河南省郑州市第五共同体2025~2026学年高二下册期末考试（六）数学试卷【附解析】

数学考试时间120分钟，满分150分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡．第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.设，则（）A.4 B.5 C.8 D.92.某中学生物兴趣小组观察鸢尾花时，发现“花瓣长度”和“花萼长度”总是一起变化，选取样本调查所得数据如图所示，其中相关系数，下列说法正确的是（）A.花瓣长度和花萼长度呈现负相关B.花瓣长度和花萼长度呈现正相关C.花瓣长度和花萼长度没有相关性D.若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是3.2026年河南省篮球城市联赛正在火热进行中，5名志愿者将前往郑州、焦作、商丘3个城市开展志愿服务工作，若要求每个城市都要有志愿者，则志愿者的分配方案总数为（）A.150 B.120 C.300 D.504.某校高二年级有1000名同学，某次数学期中考试成绩，若．则数学成绩在110分以上人数约为（）A.90 B.100 C.120 D.1505.若二项式展开式中，二项式系数最大的项是第3项和第4项，则该展开式的第4项的系数为（）A. B.40 C. D.806.近年来，河南旅游事业得到飞速发展，越来越多的游客选择来河南旅游，现甲、乙两位游客准备从万岁山武侠城、清明上河园、只有河南、龙门石窟、老君山五处景点各随机选一处游玩，记事件“甲和乙至少有一个人前往龙门石窟”，事件“甲和乙选择不同的景点”，则（）A. B. C. D.7.已知函数，在其图象上任取两个不同的点，（），总能使得，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.8.已知直线（，）是曲线与曲线的公切线，则等于（）A. B.3 C. D.2二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法中，正确的是（）A.两个变量相关性越强，则样本相关系数r就越接近于1B.两个拟合模型A，B的决定系数分别为和，若模型A的拟合效果好，则C.若随机变量X服从两点分布，其中，则D.以模型去拟合一组数据时，为了求回归方程，设，将其变换后得到经验回归方程，则，10.函数的导函数在区间上的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.函数在处有极小值 B.函数在处有极小值C.函数在区间内有个极值点 D.导函数在处有极大值11.如图，一质点在随机外力的作用下，从原点出发，每次向左或向右移动一个单位长度，向右移动的概率为，向左移动的概率为，共移动4次，质点最终位置对应的实数为随机变量X，则下列说法正确的是（）A.该质点最终回到原点的概率为 B.该质点最终位于原点右侧的概率为C. D.第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．12.在的展开式中，含项的系数为__________．13.袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P（ξ≤7）=______．（用分数表示结果）14.已知可导函数的导函数为，若对于任意的，都有，且，则不等式的解集为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.立足“天地之中、华夏之源、功夫郑州”城市文旅品牌，依托少林寺、只有河南·戏剧幻城等核心景区，郑州精心打造功夫玩偶、考古盲盒、姓氏书签、文物冰箱贴等一系列具有中原文化底蕴的文创产品．某重点景区统计发现：景区日均客流量越大，文创产品日均销售额越高，数据如下：景区日均客流x（万人次）23456文创产品日均销售额y（万元）811141619（1）求出y关于x的线性回归方程；（2）若该景区日均客流达到7万人次，预测文创产品日均销售额．参考公式：，16.已知展开式的二项式系数和为512，且．（1）求的值；（2）求的值；（3）求被7除的余数．17.已知函数，函数图象在点处的切线方程为，且当时，函数取得极值．（1）求函数的解析式；（2）若函数在区间上单调递增，求实数m的取值范围．18.为评估师生食堂就餐频率与满意度之间是否存在关联，某大学后勤管理部门在该校随机抽取了名师生进行调查，收集整理得到了如表的数据：就餐频率高满意度低满意度合计就餐频繁（每周次）7030100就餐不频繁（每周次）5050100合计12080200（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为食堂就餐频率与满意度之间有关联；（2）已知样本中学生人数为人，其中高满意度人数为人，教师人数为人，其中高满意度人数为人．以样本频率估计总体的概率，从全校的学生和教师中各随机抽取名，设这人中学生和教师的高满意度人数分别为和，令，求的分布列．附：，其中．0.100.050.0100.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.82819.已知函数（）．（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）当时，讨论的单调性；（3）若时，恒成立，求a的取值范围．

数学考试时间120分钟，满分150分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡．第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.设，则（）A.4 B.5 C.8 D.9答案：C解析：思路：方法一：依据导数定义，该极限等于函数在处的导数值，先对求导得，再代入算出结果．方法二：先计算，再令趋近于取极限得到数值．解答过程：方法一：由，得，所以．方法二：因为，所以．2.某中学生物兴趣小组观察鸢尾花时，发现“花瓣长度”和“花萼长度”总是一起变化，选取样本调查所得数据如图所示，其中相关系数，下列说法正确的是（）A.花瓣长度和花萼长度呈现负相关B.花瓣长度和花萼长度呈现正相关C.花瓣长度和花萼长度没有相关性D.若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是答案：B解析：思路：根据散点图的特点可分析出相关性的问题，从而判断ABC选项，根据相关系数的定义可以判断D选项.解答过程：对于AB，散点的分布是从左下到右上，从而花瓣长度和花萼长度呈现正相关性，故A错误，B正确；对于C，根据散点的集中程度可知，花瓣长度和花萼长度有相关性，故C错误；对于D，由于是全部数据的相关系数，取出来一部分数据，相关性可能变强，可能变弱，即取出的数据的相关系数不一定是，故D错误.3.2026年河南省篮球城市联赛正在火热进行中，5名志愿者将前往郑州、焦作、商丘3个城市开展志愿服务工作，若要求每个城市都要有志愿者，则志愿者的分配方案总数为（）A.150 B.120 C.300 D.50答案：A解析：解答过程：分两类计算第一类：先分组，将5名志愿者分为2、2、1，共有种分组方式，再分配，种方式，所以有种方式，第二类：将5名志愿者分为3、1、1，共有种分组方式，再分配，种方式，所以有种方式，所以志愿者的分配方案总数为.4.某校高二年级有1000名同学，某次数学期中考试成绩，若．则数学成绩在110分以上人数约为（）A.90 B.100 C.120 D.150答案：D解析：解答过程：因为，由正态分布的性质可得，.所以人数为人.5.若二项式展开式中，二项式系数最大的项是第3项和第4项，则该展开式的第4项的系数为（）A. B.40 C. D.80答案：C解析：解答过程：因为二项式系数最大的项是第3项和第4项，则展开式共6项，故，所以二项式展开式的第4项为，系数为.6.近年来，河南旅游事业得到飞速发展，越来越多的游客选择来河南旅游，现甲、乙两位游客准备从万岁山武侠城、清明上河园、只有河南、龙门石窟、老君山五处景点各随机选一处游玩，记事件“甲和乙至少有一个人前往龙门石窟”，事件“甲和乙选择不同的景点”，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：求出、的值，结合条件概率公式可求得的值.解答过程：由题意可得，“甲和乙中有一人选择龙门石窟，另一人不选择龙门石窟”，则，由条件概率公式可得.7.已知函数，在其图象上任取两个不同的点，（），总能使得，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：设，题意即递增.由恒成立，得对任意恒成立，又，故，且可行，可得答案.解答过程：函数定义域为，由等价于：，即：，令，则题意等价于在上严格递增.求导：，若严格递增，则必须有，即，，对任意恒成立.而，所以：，再验证时：，等号仅在处成立，因此在上严格递增，满足题意.所以实数的取值范围为：.8.已知直线（，）是曲线与曲线的公切线，则等于（）A. B.3 C. D.2答案：B解析：思路：由求得切线方程，结合该切线也是的切线列方程，求得切点坐标以及斜率，进而求得直线，从而求得正确答案.解答过程：设是图象上的一点，，所以在点处的切线方程为，即，令，解得，，所以，，所以或，当时，，不符合题意，舍去，所以，此时，所以.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法中，正确的是（）A.两个变量相关性越强，则样本相关系数r就越接近于1B.两个拟合模型A，B的决定系数分别为和，若模型A的拟合效果好，则C.若随机变量X服从两点分布，其中，则D.以模型去拟合一组数据时，为了求回归方程，设，将其变换后得到经验回归方程，则，答案：BCD解析：解答过程：对于A，叫做变量与之间的样本相关系数,相关程度越小，越接近0，相关程度越大,越接近1,但是可能越接近,A错误;对于B:当越接近于1，拟合效果越好,若模型A的拟合效果好，则，B正确;对于C，随机变量X服从两点分布，，，则，,C正确;对于D，，结合得：，D正确.10.函数的导函数在区间上的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.函数在处有极小值 B.函数在处有极小值C.函数在区间内有个极值点 D.导函数在处有极大值答案：BD解析：思路：根据导函数的图象，利用极值点、极值的定义，对各个选项逐一分析判断，即可求解.解答过程：对于选项A，由图知在左右两侧均有，所以不是的极值点，故选项A错误，对于选项B，由图知在左右两侧的符号：左侧，右侧，所以函数在处有极小值，故选项B正确，对于选项C，根据图象可知，有个极值点，左右两侧均有，所以不是的极值点，故选项C错误，对于选项D，由的图象知，在左侧单调递增，在右侧单调递减，所以在处有极大值，故选项D正确，故选：BD.11.如图，一质点在随机外力的作用下，从原点出发，每次向左或向右移动一个单位长度，向右移动的概率为，向左移动的概率为，共移动4次，质点最终位置对应的实数为随机变量X，则下列说法正确的是（）A.该质点最终回到原点的概率为 B.该质点最终位于原点右侧的概率为C. D.答案：ACD解析：思路：对于选项A，质点最终回到原点即向左向右行动的次数一致，即可求解概率；对于选项B，若位于右侧则说明向右行动次数大于向左的次数；对于选项C，若X等于，则向左移动三次，向右移动一次，根据独立重复事件概率公式即得；对于选项D，求解X的数学期望就可先把分布列求出，进而求解数学期望.解答过程：选项A：质点最终回到原点即向左向右行动的次数一致，即向左两次，向右两次，所以概率为，故A正确.选项B：质点位于原点右侧即向右行动次数大于向左的次数，有两种情况，第一种情况，4次均向右移动则，第二种情况向右移动3次，向左移动一次，则，所以质点位于原点右侧的概率为，故B错误.选项C：即向左移动3次，向右移动1次，所以，故C正确.选项D：X可取值为.，，，，，随机变量X的分布列为：024所以，故D正确.第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．12.在的展开式中，含项的系数为__________．答案：解析：思路：首先式子变形为，再根据项的生成过程，结合组合数公式，即可求解.解答过程：已知，中含有项为，中含有项为，因此，含项的系数为.13.袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P（ξ≤7）=______．（用分数表示结果）答案：解析：解答过程：取出的4只球中红球个数的可能为4，3，2，1个，黑球相应个数为0，1，2，3个，∴得分的随机变量ξ=4，6，8，10，∴P（ξ≤7）=P（ξ=4）+P（ξ=6）故答案为：14.已知可导函数的导函数为，若对于任意的，都有，且，则不等式的解集为________．答案：解析：思路：整理可得，令，，利用导数分析可知在定义域内单调递减，结合单调性解不等式即可.解答过程：因为，且，可得，令，，可得，则，因为，即，则，可知在定义域内单调递减，又因为，则，即，解得，所以不等式的解集为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.立足“天地之中、华夏之源、功夫郑州”城市文旅品牌，依托少林寺、只有河南·戏剧幻城等核心景区，郑州精心打造功夫玩偶、考古盲盒、姓氏书签、文物冰箱贴等一系列具有中原文化底蕴的文创产品．某重点景区统计发现：景区日均客流量越大，文创产品日均销售额越高，数据如下：景区日均客流x（万人次）23456文创产品日均销售额y（万元）811141619（1）求出y关于x的线性回归方程；（2）若该景区日均客流达到7万人次，预测文创产品日均销售额．参考公式：，答案：（1）（2）万元解析：思路：（1）先求出平均值并代入最小二乘法公式计算出斜率，再利用样本中心点满足回归方程的性质求出截距，即可求得线性回归方程（2）将直接代入第一问求得的线性回归方程中，计算得出对应的销售额预测值.（1），，，，则，，所以（2）令得，故预测文创产品日均销售额为万元.16.已知展开式的二项式系数和为512，且．（1）求的值；（2）求的值；（3）求被7除的余数．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）通过配凑法将原式配凑出含有的结构，再利用二项式定理的通项公式直接求出目标系数.（2）采用赋值法，分别令获取所有系数总和、令获取常数项，两者相减即得目标系数和.（3）利用二项式定理将底数拆分为除数的倍数+余数，从而批量去掉所有能被整除的项，即可求得余数.（1）由题意得，解得，所以，则，展开的通项为，令，即的系数.（2）令，即，则有，即，令，即，则有，即，所以.（3），因为能被7整除，被7除的余数为，所以被7除的余数.17.已知函数，函数图象在点处的切线方程为，且当时，函数取得极值．（1）求函数的解析式；（2）若函数在区间上单调递增，求实数m的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据题中信息可得出关于、、的方程组，解出这三个未知数的值，再结合极值点的定义验证，即可得出函数的解析式；（2）求出函数的增区间，根据题意可知区间是增区间的子集，可得出区间的包含关系，由此可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围.（1）因为，则，，解得，即，所以，当时，；当时，.所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数在处取得极小值，符合题意.综上所述，.（2）由，，由可得或，故函数的增区间为和.因为函数在区间上单调递增，所以，解得，且有或，所以或，解得或，故实数的取值范围是.18.为评估师生食堂就餐频率与满意度之间是否存在关联，某大学后勤管理部门在该校随机抽取了名师生进行调查，收集整理得到了如表的数据：就餐频率高满意度低满意度合计就餐频繁（每周次）7030100就餐不频繁（每周次）5050100合计12080200（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为食堂就餐频率与满意度之间有关联；（2）已知样本中学生人数为人，其中高满意度人数为人，教师人数为人，其中高满意度人数为人．以样本频率估计总体的概率，从全校的学生和教师中各随机抽取名，设这人中学生和教师的高满意度人数分别为和，令，求的分布列．附：，其中．0.100.050.0100.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.828答案：（1）依据小概率值的独立性检验，可以认为食堂就餐频率与满意度之间有关联（2）的分布列为012P解析：思路：（1）设零假设为两变量无关联，代入列联表数据计算卡方值，将其与对应的临界值比较，卡方值更大则拒绝假设，判定二者存在关联；（2）先算出学生、教师抽取高满意度人员的概率，分别求出取的概率，找出的所有取值，分类组合对应情况，结合独立事件概率公式累加算出各取值