河南省新乡市部分学校2025~2026学年高二下册7月期末测评数学试卷【附解析】

数学满分：150分，考试时间：120分钟）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数，则（）A. B.5 C.2 D.2.已知集合，，则（）A. B. C. D.3.少林寺，位于河南省登封市，首批国家5A景区、世界文化遗产、天下第一名刹，享誉世界的禅宗祖庭和少林功夫发源地．下面统计了该景区连续8天（非节假日）的日游客量（单位：千人）：，则这组数据的第70百分位数为（）A.17 B.17.5 C.18 D.194.下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是（）A. B. C. D.5.已知数列为等差数列，为其前项和，且，则（）A.200 B.400 C.320 D.1606.已知为双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上，且，则的周长为（）A. B. C. D.7.已知随机变量的分布列为：若成等比数列，则的取值范围为（）A. B. C. D.8.已知定义在上的函数，当时，，则不等式的解集为（）A. B.C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.在中，点满足，则下列正确的是（）A. B.C. D.10.如图，在三棱锥中，平面，则下列说法正确的是（）A.平面平面B.平面C.若三棱锥为正三棱锥且体积为，则三棱锥的内切球的表面积为D.若，则“”是“”的充要条件11.已知分别是椭圆的左、右焦点，其离心率为为椭圆上任意一点，则下列说法正确的是（）A.若，则的最大值为B.若，则的最大值为9C.若的重心为，内心为，其中，不重合，则D.若的角平分线交于点，且，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若展开式共有11项，则展开式中的常数项为______．13.已知，将的图象向左平移个单位长度得到函数，且为奇函数，同时在上单调递减，则______．14.已知数列满足，，则______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15.第43届中国洛阳牡丹文化节于2026年4月1日～30日举办，今年的主题是“一路繁花向洛阳”．文化节期间，洛阳依托深厚牡丹文化与汉服文化底蕴，推出20余项特色文旅活动．为调研游客对“国色潮音盛世花开”汉服系列活动的满意度，工作人员随机采访120名游客，根据年龄将游客分成两类——青年游客和中老年游客，统计不同游客的评价情况，得到列联表如下：满意度游客类型合计青年游客中老年游客比较满意243660非常满意362460合计6060120（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为不同年龄段的游客对汉服系列活动评价存在差异？（2）若文化节期间青年游客与中老年游客人数比例为，用频率估计概率，在现场随机采访20名游客，设表示这20人中对汉服系列活动非常满意的人数，求的数学期望（不用求的分布列）．附：，．0.10.050.010.0012.7063.8416.63510.82816.在锐角三角形中，角的对边分别为，且．（1）求；（2）若，设，求的取值范围．17.如图，四棱锥的底面为矩形，平面，点分别为棱的中点．（1）证明：平面；（2）若与底面所成角为，平面平面，求平面与平面的夹角．18.已知抛物线，为坐标原点，过点的直线与抛物线交于两点，且直线与直线的斜率之积为．（1）求抛物线的方程；（2）为抛物线的焦点，若的面积为，求直线的方程；（3）若直线分别与直线交于点，证明：以为直径的圆过定点，并求出定点坐标．19.已知函数．（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；（3）若函数有2个零点，求实数的取值范围．

数学满分：150分，考试时间：120分钟）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数，则（）A. B.5 C.2 D.答案：A解析：解答过程：，则.2.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：已知集合，，联立，得，则.3.少林寺，位于河南省登封市，首批国家5A景区、世界文化遗产、天下第一名刹，享誉世界的禅宗祖庭和少林功夫发源地．下面统计了该景区连续8天（非节假日）的日游客量（单位：千人）：，则这组数据的第70百分位数为（）A.17 B.17.5 C.18 D.19答案：C解析：思路：根据百分位数定义求解.解答过程：将这8个数据从小到大排列为：，因为，所以第70百分位数为18．4.下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：对A，函数的定义域为，所以其是非奇非偶函数，所以A错误；对B，的定义域为，定义域关于原点对称，令，则，所以函数是奇函数，且函数在上单调递增，则在上也单调递增，所以函数在上单调递增，所以B正确；对C，函数的定义域为，关于原点对称，令，则，所以函数为偶函数，所以C错误；对D，函数的定义域为，定义域关于原点对称，令，则，所以函数是奇函数，但其在上单调递减，在上单调递增，所以D错误．5.已知数列为等差数列，为其前项和，且，则（）A.200 B.400 C.320 D.160答案：D解析：解答过程：因为数列是等差数列，所以成等差数列，则，即，所以.6.已知为双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上，且，则的周长为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用双曲线定义设出两焦半径，再在焦点三角形中由余弦定理列方程求边长，最后相加得周长.解答过程：因为双曲线，则，所以.因为点在双曲线右支上，所以.令，则，又因为，，所以由余弦定理得，即，即，因为，解得，即，所以，则的周长为.7.已知随机变量的分布列为：若成等比数列，则的取值范围为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用分布列性质和等比数列设公比，将用表示，再通过基本不等式求的范围，从而确定的取值上限.解答过程：由离散型随机变量分布列性质及成等比数列，得，，，.设公比为，则，且，所以，即，所以.因为，所以，所以.8.已知定义在上的函数，当时，，则不等式的解集为（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：构造函数，利用导数得其单调性及关于对称，将原不等式化为后平方求解.解答过程：令，则，因为当时，，即，所以当时，，所以函数在上单调递增，又因为，所以函数的图象关于直线对称．则不等式转化为：，即，因为的图象关于直线对称，且在上单调递增，所以，即，两边平方整理得：，解得：或，则不等式的解集为：．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.在中，点满足，则下列正确的是（）A. B.C. D.答案：BD解析：解答过程：对A，因为，所以，即，所以A错误；因为，，所以，即，所以B正确，C错误；对D，因为，所以，即，所以D正确．10.如图，在三棱锥中，平面，则下列说法正确的是（）A.平面平面B.平面C.若三棱锥为正三棱锥且体积为，则三棱锥的内切球的表面积为D.若，则“”是“”的充要条件答案：ACD解析：思路：选项A，据面面垂直的判定定理，可判断垂直关系；选项B，据线面垂直的判定定理，可判断垂直关系；选项C，根据已知求出高，再计算表面积，之后利用等体积法求内切球半径r，最后用球的表面积公式计算；选项D，根据充要条件判断.解答过程：选项A，因为平面，平面，所以平面平面，A正确；选项B，因为不一定与垂直，所以不一定与平面垂直，B错误；选项C，由题意，得，因为，所以，所以，因为三棱锥为正三棱锥，所以，，所以，所以，设内切球半径为，则，解得，则内切球表面积为，C正确；选项D，因为，即为的中点．若，且为的中点，则，又因为，平面，，所以平面，平面，所以，因为为的中点，所以；若为的中点，则，又因为平面，，所以平面平面，则，因为为中点，所以．即若，则“”是“”的充要条件，D正确．11.已知分别是椭圆的左、右焦点，其离心率为为椭圆上任意一点，则下列说法正确的是（）A.若，则的最大值为B.若，则的最大值为9C.若的重心为，内心为，其中，不重合，则D.若的角平分线交于点，且，则答案：BCD解析：思路：由离心率得到，，利用椭圆定义，结合三角不等式，可确定差的最大值，判断选项A；由焦点坐标确定椭圆方程，设坐标后计算，利用参数方程转化为三角函数求最值，判断选项B；重心坐标公式为，内心纵坐标等于内切圆半径，利用面积法和内切圆半径公式，证明与的纵坐标相同，判断选项C；设，，利用角平分线性质和得，再结合正弦定理及椭圆定义，转化为三角方程求解，判断选项D.解答过程：A项：由，得，.若，则，，.由椭圆定义，且，故的最大值为，不是，A错误.B项：若，则，，，椭圆.设，则.令，，则，当时取等，故最大值为9，B正确.C项：设，，，则重心.设内心，内切圆半径，为的面积由得，故内心的纵坐标满足关系，又内心纵坐标与纵坐标同号，因此，所以轴，即，C正确.D项：设，.由角平分线平分，且在上，则.又因为，，故，所以，即.在中，.由正弦定理，，，且，得.化简得，解得或.因，故，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若展开式共有11项，则展开式中的常数项为______．答案：45解析：解答过程：因为的展开式共有11项，所以，则展开式的通项公式为，令，则，所以展开式中的常数项为：．13.已知，将的图象向左平移个单位长度得到函数，且为奇函数，同时在上单调递减，则______．答案：或解析：思路：利用奇函数条件确定相位偏移，再结合单调递减确定符号及的取值范围，最后分类讨论得到两组可能的.解答过程：由题意，得，因为为奇函数，则，此时.因为在上单调递减，故，且，故.又因为，所以或2，因为，故.当时，，因为，所以.当时，，因为，所以，综上，或．14.已知数列满足，，则______．答案：解析：思路：将递推式配成完全平方后换，再取对数将非线性递推转化为等比数列，求出通项后代入求得.​解答过程：由题意，对等式整理可得，所以.设，则，故，等式两边取对数可得.令，则，故数列是首项为，公比为2的等比数列，所以，故，则，则．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15.第43届中国洛阳牡丹文化节于2026年4月1日～30日举办，今年的主题是“一路繁花向洛阳”．文化节期间，洛阳依托深厚牡丹文化与汉服文化底蕴，推出20余项特色文旅活动．为调研游客对“国色潮音盛世花开”汉服系列活动的满意度，工作人员随机采访120名游客，根据年龄将游客分成两类——青年游客和中老年游客，统计不同游客的评价情况，得到列联表如下：满意度游客类型合计青年游客中老年游客比较满意243660非常满意362460合计6060120（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为不同年龄段的游客对汉服系列活动评价存在差异？（2）若文化节期间青年游客与中老年游客人数比例为，用频率估计概率，在现场随机采访20名游客，设表示这20人中对汉服系列活动非常满意的人数，求的数学期望（不用求的分布列）．附：，．0.10.050.010.0012.7063.8416.63510.828答案：（1）根据小概率值的独立性检验，可以认为不同年龄段的游客对汉服系列活动评价存在差异（2）11解析：思路：（1）先明确列联表中a，b，c，d对应数值，因为要进行独立性检验，所以代入卡方公式计算统计量，再和对应的临界值比较，得出检验结论；（2）每次采访游客是否非常满意相互独立，且服从二项分布，所以用二项分布期望公式计算.（1）零假设：不同年龄段的游客对汉服系列活动评价不存在差异，则，根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即不同年龄段的游客对汉服系列活动评价存在差异，此推断犯错误的概率不超过0.05；（2）设“游客对汉服系列活动非常满意”，“游客是青年游客”，则“游客是中老年游客”，由题意可知，，，，，则．由题意可知，，则．16.在锐角三角形中，角的对边分别为，且．（1）求；（2）若，设，求的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）对已知的边的等式展开整理，结合余弦定理的形式推导角A的余弦值，因为三角形是锐角三角形，所以可确定角A的大小；（2）由已知结合三角形面积公式建立与和边b、c的关系，得到关于b、c的表达式，再通过正弦定理将b、c的比值转化为角的三角函数表达式，进而求出取值范围.（1）因为，所以，即，所以，因为是锐角三角形，所以，所以；（2）因为，所以，在中，，即；在中，，即，所以，且，则，因为是锐角三角形，所以，则，所以，因为，所以，则，即，所以．17.如图，四棱锥的底面为矩形，平面，点分别为棱的中点．（1）证明：平面；（2）若与底面所成角为，平面平面，求平面与平面的夹角．答案：（1）取的中点为，连接．因为四边形是矩形，且点为的中点，所以，且，又因为分别为的中点，所以，且，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，且平面，平面，所以平面；（2）解析：思路：（1）取PA中点G，利用中位线和平行四边形证明，根据线面平行判定定理证明即可.（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解平面与平面的夹角．（1）略（2）因为平面，四边形为矩形，所以分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示．因为与底面所成角为，即，所以．过点作，垂足为.因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，所以．又因为平面，平面，所以.又因为平面，，所以平面，平面，所以．因为为中点，所以，即为等腰直角三角形，即。又因为四边形是矩形，所以，所以，即．设，则．则，设平面的法向量为，则，即.因为，即，则，令，则，所以；设平面的法向量为，则，即，即，令，则，所以．设平面与平面的夹角为，则，所以，即平面与平面的夹角为．18.已知抛物线，为坐标原点，过点的直线与抛物线交于两点，且直线与直线的斜率之积为．（1）求抛物线的方程；（2）为抛物线的焦点，若的面积为，求直线的方程；（3）若直线分别与直线交于点，证明：以为直径的圆过定点，并求出定点坐标．答案：（1）（2）或（3）证明：直线的方程为：，所以，同理，所以以为直径的圆的方程为：，即，因为，，所以以为直径的圆的方程为：，，解得或，所以以为直径的圆过定点，且定点为与．解析：思路：（1）设出直线方程，与抛物线联立，由韦达定理可得两根之和，两根之积，根据斜率之积得到方程，求出，得到抛物线方程；（2）根据的面积得到方程，求出，得到直线方程；（3）求出以为直径的圆的方程，得到定点坐标（1）显然当直线的斜率为0时，直线与抛物线只有1个交点，不合要求，舍去；设直线的方程为，与抛物线联立得①，设，则，因为，所以，则，所以抛物线的方程为；（2）因为，方程①转化为，且，因为，所以，因为的面积为，所以，解得，所以直线的方程为或；（3）略19.已知函数．（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；（3）若函数有2个零点，求实数的取值范围．答案：（1）；（2）当时，在上单调递减；在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；（3）解析：思路：（1）求导，根据导数几何意义得到切线方程；（2）求定义域，求导，分，，和四种情况，得到函数单调性；（3）设，