河南省新乡市2025~2026学年高二下册7月期末数学试卷【附解析】

数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.（）A. B. C. D.2.已知命题；命题，则（）A.和都是真命题 B.和都是真命题C.和都是真命题 D.和都是真命题3.已知等差数列的前项和为，若，则（）A.1 B.2 C.3 D.114.已知双曲线的两个焦点分别为，点在上，则的离心率为（）A. B.3 C.2 D.5.已知是定义在上且周期为4的奇函数，则下列判断不一定正确的是（）A. B. C. D.6.某城市规划在江边打造休闲步道，规划人员以江边入口为起点，将步道的路径分为三段：第一段从入口出发，沿正东方向直行400米到达点；第二段从点出发，沿北偏东方向直行米到达点；第三段从点出发，沿北偏西方向直行500米到达终点，则起点到终点的距离（）附：．A.百米 B.百米 C.百米 D.百米7.已知圆锥SO的侧面积为，则该圆锥体积的最大值为（）A. B. C. D.8.已知A，B，C分别是椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，点在椭圆上且位于第四象限，连接PC与轴交于点．若的面积比的面积大1，则点的横坐标为（）A.1 B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知集合，则集合可能是（）A. B.N C. D.10.已知函数，则（）A.在上有两个零点 B.的图象关于直线对称C.在上单调递减 D.在上的最小值为11.已知数列，从第二项起，每一项与其前一项的差组成的数列称为的一阶差数列，记为，依此类推，的一阶差数列称为的二阶差数列，记为的一阶差数列为．已知数列满足的二阶差数列的通项公式为是的前项和，是数列的前项和，则（）A. B. C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若，则___________．13.从名运动员（包含甲）中选人组成一队参加米接力赛并确定接力棒次，若甲不跑第一棒，则不同的安排方案数为___________．14.已知，若函数的最大值为1，则的最小值为___________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求和；（2）若的面积为，求．16.如图，在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，．（1）证明：平面平面ABC；（2）若平面ABC，且，连接PD，AD，求直线BP与平面PAD所成角的正弦值．17.已知抛物线的焦点为F，M是的准线与轴的交点，是上的一点，且．（1）求的方程；（2）已知为坐标原点，过点的直线与交于A，B两点，若为的重心，求直线OG的斜率的最大值．18.某零件生产车间对甲、乙两台机器生产的零件进行检验，甲生产的零件占，乙生产的零件占，甲生产的零件的合格率为，乙生产的零件的合格率为．（1）从甲、乙两台机器生产的零件中随机抽取1个，求该零件合格的概率．（2）若从乙生产的零件中随机抽取10个，其中有个合格品的概率为，求为何值时，取得最大值．（3）若甲生产了7个零件，其中有3个零件不合格，现从这7个零件中不放回地抽取零件进行检测，每次抽取1个零件，直到将所有不合格零件全部检测出时终止．每个零件在每一次抽取时被抽出的概率是相等的．用表示抽取零件终止时所需要的抽取次数，求的分布列和期望．19.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若是的两个极值点，证明：；（3）若，且有两个零点，求的取值范围．

数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：．2.已知命题；命题，则（）A.和都是真命题 B.和都是真命题C.和都是真命题 D.和都是真命题答案：C解析：思路：通过判断，的真假，得到，的真假，即可解题.解答过程：对于命题一定成立，故是真命题，是假命题；对于命题，，所以，故是假命题，是真命题．综上，和都是真命题．3.已知等差数列的前项和为，若，则（）A.1 B.2 C.3 D.11答案：B解析：思路：根据等差数列求和公式及下标和定理即可求解．解答过程：由题意得，故．4.已知双曲线的两个焦点分别为，点在上，则的离心率为（）A. B.3 C.2 D.答案：D解析：思路：根据两点之间距离公式分别求得，由双曲线定义得出，由离心率公式即可求解．解答过程：由题意，设，则，，，所以，则离心率．5.已知是定义在上且周期为4的奇函数，则下列判断不一定正确的是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：结合周期性与奇函数定义判断即可得.解答过程：因为是定义在上的奇函数，所以，又的周期为4，所以，由周期性得，由奇函数得，所以，故B，C，D均正确，无法判定．6.某城市规划在江边打造休闲步道，规划人员以江边入口为起点，将步道的路径分为三段：第一段从入口出发，沿正东方向直行400米到达点；第二段从点出发，沿北偏东方向直行米到达点；第三段从点出发，沿北偏西方向直行500米到达终点，则起点到终点的距离（）附：．A.百米 B.百米 C.百米 D.百米答案：B解析：解答过程：以为坐标原点，正东方向为轴的正方向，正北方向为轴的正方向建立直角坐标系，则，，所以，则米百米．7.已知圆锥SO的侧面积为，则该圆锥体积的最大值为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：设圆锥SO的底面半径为，结合体积公式得到，再构造函数，求导，研究单调性，即可求解.解答过程：设圆锥SO的底面半径为，母线长为，则，即，所以该圆锥的体积，又由，可得．令，则，当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，故，所以该圆锥体积的最大值为．8.已知A，B，C分别是椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，点在椭圆上且位于第四象限，连接PC与轴交于点．若的面积比的面积大1，则点的横坐标为（）A.1 B. C. D.答案：C解析：解答过程：由题意得，由题可知，又，所以．设为坐标原点，则，所以，设，则，解得.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知集合，则集合可能是（）A. B.N C. D.答案：ABD解析：解答过程：由题可知．对于A，若，则，故A正确；对于B，若，则，故B正确；对于C，若，则，故C错误；对于D，若，则，故D正确．10.已知函数，则（）A.在上有两个零点 B.的图象关于直线对称C.在上单调递减 D.在上的最小值为答案：AD解析：思路：根据三角函数的性质及导数研究三角函数的性质计算判断各个选项；解答过程：对于A，令，可得，即，当时，或，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，，当时，，故，所以在上单调递增，故C错误；对于D，当时，，所以在上单调递减，又在上单调递增，所以在上的最小值为，故D正确．11.已知数列，从第二项起，每一项与其前一项的差组成的数列称为的一阶差数列，记为，依此类推，的一阶差数列称为的二阶差数列，记为的一阶差数列为．已知数列满足的二阶差数列的通项公式为是的前项和，是数列的前项和，则（）A. B. C. D.答案：ACD解析：思路：根据题目给出的公式求得，判断A选项；由累加法即可求得，再通过累加法求得，判断B选项；由的通项公式，通过分组求和求得，判断C选项；通过裂项相消求得，判断D选项.解答过程：对于A，由题可知，所以4，故A正确；对于B，由题可知，由累加法可知，又，所以，故，由累加法可得1），即，故所以，故B错误；对于C，因为，所以，故C正确；对于D，当时，，当时，，当时，，所以，综上，，故D正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若，则___________．答案：解析：解答过程：．13.从名运动员（包含甲）中选人组成一队参加米接力赛并确定接力棒次，若甲不跑第一棒，则不同的安排方案数为___________．答案：解析：思路：分两类讨论：一类：甲不被选中有种，二类：甲被选中有种，再由分类加法原理计算可得.解答过程：从名运动员（包含甲）中选人，分两类：第一类：若甲不被选中，从除甲之外的人中选人的排列，则有种方案，第二类：若甲被选中，先安排甲的位置有种，再从除甲之外的人中选人排其余位置，则有种方案，综上，共有种不同的安排方案．14.已知，若函数的最大值为1，则的最小值为___________．答案：##解析：思路：将问题转化为，且有解，研究两个函数的单调性和对称性，数形结合可求.解答过程：由题可知，且有解．因为，所以的图象关于直线对称，因为当时，则，则在上单调递增，因为的图象关于直线对称，且在上单调递增，所以结合与的图象可知，，且与相切，设直线与的图象相切于点，所以解得.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求和；（2）若的面积为，求．答案：（1），（2）解析：思路：（1）由题意先求出，再由正弦定理和二倍角的正弦公式化简即可求出答案；（2）由两角和差的正弦公式求出，再由三角形的面积公式即可得出答案.（1）因为，所以，又，所以，解得．因为，由正弦定理得，所以，所以，即．（2），由，可得，所以的面积为，解得．16.如图，在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，．（1）证明：平面平面ABC；（2）若平面ABC，且，连接PD，AD，求直线BP与平面PAD所成角的正弦值．答案：（1）如图，取AB的中点，连接PO，CO．因为是边长为2的等边三角形，为AB的中点，所以，且．又因为为AB的中点，所以，且．因为，所以，所以．又平面ABC，所以平面ABC，又因为平面PAB，所以平面平面ABC.（2）解析：思路：（1）取AB的中点，连接PO，CO，证明，，进而可证明平面ABC，可证明平面平面ABC；（2）法一：以为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求得平面PAD的一个法向量和直线的方向向量，利用向量法可求得直线BP与平面PAD所成角的正弦值．法二：取PA的中点，连接BM，则，可证明平面PAD，从而可得即直线BP与平面PAD所成的角．计算求解即可.（1）略.（2）方法一：由（1）得OB，OC，OP两两互相垂直，故以为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以．设平面PAD的法向量为，则即令，得，故平面PAD的一个法向量为．设直线BP与平面PAD所成的角为，则，所以直线BP与平面PAD所成角的正弦值为．方法二：如图，取PA的中点，连接BM，则．由（1）知，平面平面ABC，且，因为平面ABC，且，所以且，所以四边形POCD是平行四边形，，所以平面PAB，因为平面PAB，所以，又，所以平面PAD，所以即直线BP与平面PAD所成的角．因为是等边三角形，所以，即直线BP与平面PAD所成角的正弦值为．17.已知抛物线的焦点为F，M是的准线与轴的交点，是上的一点，且．（1）求的方程；（2）已知为坐标原点，过点的直线与交于A，B两点，若为的重心，求直线OG的斜率的最大值．答案：（1）（2）1解析：（1）易知，则，根据抛物线的定义，得，所以．因此的方程为．（2）易得，设，联立得消去得，，设的重心为，则，直线OG的斜率为，要求直线OG的斜率的最大值，需使，则直线OG的斜率为，当且仅当时，直线OG的斜率取得最大值1．18.某零件生产车间对甲、乙两台机器生产的零件进行检验，甲生产的零件占，乙生产的零件占，甲生产的零件的合格率为，乙生产的零件的合格率为．（1）从甲、乙两台机器生产的零件中随机抽取1个，求该零件合格的概率．（2）若从乙生产的零件中随机抽取10个，其中有个合格品的概率为，求为何值时，取得最大值．（3）若甲生产了7个零件，其中有3个零件不合格，现从这7个零件中不放回地抽取零件进行检测，每次抽取1个零件，直到将所有不合格零件全部检测出时终止．每个零件在每一次抽取时被抽出的概率是相等的．用表示抽取零件终止时所需要的抽取次数，求的分布列和期望．答案：（1）（2）时，取得最大值（3）解析：3456（1）设事件为“抽到甲生产的零件”，事件为“抽到乙生产的零件”，事件为“该零件合格”．由全概率公式得．（2）的所有可能取值为，则即整理得解得，而，因此，所以当时，取得最大值．（3）的所有可能取值为3，4，5，6．，，的分布列为3456.19.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若是的两个极值点，证明：；（3）若，且有两个零点，求的取值范围．答案：（1）当时，在上单调递增；当时