河南省许昌市襄城县部分学校2025~2026学年高一下册7月期末摸底数学试卷【附解析】

数学一、单选题1.设，则z的共轭复数的虚部是（）A. B. C. D.2.一组数据3，5，6，7，7，9的第30百分位数是（）A.3 B.4 C.5 D.63.平均数、中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关.在如图的分布形态中，，，分别对应这组数据的平均数、中位数和众数，则下列关系可能正确的是（）A. B. C. D.4.中国古代科举制度始于隋而成于唐，兴盛于明、清两朝．明代会试分南卷、北卷、中卷，按的比例录取，若某年会试录取人数为300，则北卷录取人数为（）A.140 B.105 C.70 D.305.已知向量，不共线，且则实数（）A. B.1 C. D.26.在中，是边的中点，是边上靠近点的三等分点，设，，则（）A. B. C. D.7.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为7，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为（）A.7 B.6 C.5 D.38.三角形中，角所对的边分别为，已知，，点满足，则的最小值为（）A. B.2 C. D.二、多选题9.已知事件A，B满足，，则下列说法正确的是（）A.若A与B互斥，则B.若，则C.若A与B相互独立，则D.若，则A与B相互独立10.如图，正方体的棱长为4，动点P，Q分别在线段，上，则下列命题正确的是（）A.异面直线和所成的角为 B.直线与平面所成的角等于C.点C到平面的距离为 D.线段长度的最小值为11.已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个半圆，则下列结论正确的是（）A.圆锥的侧面积为 B.圆锥的体积为C.圆锥的外接球的表面积为 D.圆锥的内切球的体积为三、填空题12.已知一个水平放置的平面图形由斜二测画法得到的直观图是边长为2的菱形，且，则原平面图形的周长为__________.13.《中国建筑史》（梁思成著）载：“大雄殿之左侧白塔凌空，高十三级，甚峻拔”.该塔位于莲溪县赤城镇白塔街，坐西向东，为四方形楼格式砖石塔，塔身白色，共十三层，自宋代始建以来至今已余年，充分体现了中国传统建筑技术水平.某数学兴趣小组为了测得塔高，如下图，在点测得塔底位于北偏东方向上的点处，塔顶的仰角为，在的正东方向且距点的点测得塔底位于北偏西方向上（，，在同一水平面），则塔的高度约为____________（结果精确到整数，参考数据：）14.如图，四面体中，，，、分别为、的中点．若异面直线与所成角的大小为，则的长为________．四、解答题15.将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为，第二次出现的点数为，设复数．（1）求事件“为实数”的概率；（2）求事件“”的概率．16.如图，在三棱柱中，P是上一动点，（），是上一点，是的中点.（1）求证：直线平面；（2）若是的中点.试探究为何值时，直线平面？并给出你的证明.17.台州临海涌泉蜜桔，是浙江极具代表性的本土名优特产，果形饱满、风味清甜，深受市场青睐．为评估某蜜桔种植园的果品规格与整体品质，相关质检人员从园内全部8000颗涌泉蜜桔当中，随机挑选出100颗作为样本称重检测．所有样本的单果质量全部分布在区间内(单位：克)，将所得数据分成6组：，，，，，，并据此绘制得到频率分布直方图如图所示．（1）求图中的值；（2）估计这批蜜桔的平均质量；（3）若按质量由重到轻分为优等品、合格品和次品，其中优等品占10%，合格品占35%，次品占55%，则合格品的质量应不低于多少克？18.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求C．（2）．（ⅰ）若的周长为，角C的平分线交于点D，求的长；（ⅱ）若为锐角三角形，，求的取值范围．19.如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，，，平面.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）求二面角所成角的余弦值.

数学一、单选题1.设，则z的共轭复数的虚部是（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：，则，所以的虚部为2.一组数据3，5，6，7，7，9的第30百分位数是（）A.3 B.4 C.5 D.6答案：C解析：解答过程：这组数据按从小到大排序为3，5，6，7，7，9，由可知第30百分位数是第2个数据，即为.3.平均数、中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关.在如图的分布形态中，，，分别对应这组数据的平均数、中位数和众数，则下列关系可能正确的是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由频率分布直方图估计中位数、由频率分布直方图估计平均数、根据频率分布直方图计算众数.解答过程：由直方图矩形高低以及数据的分布趋势判断，得众数是最高矩形下底边的中点横坐标，因此众数为左起第二个矩形下底边的中点值；直线左右两边矩形面积相等，而直线右边矩形面积大于左边矩形面积，则

；又数据分布图为右拖尾，因此平均数大于中位数，即，所以.4.中国古代科举制度始于隋而成于唐，兴盛于明、清两朝．明代会试分南卷、北卷、中卷，按的比例录取，若某年会试录取人数为300，则北卷录取人数为（）A.140 B.105 C.70 D.30答案：B解析：思路：先计算北卷录取人数占总录取人数的比例，再结合总录取人数求解北卷录取人数即可.解答过程：由题意，会试南卷、北卷、中卷的录取比例为，因此北卷录取人数占总录取人数的比例为，已知该年会试录取总人数为300，故北卷录取人数为.5.已知向量，不共线，且则实数（）A. B.1 C. D.2答案：A解析：思路：根据向量共线的定义计算即可.解答过程：因为向量，不共线，且，那么存在实数，使得，则有，解得.6.在中，是边的中点，是边上靠近点的三等分点，设，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：如图可得：.7.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为7，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为（）A.7 B.6 C.5 D.3答案：D解析：思路：设圆台上底面半径为，由圆台侧面积公式列出方程，求解即可得解.解答过程：设圆台上底面半径为，由题意下底面半径为，母线长，所以，解得.故选：D.方法提示：本题考查了圆台侧面积公式的应用，属于基础题.8.三角形中，角所对的边分别为，已知，，点满足，则的最小值为（）A. B.2 C. D.答案：C解析：思路：根据三角函数的平方和关系及三角形面积公式得到，根据向量的线性运算得到，结合向量的模的计算及基本不等式求解即可.解答过程：在中，，所以.又，所以.又，所以，当且仅当时，等号成立.故的最小值为.二、多选题9.已知事件A，B满足，，则下列说法正确的是（）A.若A与B互斥，则B.若，则C.若A与B相互独立，则D.若，则A与B相互独立答案：CD解析：解答过程：对于A，若A与B互斥，则，故错误；对于B，若，则，故错误；对于C，若A与B相互独立，则与也相互独立，所以，故正确；对于D，，可得，所以，则A与B相互独立，故正确.10.如图，正方体的棱长为4，动点P，Q分别在线段，上，则下列命题正确的是（）A.异面直线和所成的角为 B.直线与平面所成的角等于C.点C到平面的距离为 D.线段长度的最小值为答案：ACD解析：思路：利用正方体的性质，结合线面垂直的判定证面，进而确定直线与平面所成的角、C到平面的距离，由，异面直线和所成角即为与所成角求大小，过作于，再过作于，利用线面垂直及勾股定理求的最小值.解答过程：因为，故异面直线和所成角即为与所成角，而为等边三角形，故，故A正确；因为面，面，故，又，由，面，故面，而面，故直线与平面所成的角，故B错误；而到平面的距离为，故C正确；过作于，再过作于，面面，面面，面，故面，而面，则，又，面，所以面，易知即为异面直线，上两点的距离，令，则，，所以，当时，，故D正确.11.已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个半圆，则下列结论正确的是（）A.圆锥的侧面积为 B.圆锥的体积为C.圆锥的外接球的表面积为 D.圆锥的内切球的体积为答案：ACD解析：思路：对于AB，求出圆锥的母线长和高，即可求出侧面积和体积；对于C，求出外接球半径，即可得出外接球体积；对于D，求出内切球半径，即可得出内切球表面积.解答过程：设圆锥的底面半径，母线长为，则侧面展开图半圆的弧长等于圆锥底面周长，即，解得，所以圆锥的高.对于A：圆锥侧面积，A正确.对于B：圆锥体积，B错误.对于C：设外接球的半径为，球心在圆锥的高上，由勾股定理得，，即，解得，圆锥的外接球的表面积，C正确.对于D：设内切球半径为，圆锥轴截面为边长为2的等边三角形，则，解得.所以内切球的体积为，D正确.三、填空题12.已知一个水平放置的平面图形由斜二测画法得到的直观图是边长为2的菱形，且，则原平面图形的周长为__________.答案：解析：思路：利用斜二测画法还原直观图求解.解答过程：由题可知，则，从而，所以，还原直观图可得原平面图形为平行四边形，如图所示，则，所以，所以原平面图形的周长为.故答案为：.13.《中国建筑史》（梁思成著）载：“大雄殿之左侧白塔凌空，高十三级，甚峻拔”.该塔位于莲溪县赤城镇白塔街，坐西向东，为四方形楼格式砖石塔，塔身白色，共十三层，自宋代始建以来至今已余年，充分体现了中国传统建筑技术水平.某数学兴趣小组为了测得塔高，如下图，在点测得塔底位于北偏东方向上的点处，塔顶的仰角为，在的正东方向且距点的点测得塔底位于北偏西方向上（，，在同一水平面），则塔的高度约为____________（结果精确到整数，参考数据：）答案：36解析：思路：在中，应用正弦定理求得，根据且计算即可求解CD.解答过程：由题设，在中，，由正弦定理得，，则m，在中，由，则,所以m.14.如图，四面体中，，，、分别为、的中点．若异面直线与所成角的大小为，则的长为________．答案：或解析：思路：取中点，连接，即可得到为异面直线与所成角（或补角），再由余弦定理计算可得.解答过程：取中点，连接，又因为，，、分别为、的中点，所以且，且，则为异面直线与所成角（或补角），又因为异面直线与所成角的大小为，所以或，在中，由余弦定理得，当，有，解得；当，有，解得；因此的长为或.四、解答题15.将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为，第二次出现的点数为，设复数．（1）求事件“为实数”的概率；（2）求事件“”的概率．答案：（1）（2）解析：思路：（1）若为实数，则该复数的虚部为0，可解得，所以第二次抛掷出现的点数，即事件“为实数”的概率为；（2）由题意，结合复数模的计算，有，逐个分析所有的可能，先确定的取值，再分析可能的取值，经计算，共有9种情况下可使事件“”成立，又，的取值情况共有种，进而可求得该事件的概率.（1）若为实数，即为实数，所以，故该事件只与第二次抛掷骰子有关，与第一次抛掷骰子无关，又依题意，第二次抛掷出现的点数可取1，2，3，4，5，6，故出现的概率为，即事件“为实数”的概率为.（2）由已知，可知，的值只能取1，2，3，当时，，即可取1，2，3，4，当时，，即可取1，2，3，4，当时，，即可取2，由上可知，共有9种情况下可使事件“”成立，又，的取值情况共有种，故事件“”的概率为.16.如图，在三棱柱中，P是上一动点，（），是上一点，是的中点.（1）求证：直线平面；（2）若是的中点.试探究为何值时，直线平面？并给出你的证明.答案：（1）证明见解析（2）当时，直线平面.解析：思路：（1）先证明，再由线面平行的判定定理证明即可；（2）过点作交于点，连接，证得，，由面面平行的判定定理证得平面平面，再由面面平行的性质定理证明即可.（1）由三棱柱的性质可得：，平面，平面，所以平面.（2）当时，直线平面，证明如下：过点作交于点，连接，所以，因为是的中点，所以为的中点，是的中点，所以在中，，平面，平面，所以平面，同理平面，，平面，所以平面平面，又平面，所以直线平面.即当时，直线平面.17.台州临海涌泉蜜桔，是浙江极具代表性的本土名优特产，果形饱满、风味清甜，深受市场青睐．为评估某蜜桔种植园的果品规格与整体品质，相关质检人员从园内全部8000颗涌泉蜜桔当中，随机挑选出100颗作为样本称重检测．所有样本的单果质量全部分布在区间内(单位：克)，将所得数据分成6组：，，，，，，并据此绘制得到频率分布直方图如图所示．（1）求图中的值；（2）估计这批蜜桔的平均质量；（3）若按质量由重到轻分为优等品、合格品和次品，其中优等品占10%，合格品占35%，次品占55%，则合格品的质量应不低于多少克？答案：（1）（2）（3）95克解析：思路：(1)根据频率之和为求得.(2)根据平均数的求法求得这批蜜桔的平均质量.(3)根据百分位数的求法求得合格品的质量的最小值.（1）频率分布直方图中所有矩形的面积之和等于1，各组的组距均为10.因此.整理得，解得.（2）各组组中值依次为，对应频率依次为.因此.据此估计这批蜜桔的平均质量为91.5克.（3）由题意，次品为质量较轻的前55%的数据，合格品的最低质量对应样本数据的第55百分位数.各组累计频率：区间累计频率为，区间累计频率为，区间累计频率为，区间累计频率为.因此第55百分位数位于区间内，设该百分位数为，则.解得，即合格品的质量应不低于95克.18.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求C．（2）．（ⅰ）若的周长为，角C的平分线交于点D，求的长；（