14.1　全等三角形及其性质

数学八年级上册(RJ)第十四章全等三角形14．1全等三角形及其性质教师备课素材示例●置疑导入【问题1】如图，观察下列图形，指出其中形状与大小相同的图形．eq\o(\s\up7(),\s\do5((1)))eq\o(\s\up7(),\s\do5((2)))eq\o(\s\up7(),\s\do5((3)))eq\o(\s\up7(),\s\do5((4)))eq\o(\s\up7(),\s\do5((5)))eq\o(\s\up7(),\s\do5((6)))eq\o(\s\up7(),\s\do5((7)))eq\o(\s\up7(),\s\do5((8)))eq\o(\s\up7(),\s\do5((9)))eq\o(\s\up7(),\s\do5((10)))eq\o(\s\up7(),\s\do5((11)))eq\o(\s\up7(),\s\do5((12)))【问题2】从上面的图形中你有什么感受？在实际生活中，你能列举出形状、大小相同的图形吗？【教学与建议】教学：用常见的图形吸引学生的注意力，激发他们对新知识的好奇心．建议：初步感知全等形是形状与大小完全相同的图形．●归纳导入1.师生各自展示课前收集到的形状、大小相同的实物图形及自制的三角形模型．2．教师演示课件(动态展示下面三组图案)，提出问题，学生观察思考、相互交流．(1)图①中2025年哈尔滨(第9届)亚冬会的会徽的两张照片形状、大小相同吗？放在一起能完全重合吗？(2)图②中球门框上相对的两个四边形形状、大小相同吗？放在一起能完全重合吗？(3)图③中同种颜色的三角形形状、大小相同吗？放在一起能完全重合吗？eq\o(\s\up7(),\s\do5(图①))eq\o(\s\up7(),\s\do5(图②))eq\o(\s\up7(),\s\do5(图③))【归纳】能够完全重合的两个图形叫作全等形．能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形．【教学与建议】教学：展示现实生活中存在着大量形状、大小相同的图形．建议：选择贴近学生生活的图片探究全等形．·命题角度1辨别全等图形两个图形是否全等只与这两个图形的形状和大小有关，把它们叠放在一起，能完全重合即为全等形．【例1】下列四个图形中，与所给图形全等的是(B)eq\o(\s\up7(),\s\do5())eq\o(\s\up7(),\s\do5(A))eq\o(\s\up7(),\s\do5(B))eq\o(\s\up7(),\s\do5(C))eq\o(\s\up7(),\s\do5(D))·命题角度2利用全等三角形的定义找全等三角形的对应元素在两个全等三角形中找对应边、对应角的方法：(1)最长边对最长边，最短边对最短边，最大角对最大角，最小角对最小角；(2)对应角的对边为对应边，对应边的对角为对应角；(3)重合的边（角）是对应边（角），公共边（角）是对应边（角），对顶角是对应角.【例2】如图，沿直线BD对折，△ABD和△CBD重合，则△ABD≌△CBD，AB的对应边是CB，BD的对应边是BD，∠ADB的对应角是∠CDB.【例3】如图，在图中的两个三角形是全等三角形，其中点A和点D，点B和E是对应点．(1)用符号表示两个三角形全等，并写出图中相等的线段和角；(2)写出图中一组平行的线段，并说明理由．解：(1)△ABC≌△DEF，AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF，AF＝DC，∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE，∠BCD＝∠EFA；(2)∵△ABC≌△DEF，∴∠A＝∠D，∴AB∥DE.（或写BC∥EF，理由略）·命题角度3利用全等三角形的性质解决线段或角的问题全等三角形的性质：对应角、对应边相等，周长相等，面积相等．【例4】如图，若△ABC≌△EBD，且BD＝4cm，∠D＝60°，则∠ACE＝120°，BC＝4cm.eq\o(\s\up7(),\s\do5(（例4题图）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（例5题图）))【例5】如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数为30°.·命题角度4利用全等变换解决问题一个图形经过平移、翻转、旋转后，其形状、大小没有改变，所以变换前后的图形是全等的．【例6】如图，若把△ABC绕点A旋转一定的角度得到△ADE，则图中全等的三角形记为△ABC≌△ADE，∠BAC的对应角为∠DAE，DE的对应边为BC.【例7】如图，Rt△EBC中，∠EBC＝90°，∠E＝35°.将Rt△EBC绕点B逆时针旋转90°得到△ABD，求∠ADB的度数．解：∵在Rt△EBC中，∠EBC＝90°，∠E＝35°，∴∠C＝180°－∠EBC－∠E＝55°.∵将Rt△EBC绕点B逆时针旋转90°得到△ABD.∴△ABD≌△EBC，∴∠ADB＝∠ECB＝55°.高效课堂教学设计1．学会辨认全等三角形的对应元素．2．理解并掌握全等三角形的性质．▲重点全等三角形的性质．▲难点熟练运用全等三角形的性质解决问题．◆活动1新课导入（教师演示课件）如图所示的图片展示的是庐山风景．以诗“横看成岭侧成峰，远近高低各不同，不识庐山真面目，只缘身在此山中”指出大自然中庐山的唯一性，但是我们可以通过摄影把庐山的美景拍下来，可以洗出千万张一模一样的庐山相片．像这样的图片，形状和大小都相同．你能说一说自己身边还有哪些形状和大小都相同的图形吗？◆活动2探究新知1．教材P29观察图14.1－1.提出问题：(1)这些图形有什么共同特点？(2)把形状、大小相同的图形放在一起，能否完全重合？(3)根据上面的探究，你能归纳出全等形和全等三角形的概念吗？学生完成并交流展示．2．教材P29思考．提出问题：(1)每组图形中，△ABC是经过怎样的变换得到新三角形的？(2)变换前后，△ABC与新三角形之间有什么异同，它们能完全重合吗？(3)它们是全等三角形吗？(4)请用符号表示它们之间的关系；(5)在用“≌”表示两个三角形全等关系时，需注意什么？学生完成并交流展示．3．教材P30思考．提出问题：(1)全等三角形的对应边相等吗？对应角相等吗？为什么？(2)如图，△ABC≌△DEF，则AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF，∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F.学生完成并交流展示．◆活动3知识归纳1．能够完全重合的两个图形叫作全等形．两个图形是否全等只与这个图形的形状和大小有关，与位置无关．2．能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形.平移、翻折、旋转前后的图形全等.全等用符号“≌”表示，读作“全等于”．把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫作对应顶点，重合的边叫作对应边，重合的角叫作对应角.记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.3．全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等.◆活动4例题与练习例1如图，△ABC≌△DEF，∠B＝30°，∠A＝50°，BF＝2，求∠DFE的度数与EC的长．解：∵∠B＋∠A＋∠ACB＝180°，∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝180°－50°－30°＝100°.又∵△ABC≌△DEF，∴∠DFE＝∠ACB＝100°，EF＝CB，∴EF－CF＝CB－CF，即CE＝BF＝2.例2如图，△ABC≌△ADE，∠DAC＝60°，∠BAE＝100°，BC交DE于点F，交AD于点G，求∠DFB的度数．解：∵△ABC≌△ADE，∴∠B＝∠D，∠BAC＝∠DAE.又∵∠BAD＝∠BAC－∠CAD，∠CAE＝∠DAE－∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE.∵∠DAC＝60°，∠BAE＝100°，∴∠BAD＝eq\f(1,2)(∠BAE－∠DAC)＝20°.∵在△ABG和△FDG中，∠B＝∠D，∠AGB＝∠FGD，∴∠DFB＝∠BAD＝20°.练习1．教材P30练习第1，2题．2．如图，若把△ABC绕点A旋转一定的角度得到△ADE，那么图中全等的三角形记为△ABC≌△ADE.3．如图，△ADF≌△CBE，且点E，B，D，F在同一条直线上，判断AD与BC的位置关系，并说明理由．解：AD∥BC.理由如下：∵△ADF≌△CBE，∴∠1＝∠2，∠F＝∠E.又∵∠3＝∠1＋∠F，∠4＝∠2＋∠E，∴∠3＝∠4，∴AD∥BC.◆活动5课堂小结1．全等三角形的概念．2．全等三角形的性质．1．作业布置(1)教材P31习题14.1第1，2，3，4题．(2)对应课时练习．2．教学反思综合训练一、选择题1.下列说法正确的是()A.有三个角对应相等的两个三角形全等B.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等C.有两个角与其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等D.有两个角对应相等,还有一条边也相等的两个三角形全等2.如图,△ABC≌△AEF,AC与AF是对应边,则∠EAC等于()A.∠ACBB.∠CAFC.∠BAFD.∠BAC3.如图,给出下列四组条件:①AB=DE,BC=EF,AC=DF;②AB=DE,∠B=∠E,BC=EF;③∠B=∠E,BC=EF,∠C=∠F;④AB=DE,AC=DF,∠B=∠E.其中,能使△ABC≌△DEF的条件共有()A.1组 B.2组 C.3组 D.4组4.如图,将两根钢条AA',BB'的中点O连在一起,使AA',BB'能绕着点O自由转动,就做成了一个测量工具,则A'B'的长等于内槽宽AB,其中判定△OAB≌△OA'B'的理由是()A.SAS B.ASA C.SSS D.HL5.如图,AC=BD,AB=CD,图中全等的三角形共有()A.2对 B.3对 C.4对 D.5对6.如图,AB∥CF,DE=EF,AB=10,CF=6,则DB等于()A.3 B.4 C.5 D.67.要测量河两岸相对的两点A,B间的距离,先在AB的垂线BF上取两点C,D,使CD=BC,再定出BF的垂线DE,使A,C,E在一条直线上,如图,可以证明△EDC≌△ABC,得到DE=AB,因此测得ED的长就是AB的长.判定△EDC≌△ABC的理由是()A.SAS B.ASA C.SSS D.HL8.如图,在△ABC中,已知AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为点D,E,AD,CE交于点H.若EH=EB=3,AE=4,则CH的长是()A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题9.如图,已知△ABC≌△A'B'C,点B'在边AB上,若∠A=40°,∠B=60°,则∠A'CB的度数为.

10.如图,在△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D,E,AD,CE交于点H,请你添加一个适当的条件:,使△AEH≌△CEB.

11.雨伞开闭过程中某时刻的截面图如图所示,伞骨AB=AC,支撑杆OE=OF,AE=13AB,AF=13AC.当O沿AD滑动时,雨伞开闭.雨伞开闭过程中,∠BAD与∠CAD12.如图,在直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=10cm,BC=5cm,一条线段PQ=AB,P,Q两点分别在AC和AC的垂线AX上移动,则当AP=cm时,才能使△ABC和△QPA全等.

三、解答题13.如图,C为线段AB上一点,AD∥EB,AC=BE,AD=BC.求证:△ACD≌△BEC.14.如图,BD平分∠ABC交AC于点D,DE⊥AB于E,DF⊥BC于F,AB=6,BC=8,若S△ABC=28,求DE的长.15.已知△ABN和△ACM位置如图所示,AB=AC,AD=AE,∠1=∠2.求证:(1)BD=CE;(2)∠M=∠N.16.如图,已知Rt△ABC≌Rt△ADE,∠ABC=∠ADE=90°,BC与DE相交于点F,连接CD,EB.(1)图中还有几对全等三角形,请你一一列举;(2)求证:CF=EF.综合训练一、选择题1.C2.C3.C4.A5.B根据全等三角形的判定可得图中全等的三角形有:△ADB和△DAC;△ABC和△DCB;△ABO和△DCO.6.B7.B8.A二、填空题9.140°∵△ABC≌△A'B'C,∴∠A'=∠A=40°,∠A'B'C=∠B=60°,CB=CB',∠A'CB'=80°,∴∠BB'C=∠B=60°,∴∠BCB'=180°-60°-60°=60°,∴∠A'CB=∠A'CB'+∠BCB'=140°.10.AH=CB(或EH=EB或AE=CE)根据“AAS”需要添加AH=CB或EH=EB;根据“ASA”需要添加AE=CE.11.相等∵AE=13AB,AF=13AC,∴AE=AF.又OE=OF,OA=OA,∴△AOE≌△AOF(SSS).∴∠BAD=∠CA