河北省邯郸市2025~2026学年高二下册期末考试数学试卷【附解析】

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数，则（）A.6 B.8 C. D.502.已知集合，，则（）A. B.C. D.3.若函数的最大值为，则的最小正周期为（）A. B. C. D.4.若甲、乙、丙、丁等7个人排成一排照相，甲、乙相邻，且丙、丁也相邻，则不同的排法种数为（）A.240 B.480 C.720 D.9605.若线段的中点为D，，且，则（）A.3 B.6 C. D.6.已知抛物线的焦点为F，点B在C的准线上，且线段与C交于点A．若，则直线的斜率为（）A. B. C. D.7.设是定义在R上的奇函数，当时，，则的零点个数为（）A.3 B.4 C.5 D.68.某地区记录了今年前5个月公共充电桩的累计充电量（单位：万度），数据如下表：月份x12345累计充电量y78173652根据这5组数据，建立了y关于x的回归模型，根据该回归模型，预测第6个月的累计充电量为（）（参考公式及数据：经验回归方程，其中，，）A.71万度 B.72万度 C.73万度 D.74万度二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列判断正确的是（）A.是的充分不必要条件B.的充要条件是C.若，，则D.命题“，”的否定是真命题10.若，则（）A.B.C.函数只有极大值，没有极小值D.11.在棱长为4的正方体中，点E在棱上，且，P是底面内的动点，则（）A.的最小值是B.正方体内切球的表面积为C.当时，的最小值为D.当取得最小值时，四棱锥的体积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.邯郸地处太行腹地，境内名山众多，海拔排名前六的高山如下：青崖寨（1898.7米），黑龙洞山（1789米），茅草圪道（1750米），摩天岭（1747.5米），马武寨（1571米），羊大垴（1562.9米）．这六座高山的海拔数据的第40百分位数对应的山峰是________．13.对于数列，，若（C为常数），则称是的“C和数列”．已知为等差数列，，，且是的“C和数列”，则________，的前10项和为________．14.已知双曲线的渐近线方程为，A，B分别为C的左、右顶点，P为C上位于第一象限的动点，设，，则________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在三棱锥中，，平面．（1）证明：．（2）若，，求与平面所成角的正切值．16.在中，．（1）求A；（2）若，且，求的面积．17.已知椭圆：的离心率为，左顶点为．点，点M在C上，且线段的中点在y轴正半轴上．设直线与C的另一个交点为H．（1）求C的方程；（2）求直线的斜率及点H的坐标．18.已知函数，．（1）求曲线在点处的切线方程．（2）定义集合．（Ⅰ）证明：．（Ⅱ）若，且，，，求a的取值范围．19.某系统有两个智能体：甲（快速响应型）和乙（精确分析型）．每次任务由当前激活的智能体执行，规则如下：若当前智能体执行成功，则下次任务仍由该智能体执行；若失败，则下次换另一智能体执行．甲、乙每次执行成功的概率分别为0.7，0.6，第一次执行任务的智能体由抽签等可能性地决定．每次执行成功与否相互独立．（1）求第二次执行任务的智能体是乙的概率．（2）求第次执行任务的智能体是甲的概率．（3）定义随机变量Z为前n次任务中，甲成功段的个数，若连续m次成功，则这m次称为一个长度为m的成功段（单次成功视为一个长度为1的成功段），例如，当时，这10次依次为甲成功、甲成功、甲成功、甲失败、乙失败、甲成功、甲成功、甲失败、乙失败、甲成功，第次为一个长度为3的成功段，第次为一个长度为2的成功段，第10次为一个长度为1的成功段，则，求．附：若随机变量服从两点分布，且，，2，…，n，则．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数，则（）A.6 B.8 C. D.50答案：C解析：解答过程：由题可得2.已知集合，，则（）A. B.C. D.答案：D解析：解答过程：由于集合，，所以3.若函数的最大值为，则的最小正周期为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：结合正弦函数的最值求出的值，由正弦函数的最小正周期求解即可.解答过程：因为的最大值为,所以函数的最大值为，即，解得：，所以的最小正周期为.4.若甲、乙、丙、丁等7个人排成一排照相，甲、乙相邻，且丙、丁也相邻，则不同的排法种数为（）A.240 B.480 C.720 D.960答案：B解析：思路：应用捆绑法及排列数求不同的排法种数.解答过程：将甲乙捆绑为1个整体、丙丁捆绑为1个整体，两个整体内部需要全排列，所以甲乙内部排法种，丙丁内部排法种，将2个捆绑整体加上剩余的3个人，一共得到个元素，再作全排列，共有种，总排法为种.5.若线段的中点为D，，且，则（）A.3 B.6 C. D.答案：B解析：思路：由向量线性运算的几何意义及已知可得，即可求.解答过程：已知，移项整理得，因为是的中点，则，即，所以，化简得，故.6.已知抛物线的焦点为F，点B在C的准线上，且线段与C交于点A．若，则直线的斜率为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：过点作抛物线准线的垂线，垂足为，可得，利用勾股定理求出即可求解.解答过程：过点作抛物线准线的垂线，垂足为，所以，则，所以，解得：，所以根据对称性可得直线的斜率为.7.设是定义在R上的奇函数，当时，，则的零点个数为（）A.3 B.4 C.5 D.6答案：C解析：思路：根据奇函数性质可得,利用导数研究在上的单调性，结合零点存在定理可判断当时，有两个零点，利用奇函数性质可得当时，也有两个零点即可求解.解答过程：因为是定义在R上的奇函数，所以,当时，，则,令，则，所以在上单调递减，令，解得：,由于，，则所以令，解得：，令，解得：,所以在上单调递增，在上单调递减，且,由于,,,所以在上存在唯一零点,且在上存在唯一零点,且所以的单调减区间为，增区间为由于，所以在上无零点，由于，所以在上有唯一零点，由于,,所以在上有唯一零点，所以当时，有两个零点，根据奇函数的性质，可得当时，也有两个零点，综上，的零点个数为.8.某地区记录了今年前5个月公共充电桩的累计充电量（单位：万度），数据如下表：月份x12345累计充电量y78173652根据这5组数据，建立了y关于x的回归模型，根据该回归模型，预测第6个月的累计充电量为（）（参考公式及数据：经验回归方程，其中，，）A.71万度 B.72万度 C.73万度 D.74万度答案：D解析：思路：根据公式求出y关于x的回归模型，即可求解.解答过程：令，所以，，，所以，，所以，当时，所以根据该回归模型，预测第6个月的累计充电量为74万度.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列判断正确的是（）A.是的充分不必要条件B.的充要条件是C.若，，则D.命题“，”的否定是真命题答案：BCD解析：思路：由对数函数的单调性及充要条件的定义判断A；应用对数的运算性质解方程即可判断B；应用换底公式与对数的运算性质判断C；根据幂函数的单调性判断原命题为假，可得该命题的否定为真判断D.解答过程：对于A，由，得，因在上是增函数，则，

由推不出，故充分性不成立，故A错误；对于B，由，可得，又由，得，故，解得，故B正确；对于C，因log5对于D，当时，幂函数是增函数，故，故原命题是假命题，该命题的否定是真命题，故D正确.10.若，则（）A.B.C.函数只有极大值，没有极小值D.答案：BC解析：思路：利用赋值法，以及导数与极值关系依次分析选项即可.解答过程：对于A，令，可得，故A错误；对于B，由于，所以，则，所以，故B正确；对于C，由，则，令，解得：或由于，所以令，解得，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，则函数只有极大值，没有极小值，故C正确；对于D，由，两边求导可得令，可得，故D错误；11.在棱长为4的正方体中，点E在棱上，且，P是底面内的动点，则（）A.的最小值是B.正方体内切球的表面积为C.当时，的最小值为D.当取得最小值时，四棱锥的体积为答案：ABD解析：思路：对于A，作关于底面的对称点，连接交平面于点，可得的最小值为，利用勾股定理即可求解；对于B，由正方体内切球的半径为棱长的一半即可求解；对于C，先判断点的轨迹为以为圆心，半径为4的圆弧，作点在平面的投影，可得的轨迹为以为圆心，半径为的圆弧，利用点与圆的位置关系即可求得的最小值；对于D，利用A项结论求出到平面的距离，结合四棱锥体积公式求解即可.解答过程：对于A，作关于底面的对称点，连接，交平面于点，此时易得,则取得最小值，由于，,则,故A正确；对于B，因正方体内切球的半径为正方体边长的一半，即,所以其表面积为,故B正确；对于C，连接,因平面,平面,则，当时，,即点的轨迹为以为圆心，半径为4的圆在正方形内的圆弧，设点是点在平面上的投影，则的轨迹为以为圆心，半径为的圆弧，所以，由点与圆的位置关系可知，，当最小时，则最小，即，故C错误；对于D，由A选项可知，因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，则,即点为的中点，由于点到平面的距离为，点到平面的距离为，所以点到平面的距离为，则四棱锥的体积为,故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.邯郸地处太行腹地，境内名山众多，海拔排名前六的高山如下：青崖寨（1898.7米），黑龙洞山（1789米），茅草圪道（1750米），摩天岭（1747.5米），马武寨（1571米），羊大垴（1562.9米）．这六座高山的海拔数据的第40百分位数对应的山峰是________．答案：摩天岭解析：解答过程：将6个海拔数据从小到大排列为

1562.9(羊大垴)，1571(马武寨)，1747.5(摩天岭)，1750(茅草圪道)，1789(黑龙洞山)，1898.7(青崖寨)，共个数据，第40百分位数的位置，即第40百分位数是排序后第3个数据，对应山峰为摩天岭.13.对于数列，，若（C为常数），则称是的“C和数列”．已知为等差数列，，，且是的“C和数列”，则________，的前10项和为________．答案：①.②.解析：思路：根据已知及等差数列的通项公式求基本量，进而求得，结合数列新定义求得且，最后应用分组求和、等差数列的前n项和公式求和即可.解答过程：已知是等差数列，，，设公差为，则，可得，因此，则，对任意都有，且-b2=5⟹b因此，由，所以的前10项和，而，则.14.已知双曲线的渐近线方程为，A，B分别为C的左、右顶点，P为C上位于第一象限的动点，设，，则________．答案：解析：思路：根据渐近线及已知可得，由题设，设，结合三角形内角的性质及三角恒等变换得，且，，即可得.解答过程：双曲线的渐近线为，已知渐近线为，故，即​，所以，则，即，由题设，设，则，因此，故，又，故，因此，由几何意义得，，因此，所以.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在三棱锥中，，平面．（1）证明：．（2）若，，求与平面所成角的正切值．答案：（1）证明：因为平面，平面，所以．又，，平面，所以平面，因为平面，所以；（2）解析：思路：（1）由线面垂直的性质定理和判定定理证明结论即可；（2）取的中点D，连接，，由线面垂直的性质和判定，结合线面角的定义知是与平面所成的角，再根据已知求其正切值.（1）略（2）取的中点D，连接，，因为，所以，因为平面，平面，所以，,又，平面，所以平面，所以是与平面所成的角，在中,，在中,，，所以，则，故与平面所成角的正切值为.16.在中，．（1）求A；（2）若，且，求的面积．答案：（1）或或（2）3解析：思路：（1）由三角形内角的性质及三角恒等变换化简条件为，即可求；（2）由已知及正弦定理得，结合及（1）得，应用余弦定理求边长，进而求面积.（1）因为，所以，则或，又，所以或或；（2）设，，，由及正弦定理，得，即，因为，所以，结合（1）知，由余弦定理得，解得，，所以的面积为.17.已知椭圆：的离心率为，左顶点为．点，点M在C上，且线段的中点在y轴正半轴上．设直线与C的另一个交点为H．（1）求C的方程；（2）求直线的斜率及点H的坐标．答案：（1）（2）斜率为，点的坐标为解析：思路：（1）根据题目条件列出关于，和的方程，求出，，进而可写出椭圆C的方程.（2）先设出点，利用中点坐标公式得出线段的中点，结合点在y轴正半轴上及点M在椭圆C上，列出方程组求出点坐标，根据直线的斜率公式可得出直线的斜率；进而可得出直线的方程，联立椭圆和直线的方程可得出点的坐标.（1）因为椭圆：的离心率为，左顶点为，所以，解得：，所以椭圆C的方程为：.（2）设点的坐标为，因为点，则线段的中点的坐标为.因为线段的中点在y轴正半轴上，所以，解得.又因为点M在椭圆C上，所以，则，即点的坐标为，所以直线的斜率为，直线的方程为，即.联立椭圆C和直线的方程，整理得：，解得：或.结合题目要求可知点H的横坐标为.将代入直线的方程可得，所以点的坐标为.18.已知函数，．（1）求曲线在点处的切线方程．（2）定义集合．（Ⅰ）证明：．（Ⅱ）若，且，，，求a的取值范围．答案：（1）（2）（Ⅰ）集合D为在R上单调递增的函数的集合令，得，令，得，则在R上单调递增，即在R上单调递增．又，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，则，所以，则在R上单调递增，故．（Ⅱ）解析：思路：（1）利用导数与切线斜率关系求解即可；（2）（Ⅰ）根据题意可得集合D为在R上单调递增的函数的集合，利用导数研究的单调性即可证明结论；（Ⅱ）根据在R上单调递增，求出，根据单调性求出在上的最小值，在上的最小值，将恒成立转化为恒成立，结合导数研究即可求解.（1）由，得．又，所以曲线在点处的切线方程为．（2）（Ⅰ）略（Ⅱ）因为，所以在R上单调递增，所以对恒成立，则，解得．又中的，所以．由在上单调递增，得在上的最小值为，由在上单调递增，得在上的最小值为，则，即．设，则．令，得，则在上单调递增；令，得