贵州省六盘水市2025~2026学年高一下册期末质量监测数学试卷【附解析】

数学（考试时长：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.不等式的解集为（）A. B.C.或 D.或3.已知平面向量，不共线，且，则x的值为（）A. B. C. D.4.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图得到梯形（如图），其中，，，，则平面图形的面积为（）A.3 B. C. D.205.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.已知三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则A的值为（）A. B. C. D.7.方程的实数解所在区间为（）A. B. C. D.8.已知函数是定义域为的奇函数，且为偶函数，则下列结论一定成立的是（）A. B.C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数，则（）A. B. C. D.10.函数在一个周期内的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.函数的周期为πB.直线为函数的一条对称轴C.将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则D.当时，函数的值域为11.如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别为棱，，的中点，点Q为线段上的动点，则下列选项正确的是（）A.直线与直线所成的角为B.直线与平面所成角的正弦值为C.平面截正方体所得的截面面积为D.动点到平面的距离为定值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数（且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为________.13.已知，则的最小值为______.14.如图，已知圆台上底面半径为2，下底面半径为4，母线长为，点P在圆的圆周上运动，点A，B在圆的圆周上运动，且A，B，三点共线，则______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量，.（1）若与夹角为，求的值；（2）若，求的值.16.（1）求的值；（2）已知角的终边过点，分别求角，，的正弦函数值.17.函数的最小值为2.（1）求常数的值及函数的单调递增区间；（2）已知三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，.求的外接圆的半径及的面积18.如图，正三棱锥所有棱长均为2.（1）证明：；（2）求侧面与底面所成二面角的余弦值；（3）求正三棱锥的内切球的体积.19.对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“类函数”.（1）已知，试判断是否为“类函数”?（2）若是定义在上的“类函数”，求实数m的最小值；（3）若为“类函数”，求实数m的取值范围.

数学（考试时长：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：，2.不等式的解集为（）A. B.C.或 D.或答案：C解析：解答过程：的解为或5，故不等式的解集为或3.已知平面向量，不共线，且，则x的值为（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：，设，故，解得.4.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图得到梯形（如图），其中，，，，则平面图形的面积为（）A.3 B. C. D.20答案：D解析：解答过程：由斜二测法还原图形如下，，，所以平面图形的面积．5.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：B解析：思路：根据不等性质及命题的充分必要性直接可判断.解答过程：当时，若，则，即“”不是“”充分条件；当时，，即“”是“”必要条件，综上所述，“”是“”的必要不充分条件，故选：B.6.已知三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则A的值为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：由及余弦定理，得，化简得，所以是直角三角形，.7.方程的实数解所在区间为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：构造对应函数，利用函数单调性与零点存在性定理判断方程解所在区间.解答过程：令，.因为均为增函数，所以在上单调递增，所以至多存在1个零点.又，，所以函数在内有唯一零点，即方程的实数解位于区间内.8.已知函数是定义域为的奇函数，且为偶函数，则下列结论一定成立的是（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：先根据奇函数性质和偶函数的性质，推导的对称性与周期性，再逐一验证各选项即可.解答过程：因为是定义域为的奇函数，所以对任意，有；因为为偶函数，所以，令可得，即的图象关于直线对称，故对任意，.所以，所以，即是周期为4的周期函数.选项A，，故A错误；选项B，，故B正确；选项C，，故C错误；选项D，，故D错误.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数，则（）A. B. C. D.答案：BC解析：解答过程：A选项，，A错误；B选项，，B正确；C选项，，C正确；D选项，，D错误.10.函数在一个周期内的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.函数的周期为πB.直线为函数的一条对称轴C.将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则D.当时，函数的值域为答案：ACD解析：思路：对于A，根据对称轴即可得到周期；对于B，根据图象得到，再利用整体法判断即可；对于C，根据平移变换得到即可；对于D，利用整体法求值域即可．解答过程：对于A，由图可知，解得，故A正确；对于B，，，又过，则，，解得，又，所以，则，时，，故直线不是的对称轴，故B错误；对于C，函数的图象向左平移，则，故C正确；对于D，，，则，故D正确．11.如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别为棱，，的中点，点Q为线段上的动点，则下列选项正确的是（）A.直线与直线所成的角为B.直线与平面所成角的正弦值为C.平面截正方体所得的截面面积为D.动点到平面的距离为定值答案：ABD解析：思路：对于A，由进行求解；对于B项，直线与平面所成角为或其补角进行求解；对于C项，由平面截正方体所得的截面为等腰梯形进行求解；对于D项，由平面平面进行求解．解答过程：对于A项，连接，如图所示，，则直线与直线所成的角即为直线与直线所成的角，因为为等边三角形，所以，即直线与直线所成的角为，故A项正确；对于B项，连接，则平面，记垂足为点，则，，直线与平面所成角为或其补角，则，故直线与平面所成角的正弦值为，故B项正确；对于C项，连接，如图所示：则，得平面截正方体所得的截面为等腰梯形，，得等腰梯形的高为，则等腰梯形的面积为：，故C项错误；对于D项，依次取的中点，如图所示：显然平面平面，则两平面间的距离为定值，而点Q为线段上的动点，则平面，则动点到平面的距离为定值，故D项正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数（且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为________.答案：解析：解答过程：因为，所以，即，所以函数的图象恒过定点.13.已知，则的最小值为______.答案：4解析：思路：利用基本不等式计算即可.解答过程：由题意可知，当且仅当，即时取得等号.故答案为：414.如图，已知圆台上底面半径为2，下底面半径为4，母线长为，点P在圆的圆周上运动，点A，B在圆的圆周上运动，且A，B，三点共线，则______.答案：解析：思路：求出圆台的高，利用极化恒等式得到，求出，代入求解即可.解答过程：设上底面半径，下底面半径，圆台的母线，圆台的高，A，B，三点共线，故，，两式平方相加可得，因为，，所以，所以.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量，.（1）若与夹角为，求的值；（2）若，求的值.答案：（1）（2）解析：思路：（1）应用平面向量夹角余弦公式结合数量积坐标公式计算求解；（2）先应用向量的线性运算，再应用垂直数量积为0计算求解参数.（1）；（2）向量，，则，因为，所以，所以.16.（1）求的值；（2）已知角的终边过点，分别求角，，的正弦函数值.答案：(1)；(2)，，.解析：思路：（1）根据指数与对数的运算法则求值.（2）先根据三角函数的定义求的三角函数值，再根据诱导公式求值.解答过程：（1）.（2）因为，所以，.所以，，.17.函数的最小值为2.（1）求常数的值及函数的单调递增区间；（2）已知三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，.求的外接圆的半径及的面积答案：（1），单调递增区间为；（2）外接圆半径为，的面积为解析：思路：（1）化简，根据的最小值得到方程，求出，求出单调递增区间；（2）由得到方程，求出，由正弦定理得到外接圆半径，由余弦定理得到，得三角形面积（1），的最小值为2，故，解得，故，令，解得，故单调递增区间为；（2），即，，因为，所以，，所以，解得，设的外接圆的半径为，由正弦定理得，故的外接圆的半径，由余弦定理得，即，解得，因为，所以，，解得或（舍去），所以.18.如图，正三棱锥所有棱长均为2.（1）证明：；（2）求侧面与底面所成二面角的余弦值；（3）求正三棱锥的内切球的体积.答案：（1）取的中点，连接，，∵，∴，又，∴，∴平面，∴平面，平面，∴.（2）（3）解析：思路：（1）取的中点，连接，，通过证明，可证得平面，从而得证；（2）应用二面角定义结合余弦定理计算求解；（3）应用等体积法结合球的体积公式计算求解.（1）略（2）取中点，连接，因为是等边三角形，所以，所以侧面与底面所成二面角为，因为，由余弦定理得；（3）设正三棱锥的内切球半径为，所以，过P作，由（1）知平面，平面，∴，又，所以平面，所以是正三棱锥的高，又因为，所以点为的中心，所以，所以，所以，所以，所以内切球的体积为.19.对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“类函数”.（1）已知，试判断是否为“类函数”?（2）若是定义在上的“类函数”，求实数m的最小值；（3）若为“类函数”，求实数m的取值范围.答案：（1）不为“类函数”（2）（3）解析：思路：（1）根据题意列式计算求出满足“类函数”定义不能得出的值即可判断；（2）根据题意将题设问题转化为在上有解分析求解即可；（3）根据对数函数的性质，得到对恒成立，求得，再由为“类函数”，得到存在实数，满足，分，和，三种情况讨论，结合函数的单调性和最值，即可求解.（1）函数的定义域为，若在定义域内存在实数，满足，可得，即