第5课时　用“HL”判定直角三角形全等

数学八年级上册(RJ)第5课时用“HL”判定直角三角形全等教师备课素材示例●悬念激趣如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．(1)你能帮他想个办法吗？(2)如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定这两个直角三角形是全等的，你相信吗？【教学与建议】教学：教师可以引导学生利用直角边和斜边分别对应相等导入课题，展开对判定两直角三角形全等的特殊条件的探索．建议：先利用投影给出问题，再引导学生思考、验证．●归纳导入1.判定两个三角形全等的方法有SAS、ASA、AAS、SSS.2．如图，AB⊥BE于点B，DE⊥BE于点E.(1)若∠A＝∠D，AB＝DE，则△ABC与△DEF全等，根据ASA；(2)若∠A＝∠D，BC＝EF，则△ABC与△DEF全等，根据AAS；(3)若AB＝DE，BC＝EF，则△ABC与△DEF全等，根据SAS；(4)若AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF，则△ABC与△DEF全等，根据SSS.3．我们知道：满足“SSA”条件的两个三角形不一定全等，那么满足“SSA”条件的两个直角三角形（这个相等的角是直角）是否全等呢？现在我们就来研究这个问题．（引入新课）【教学与建议】教学：在复习巩固原有知识的基础上，进一步探究直角三角形全等的判定方法．建议：教师可进一步设计一般三角形“SSA”与直角三角形“SSA”证明是否全等．·命题角度1依据“HL”补充判定两个三角形全等的条件在直角三角形中，已知直角边（斜边）一个条件，则需补充斜边（直角边）相等，这两个直角三角形全等．【例1】如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则需要添加的一个条件是AC＝AD（或BC＝BD）．·命题角度2利用“HL”判定两直角三角形全等“HL”只适用于直角三角形全等的判定，对于一般三角形不适用．【例2】如图，已知AC⊥BD，垂足为点O，若AO＝CO，AB＝CD，则Rt△AOB≌Rt△COD，理由是(A)A．HLB．SASC．ASAD．AAS【例3】如图，已知∠C＝∠D＝90°，BC与AD交于点E，AC＝BD.求证：△ACB≌△BDA.证明：∵∠C＝∠D＝90°，∴△ACB和△BDA是直角三角形．在Rt△ACB和Rt△BDA中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(AB＝BA，,AC＝BD，))∴Rt△ACB≌Rt△BDA(HL).【例4】如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC.求证：(1)AB＝CD；(2)AD∥BC.证明：(1)∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABD＝∠CDB＝90°.在Rt△ABD和Rt△CDB中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(AD＝CB，,BD＝DB，))∴Rt△ABD≌Rt△CDB(HL)，∴AB＝CD；(2)∵Rt△ABD≌Rt△CDB，∴∠ADB＝∠CBD，∴AD∥BC.·命题角度3综合运用全等三角形的性质判定两个三角形全等时，要注意对应边、角的相对位置关系，然后根据条件选择合理的证明方法，运用全等三角形的性质灵活计算或证明．【例5】如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，BE＝BC.如果AC＝6，那么AD与DE的长度和为6.【例6】如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于点D，CE⊥DE于点E.若B，C在DE的同侧且AD＝CE.求证：AB⊥AC.证明：∵BD⊥DE，CE⊥DE，∴∠ADB＝∠AEC＝90°.在Rt△ABD和Rt△CAE中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(AB＝CA，,AD＝CE，))∴Rt△ABD≌Rt△CAE(HL)，∴∠DBA＝∠EAC.∵∠BAD＋∠DBA＝90°，∴∠BAD＋∠EAC＝90°，∴∠BAC＝180°－(∠BAD＋∠EAC)＝90°，∴AB⊥AC.高效课堂教学设计1．理解并掌握直角三角形全等的“斜边、直角边”(HL)判定方法．2．学会运用“斜边、直角边(HL)”判定方法进行简单的证明．▲重点探究直角三角形全等的条件．▲难点灵活运用五种方法来判定直角三角形全等．◆活动1新课导入1．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）．2．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.3．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）.4．三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）．◆活动2探究新知1．教材P41探究5上面部分．提出问题：(1)判定一般三角形全等的依据是什么？请说出它们的共同点；(2)对于两个直角三角形，除了直角相等外，还需要满足几个条件，就能证明这两个直角三角形全等？学生完成并交流展示．2．教材P41探究5.提出问题：(1)观察图14.2－21，有哪些已知条件？(2)∠C′＝∠C＝90°，则可以得到哪些点重合，哪些射线重合？(3)B′C′＝BC，可得到什么结论？(4)点A与点A′重合吗？观察图14.2－22，说明理由．(5)根据上面的探究，你能否得出判定两个直角三角形全等的条件？学生完成并交流展示．◆活动3知识归纳1．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.2．判定两个直角三角形全等的方法有SAS、ASA、AAS、SSS、HL．HL只适用于直角三角形，对于一般三角形不适用．◆活动4例题与练习例1教材P42例6.例2如图，已知AB＝CD，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，且BF＝DE.求证：AB∥CD.证明：∵BF⊥AC，DE⊥AC，∴∠AFB＝∠CED＝90°.在Rt△ABF和Rt△CDE中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(AB＝CD，,BF＝DE，))∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)，∴∠BAF＝∠DCE，∴AB∥CD.例3如图，AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于点F，且有BF＝AC，FD＝CD，试说明BE与AC的位置关系，并说明理由．解：BE⊥AC.理由如下：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.又∵BF＝AC，FD＝CD，∴Rt△BDF≌Rt△ADC(HL)，∴∠DBF＝∠DAC.又∵∠DAC＋∠C＝90°，∴∠EBC＋∠C＝90°，∴∠BEC＝90°，∴BE⊥AC.练习1．教材P43练习第1，2题．2．下列叙述不正确的是(C)A．斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等B．有两边对应相等的两个直角三角形全等C．有两个锐角对应相等的两个直角三角形全等D．有一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等3．如图，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°，下列结论不成立的是(C)A．∠DAE＝∠CBEB．CE＝DEC．△DAE与△CBE不一定全等D．∠1＝∠2eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第3题图）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第4题图）))4．如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6，延长BC到点E，使CE＝2，连接DE.动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC－CD－DA向终点A运动．设点P的运动时间为ts，当△ABP和△DCE全等时，t的值为(C)A．1B．1或3C．1或7D．3或75．如图，已知CE⊥AB，DF⊥AB，AC＝BD，CE＝DF.求证：AC∥BD.证明：∵CE⊥AB，DF⊥AB，∴∠CEA＝∠DFB＝90°.又∵AC＝BD，CE＝DF，∴Rt△ACE≌Rt△BDF(HL)，∴∠A＝∠B，∴AC∥BD.◆活动5课堂小结1．“斜边、直角边(HL)”的认识．2．“斜边、直角边(HL)”的运用．1．作业布置(1)教材P45习题14.2第11，12题；(2)对应课时练习．2．教学反思综合训练一、选择题1.下列说法正确的是()A.有三个角对应相等的两个三角形全等B.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等C.有两个角与其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等D.有两个角对应相等,还有一条边也相等的两个三角形全等2.如图,△ABC≌△AEF,AC与AF是对应边,则∠EAC等于()A.∠ACBB.∠CAFC.∠BAFD.∠BAC3.如图,给出下列四组条件:①AB=DE,BC=EF,AC=DF;②AB=DE,∠B=∠E,BC=EF;③∠B=∠E,BC=EF,∠C=∠F;④AB=DE,AC=DF,∠B=∠E.其中,能使△ABC≌△DEF的条件共有()A.1组 B.2组 C.3组 D.4组4.如图,将两根钢条AA',BB'的中点O连在一起,使AA',BB'能绕着点O自由转动,就做成了一个测量工具,则A'B'的长等于内槽宽AB,其中判定△OAB≌△OA'B'的理由是()A.SAS B.ASA C.SSS D.HL5.如图,AC=BD,AB=CD,图中全等的三角形共有()A.2对 B.3对 C.4对 D.5对6.如图,AB∥CF,DE=EF,AB=10,CF=6,则DB等于()A.3 B.4 C.5 D.67.要测量河两岸相对的两点A,B间的距离,先在AB的垂线BF上取两点C,D,使CD=BC,再定出BF的垂线DE,使A,C,E在一条直线上,如图,可以证明△EDC≌△ABC,得到DE=AB,因此测得ED的长就是AB的长.判定△EDC≌△ABC的理由是()A.SAS B.ASA C.SSS D.HL8.如图,在△ABC中,已知AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为点D,E,AD,CE交于点H.若EH=EB=3,AE=4,则CH的长是()A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题9.如图,已知△ABC≌△A'B'C,点B'在边AB上,若∠A=40°,∠B=60°,则∠A'CB的度数为.

10.如图,在△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D,E,AD,CE交于点H,请你添加一个适当的条件:,使△AEH≌△CEB.

11.雨伞开闭过程中某时刻的截面图如图所示,伞骨AB=AC,支撑杆OE=OF,AE=13AB,AF=13AC.当O沿AD滑动时,雨伞开闭.雨伞开闭过程中,∠BAD与∠CAD12.如图,在直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=10cm,BC=5cm,一条线段PQ=AB,P,Q两点分别在AC和AC的垂线AX上移动,则当AP=cm时,才能使△ABC和△QPA全等.

三、解答题13.如图,C为线段AB上一点,AD∥EB,AC=BE,AD=BC.求证:△ACD≌△BEC.14.如图,BD平分∠ABC交AC于点D,DE⊥AB于E,DF⊥BC于F,AB=6,BC=8,若S△ABC=28,求DE的长.15.已知△ABN和△ACM位置如图所示,AB=AC,AD=AE,∠1=∠2.求证:(1)BD=CE;(2)∠M=∠N.16.如图,已知Rt△ABC≌Rt△ADE,∠ABC=∠ADE=90°,BC与DE相交于点F,连接CD,EB.(1)图中还有几对全等三角形,请你一一列举;(2)求证:CF=EF.综合训练一、选择题1.C2.C3.C4.A5.B根据全等三角形的判定可得图中全等的三角形有:△ADB和△DAC;△ABC和△DCB;△ABO和△DCO.6.B7.B8.A二、填空题9.140°∵△ABC≌△A'B'C,∴∠A'=∠A=40°,∠A'B'C=∠B=60°,CB=CB',∠A'CB'=80°,∴∠BB'C=∠B=60°,∴∠BCB'=180°-60°-60°=60°,∴∠A'CB=∠A'CB'+∠BCB'=140°.10.AH=CB(或EH=EB或AE=CE)根据“AAS”需要添加AH=CB或EH=EB;根据“ASA”需要添加AE=CE.11.相等∵AE=13AB,AF=13AC,∴AE=AF.又OE=OF,OA=OA,∴△AOE≌△AOF(SSS).∴∠BAD=∠CAD.12.5或10三、解答题13.证明∵AD∥BE,∴∠A=∠B.在△ACD和△BEC中,∵AC∴△ACD≌△BEC.14.解∵BD平分∠ABC交AC于点D,DE⊥AB,DF⊥BC,∴DE=DF.∵S△ABC=28,AB=6,BC=8,∴12×6×DE+12×8×∴DE=DF=4.15.证明(1)在△ABD和△ACE中,AB∴△ABD≌△ACE(SAS).∴BD=CE.(2)∵∠1=∠2,∴∠1+∠DAE=∠2+∠DAE,即∠BAN=∠CAM.由(1),得△ABD≌△ACE,∴∠B=∠C.在△ACM和△ABN中,∠∴△ACM≌△ABN(ASA),∴∠M=∠N.16.(1)解2对,分别为△ADC≌△ABE,△