河北省张家口市部分学校2025~2026学年高二下册7月期末巩固训练数学试卷【附解析】

数学考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B.C. D.2.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知，则的最小值为（）A.3 B. C.2 D.4.样本数据，，…，（，，，…，不全相等）的散点图中，所有样本点都落在直线上，则这组样本数据的相关系数为（）A.1 B. C. D.-15.曲线在点处的切线方程为（）A. B.C. D.6.某中学通过随机询问120名学生是否爱好阅读，得到如下列联表：阅读性别合计男女爱好402060不爱好253560合计6555120已知，，根据小概率的独立性检验，以下结论正确的是（）A.爱好阅读与性别有关B.爱好阅读与性别有关，这个结论犯错误的概率不超过0.001C.爱好阅读与性别无关D.爱好阅读与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.0017.已知函数的最大值为1，则（）A.1 B. C.0 D.28.一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的3个红球和2个蓝球，现从中无放回地随机取球，每次取1个，直到把红球全部取出来为止．设随机变量为取球的次数，则的数学期望（）A. B. C. D.4二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设A，B为两个事件，且，，则下列结论一定成立的是（）A. B.C. D.10.已知随机变量服从正态分布，且，则下列说法正确的是（）A.该正态曲线关于直线对称 B.C. D.若，则11.已知函数，及其导函数，的定义域均为，，，关于点对称，则（）A. B.C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.新高考采用“3+1+2”模式，其中“3”为统考科目语文、数学、外语；“1”为首选科目，考生从物理或历史中选一科；“2”为再选科目，考生从化学、生物、思想政治、地理4个科目中选择2科，则不同的选择方案共有_______种．（用数字作答）13.展开式中项的系数为_______．（用数字作答）14.甲、乙、丙、丁、戊五人分别参加数学、物理、化学、生物、信息技术五门不同学科竞赛，每人仅参加一科，每科均有一人参加．A、B、C、D、E五位裁判各说了三句话，每位裁判的三句话均恰好两真一假．裁判表述如下：裁判A：①甲参加数学；②乙不参加物理；③丙参加生物．裁判B：①丁参加信息技术；②戊参加生物；③丙不参加生物．裁判C：①甲不参加物理；②乙参加化学；③丁不参加信息技术．裁判D：①乙参加生物；②丙参加物理；③戊不参加数学．裁判E：①甲参加信息技术；②乙不参加数学；③丁参加化学．结合全部条件推理，丙的参赛科目为_______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某中学运动会男子米接力项目，近10届（第1届到第10届）冠军成绩（单位：秒）依次为：48.1，47.9，47.7，47.5，47.3，47.1，47.1，46.8，46.5，46.2．（1）求这组数据的极差与中位数；（2）从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在47.5以上的概率；（3）若比赛成绩关于届数的经验回归方程为，预测第12届的冠军成绩．16.已知二项式（）的展开式中常数项为40．（1）求的值；（2）求展开式所有项系数之和；（3）求展开式中系数最大的项．17.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）证明：当时，．18.设正整数，甲、乙两人进行轮流投篮练习（甲先投），单次投篮甲命中的概率为，乙命中的概率为，各次投篮相互独立．约定如下规则：某一方首次投中则本轮结束，该方得1分，另一方得0分；若连续次投篮（甲、乙交替）均未投中，则本轮结束，双方各得0分．共进行轮投篮练习，每轮独立重复上述规则，最终总得分高者获胜．记为单轮结束时投篮的总次数．（1）当时，求的分布列与数学期望；（2）设为正整数，当时，证明：；（3）当，时，求甲最终获胜的概率．19.已知函数，．（1）若，证明：当时，；（2）若，证明：在上存在唯一一个零点，且；（3）若时，恒成立，求实数的取值范围．

数学考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B.C. D.答案：C解析：解答过程：易知集合代表所有正整数，故.2.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：C解析：思路：根据题意，利用不等式的解法，求得不等式的解为，结合充分条件，必要条件的判定方法，即可求解；解答过程：由，可得，解得或，即，所以充分性成立；反之：若，可得，即，所以必要性成立，所以“”是“”的充要条件.3.已知，则的最小值为（）A.3 B. C.2 D.答案：B解析：解答过程：由题意得，，等号成立时，故的最小值为4.样本数据，，…，（，，，…，不全相等）的散点图中，所有样本点都落在直线上，则这组样本数据的相关系数为（）A.1 B. C. D.-1答案：A解析：解答过程：所有样本点都落在直线上,斜率,所以这组样本数据正相关且相关系数为1.5.曲线在点处的切线方程为（）A. B.C. D.答案：B解析：解答过程：对函数（）求导，得，则，已知切点为，所以切线方程，整理得.6.某中学通过随机询问120名学生是否爱好阅读，得到如下列联表：阅读性别合计男女爱好402060不爱好253560合计6555120已知，，根据小概率的独立性检验，以下结论正确的是（）A.爱好阅读与性别有关B.爱好阅读与性别有关，这个结论犯错误的概率不超过0.001C.爱好阅读与性别无关D.爱好阅读与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001答案：C解析：解答过程：计算卡方统计量：由列联表得，，，，，代入公式得，.已知，由于，根据小概率的独立性检验，没有充分证据拒绝“爱好阅读与性别无关”的原假设，即认为爱好阅读与性别无关.对选项逐一判断：A、B：因，无法得出“爱好阅读与性别有关”的结论，均错误.C：在的检验标准下，认为爱好阅读与性别无关，正确.D：只有拒绝原假设、得出“有关”结论时，才能说犯错误概率不超过；“无关”的结论不能表述为“犯错误的概率不超过0.001”，错误.7.已知函数的最大值为1，则（）A.1 B. C.0 D.2答案：C解析：思路：求导，设时，有最大值，进而可得，然后解得或，结合题意可得，再检验即可．解答过程：，设时，有最大值，

所以，整理得：，

所以或，

所以或，

当时，，不符合题意；

所以，则，，

所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；故是的最大值，符合题意，综上，．8.一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的3个红球和2个蓝球，现从中无放回地随机取球，每次取1个，直到把红球全部取出来为止．设随机变量为取球的次数，则的数学期望（）A. B. C. D.4答案：B解析：思路：根据条件列出的分布列，再求其期望.解答过程：的取值可能为.且，，.所以.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设A，B为两个事件，且，，则下列结论一定成立的是（）A. B.C. D.答案：BD解析：思路：对于A，只有事件独立时，才有成立；对于B，根据和事件的求解公式即可判断；对于C，由条件概率公式即可判断；对于D，由概率乘法公式即可判断．解答过程：对于A，因只有事件独立时才有成立，而事件不能判断是否独立，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，因,,只有在时，才有，依题不能判断是否成立，故C项错误；对于D，因，而，，故有，故D正确．10.已知随机变量服从正态分布，且，则下列说法正确的是（）A.该正态曲线关于直线对称 B.C. D.若，则答案：ABD解析：解答过程：因为，所以，故A正确；因为，，所以，故B正确；因为，故C错误；因为，所以，故D正确.11.已知函数，及其导函数，的定义域均为，，，关于点对称，则（）A. B.C. D.答案：ACD解析：思路：对于A：由的对称中心，推导出的对称中心，即可得解；对于B：对进行变形，并两边求导，结合，得到的对称轴，再结合，即可得解；对于C：结合的轴对称与中心对称关系，得到的周期，并推导出的周期，再结合，即可得解；对于D：根据已有信息，推导出，则，再结合函数的周期性，分别求和即可.解答过程：对于A：令，则关于点中心对称，则，即，则关于中心对称，则，故A正确；对于B：由，可得，两边同时求导得，，又因为，故有，故关于中心对称，则关于轴对称，故，又因为，令，得，故，故B错误；对于C：由A可知，关于中心对称，即，由B可知关于轴对称，即，因此有①，可推导出②，用②式①式，得，即是以为周期的函数.因为，可得，，，故也是以为周期的函数，则，又因为，故，又因为，因此，故，故C正确.对于D：由前分析，可知与都是以为周期的函数，令，则也是以为周期的函数.因为关于轴对称，故有，故由可得，故有，因此有.由B可知，，由C可知，，，则，故，因此.因为为以为周期的函数，令，则也是以为周期的函数.因为关于轴对称，且，故，因此，，因此，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.新高考采用“3+1+2”模式，其中“3”为统考科目语文、数学、外语；“1”为首选科目，考生从物理或历史中选一科；“2”为再选科目，考生从化学、生物、思想政治、地理4个科目中选择2科，则不同的选择方案共有_______种．（用数字作答）答案：12解析：思路：利用分步计数原理求解选择方案的方法数.解答过程：第一步：考生从物理或历史中选一科，有种方法；第二步：从化学、生物、思想政治、地理4个科目中选择2科，有种方法；所以，不同的选择方案共有种.13.展开式中项的系数为_______．（用数字作答）答案：15解析：思路：先求二项式的展开式的通项，再由乘法法则求出的展开式中含的项即可得解.解答过程：根据二项式定理，的展开式通项为，所以的展开式中，含的项为，所以展开式中含的项的系数为15.14.甲、乙、丙、丁、戊五人分别参加数学、物理、化学、生物、信息技术五门不同学科竞赛，每人仅参加一科，每科均有一人参加．A、B、C、D、E五位裁判各说了三句话，每位裁判的三句话均恰好两真一假．裁判表述如下：裁判A：①甲参加数学；②乙不参加物理；③丙参加生物．裁判B：①丁参加信息技术；②戊参加生物；③丙不参加生物．裁判C：①甲不参加物理；②乙参加化学；③丁不参加信息技术．裁判D：①乙参加生物；②丙参加物理；③戊不参加数学．裁判E：①甲参加信息技术；②乙不参加数学；③丁参加化学．结合全部条件推理，丙的参赛科目为_______．答案：物理解析：思路：利用A的③,和B的③相互矛盾来假设验证矛盾，进而推导出正确结论.解答过程：由A的③“丙参加生物”和B的③丙不参加生物，互为矛盾，必定一真一假，假设B的③为假,则A的③“丙参加生物为真，此时裁判D的①乙参加生物和D的②丙参加物理均为假，不符合题意中每个裁判的三句话恰为两真一假，所以假设不成立；所以可得A的③为假，那么裁判A的①甲参加数学；②乙不参加物理均为真，所以裁判E的①甲参加信息技术为假，③丁参加化学为真，那么裁判B的①丁参加信息技术为假，②戊参加生物为真，易可得裁判D的①乙参加生物为假，所以裁判D的②丙参加物理为真.所以丙参加物理.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某中学运动会男子米接力项目，近10届（第1届到第10届）冠军成绩（单位：秒）依次为：48.1，47.9，47.7，47.5，47.3，47.1，47.1，46.8，46.5，46.2．（1）求这组数据的极差与中位数；（2）从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在47.5以上的概率；（3）若比赛成绩关于届数的经验回归方程为，预测第12届的冠军成绩．答案：（1）极差为1.9，中位数为47.2（2）（3）45.92秒．解析：思路：（1）首先明确极差是最大值减最小值，中位数是数据排序后中间位置的数，因为数据已经按顺序给出，所以直接找到最大值、最小值，以及第5和第6个数据计算中位数即可.（2）先统计出47.5以上的数据个数和总数据个数，因为是古典概型，所以用组合数分别计算总选法数和满足“恰有2个数据在47.5以上”的选法数，再代入古典概型概率公式计算.（3）先计算届数的平均值和成绩的平均值，因为经验回归直线过样本中心点，所以将样本中心点代入回归方程求出，再将代入回归方程得到预测值.（1）极差为，中位数为．（2）从10个数据中任选3个，选法总数为，47.5以上的数据有3个，选3个恰有2个数据在47.5以上的选法总数为，所以恰有2个数据在47.5以上的概率．（3），．因为回归方程过样本中心点，所以，解得，所以经验回归方程为．当时，，所以第12届的冠军成绩约为45.92秒．16.已知二项式（）的展开式中常数项为40．（1）求的值；（2）求展开式所有项系数之和；（3）求展开式中系数最大的项．答案：（1）（2）243（3），解析：思路：（1）应用二项式定理写出展开式通项，结合已知，设，，，从而有，即可求；（2）应用赋值法求所有项系数之和；（3）应用不等式法求展开式中系数最大的项.（1）展开式的通项（）．令，n、r为非负整数，且，所以为3的倍数，为5的倍数，设，，，则，所以，故；（2）令，得所有项的系数之和为；（3）当时，（）．设时系数最大，则，解得，又，则，2，所以系数最大的项有两项，分别是，.17.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）证明：当时，．答案：（1）当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增．（2）证明：由（1）得，当时，．要证，即证，即证恒成立．令（），则，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，则恒成立，所以当时，恒成立．解析：思路：（1）先对函数求导，然后分、两种情况讨论导数的正负，从而可求出函数的单调区间；（2）构造函数，通过导函数求其最小值，最小值大于零即可.（1）的定义域为，．当时，由于，则，故恒成立，所以在上单调递减．当时，令，解得，当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增．综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增．（2）略18.设正整数，甲、乙两人进行轮流投篮练习（甲先投），单次投篮甲命中的概率为，乙命中的概率为，各次投篮相互独立．约定如下规则：某一方首次投中则本轮结束，该方得1分，另一方得0分；若连续次投篮（甲、乙交替）均未投中，则本轮结束，双方各得0分．共进行轮投篮练习，每轮独立重复上述规则，最终总得分高者获胜．记为单轮结束时投篮的总次数．（1）当时，求的分布列与数学期望；（2）设为正整数，当时，证明：；（3）当，时，求甲最终获胜的概率．答案：（1）的分布列为1234数学期望2（2）证明：根据条件概率公式可知，．当，即时，表示前次投篮均未投中，其中甲投篮次，乙投篮次，则．表示前次投篮均未投中，其中甲投篮次，乙投篮次，，所以．（3）解析：思路：（1）分类讨论单次投篮终止轮次的四种互斥情形，利用独立事件乘法公式计算各取值对应概率得到分布列，再结合数学期望定义式代入求值.（2）依据条件概率公式拆分式子，结合连续投篮全部未命中的独立事件概率公式分别表示与，作比值化简完成证明.（3）先算出单轮甲得分、乙得分、双方零分的三类互斥概率，再分类求出三轮后甲总分高于乙的全部得分组合的概率，求和得到甲最终获胜的总概率.（1）的可能取值为1，2，3，4．表示第一次甲命中，，表示第一次甲未命中，第二次乙命中，，表示第一次甲未命中，第二次乙未命中，第三次甲命中，，表示前三次均未命中，第四次投篮后结束（无论是否命中），，所以的分布列为1234数学期望．（2）略（3）当，时，单轮比赛中甲得1分，即第1次甲命中或第3次甲命中，(甲1分，乙0分)，乙得1分，即第2次乙命中或第4次乙命中，(乙1分，甲0分)，甲、乙均为0分的概率(甲0分，乙0分)．设3轮比赛中甲得分为，乙得分为．当，时，表示3轮比赛甲全得分，，当，时，表示3轮比赛甲2轮得分，乙1轮得分，，当，时，表示3