贵州省六盘水市2025~2026学年高二下册期末质量监测数学试卷【附解析】

数学（考试时长：120分钟试卷满分：150分）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1.已知为虚数单位，则（）A.4 B.5 C.16 D.252.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.3.已知，，，则在上的投影向量是（）A. B. C. D.4.样本数据，0，1，2，4，8，11，13，15，18的70%分位数是（）A.8 B.11 C.12 D.135.已知，则（）A. B. C.1 D.26.有5名同学参加科技比赛，赛前按固定顺序站成一排合影留念，赛后随机地重新站成一排合影，则恰有2人赛前与赛后站在相同位置的概率为（）A. B. C. D.7.已知双曲线的右焦点为F，动点M在双曲线右支上，点，则的最大值为（）A. B. C. D.8.为定义在R上的函数，的图象关于对称，，，则（）A. B.0 C.1 D.2二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.函数的两个相邻对称中心之间的距离为1，其中一个最高点的坐标为则下列说法正确的是（）A.函数的最小正周期为2B.函数在上单调递增C.直线为函数的一条对称轴D.将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数10.数列满足，，其前n项和为，则（）A.B.是递减数列C.若，则满足条件的最小正整数n为6D.若，为数列的前n项和，则11.在棱长为的正方体中，，则下列说法正确的是（）A.过，的平面截正方体所得截面图形的周长为B.为平面内的直线，若与所成角的最小角为，则C.为正方体内一动点（含边界），总满足且，则的轨迹的长度为D.三棱锥的外接球表面积为三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.椭圆的离心率为________．13.在中，点M满足，过M作一条直线与直线AB，AC分别交于点P，Q．若，则的最小值为________．14.已知函数，若有两个零点，则实数a的取值范围是________．四、解答题（本题共5小题，共77分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且．（1）求B；（2）若，且的面积为，求的周长．16.如图甲，在五边形中，四边形为正方形，，将沿翻折到的位置（如图乙）使平面平面．（1）求证：平面；（2）设，，求点到平面的距离．17.我国政府高度重视碳减排工作，“双碳”目标纳入国家发展战略，因此，近年新能源汽车成为汽车产业转型升级、绿色发展的主要方向．某市某品牌新能源汽车4S店为进一步提升销量，对购买新能源汽车客户设置了抽奖返现活动．共有两种方案：方案一：有A，B两个完全相同的不透明箱子，A箱中有10个大小质地完全相同的小球，其中有2个红球，8个白球；B箱中有20个大小质地完全相同的小球，其中有3个红球，17个白球．现从A，B两箱中随机挑选一箱，然后从该箱中随机抽取一个小球，若抽取到的是红球，则返现2000元，否则不返现．方案二：在袋子中有10个大小质地完全相同的小球，其中有8个白球，2个红球．现从袋中有放回地依次随机摸出2个小球，每摸出一个红球，返现1000元．（1）在方案一中，求取出的是红球的概率；（2）根据返现金额的数学期望分析，顾客选择哪一种方案更划算．18.已知函数．（1）当时，求函数的最小值；（2）若对任意正实数x，恒成立，求实数a的取值范围；（3）证明：．19.已知抛物线上一点到焦点的距离为2，点在直线上，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，为坐标原点．（1）求抛物线的方程；（2）若，垂足为，求证：存在定点，使得为定值；（3）求面积的最小值．

数学（考试时长：120分钟试卷满分：150分）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1.已知为虚数单位，则（）A.4 B.5 C.16 D.25答案：B解析：解答过程：由题意得：.2.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：因为，所以3.已知，，，则在上的投影向量是（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：因为，，所以在上的投影向量是.4.样本数据，0，1，2，4，8，11，13，15，18的70%分位数是（）A.8 B.11 C.12 D.13答案：C解析：解答过程：因为，所以70%分位数是.5.已知，则（）A. B. C.1 D.2答案：C解析：思路：利用求出，再利用二倍角公式将所求式转化为关于的二次齐次式，从而转换成含的表达式，将代入计算即可.解答过程：因为，所以不会同时为.由得.所以.6.有5名同学参加科技比赛，赛前按固定顺序站成一排合影留念，赛后随机地重新站成一排合影，则恰有2人赛前与赛后站在相同位置的概率为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：根据题意，分2步分析：①先从5个人里选2人，其位置不变，有种选法，②对于剩余的三人，因为每个人都不能站在原来的位置上，因此第一个人有两种站法，被站了自己位置的那个人只能站在第三个人的位置上，因此三个人调换有2种调换方法，故不同的调换方法有种.而基本事件总数为，所以所求概率为.7.已知双曲线的右焦点为F，动点M在双曲线右支上，点，则的最大值为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：利用双曲线定义得，再利用三角形两边差小于第三边，当三点共线时取等号即可求解.解答过程：由双曲线得，，所以.则右焦点，设左焦点为.点M在双曲线右支上，所以，即.所以.因为，当且仅当三点共线时，且在延长线与双曲线右支交点时取等号.又，所以的最大值为.8.为定义在R上的函数，的图象关于对称，，，则（）A. B.0 C.1 D.2答案：A解析：思路：根据已知条件的图象关于对称，得，则函数关于点对称；令得出；根据得出函数的周期为4；在中，结合函数周期性得到的值.解答过程：因为函数的图象关于对称，所以，所以函数关于点对称；令得，，因为，，，即，，所以函数的周期为4，所以，.方法提示：方法归纳：遇见所求函数值自变量比较大时，必然和函数周期相关.易错归纳：根据已知条件找函数的周期和对称点的时候，容易因为知识点不牢固而出错.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.函数的两个相邻对称中心之间的距离为1，其中一个最高点的坐标为则下列说法正确的是（）A.函数的最小正周期为2B.函数在上单调递增C.直线为函数的一条对称轴D.将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数答案：AD解析：解答过程：因为函数的两个相邻对称中心之间的距离为1，所以函数的最小正周期为，故A正确；所以，解得，所以，函数的一个最高点的坐标为，所以，当时，，又，所以，所以又，所以，所以，符合题意；当时，，又，所以所以，所以，又，这样的不存在；综上所述：，由，解得，所以函数在上不单调递增，故B错误；因为，所以直线不为函数的一条对称轴，故C错误；将函数的图象向右平移个单位长度得函数的图象，故D正确.10.数列满足，，其前n项和为，则（）A.B.是递减数列C.若，则满足条件的最小正整数n为6D.若，为数列的前n项和，则答案：ACD解析：解答过程：由，得，所以是以为首项，2为公比的等比数列，所以，所以，所以，故A正确；由，可得是递增数列，故B错误；，因为是递增数列，且，所以也单调递增，又，，所以若，则满足条件的最小正整数n为6，故C正确；当时，因为，所以，所以，故D正确.11.在棱长为的正方体中，，则下列说法正确的是（）A.过，的平面截正方体所得截面图形的周长为B.为平面内的直线，若与所成角的最小角为，则C.为正方体内一动点（含边界），总满足且，则的轨迹的长度为D.三棱锥的外接球表面积为答案：ABD解析：思路：对于A，平面截正方体所得截面为,计算出周长即可；对于B，为平面内的直线，与所成角的最小角为：直线与直线在平面内的射影所成角即直线与平面所成角，使用向量法求出线面角正弦值即可；对于C，作交于点，由于,所以，平面,又为正方体内一动点（含边界），总满足，所以，点在内运动（含边界），又，所以，点的轨迹为以为球心，半径为1的球与的公共部分弧，计算出弧长即可判断；对于D，设三棱锥的外接球心，通过数量关系计算出球心坐标及球半径即可判断.解答过程：以为原点，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，那么,,对于A：平面截正方体所得截面为,的周长为，故A正确；对于B:为平面内的直线，与所成角的最小角为：直线与直线在平面内的射影所成角即直线与平面所成角，设平面法向量为,则，取，则为平面的一个法向量，，故B正确；对于C：作交于点，由于,所以，平面,又为正方体内一动点（含边界），总满足，所以，点在内运动（含边界），又，所以，点的轨迹为以为球心，半径为1的球与的公共部分弧，由于,所以，弧长为，故C错误；对于D：设三棱锥的外接球心，由于平面,平面,所以,所以，为直角三角形，设线段中点为,则，那么，由可得，所以，，球半径,,故D正确.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.椭圆的离心率为________．答案：解析：思路：将椭圆方程化为标准方程，即可得，利用，即可计算离心率.解答过程：将椭圆方程化为标准方程，所以，即.所以，.所以离心率.13.在中，点M满足，过M作一条直线与直线AB，AC分别交于点P，Q．若，则的最小值为________．答案：解析：思路：运用共线向量定理与基本不等式中的乘“1”法，即可得解.解答过程：由，可知是的中点，所以，又，可得，代入得：，因为三点共线，根据共线向量定理：若且共线，则，所以：，，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为.14.已知函数，若有两个零点，则实数a的取值范围是________．答案：解析：思路：求导，先根据函数不能是单调函数排除，再当时，求出函数的极小值，令极小值小于零即可求出的取值范围.解答过程：由题意可得：，当时，，则在上单调递减，不可能有两个零点，舍去；当时，当时，得，得；当时，，可知在上单调递减，在上单调递增，且当趋近于或时，均趋近于，则，整理得，设，则，故在上单调递增，又，可得，所以实数的取值范围为.四、解答题（本题共5小题，共77分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且．（1）求B；（2）若，且的面积为，求的周长．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用正弦定理，将边转换成角，再利用恒等变换即可.（2）利用面积公式和余弦定理即可.（1）因为，，所以.因为，所以.所以，即.因为，所以，所以，即，得.因为，所以，所以，得.（2）因为.所以.由余弦定理得.所以.又，所以.所以的周长为.16.如图甲，在五边形中，四边形为正方形，，将沿翻折到的位置（如图乙）使平面平面．（1）求证：平面；（2）设，，求点到平面的距离．答案：（1）∵四边形为正方形，∴为等腰直角三角形，，翻折后，即.∵平面平面，平面平面，平面，，∴平面.∵平面，∴.又∵，平面，平面，∴平面.（2）解析：思路：（1）结合翻折的不变性得到，利用面面垂直的性质证明平面，得到，再根据线面垂直的判定定理完成证明.（2）可通过等体积法转化三棱锥体积求解点面距离，也可建立空间直角坐标系，利用点到平面的距离公式计算.（1）略（2）取中点，连接.∵为等腰直角三角形，∴，.∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，即为点到平面的高.在正方形中，∵，∴，，∴，∴.∵，即为等边三角形，∴.设点到平面的距离为，∵，∴，即，解得.17.我国政府高度重视碳减排工作，“双碳”目标纳入国家发展战略，因此，近年新能源汽车成为汽车产业转型升级、绿色发展的主要方向．某市某品牌新能源汽车4S店为进一步提升销量，对购买新能源汽车客户设置了抽奖返现活动．共有两种方案：方案一：有A，B两个完全相同的不透明箱子，A箱中有10个大小质地完全相同的小球，其中有2个红球，8个白球；B箱中有20个大小质地完全相同的小球，其中有3个红球，17个白球．现从A，B两箱中随机挑选一箱，然后从该箱中随机抽取一个小球，若抽取到的是红球，则返现2000元，否则不返现．方案二：在袋子中有10个大小质地完全相同的小球，其中有8个白球，2个红球．现从袋中有放回地依次随机摸出2个小球，每摸出一个红球，返现1000元．（1）在方案一中，求取出的是红球的概率；（2）根据返现金额的数学期望分析，顾客选择哪一种方案更划算．答案：（1）（2）顾客选择方案二更划算解析：思路：（1）设相应事件，根据题意可得相应概率，利用全概率公式运算求解即可；（2）在方案一中，结合（1）中结论求期望值；在方案二中，利用二项分布的期望公式以及期望的性质求期望值；比较大小即可判断.（1）在方案一中，设取到A箱为事件M，抽取到的是红球为事件N，则，，，由全概率公式可得，所以取出的是红球的概率为.（2）在方案一中，设返现金额为，则，由（1）可知：，，可得；在方案二中，每次取到红球的概率为，设返现金额为，取到红球的次数为，则，，可得，；因为，所以顾客选择方案二更划算.18.已知函数．（1）当时，求函数的最小值；（2）若对任意正实数x，恒成立，求实数a的取值范围；（3）证明：．答案：（1）（2）（3）由(1)知，当时，(因为时才取等号)，即：，因为，两边同时除以，可得：.构造函数，求导得，因为，所以，故，所以函数在上单调递增，有：，即，两边取倒数，得：，将两次放缩的结果结合起来，对于任意实数，，现在，我们令分别取，可以得到以下个不等式：，，，，将这个不等式左右两边分别累加得：，其中，即，得证.解析：思路：（1）赋值后，对函数求导研究单调性，即可得解；（2）运用题（1）的结论，再对进行分类讨论，即可得解；（3）运用题（1）的结论可知当时，，再证明当时，，继而证得，综上有，再令分别取，得到个不等式，再将不等式两侧分别累加，即可得证.（1）当时，，，当时，，故在上单调递减；当时，，故在上单调递增.因此在处取得最小值.（2）已知条件等价于对任意，不等式恒成立，我们可以结合第（1）问的结论来进行分类讨论：由（1）可知，当时，恒成立，当且仅当时等号成立.①当时：当时，，从而，此时，即恒成立，符合题意；②当时，若要对任意正实数都有恒成立，则对于特殊的点也必须成立，将代入函数得：，因为且，所以，故，与题设条件“恒成立”矛盾，因此不符合题意.综上所述，实数的取值范围是.（3）略.19.已知抛物线上一点到焦点的距离为2，点在直线上，过点作抛物线的两