河南省南阳市豫南部分高中联考2025~2026学年高二下册6月期末数学试卷【附解析】

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.“”是“数列为等差数列”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件2.已知函数在处有极大值，则的极小值为（）A.4 B.2 C.1 D.03.已知函数在区间上的图象大致为（）A. B.C. D.4.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知，，，则（）A. B. C. D.6.已知，且，则的最小值为（）A.3 B. C.5 D.97.若奇函数定义域为，在区间上单调递增且，则不等式的解集为（

）A. B.C. D.8.已知定义域为的函数满足：，且，都有，则下列说法正确的是（）A. B.的图象关于直线对称C.在时取最小值 D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设等差数列的公差为，前n项和．若，，，则下列结论正确的是（）A.数列是递增数列 B.C. D.中最大的是10.已知函数，若函数有三个互不相等的零点，且，则下列结论正确的是（）A.实数的取值范围是B.的单调递减区间为，C.D.函数有4个零点11.设的图象在区间上是一条连续不断的曲线，，，，总有，则称在上是上凸函数.已知是的上凸函数，且（是的导函数），则（）A.B.C.D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知数列共11项，的前项和为，数列中的每一项可取1或2，且取1和取2的概率均为，则满足能被3整除的数列的个数为_______（用数字作答）13.若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是_______．14.设函数的定义域为，其导函数为，且满足，，则不等式的解集为___________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数：，.（1）若过定点，求的单调递增区间；（2）若值域为，求的取值范围.16.已知等差数列的前项和为，且，；数列满足（1）求数列和的通项公式；（2）记，求数列的前项和．17.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）判断函数的零点个数，并说明理由；（3）若对任意的，都有成立，求整数k的最大值．18.某工厂去年12月试生产1100个智能机器人产品，产品合格率为90%，从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品.1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高10%，产品合格率比前一个月增加0.4%，设从今年1月起，各月的产量以及不合格率分别构成数列，.（可能用到的参考数据：）（1）求数列，的通项公式.（2）设从今年1月起，各月的不合格品的数量构成数列，求的值.19.已知函数是定义在上的奇函数．（1）求函数的解析式；（2）判断函数在定义域上的单调性，并用定义加以证明；（3）解不等式：.

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.“”是“数列为等差数列”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件答案：B解析：解答过程：必要性验证：若数列为等差数列，根据等差中项的性质：对任意，若，则，令，可得，故必要性成立；充分性验证：若仅满足，无法推出数列为等差数列，例如构造数列：，此时，，满足，但该数列相邻项差值不恒定，不是等差数列，故充分性不成立，因此该条件是数列为等差数列的必要不充分条件.2.已知函数在处有极大值，则的极小值为（）A.4 B.2 C.1 D.0答案：D解析：思路：求导后，根据极值点定义可知，由此可得或，分别验证和两种情况下，是否为的极大值点，由此可确定的取值，并根据极小值定义求得结果.解答过程：，，解得：或；当时，，，当时，；当时，；在，上单调递增，在上单调递减，是的极小值点，不符合题意；当时，，，当时，；当时，；在，上单调递增，在上单调递减，是的极大值点，符合题意，此时函数在时取极小值，极小值为，综上所述：的极小值为.3.已知函数在区间上的图象大致为（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：根据函数图像的对称性和特殊点的函数值判断.解答过程：因为,因此是奇函数，图像关于原点对称，排除选项C（偶函数图像，关于轴对称）；当时，分子，分母，因此，选项B中时函数值为负，矛盾，排除B；取，计算的值接近8，说明附近函数值仍接近8，选项A中的函数值和8相差比较大，排除A；因此，只有选项D符合所有特征.4.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：A解析：解答过程：若，则，则充分性成立；若，则满足，但不满足，故必要性不成立，故“”是“”的充分不必要条件.5.已知，，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：构造辅助函数，利用导数判断函数的单调性，代入即可比较三者大小．解答过程：比较与的大小：构造函数，定义域为，求导得，当时，，故，在上单调递增，因此，即，整理得；比较与的大小：构造函数，定义域为，求导得，当时，，故，所以在上单调递增，因此，即，整理得，所以．6.已知，且，则的最小值为（）A.3 B. C.5 D.9答案：D解析：思路：由条件得到，再结合乘1法即可求解.解答过程：因为，且，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为9.故选：D.7.若奇函数定义域为，在区间上单调递增且，则不等式的解集为（

）A. B.C. D.答案：A解析：思路：原不等式等价于或，然后由函数单调性，奇偶性结合题设可得答案.解答过程：因为奇函数在区间上单调递增且，所以函数在区间上单调递增且，因此，当或时，；当或时，，不等式等价于或，解得或，所以不等式的解集为.8.已知定义域为的函数满足：，且，都有，则下列说法正确的是（）A. B.的图象关于直线对称C.在时取最小值 D.答案：D解析：解答过程：令，则，故，故A错误；因为，所以的函数图象关于点中心对称，故B错误；因为，都有，所以在上单调递增，因为的函数图象关于点中心对称，所以在上单调递增，则在上单调递增，则无最小值，故C错误；，故D正确.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设等差数列的公差为，前n项和．若，，，则下列结论正确的是（）A.数列是递增数列 B.C. D.中最大的是答案：BC解析：思路：根据题设，利用等差数列的前项和公式可得，，即可判断A，对于B，根据条件，利用数列的对称性，即可求解，对于C，根据条件建立不等式，即可求解；对于D，利用，，即可求解.解答过程：设等差数列的首项为，因为，，则，，整理得到，，所以，，则，，所以，所以，即，所以数列是递减数列，故A错误，对于B，因为，则，所以B正确，对于C，由，得，由，可得，所以C正确；对于D，因为时，，时，，所以中最大的是，故D不正确．10.已知函数，若函数有三个互不相等的零点，且，则下列结论正确的是（）A.实数的取值范围是B.的单调递减区间为，C.D.函数有4个零点答案：BCD解析：思路：作出函数的图象，结合图象逐一判断即可．解答过程：作出函数的大致图象，如图．对于A，因为函数有三个互不相等的零点，则函数与的图象有三个不同的交点．结合图象可得，故A不正确．对于B，由函数的图象可知其单调递减区间为，，故B正确．对于C，由函数的图象可知，且，所以，即，所以，故C正确．对于D，设，则．令，由函数的图象，得或．当，即时，则，解得；当，即时，所以或，解得或或，所以函数有4个零点，故D正确．11.设的图象在区间上是一条连续不断的曲线，，，，总有，则称在上是上凸函数.已知是的上凸函数，且（是的导函数），则（）A.B.C.D.答案：AD解析：思路：根据导函数推得单调性比较大小、导数几何意义判断各个选项.解答过程：对于A，由，知得在递增，因为，所以，选项A正确；对于B，因为在上是“上凸”函数，由导数的几何意义知，随着的增大，曲线在某点的切线的斜率越来越小，所以，，选项B错误；对于C，D，设，，由切线的几何意义知，，即，即.选项C错误D正确.故选：AD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知数列共11项，的前项和为，数列中的每一项可取1或2，且取1和取2的概率均为，则满足能被3整除的数列的个数为_______（用数字作答）答案：解析：思路：按讨论能被3整除的四种情况计算即可.解答过程：由古典概型可知，数列共有种情况，能被3整除的四种情况如下：⑴中由10个1，1个2，由种情况.⑵中由7个1，4个2，由种情况.⑶中由4个1，7个2，由种情况.⑷中由1个1，10个2，由种情况.所以所求个数为故答案为：13.若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是_______．答案：解析：思路：求，根据分离参数，构造函数可得的取值范围.解答过程：∵，∴，∵在区间内存在单调递增区间，∴在上有解，故在上有解，令，则，∵，∴，即在上为减函数，∴，故．故答案为：.14.设函数的定义域为，其导函数为，且满足，，则不等式的解集为___________.答案：解析：思路：结合题意构造函数，判断其单调性，将化为，利用函数的单调性，即可求得答案.解答过程：设，则，由于，故，即，则在R上单调递减，又，即为，即，故，则不等式的解集为，故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数：，.（1）若过定点，求的单调递增区间；（2）若值域为，求的取值范围.答案：（1）（2）解析：思路：（1）先由过定点求出，再由真数大于零求出定义域，根据复合函数的单调性可得答案；（2）由题意可知可以取到的任何数，令，然后分、、讨论可得答案.（1）由过定点，则，即，解得，所以，由得函数的定义域是：，因为在上单调递增，在上单调递减，可得在上单调递增，在上单调递减，所以的单调递增区间是；（2）若值域为，则可以取到的任何数，令，当时，，显然可以取到的任何数，故成立；当时，开口向上，只需要其，即，即，解得，又，故；当时，开口向下，不可以取到的所有值，故不符合；综上可知，的取值范围是.16.已知等差数列的前项和为，且，；数列满足（1）求数列和的通项公式；（2）记，求数列的前项和．答案：（1），（2）解析：思路：（1）应用等差数列的前n项和公式求基本量，即可得通项公式，根据递推式得，从而有，作差即可得；（2）根据（1）得，应用裂项相消法求和.（1）设等差数列的公差为，由，得，；，，当且时，，两式相减得，则；当时，，满足；综上所述：；（2），则；17.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）判断函数的零点个数，并说明理由；（3）若对任意的，都有成立，求整数k的最大值．答案：（1）（2）函数的零点个数为2．，理由如下：因为，定义域是，所以．当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，也是最小值，．因为，，所以由函数零点存在定理，得在内和内各存在一个零点，所以函数的零点个数为2．（3）3解析：思路：（1）利用导数的几何意义求解切线方程；（2）利用零点存在定理求解函数的零点个数；（3）将原不等式问题等价转化为，从而得到整数k的最大值.（1）因为，，所以，所以曲线在点处的切线的斜率为，又因为，所以曲线在点处的切线方程为，即．（2）略；（3）因为对任意的，都有，所以．设，，则．由（2）知，在上单调递增．因为，，所以在内存在唯一的零点，即．所以当时，，所以，在上单调递减；当时，，所以，在上单调递增．所以在处取得极小值，也是最小值，．因为，所以．所以，所以整数k的最大值为3．18.某工厂去年12月试生产1100个智能机器人产品，产品合格率为90%，从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品.1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高10%，产品合格率比前一个月增加0.4%，设从今年1月起，各月的产量以及不合格率分别构成数列，.（可能用到的参考数据：）（1）求数列，的通项公式.（2）设从今年1月起，各月的不合格品的数量构成数列，求的值.答案：（1），（2）1776解析：思路：（1）确定数列是等比数列可得通项公式，先求出合格率构成的数列（是等差数列），然后可得不合格率数列通项公式；（2）用错位相减法求和．（1）由题意是等比数列，首项为，公比为；合格率构成以为首项，为公差的等差数列，所以，；（2）由（1）可得：，①，②，①—②得，，，．19.已知函数是定义在上的奇函数．（1）求函数的解析式；（2）判断函数在定义域上的单调性，并用定义加以