±3

解得：xi=4,X2=-2

【解析】【分析】方程两边同时开平方，把一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别解这方程即可求出答

案。

17.计算：V48-3V6V2+6

【答案】解：V48-3V6-V2+6^

=4V3-3V3+2V3

=3V3

【解析】【分析】首先将每个根式化简为最简形式，然后根据除法的运算法则运算，最后合并同类项即可得到

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结果。

18.已知2a+4的立方根足2,3a+b-1的算术平方根足3.

（1）求a,b的值；

（2）求Q+b的平方根.

【答案】（1）解：+4的立方根是2,

/.2a+4=23=8,

解得Q=2,

V3（z+Z?-1的算术平方根是3,

.\3a+b-l=32=9.

解得b=4.

•.a=2,b=4；

（2）解：Va=2,b=4,

.*.a+b=2+4=6.

+b的平方根为±乃.

【解析】【分析】（1）根据立方根的定义，由2a+4的立方根是2,可得方程2a+4=23,解方程求出a的值；再

根据算术平方根的定义，由3a+b-l的算术平方根是3,得方程3a+b-l=32,代入已知a的值解方程求b的

值；

（2）将求得的a和b代入a+b中，计算其值后求平方根。

19.若函数y是％的正比例函数，且满足y=（血一2）无+巾2-4（〃?为常数）.

（1）求正比例函数表达式？

（2）当函数值y=2时，求对应自变量x的值？

【答案】（1）解：・.・y是x的正比例函数，且满足y=（小一2）工+加2-4.

,m—2H0

tm2-4=0

即

1m=±2

可得m=-2,

将m=-2代入y=（m-2）x+m2-4得，y=-4x,

即正比例函数表达式为：y=-4x；

（2）解：将y=2代入函数表达式y=—4%得，x=-1.

【解析】【分析】（1）根据正比例函数的定义，令常数项为（）并确保一次项系数非零，解方程求m的值，进

而得到函数表达式；

（2）代入y=2到函数表达式中，解方程求x的值即可。

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20.如图，在平面直角坐标系中,△48。的三个顶点的坐标分别为4(-3,2),8(-1,3),以2,1).

(1)作出与关于工轴对称的(点A、B、。的对应点分别为点①、Bi、G);

(2)点①的坐标是,点Ci的坐标是：

(3)求AABC的面积.

【答案】(1)解：如图所示,△&&&即为所求.

(2)(-3,-2)：(2,-1)

1117

(3)S4ABC=)X(1+2)x5——2^2X3=2

【解析】【解答】(2)解：根据关于x轴对称的性质，点(x,y)的对称点为(x,-y),

所以点Ai的坐标为(-3,-2)；点Ci的坐标为(2,-1)。

【分析】(1)根据关于x轴对称的点的坐标特征(横坐标不变，纵坐标互为相反数)确定A、B、C的对应点

Ai、Bi、Ci,再顺次连接这些点得△AMCi；

(2)根据关于x轴对称的点的坐标变化规律(横坐标不变，纵坐标取相反数)直接得出Ai、。的坐标；

(3)利用割补法，构造包含△ABC的矩形，通过矩形面积减去周围直角三角形的面积来计算△ABC的面积。

21.一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，

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(I)这个梯子的顶端距地面有多高？

(2)如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？

【答案】(1)解：根据勾股定理：

梯子顶端距离地面的高度为：AB=V252-72=24m

(2)解：梯子下滑了4米，

即梯子顶端距离地面的高度为：24-4=20米，

根据勾股定理得：BC=V252-202=15米，

•••CC'=15—7=8m.

即梯子的底端在水平方向滑动了8米

【解析】【分析】(1)利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度.

(2)由(1)可以得出梯子的初始高度，下滑4米后，可求出梯子的顶端距离地面的高度，利用勾股定理求出

BC'的长，可以得出梯子的底端在水平方向滑动的距离.

(1)解：根据勾股定理：

梯子顶端距离地面的高度为：力8=,252—72=24m;

(2)梯子下滑了4米，

即梯子顶端距离地面的高度为：24-4=20米，

根据勾股定理得：BC'=，252-202=15米，

CC'=15-7=8m.

即梯子的底端在水平方向滑动了8米.

22.如图，在△/IBC中，AB=13,AC=12,BC=5,DE是的垂直平分线，OE分别交4C,AB于点E,

(1)求证：是直角三角形；

(2)求CE的长.

【答案】(1)证明：在△4BC中，AB=13,AC=12,BC=5,

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v1224-52=144+25=169,132=169,

122+52=132.

222

：.AC+BC=ABf

•••△4BC是直角三角形;

(2)解：如图，连接BE.

•••DE是A8的垂直平分线,

:.AE=BE.

由(1)可得△4BC是直角三角形，

即=90°.

设CE=X,则BE=AE=AC-CE=12-X,

在RtZiBCE中，由勾股定理得GE?+8。2=BE2,

即为2+52=(12-x)2.

解得无=劈.

乙*

即CE的长为崂.

【解析】【分析】(1)根据勾股定理的逆定理，验证三边是否满足两短边的平方和等于最长边的平方即可；

(2)根据线段垂直平分线的性质(垂直平分线上的点到线段两端距离相等)得到AE=BE,再通过设未知数，

在RlABCE中利用勾股定理建立方程求解。

23.烧烤作为一种古老而普遍的烹饪方式，随着社会的发展和技术的进步，烧烤逐渐从原始的生存技能转变

为人类文化和社会生活的重要组成部分.某烧烤店的烤串有肉串和素菜串两类，肉串和素菜串的成本价和销

售价如下表所示：

种类肉串索菜串

成本价(元/串)31.1

销售价(元/串)41.5

已知该烧烤店每天准备肉串和素菜串共6()0()串，且这些烤串每天都能销售完.设该烧烤店每天准备肉串工

串，每天销售这两类烤串所得的总利润为y元.

(1)求y与％之间的函数关系式；

(2)该烧烤店发现肉串比素菜串受欢迎，所以某天烧烤店准备的肉串数量是素菜串的3倍，求该烧烤店

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这天销售这两类烤串所得的总利润.

【答案】(1)解：y=(4-3)x+(1.5-1.1)(6000-x)=0.6x+2400.

y与X之间的函数关系式为y=0.6x+2400.

(2)解：由题意可得，x=3(6000-%),

解得x=4500,

当x=4500时，y=0.6x4500+2400=5100.

•••该烧烤店这天销售这两类烤串所得的总利润为5100元.

【解析】【分析】

(1)先根据肉串和素菜串的总数以及设出的肉串数量，表示出素菜串的数量，再分别计算出为串和素菜申每

串的利润，根据“利润=(销售价•成本价)x数量。列出函数关系式并化简；

(2)先根据“肉串数量是素菜串的3倍”列方程求出x,再将其代入(1)中所得函数关系式计算总利润。

⑴解:y=(4-3)%+(1.5-1.1)(6000-x)=0.6%+2400.

y与之之间的函数关系式为y=0.6义+2400.

(2)由题意可得，%=3(6000-%),

解得％=4500,

当％=4500时，y=0.6X4500+2400=5100.

•••该烧烤店这天销售这两类烤串所得的总利润为51()0元.

24.阅读下列材料，并回答问题

1=IT==夜_1

75百一(&+D(GT)-(02_i-一；

]_____遮一盘_____、倍—丘—友_万

71+72-(73+72x75^72)(场2_(⑵2；

1_\'4一百_,4一百_/4_

一(海+&)(海-存)一(海)2_(&)2_"一”；

⑴填空:高二---------；

（2）观察上述算式规律，请直接写出算式「2Tx"是正整数）的结果；

vn+l+\/n

1111

⑶计算：.1+々厅+，N7H---H,c_L（提示：452=2025）.

v2+1V3+v2v4+v3v290n295+v2024

【答案】（1）V7-V6

（2）\!n+1-y/n

⑶解:高+盛+占+…+J2O25,O24

=x/2-14-V3-^2+V4-\/3+--4-V2024-V2023+x/2025-x/2024

=-1+V2025

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=-1+45

=44.

【解析】【解答】解：⑴根据材料中的方法，分子分母同乘a-限

用式二（斤-■㈤

尿工5师同丽诲

二（"-、⑹

7-6

=（、厅-、⑹

7-6

=（夕一V6）

（2）根据材料中的方法，分子分母同乘衍1-迎：

向叶__________、伍+1-收________

小工（\仇+1+、阮）（VH+1—收）

_yn4-l-Vn

n+1-n

Kn+1-Vn

【分析】（1）根据材料中的方法，分子分母同乘夕-石，然后利用平方差公式化简分母即可：

（2）根据材料中的方法，分子分母同乘行TT-VH，然后利用平方差公式化简分母即可；

（3）通过分母有理化将通项转化为裂项形式（如7+==而不1-迎），利用相邻项相消的特性简化求和

vn+1+Vn

即可；

25.【问题情境】

数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、

2,A利8是一个台阶两个相对的端点.

（1）【探究实践】

老师让同学们探究：如图①，若4点处有一只蚂蚁要到8点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到8点

的最短路程是多少？

同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20,宽为15的长

方形，连接4B,经过计算得到AB长度为,就是最短路程.

（2）【变式探究】

如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是30cm,高是8cm,若蚂蚁从点4出发沿着玻璃杯

的侧面到点B,则蚂蚁爬行的最短距离为.

8

图

第13页

（3）【拓展应用】

如图④，圆柱形玻璃杯的高9cm,底面周长为16cm,在杯内鸵离杯底4cm的点4处有一滴蜂蜜，此时，

一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿1cm,且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁4处所爬行的最短

路程是多少？（杯壁厚度不计）（画出示意图并进行计算）

【答案】（1）25

（2）17cm

从玻璃杯侧面展开，作8关于EG的对称点C,作CO14E交AE延长线于点0,连接AC交EG于点小

BF=CF,DE=CG=BG=1cm.

：.AF^BF=AF^-CF=AC,

二4。=9-4+DE=5+1=6cm,CD=16+2=8cm

AC=+心=府+62=iocm,

二蚂蚁从外壁B处到内壁力处所爬行的最短路程是lOsn.

【解析】【解答】解：（1）AB=7202+152=V4004-225=V625=25

（2）一圆柱形玻璃杯底面周长为30cm,

・•・展开后矩形的一边为底面半周长（因A、B位置对应半周），即乎二15cm；另一边为圆柱的高8cm。

・・•展开后A、B构成直角三角形的两条直角边，分别为15cm和8cm,设最短距离为AB,贝U：

AB=V1524-82=V2254-64=V289=17cm

【分析】（1）三级台阶展开为长方形，已知长和宽，直接用勾股定理求对角线长度：

（2）圆柱形玻璃杯侧面展开为矩形，确定直角边长度后用勾股定理求斜边；

（3）圆柱侧面展开后，通过作对称点转化路径，再利川勾股定理计算最短距离。

26.在平面直角坐标系xOy中，对于P,Q两点给出如下定义：若点P到两条坐标轴的距离之和等于点Q到两条

坐标轴的距离之和，则称P,Q两点为轴距等点.例如，图中的P,Q两点即为轴距等点.

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