河南省普通高中2025~2026学年高一下册7月期末数学试卷【附解析】

河南省部分普通高中2025-2026学年高一下学期7月期末联考数学试题一、单选题1．样本数据，，，，的平均数为（

）A． B． C． D．2．在中，若，，，则的大小为（

）A． B． C．或 D．或3．设复数，．若为实数，则（

）A． B．2 C． D．44．已知向量满足，且满足，则的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．45．已知圆台的高为3，轴截面面积为15，体积为19π，则其母线与底面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．6．已知事件与事件相互独立，若，，则（

）A． B． C． D．7．已知锐角的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，则的取值范围是（

）A．（0,9） B．（0,27） C． D．8．已知圆锥的侧面积为，母线与底面的夹角为．若半径的小球在该圆锥内滚动，则在滚动过程中，圆锥的底面被小球滚动过的区域最大面积为（

）A． B． C． D．二、多选题9．下列说法正确的是（

）A．所有面都是三角形的多面体一定是三棱锥B．棱柱的侧棱平行且相等C．圆台的母线长不一定相等D．半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面为球面10．在中，，，，则（

）A． B．的面积为C．外接圆的直径是 D．若是的中线，则11．一质地均匀正八面体,八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件“得到的点数为奇数”，事件“得到的点数不大于4”，事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（

）A．事件B与C互斥 B．C．事件A与C相互独立 D．事件与相互独立三、填空题12．已知向量、满足，，，则_______．13．在直三棱柱中，，则直三棱柱的外接球表面积为________．14．一组数据6，4，，8，6，10，12的平均数为7，则该组数据的上四分位数为_______.四、解答题15．在复平面内，是原点，向量对应的复数是，向量对应的复数是，.(1)若是纯虚数，求m；(2)若，的夹角为锐角，求m的取值范围.16．已知的内角，，的对边分别为，，，从下面三个条件中选取一个解答问题：①；②；③．(1)求角的大小；(2)若，的面积为，求的周长．17．已知向量，满足，，与的夹角为．(1)求；(2)若向量，，求的值；(3)若在方向上的投影向量为，求（）的最小值．18．2025年8月31日，哈尔滨马拉松赛事成功举行，志愿者服务是赛事有序开展的重要保障，共青团哈尔滨市委员会统筹了志愿者选拔的面试工作，现随机抽取了名候选志愿者的面试成绩，已知名候选志愿者的分数全部介于分到分之间（满分分），工作人员将所有测试分数分成组：，，，，，整理得到如图所示的频率分布直方图．(1)求的值；(2)由频率分布直方图估计这名候选志愿者面试分数的平均数以及第百分位数；(3)此前工作人员已按照分层抽样的方法，从分数在内的候选志愿者中抽取出甲、乙、丙、丁、戊人，查阅他们的答题记录．求从甲、乙、丙、丁、戊人中选出人进行复核面试时，所选出的人中恰有人分数在内的概率．19．若四面体任意顶点在对面的投影恰好为该面三角形的垂心，则称该四面体为垂心四面体．如图，中，，，，在上取一点，将沿折叠到某个位置得到，使得三棱锥为垂心四面体．(1)求证：；(2)求与平面的夹角的正弦值；(3)设动点在棱上，动点在棱上，满足，记平面与平面所成锐二面角为，求的最小值及此时的值．《河南省部分普通高中2025-2026学年高一下学期7月期末联考数学试题》参考答案题号12345678910答案DBAADDBABDAD题号11答案BD1．D解析：由题，2．B解析：在中，由正弦定理得，，所以，由于，所以，又，所以.3．A解析：由题意得，若为实数，则，即.4．A解析：将两边平方，得：，代入已知，，可得，，且，代入上式得：，整理计算得，即，因此的值为1.5．D解析：设圆台上、下底面半径分别为，，其中，母线长为．圆台的轴截面是上、下底分别为，，高为的等腰梯形．由轴截面面积为，得所以．由圆台的体积公式，得所以．因为，所以．于是由，得．在轴截面内，母线、高以及两底面半径之差构成直角三角形，所以6．D解析：由题设，又，则，整理得，由，且，可得，所以.7．B解析：由余弦定理知．又是锐角三角形，所以且，得所以，则，又，令，因为在单调递增，又，.故的取值范围是．8．A解析：设圆锥母线长为，底面圆半径为，则.因母线与底面的夹角为，则圆锥轴截面为等边三角形，从而.如下图作出圆锥轴截面，小球与底面相切于.设底面中心为，连接.由题可得为有一个角为的直角三角形，又，则，又由题可得小球可滚动区域为一个圆，则圆半径为，从而被小球滚动过的区域最大面积为.9．BD解析：对A，因为正八面体每个面都是三角形，所以A错误；对B，棱柱的侧棱平行且相等，所以B正确；对C，圆台的母线长都相等，所以C错误；对D，球面就是半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面，所以D正确.10．AD解析：已知在中，，，，由二倍角公式：，代入得：，因为，所以.对于A选项，由余弦定理：，即，故A选项正确；对于B选项，三角形面积公式：，故B选项错误；对于C选项，由正弦定理（为外接圆直径）：，故C选项错误；对于D选项，因为是的中线，所以，所以，由余弦定理得：，即，代入数值得：，故D选项正确.11．BD解析：由题意：事件，事件，事件，由于，所以事件B与C不互斥，A错误；由于，所以，B正确；由于，即，即，所以事件A与C不独立，C错误；由于，即，即，所以事件与相互独立，D正确.12．解析：因为，所以，即，因为，，则，解得，故.13．解析：由题意可得，该直三棱柱的外接球的表面积等于将该直棱柱补充为长方体后长方体外接球的表面积，其体对角线为外接球直径，设外接球半径为，则，所以外接球的表面积为.14．10解析：由题意可得：，解得，将数据按升序排列可得：3，4，6，6，8，10，12，则，从小到大，选择第6个数据作为上四分位数，即10.15．(1)(2)解析：（1）由于是纯虚数，所以.（2）由向量对应的复数是，向量对应的复数是可得，，若，的夹角为锐角，则且，的夹角不为0,那么解得，且，所以，m的取值范围.16．(1)(2)解析：（1）选①：由得，由正弦定理得：．即，即，因为，所以，又因为C为三角形内角，所以；选②：由和正弦定理，得，由余弦定理，得，又因为C为三角形内角，所以；选③：由和正弦定理得，整理得，则由余弦定理，，又因为C为三角形内角，所以；（2）由，所以，由余弦定理，，得，即，则，所以，故的周长为．17．(1)(2)(3)解析：（1）因为，满足，，与的夹角为，所以.（2）因为，又，且，所以.（3）由题知，在方向上的投影向量为，所以，所以当时，的最小值为.18．(1)(2)平均数73，第30百分位数66.25(3)解析：（1）由题可得组距为10，所以，解得.（2）由小问（1）可得，计算各组的中点及频率，的中点为55，频率为，的中点为65，频率为，的中点为75，频率为，的中点为85，频率为，的中点为95，频率为，则平均数，累计频率为，累计频率为，则第30百分位数位于内，设为x，则，解得.（3）的人数为人，的人数为人，人数比为，所以中抽取4人设为甲、乙、丙、丁，中抽取1人设为戊，从这5人中抽取2人有，，，，，，，，，，一共10种选法，恰有1人在内有，，，一共4种选法，则概率为.19．(1)设点在平面的投影为，连接．在三角形中，，即翻折后与不垂直，从而,不重合，由是的垂心得，因为平面平面，所以，又因为，平面，所以平面.因为平面，所以．(2)；(3)时，取得最小值．解析：（1）略（2）同（1）可得，在平面内，过作交于点，又因为，平面，所以平面.又平面，所以，由及勾股定理得：，等价为：①又平面，所以，由及勾股定理得：②联立①②得：，结合题意，解