河南省郑州市2025~2026学年高一下册7月期末考试数学试卷【附解析】

数学考试时间120分钟，满分150分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡．第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数，则的虚部为（）A. B. C. D.2.如图，是水平放置的的直观图，，，则（）A. B. C. D.3.已知随机事件和相互独立，，，则（）A.0.7 B.0.6 C.0.8 D.0.94.记的内角A，B，C的对边分别是a、b、c，若，，则的面积为（）A. B. C. D.5.已知，，与的夹角为，则（）A. B. C. D.6.圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的侧面积为（）A. B. C. D.7.某研究性学习小组为了研究中学生身高与性别的关系，对郑州市区一所中学的高一学生展开调查．该校高一年级共有1000人，其中男生400人，女生600人，学习小组采用样本量比例的分层随机抽样抽取50个样本数据，其中抽取到的男生身高的平均数和方差分别为170和10，抽取到的女生身高的平均数和方差分别为160和15，则抽取数据的总样本方差为（）A. B. C. D.8.在解三角形问题中，一个比较困难的问题是如何由三角形的三边a，b，c直接求出三角形的面积，古希腊数学家海伦在著作《测地术》中最早出现公式，其中（海伦公式），该公式解决了由三角形的三边直接求出三角形面积的问题，它具有轮换对称的特点，形式很美．已知的三边长a，b，c分别是7，8，9，利用海伦公式求得的内切圆半径为（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.如图，向量和对应的复数分别为和，则下列选项正确的是（）A.在复平面内对应的点在第四象限 B.，之间的距离为C. D.若，则10.抛掷一枚质地均匀的骰子，观察向上面的点数，事件为“点数为偶数”，事件为“点数为3或4”，事件为“点数小于4”，下列说法正确的是（）A.B、C是相互独立事件 B.A、B是互斥事件 C. D.11.在长方体中，底面是边长为3的正方形，点在棱上，且，，则下列说法正确的是（）A.B.过点A、P、C的平面截该长方体，所得截面面积为C.三棱锥外接球的体积是D.以点为球心，为半径作一个球，则球面与底面正方形的交线长为第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，，则在方向上的投影向量坐标为______．13.已知三棱锥的四个顶点均在球的表面上，其中，，，则球的表面积为________．14.学校一班级开展数字闯关小游戏，班长准备了编号为1，2，3，4的四张数字卡片，小张同学有放回地随机抽取3次，每次抽取一张，记前两次抽到数字的平均数为，三次抽到数字的平均数为，则的概率为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知复数，其中．（1）若在复平面内对应的点位于第二象限，求实数的取值范围；（2）若为纯虚数，求．16.马拉松起源于古希腊，最早是为了纪念公元前490年马拉松战役中希腊胜利的消息而设立的．根据传说，希腊战士菲迪皮茨从马拉松跑到雅典，报告胜利消息，最终疲惫不堪倒毙于此．现代马拉松于1896年复兴，此后逐渐演变为全球最具影响力的马拉松赛事之一．马拉松不仅是一次体育竞技，更是一种文化象征，它代表着挑战自我的精神、永不放弃的毅力和团结一心的团队精神．2026年3月29日郑州市马拉松成功举办，赛道串联郑东新区CBD、商城遗址、二七纪念塔等城市地标．一单位承办了本次马拉松赛事志愿者选拔的面试工作，现随机抽取1000名候选者的面试成绩，并分成6组，绘制成如图所示的频率分布直方图：（1）若面试成绩的前为优秀候选者，试估计优秀候选者的入围分数线．（2）承办单位采用分层抽样的方法从得分在和的两组中抽取6人，再从6人中随机抽取2人进行复试，求抽取的2人得分均在内的概率．17.已知分别是三个内角的对边，且.（1）求角．（2）若是锐角三角形，且，求周长的取值范围．18.如图，在四棱锥中，平面平面，底面四边形是直角梯形，，，且，，，为的三等分点（靠近点）．（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积；（3）求二面角的正弦值．19.规定平面向量旋转变换规则：将向量绕起点沿逆时针方向旋转角，得到向量；绕起点顺时针旋转角，等价于逆时针旋转角．在平面直角坐标系中，已知点，点，记点绕点顺时针旋转得到点，点绕点逆时针旋转得到点，点绕点顺时针旋转得到点．（1）求点和点的坐标；（2）设点为平面内任一点，且．若，求值．

数学考试时间120分钟，满分150分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡．第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数，则的虚部为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：，虚部为．2.如图，是水平放置的的直观图，，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据直观图与原图的关系，原图中垂直于x轴的直线变为与x轴夹角为，原来平行于y轴的直线长度变为原来的，根据这个关系计算即可．解答过程：由直观图可知，，因为，，故，故，则．3.已知随机事件和相互独立，，，则（）A.0.7 B.0.6 C.0.8 D.0.9答案：A解析：解答过程：因为和相互独立，所以4.记的内角A，B，C的对边分别是a、b、c，若，，则的面积为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据余弦定理及三角形面积公式计算即可.解答过程：由余弦定理知，则，所以的面积.5.已知，，与的夹角为，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：利用向量的数量积公式计算即可.解答过程：由题意可知.6.圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的侧面积为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：设圆锥的底面圆半径为，由圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，得该三角形面积为，解得，圆锥的母线，所以该圆锥的侧面积为.7.某研究性学习小组为了研究中学生身高与性别的关系，对郑州市区一所中学的高一学生展开调查．该校高一年级共有1000人，其中男生400人，女生600人，学习小组采用样本量比例的分层随机抽样抽取50个样本数据，其中抽取到的男生身高的平均数和方差分别为170和10，抽取到的女生身高的平均数和方差分别为160和15，则抽取数据的总样本方差为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：先按分层抽样比例确定男女生样本量，再计算总样本平均数，最后代入分层总方差公式求解即可.解答过程：确定样本中男女生人数：按比例分层抽样，男生样本量，女生样本量，则总样本均值，根据分层总方差计算公式，代入数值计算.8.在解三角形问题中，一个比较困难的问题是如何由三角形的三边a，b，c直接求出三角形的面积，古希腊数学家海伦在著作《测地术》中最早出现公式，其中（海伦公式），该公式解决了由三角形的三边直接求出三角形面积的问题，它具有轮换对称的特点，形式很美．已知的三边长a，b，c分别是7，8，9，利用海伦公式求得的内切圆半径为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：根据题意得，，所以的内切圆半径为二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.如图，向量和对应的复数分别为和，则下列选项正确的是（）A.在复平面内对应的点在第四象限 B.，之间的距离为C. D.若，则答案：ACD解析：思路：A选项，利用复数乘法法则计算出，从而得到A正确；B选项，利用两点距离公式进行计算；C选项，由进行计算；D选项，表示点到圆上点的距离，从而得到最小值解答过程：A选项，，，故，所以在复平面内对应的点坐标为，在第四象限，A正确；B选项，，，之间的距离为，B错误；C选项，，C正确；D选项，，位于圆心为原点，半径为的圆上，而表示点到圆上点的距离，故为圆心与的距离减去半径，即，D正确.10.抛掷一枚质地均匀的骰子，观察向上面的点数，事件为“点数为偶数”，事件为“点数为3或4”，事件为“点数小于4”，下列说法正确的是（）A.B、C是相互独立事件 B.A、B是互斥事件 C. D.答案：AD解析：思路：先明确样本空间和各事件对应的基本事件集合，再结合互斥事件定义、相互独立事件定义、古典概型概率公式逐一判断选项解答过程：样本空间，由题意得，，，选项A：，，，故，满足，因此B、C是相互独立事件，A正确；选项B：，不满足互斥事件交集为空的要求，故A、B不是互斥事件，B错误；选项C：，共包含4个基本事件，故，C错误；选项D：，故，D正确.11.在长方体中，底面是边长为3的正方形，点在棱上，且，，则下列说法正确的是（）A.B.过点A、P、C的平面截该长方体，所得截面面积为C.三棱锥外接球的体积是D.以点为球心，为半径作一个球，则球面与底面正方形的交线长为答案：BD解析：思路：过作于，过作底面垂线，利用勾股定理构造方程求出，判断选项A；找出截面图形，求出上下底及腰长和高，进而计算截面面积，判断选项B；确定三棱锥的垂直结构，求出底面外接圆半径，进而求出外接球半径，再利用体积公式计算求解，判断选项C；求出球心到平面距离，算出底面截得小圆半径，再判断该圆落在正方形内的弧，进而计算弧长，判断选项D．解答过程：过作于，由长方体性质知，设，则，在中，，在中，，两式相减得，解得，则，故，故A错误；在上底面过作，交于，由得，故四点共面，由，，相似比为，则，下底，腰长，等腰梯形的高，故截面积为，故B正确；三棱锥中，平面，由余弦定理，故，由正弦定理，故，外接球的球心到平面的距离为，故外接球半径，故，，故C错误；球心到底面的距离为，球半径为，球面与底面交线为圆，截面半径，截面圆圆心为在底面的投影，在正方形的边上，故此圆的右半圆在正方形内，交线为半圆，弧长，故D正确．第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，，则在方向上的投影向量坐标为______．答案：解析：思路：根据投影向量的定义和公式求解即可.解答过程：在方向上的投影向量为，，，代入计算，得到.故答案为：.13.已知三棱锥的四个顶点均在球的表面上，其中，，，则球的表面积为________．答案：解析：思路：将对棱相等的三棱锥补形为长方体，其外接球与长方体外接球一致，通过长方体面对角线的关系求出外接球半径，进而计算表面积.解答过程：由于三棱锥的三组对棱分别相等，可将其补形为长方体，三棱锥的六条棱对应长方体的六个面对角线，二者的外接球为同一个球.如图所示：设长方体的长、宽、高分别为，球的半径为，根据题意可得：将三式左右两边分别相加，得，即.长方体的体对角线长度等于其外接球的直径，因此，解得.根据球的表面积公式，代入得.14.学校一班级开展数字闯关小游戏，班长准备了编号为1，2，3，4的四张数字卡片，小张同学有放回地随机抽取3次，每次抽取一张，记前两次抽到数字的平均数为，三次抽到数字的平均数为，则的概率为________．答案：##解析：思路：先确定总基本事件数，根据题意列不等式并化简不等式，分类讨论符合条件的事件数，确定概率.解答过程：有放回抽取3次，每次4种选择，总事件数为，设三次抽取数字为，则前两次平均数，三次平均数，代入，得：，整理得：，即，由于是整数，所以为整数，因此不等式等价于：，：，共种（按和为讨论）；：，共种；：，共种；：，共种.符合条件的总事件数为.因此.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知复数，其中．（1）若在复平面内对应的点位于第二象限，求实数的取值范围；（2）若为纯虚数，求．答案：（1）；（2）解析：（1）由题意得，解得，故实数的取值范围是；（2）由题意得，解得，故，.16.马拉松起源于古希腊，最早是为了纪念公元前490年马拉松战役中希腊胜利的消息而设立的．根据传说，希腊战士菲迪皮茨从马拉松跑到雅典，报告胜利消息，最终疲惫不堪倒毙于此．现代马拉松于1896年复兴，此后逐渐演变为全球最具影响力的马拉松赛事之一．马拉松不仅是一次体育竞技，更是一种文化象征，它代表着挑战自我的精神、永不放弃的毅力和团结一心的团队精神．2026年3月29日郑州市马拉松成功举办，赛道串联郑东新区CBD、商城遗址、二七纪念塔等城市地标．一单位承办了本次马拉松赛事志愿者选拔的面试工作，现随机抽取1000名候选者的面试成绩，并分成6组，绘制成如图所示的频率分布直方图：（1）若面试成绩的前为优秀候选者，试估计优秀候选者的入围分数线．（2）承办单位采用分层抽样的方法从得分在和的两组中抽取6人，再从6人中随机抽取2人进行复试，求抽取的2人得分均在内的概率．答案：（1）（2）解析：（1）由频率分布直方图可知，各组的频率分别为：，，，，，，因为面试成绩的前为优秀候选者，即成绩较高的，而成绩在的频率为，成绩在的频率为，所以优秀候选者的入围分数线在内，设入围分数线，则，解得，故估计优秀候选者的入围分数线为分.（2）得分在和的两组频率之比为,采用分层抽样的方法从这两组中抽取6人，则从组中抽取的人数为人，记为；从组中抽取的人数为人，记为,从这6人中随机抽取2人，所有可能的情况有：

，共15种．其中抽取的2人得分均在内的情况有

，共6种．故所求概率．17.已知分别是三个内角的对边，且.（1）求角．（2）若是锐角三角形，且，求周长的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）结合诱导公式、两角和与差的正弦公式以及辅助角公式即可求出结果；（2）结合正弦定理、辅助角公式以及两角和与差的正弦公式，根据锐角三角形来进一步确定角的范围，即可求出结果.（1）由题知，，由正弦定理得，，即，即，即，因为，所以，所以，即，所以，所以或，所以或（舍去），故.（2）由（1）知，，由正弦定理得，，所以，所以，又是锐角三角形，且，所以，解得，所以，所以，即周长的取值范围为.18.如图，在四棱锥中，平面平面，底面四边形是直角梯形，，，且，，，为的三等分点（靠近点）．（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积；（3）求二面角的正弦值．答案：（1）证明见解析（2）（3）解析：思路：（1）取靠近点的三等分点为，连接，先得到四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定定理直接证明即可；（2）结合勾股定理和线面垂直的判定定理得到平面，取靠近点的三等分点为，连接，得到平面，根据平行线段比例求得的长，将三棱锥的体积转化即可求解；（3）作出二面角的平面角，然后解相关三角形即可求出结果.（1）如图，取靠近点的三等分点为，连接，因为为的三等分点（靠近点），所以且