河南省驻马店市2025~2026学年高二上册开学青桐鸣联考（北师大版）数学试卷【附解析】

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.2.已知，，则（）A. B. C. D.3.若的图象关于原点对称，则实数的值为（）A. B. C. D.4.设点到直线的距离为，直线与直线之间的距离为，则与之间的大小关系为（）A. B. C. D.无法确定5.函数的图象在区间内的对称轴条数为（）A.4 B.5 C.6 D.76.过点，，的圆的圆心坐标为（）A. B. C. D.7.设随机事件A，满足，，则（）A.0.4 B.0.35 C.0.25 D.0.18.已知平面向量，，，若，，三点共线，则的取值范围为（）A B.C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某工厂生产了一批钢丝，现随机抽取其中根，得到它们的长度分别为，，，，（单位：厘米），则这组数据的（）A.极差为 B.平均数为C.中位数为 D.方差为10.已知函数，则下列选项正确的有（）A.定义域为 B.曲线的图象关于点中心对称C.若，则 D.11.已知为坐标原点，过点直线与圆交于，不同的两点，分别作圆在点，处的切线，两条切线相交于点，则下列选项正确的有（）A.当时，B.当直线斜率为时，的面积为C.当时，的外接圆半径为D.当时，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知某圆柱与某圆锥的母线长均为6，且圆柱的底面半径是圆锥底面半径的2倍，若圆柱的体积为，则圆锥的体积为__________.13.若圆恒过两个不同的定点A，B，则__________.14.已知函数，则方程的根的个数为__________，其所有根之和的取值范围为__________（提示：函数在上单调递增）.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知圆，直线，直线，.（1）探求与是否垂直；（2）若，判断与圆的位置关系；（3）若，求圆与圆公切线的条数.16.记的内角，，的对边分别为，，，且，.（1）证明：为等腰三角形；（2）若，，求的值.17.在平面直角坐标系中，直线的一个方向向量为.（1）证明：；（2）若直线的方向向量与直线的方向向量的数量积为0，且点到直线的距离为1，求的一般式方程.18.在平面直角坐标系中，已知，，，满足，点与点可以重合，记点的轨迹为.（1）求曲线的方程；（2）若，求的值；（3）若点不与原点重合，求的角平分线所在直线的斜截式方程.19.已知圆，圆，且.（1）证明：与相切；（2）若与内切，求公切线的方程；（3）若，且，圆与内切于点，且与面积之积为，若经过点，的直线分别交于点（异于点），交于点（异于点），证明：以为直径的圆过定点.

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据直线一般式化为斜截式，由斜率与倾斜角的关系计算即可.解答过程：由化为，即该直线斜率为，所以其倾斜角为.故选：A2.已知，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：先求出集合，再根据交集的定义求解即可.解答过程：由，则，解得，即，又，故．故选：A．3.若的图象关于原点对称，则实数的值为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据题意，得到函数为奇函数，结合，列出方程，得到恒成立，即可求解.解答过程：因为函数的图象关于原点对称，所以函数为奇函数，则满足，且定义域关于原点对称，又因为，所以在定义域上恒成立，因为在定义域上不恒为，所以，可得在定义域上恒成立，所以.故选：D.4.设点到直线的距离为，直线与直线之间的距离为，则与之间的大小关系为（）A. B. C. D.无法确定答案：B解析：思路：利用点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式计算可得结论.解答过程：点到直线的距离为，直线与直线之间的距离为，所以.故选：B.5.函数的图象在区间内的对称轴条数为（）A.4 B.5 C.6 D.7答案：D解析：思路：根据三角函数的性质，求得对称轴的方程，令，求得的范围，结合，即可求解.解答过程：由函数，令，解得再令，解得，因为，所以，即函数的图象在内有7条对称轴.故选：D.6.过点，，的圆的圆心坐标为（）A B. C. D.答案：C解析：思路：用圆的一般方程，该圆经过三个点可列出三个方程，并求解，最后用配方法变成标准方程，求出圆心坐标解答过程：设圆的方程为.因该圆过点，，，所以，解得.因此圆的方程为.化简得.因此该圆的圆心为.故选：C7.设随机事件A，满足，，则（）A.0.4 B.0.35 C.0.25 D.0.1答案：D解析：思路：注意到，然后由题可得，最后由对立事件概率性质可得答案.解答过程：注意到，，则，又，则.故选：D8.已知平面向量，，，若，，三点共线，则的取值范围为（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：解题的关键是根据向量共线的坐标表示列出关于的等式，然后通过消元得到关于的不等式，最后求解不等式得到的取值范围.解答过程：因为A，B,C三点共线，所以与共线，因为平面向量，，，故可得，整理可得，化为关于的一元二次方程为，因为存在实数解，故，即，解得或，即或，故选：.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某工厂生产了一批钢丝，现随机抽取其中根，得到它们的长度分别为，，，，（单位：厘米），则这组数据的（）A.极差为 B.平均数为C.中位数为 D.方差为答案：BC解析：思路：将已知数据组从小到大排列，根据极差的定义求所给数据极差，判断A，根据平均数的定义求平均数，判断B，根据中位数的定义，求中位数，判断C，根据方差的定义求方差，判断D.解答过程：将数据，，，，从小到大排列可得，，，，，所以这组数据的极差为，A错误，平均数为，B正确，中位数为，C正确，方差，所以，D错误，故选：BC.10.已知函数，则下列选项正确的有（）A.的定义域为 B.曲线的图象关于点中心对称C.若，则 D.答案：ABD解析：思路：对于A，由有意义列不等式，求其解可得函数定义域，判断A，对于B，先证明对任意，，再证明，由此判断B，对于C，求的范围，结合对数函数的单调性，证明，判断C，由解析式求，，再结合对数函数单调性比较两者大小，判断D.解答过程：对于A，因为有意义，所以，所以，所以或，所以函数的定义域为，A正确，对于B，因为函数的定义域为，所以对于任意的，，因为，所以，所以，所以曲线的图象关于点中心对称，B正确，对于C，因，所以，所以，所以，即，所以，所以，又，所以，C错误，对于D，因为，所以，，所以，因为，所以，所以，D正确，故选：ABD.11.已知为坐标原点，过点的直线与圆交于，不同的两点，分别作圆在点，处的切线，两条切线相交于点，则下列选项正确的有（）A.当时，B.当直线的斜率为时，的面积为C.当时，的外接圆半径为D.当时，答案：AB解析：思路：依题意可设直线的方程为，当时，得到，从而根据勾股定理求出，再根据等面积法即可求出的值，进而根据斜率与倾斜角的关系即可求出来判断A；当直线的斜率为时，先求出圆心到直线的距离，再根据勾股定理求出，进而即可求出来判断B；当时，设，依题意可得，，，四点共圆，且以为直径，再根据圆与圆的关系即可得到直线的方程，从而即可得到点的轨迹方程，再根据即可求出点的坐标，进而即可求出的外接圆半径来判断C；当时，结合选项C有，根据正切函数的定义即可求出，从而求出，，进而根据等面积法即可求出来判断D．解答过程：依题意可得直线的斜率存在，设直线的方程为，圆心到直线的距离为，则，对于选项A，由，，则当时，，所以，所以，即，解得，则，所以，故A正确；对于选项B，当直线的斜率为时，即直线的方程为，则，则，所以，故B正确；对于选项C，设，由，，所以，，，四点共圆，且以为直径，则该圆的方程为，即，联立，整理得直线的方程为，又点在直线上，则，解得，即点的轨迹方程为，又当时，即，解得，所以，即的外接圆半径为，故C错误；对于选项D，结合选项C有，则当时，有，又，则，所以，所以，又，即，得，故D错误．故选：AB．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知某圆柱与某圆锥的母线长均为6，且圆柱的底面半径是圆锥底面半径的2倍，若圆柱的体积为，则圆锥的体积为__________.答案：解析：思路：根据圆柱的体积，求出圆柱的底面半径，进而求得圆锥的底面半径，最后由圆锥的体积公式求解.解答过程：设圆锥的底面半径为，则圆柱的底面半径为.因圆柱的母线长为6，故圆柱的高为6.而圆柱的体积为，因此，解得.故圆锥的高，可知其体积．故答案为：.13.若圆恒过两个不同的定点A，B，则__________.答案：3解析：思路：变形得到，求出定点A，B的坐标，得到答案.解答过程：变形得到，令，解得或，不妨设，，所以.故答案为：314.已知函数，则方程的根的个数为__________，其所有根之和的取值范围为__________（提示：函数在上单调递增）.答案：①2②.解析：思路：令，则，由得，进而得，作出的图像，利用数形结合即可求解；由得，即，进而得，令，则，利用单调性得的范围，进而求解.解答过程：令，则，所以，由，因为，所以，作出的图像：由图可知：有两个交点，所以的根的个数为2；由有，所以，所以，令，则，由函数在上单调递增，所以，即，又在单调递增，所以，所以，所以，故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知圆，直线，直线，.（1）探求与是否垂直；（2）若，判断与圆的位置关系；（3）若，求圆与圆公切线的条数.答案：（1）答案见解析（2）相离（3）0解析：思路：（1）根据两直线垂直的判定方法求解讨论即得；（2）求出圆的圆心到直线的距离与圆的半径作比较即可判断；（3）先判断两圆的位置关系，即可判断两圆的公切线的条数.（1）因为，若，则与垂直；若，则与不垂直.（2）当时，，圆，则圆的圆心为，半径为，因圆心到直线的距离为，与圆相离.（3）当时，圆，圆，则圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，则两圆得圆心距为，则圆与圆内含，其公切线的条数为0.16.记的内角，，的对边分别为，，，且，.（1）证明：为等腰三角形；（2）若，，求的值.答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）由，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换得，又，有，得证为等腰三角形；（2）由余弦定理求得，再求即可.（1）中，，由正弦定理可得，可得，又，所以.又，可得，则有，所以为等腰三角形；（2）若，，则，可得，又，.17.在平面直角坐标系中，直线的一个方向向量为.（1）证明：；（2）若直线的方向向量与直线的方向向量的数量积为0，且点到直线的距离为1，求的一般式方程.答案：（1）证明见解析；（2）.解析：思路：（1）由直线的截距式化为斜截式，结合直线的方向向量计算即可证明；（2）设直线的方向向量，结合直线方程与方向向量的关系、点到直线的距离公式计算即可.（1）由可化为，则其一个方向向量为，由题意可知，解之得，所以；（2）设直线的方向向量为，则该直线方程为，由题意可知，解之得，即该直线方程为，所以的一般式方程为.18.在平面直角坐标系中，已知，，，满足，点与点可以重合，记点的轨迹为.（1）求曲线的方程；（2）若，求的值；（3）若点不与原点重合，求的角平分线所在直线的斜截式方程.答案：（1）；（2）；（3）或.解析：思路：（1）根据两点间距离公式，代入化简，即可得曲线的方程；（2）画图，根据几何关系，可得为直角三角形，根据勾股定理即可求解；（3）分和，结合正切函数的两角和公式、二倍角公式，进行求解.（1）根据题意，，，，且满足，即，化简得，即曲线的方程为；（2）由（1），可得曲线的图像，如图所示，因为，所以，又为圆心，在圆上，所以，又，；（3）设的角平分线所在直线的倾斜角为，当时，为锐角，且，又，，所以，所以，即，解得或，因为为锐角，所以，又因为的角平分线过原点，所以其直线方程的斜截式为：；当时，为钝角，且，又，，所以，所以，即，解得或，因为为锐角，所以，所以又因为的角平分线过原点，所以其直线方程的斜截式为：.综上所述，的角平分线所在直线的斜截式方程为或.19.已知圆，圆，