河南省平顶山市2025~2026学年高二下册7月期末考试（A卷）数学试卷【附解析】

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在等差数列中，，，则的公差为（）A. B.2 C.3 D.42.已知空间直角坐标系中的满足，，则（）A. B.3 C. D.53.经过抛物线与的两个交点的直线方程为（）A. B. C. D.4.已知y关于x的经验回归方程为.若，.则v关于u的经验回归方程为（）A. B.C. D.5.若数列的前6项满足恒等式，则的前5项和为（）A. B.1 C.0 D.6.已知，则圆上任意一点到直线的距离的最大值为（）A.2 B.3 C.5 D.67.已知随机变量，且，则（）A. B. C. D.8.已知圆：与圆C：，若以直线上任意一点P为圆心，以点P到圆的切线长为半径作圆，该圆始终与圆C有公共点，则实数m的最小值为（）A. B. C. D.6二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在正八面体中（正八面体是由个全等的正三角形围成的多面体），四边形为正方形，E，F，G，H分别为，，，的中点，则（）A. B. C. D.10.在某次实验中，某同学根据4个样本点，，，，利用最小二乘法得到关于的经验回归方程，设对应的回归直线为：.已知这4个样本点到的距离均不超过，记，其中为观测值，为预测值，为对应的残差.（注：由最小二乘法所得残差满足，），则（）A.样本点对应的残差为1 B.样本点到的距离为C. D.11.设曲线：，过上横坐标为t的点作切线，切线与坐标轴分别交于点，，记，则（）A.的轨迹与x轴仅有一个交点 B.的轨迹与y轴仅有一个交点C.的轨迹在第二象限仅有一个最高点 D.的轨迹在第四象限仅有一个最低点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.双曲线的离心率为_____.13.端午节期间，某公司团建策划了“水上龙舟赛”“包粽子”“水上拔河”“挂艾草”四大活动，甲、乙、丙3名员工每人从中至少选择一个活动，且每个活动都恰有1人选择，则不同的选择方式共有____种（用数字作答）.14.方程的解的个数为______．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在三棱柱中，平面，，，.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.16.在某双通道通信实验中，系统每次会独立输出一个信号对，其中状态指示值.工程师截获了连续输出的100个信号对作为样本，统计发现这100个信号对中x的值总和为140，y的值总和为150，设该样本中信号对（1，1）出现的频数为，并以样本频率作为单次输出相应事件概率的估计值.（1）直接补全下列列联表（用m表示）：单位：个合计合计100（2）若按样本频率得到的x与y相互独立，即.（i）求m的值，并计算单次输出时满足的概率p；（ii）现该系统继续独立输出4个信号对，记满足的信号对个数为X，求X的分布列与数学期望.附：，其中.17.黑板上先写有两个数1，1，记为第1行.由第n行得到第行的规则如下：保持原有各数及顺序不变，并在每两个相邻数之间插入这两个数的和.例如：前三行为1，1→1，2，1→1，3，2，3，1.设第n行所有数之和为.（1）证明是等比数列，并求的通项公式；（2）记第n行中位于偶数位置的所有数之和为，求的通项公式.18.在平面直角坐标系中，已知椭圆：，且点到C的上顶点以及右顶点的距离分别为和1.（1）求的标准方程.（2）过点T的直线与交于A，B两点，设M为线段的中点.（i）证明：点M在曲线上；（ii）若的面积为，求的方程.19.已知定义在上的函数的零点为，且，，.（1）试猜想数列的通项公式，并加以验证；（2）求数列的最小值与数列的最小值；（3）证明：是递增数列

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在等差数列中，，，则的公差为（）A. B.2 C.3 D.4答案：A解析：解答过程：由等差数列的性质，得，解得，故的公差.2.已知空间直角坐标系中的满足，，则（）A. B.3 C. D.5答案：C解析：解答过程：由向量加法得，所以.3.经过抛物线与的两个交点的直线方程为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：联立求出交点坐标，进而求出直线方程.解答过程：联立，得，即，解得或，所以两抛物线的交点为，，故过两个交点的直线方程为.4.已知y关于x的经验回归方程为.若，.则v关于u的经验回归方程为（）A. B.C. D.答案：B解析：解答过程：由，，得，代入，得，所以.5.若数列的前6项满足恒等式，则的前5项和为（）A. B.1 C.0 D.答案：D解析：思路：根据二项式定理求出，求和即可.解答过程：由二项式定理，得，所以.的所有项依次为，5，，10，，1，则的前5项和为.6.已知，则圆上任意一点到直线的距离的最大值为（）A.2 B.3 C.5 D.6答案：C解析：思路：求圆心到直线的距离，得到圆上到直线距离的最大值.解答过程：该圆的圆心为，半径为3，圆心到直线的距离为，所以该圆上任意一点到该直线距离的最大值为2+3=5.7.已知随机变量，且，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用正态分布对称性得，再用条件概率公式计算得结果.解答过程：因为X服从均值为0的正态分布，所以其正态曲线关于直线对称，由，得，于是，且，所以.8.已知圆：与圆C：，若以直线上任意一点P为圆心，以点P到圆的切线长为半径作圆，该圆始终与圆C有公共点，则实数m的最小值为（）A. B. C. D.6答案：B解析：思路：先设直线上点，由切线长公式写出以为圆心的圆半径平方；两圆有公共点等价于，化简发现恒成立，只需保证对任意成立，整理得到含根号的不等式，分与讨论，平方后转化为开口向上的二次函数在恒非负，由判别式求得，即最小值为．解答过程：设，记，点P到圆O的切线长为，则，圆C的半径为3，所作圆与圆C有公共点等价于，因为，所以.又，所以，所以恒成立，由，得，整理得，即①对任意实数成立，当时，①式成立；当时，①式两边平方，得，即，也即②，若，则②式成立，且圆心到直线的距离为，满足题意；若，取，此时，②式不成立，综上所述，实数的最小值为．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在正八面体中（正八面体是由个全等的正三角形围成的多面体），四边形为正方形，E，F，G，H分别为，，，的中点，则（）A. B. C. D.答案：ABC解析：思路：先根据题意建立空间直角坐标系，再设，到平面的距离为，从而找出所需点的坐标，从而得到所需向量的坐标，进而根据空间向量平行，及垂直的判定逐一判断即可．解答过程：以正八面体的中心为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，设，到平面的距离为，则，则，，，，，，又E，F，G，H分别为，，，的中点，则，，，，对于A，由，，则，故A正确；对于B，由，，则，故B正确；对于C，结合选项A、B，由，则，故C正确；对于D，由，，，得与不垂直，故D错误．10.在某次实验中，某同学根据4个样本点，，，，利用最小二乘法得到关于的经验回归方程，设对应的回归直线为：.已知这4个样本点到的距离均不超过，记，其中为观测值，为预测值，为对应的残差.（注：由最小二乘法所得残差满足，），则（）A.样本点对应的残差为1 B.样本点到的距离为C. D.答案：BD解析：思路：利用残差的定义与性质列方程，再结合点到直线的距离约束筛选参数，逐一验证选项即可.解答过程：选项A，由题意可知残差，四个样本点的残差依次为，，，，样本点对应的残差为，A错误；选项B，点到的距离为，B正确；选项C，因为，，所以，即，且，即，将代入，得，解得或，C错误；选项D，点到直线的距离为，由题意得，对于点，有，所以，故，故，C错误，D正确.11.设曲线：，过上横坐标为t的点作切线，切线与坐标轴分别交于点，，记，则（）A.的轨迹与x轴仅有一个交点 B.的轨迹与y轴仅有一个交点C.的轨迹在第二象限仅有一个最高点 D.的轨迹在第四象限仅有一个最低点答案：ABC解析：思路：先求切线方程与坐标轴的交点，利用中点关系得到的参数坐标，消参得到轨迹，再通过导数分析单调性与极值，判断轨迹与坐标轴的交点、象限内的最值情况.解答过程：由，得，曲线在横坐标为t的点处的切线为，即，令，得横坐标，即；令，得纵坐标，即，由可知，是的中点，则；设，则，消去得.选项A，令，则，仅与轴交于，A正确；选项B，令，则，仅与轴交于，B正确；选项C，求导，则，为极大值点，此时，点在第二象限，即最高点，C正确；选项D，，函数单调递减，第四象限无最低点，D错误.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.双曲线的离心率为_____.答案：解析：思路：先将方程化为标准形式，确定，求出离心率.解答过程：由，得，所以双曲线的焦点在y轴上，且，，从而，，所以双曲线的离心率为.13.端午节期间，某公司团建策划了“水上龙舟赛”“包粽子”“水上拔河”“挂艾草”四大活动，甲、乙、丙3名员工每人从中至少选择一个活动，且每个活动都恰有1人选择，则不同的选择方式共有____种（用数字作答）.答案：36解析：思路：先把4项活动按2,1,1分组，再将三组全排列分配给3人，分步相乘得到结果.解答过程：先将4个活动分为2个、1个、1个共三组，分组方法数为，再将分好的三组全排列，分配给3名不同的员工，排列方法数为，根据分步乘法计数原理，不同的选择方式共有6×6=36种.14.方程的解的个数为______．答案：解析：思路：构造函数，求，再构造，求，从而根据的符号判断的单调性，再结合零点存在定理得到的符号，从而得到的单调性，再结合零点存在定理即可确定的零点个数，进而确定该方程的解的个数．解答过程：令，，则，令，，则，所以单调递增，又，，所以在区间内有唯一零点，记为，所以在内单调递减，在上单调递增，又，，由函数零点存在定理及函数的单调性可知在区间内有且仅有一个零点，又，且，所以在区间内有且仅有一个零点，故原方程的解的个数为．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在三棱柱中，平面，，，.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.答案：（1）证明：因为平面，平面，所以，又，，平面，得平面.（2）解析：思路：（1）由线面垂直性质得到，进而证得.（2）建系求的法向量后算正弦值.（1）略（2）以为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设，可得，，，，，则，，.设平面的法向量为，则有即取，则，记直线与平面所成的角为，故.16.在某双通道通信实验中，系统每次会独立输出一个信号对，其中状态指示值.工程师截获了连续输出的100个信号对作为样本，统计发现这100个信号对中x的值总和为140，y的值总和为150，设该样本中信号对（1，1）出现的频数为，并以样本频率作为单次输出相应事件概率的估计值.（1）直接补全下列列联表（用m表示）：单位：个合计合计100（2）若按样本频率得到的x与y相互独立，即.（i）求m的值，并计算单次输出时满足的概率p；（ii）现该系统继续独立输出4个信号对，记满足的信号对个数为X，求X的分布列与数学期望.附：，其中.答案：（1）合计6040合计5050100（2）（i），（ii）X的分布列为01234.解析：思路：（1）利用数值总和建立方程组，求出各行各行、各列合计频数，再用表示四类信号频数完成填写；（2）（i）卡方值为0等价于变量独立，满足求出，统计总频数，除以样本总数得对应概率；（ii）单次试验独立且成功概率恒定，判定服从二项分布，即，套用二项分布公式写分布列、用求期望.（1）设在这100个信号对中，出现的频数为，出现的频数为，依题意可得解得设在这100个信号对中，出现的频数为，出现的频数为，依题意可得解得由信号对（1，1）的频数为，可得当时，与的频数分别为与，当时，与的频数分别为与.故补全的列联表如下：单位：个合计6040合计5050100（2）（i）由，得，解得.由上述结果可知信号对（2，2）出现的频数为30-10=20，故样本中满足的总频数为30+20=50，将此样本频率视为概率即可得到单次输出时满足的概率.（ⅱ）由题干可知每次输出信号对相互独立，且每次满足的概率均为，由此判断随机变量X服从二项分布，即.随机变量X的所有可能的取值为0，1，2，3，4，，，，，.则X的分布列为01234因为，所以.17.黑板上先写有两个数1，1，记为第1行.由第n行得到第行的规则如下：保持原有各数及顺序不变，并在每两个相邻数之间插入这两个数的和.例如：前三行为1，1→1，2，1→1，3，2，3，1.设第n行所有数之和为.（1）证明是等比数列，并求的通项公式；（2）记第n行中位于偶数位置的所有数之和为，求的通项公式.答案：（1）证明：由第行得到第行时，原有各数及顺序保持不变，并在每两个相邻数之间插入这两个数的和，因为每一行首尾均为1，所以第行所有相邻两数之和的总和为，于是，即，又，所以，故数列是首项为1，公比为3的等比数列，从而，即.（2）解析：思路：（1）通过分析第行到第行的和的递推关系，构造出，证明是等比数列，进而求出的通项；（2）先利用第行偶数位置数的来源，建立与的关系，再代入的通项，分和得到的分段通项.（1）略（2）当时，第1行为1，1，所以.当时，第行偶数位置上的数正好是由第行相邻两数相加插入得到的数，所以.由，得.因此的通项公式为18.在平面直角坐标系中，已知椭圆：，且点到C的上顶点以及右顶点的距离分别为和1.（1）求的标准方程.（2）过点T的直线与交于A，B两点，设M为线段的中点.（i）证明：点M在曲线上；（ii）若的面积为，求的方程.答案：（1）（2）（i）证明：当直线不垂直于轴时，设其方程为.代入，得，整理得.设交点A，B的横坐标分别为，，则，所以中点M的横坐标为.因为点M在直线上，所以中点M的纵坐标为.于是，即点在曲线上.当直线垂直于轴时，直线的方程为，易得线段的中点也满足.综上，点M在曲线上.（ii）或.解析：思路：（1）利用椭圆顶点坐标与两点间的距离公式，直接