河南省南阳市唐河县第一高级中学2025~2026学年高一下册期末考前错题练数学试卷【附解析】

数学一、选择题1.复数（为虚数单位）的共轭复数在复平面上对应的点所在的象限为（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A.若，，，则 B.若，，，则C.若，，，则 D.若，，，则3.如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，则原四边形的周长为（）A. B. C.12 D.4.如图，在中，点B关于点A的对称点为C，D在线段OB上，且，DC和OA相交于点E．若，则（）A. B. C. D.5.已知正四棱台的上、下底面边长分别为和，侧棱长为，该正四棱台的体积为（）A.518 B. C.350 D.6.如图，二面角α-l-β的大小是60°，线段AB⊂α，B∈l，AB与l所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的正弦值是（）A. B. C. D.7.已知函数，若在区间上有三个零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.8.如图（1），函数的图象与轴交于点，将绘有该函数图象的纸片沿轴折成直二面角，如图（2），若折叠后、两点间的距离为，则（）A. B. C. D.二、多选题9.已知复数，，则下列结论中正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则10.如图，在正方体中，为底面的中心，为所在棱的中点，为正方体的顶点．则满足的是（）A. B. C. D.11.如图，三棱台中，平面，，且有，则下列命题正确的是（）A. B.异面直线和所成角为C.三棱台的体积为 D.二面角的正切值为三、填空题12.设非零向量，，满足，且，．若向量在上的投影向量为，则向量与的夹角是______．13.某圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角为的扇形，则该圆锥的底面直径为_________．14.如图，在中，，，，的角平分线交于，交过点且与平行的直线于点，则___________.四、解答题（共6小题）15.在复平面内，复数对应的点为.（1）若为纯虚数，求的值；（2）设为坐标原点，为虚轴负半轴上任意一点，若向量与的夹角为锐角，求的取值范围.16.已知函数.（1）求图象的对称轴方程；（2）若，求的值.17.（1）求证：如果两个平面都垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面．（2）如图，在正方体中，求证：①平面；②与平面的交点设为H，则点H是的重心．18.在中，角，，的对边分别为，，，，.（1）求角；（2）若是线段的中点，且，求；（3）若为锐角三角形，求的周长的取值范围.19.如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，.（1）证明：平面；（2）证明：平面平面BEF；（3）求二面角的正弦值.

数学一、选择题1.复数（为虚数单位）的共轭复数在复平面上对应的点所在的象限为（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：D解析：思路：利用复数的除法运算将复数表示为一般形式，即可得出复数,进而得到其共轭复数在复平面内对应的点所在的象限.解答过程：，因此，复数的共轭复数在复平面内对应的点位于第四象限.故选：D方法提示：本题考查复数在复平面对应的点所在象限的判断，利用复数的除法法则将复数化为一般形式是解答的关键，考查计算能力，属于基础题.2.已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A.若，，，则 B.若，，，则C.若，，，则 D.若，，，则答案：B解析：思路：根据线面位置关系判断各个选项即可.解答过程：m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，若，，，则或异面或相交，A选项错误；若，，，所以，即，B选项正确；若，，，则可以平行，C选项错误；若，，，则可以相交，D选项错误；3.如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，则原四边形的周长为（）A. B. C.12 D.答案：C解析：思路：由题意，结合斜二测画法将直观图还原为原图，进而求解.解答过程：由题意知，，将直观图还原为原图，如图，则，所以，所以原四边形的周长为12.故选：C4.如图，在中，点B关于点A的对称点为C，D在线段OB上，且，DC和OA相交于点E．若，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用平面向量基本定理，同一基底的系数对应相等，所以可建立关于和的方程组，求解得到.解答过程：因为点关于点的对称点为，所以是线段的中点，根据向量中点公式：

整理得：

，由线段比例得的表达式：已知在线段上，且，因此：

，利用三点共线列方程

三点共线，因此存在实数使得.因为，已知，因此，代入得：

，因为与不共线，根据平面向量基本定理，

，​先解得​，代入第一个方程得.5.已知正四棱台的上、下底面边长分别为和，侧棱长为，该正四棱台的体积为（）A.518 B. C.350 D.答案：B解析：思路：先根据正四棱台的几何特征求出高，再代入棱台体积公式计算即可．解答过程：求上下底面的对角线长度：正四棱台上下底面均为正方形，上底面边长为，故上底面对角线长为；下底面边长为，故下底面对角线长为；上底面顶点在下底面的射影落在下底面的对角线上，可得侧棱在底面的投影长度为；已知侧棱长为，由勾股定理得棱台的高；计算体积：上底面面积，下底面面积，代入棱台体积公式．6.如图，二面角α-l-β的大小是60°，线段AB⊂α，B∈l，AB与l所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的正弦值是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：作AO⊥β于O，AC⊥l于C，连接OB，OC，则,,设AB与β所成的角为θ，则∠ABO＝θ，解三角形得解.解答过程：如图，作AO⊥β于O，AC⊥l于C，连接OB，OC，则OC⊥l．则,,设AB与β所成的角为θ，则∠ABO＝θ，由图得sinθ＝＝＝sin30°·sin60°＝．故选：C方法提示：方法点睛：求空间的角常用的方法有：（1）几何法（找作证指求）；（2）向量法.要根据已知条件灵活选择方法求解.7.已知函数，若在区间上有三个零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据已知进行换元，令，再结合余弦函数图象求解即可.解答过程：因为，且，令，则，即在上有三个零点，由余弦函数图象知，即，解得.8.如图（1），函数的图象与轴交于点，将绘有该函数图象的纸片沿轴折成直二面角，如图（2），若折叠后、两点间的距离为，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，连接，利用面面垂直的性质定理得出，利用勾股定理可得出关于的方程，解出的值，再由函数在轴右侧附近单调递减，结合可求得的值，进而可得出函数的解析式即可．解答过程：如图，过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，连接．因为的最小正周期，所以，又因为，所以，当折成直二面角时，即平面平面，因为，平面平面，平面，所以平面，因为平面，故，所以，解得(负值舍去)，故．因为，且，所以或，又因为在轴右侧附近单调递减，所以，则，所以．二、多选题9.已知复数，，则下列结论中正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则答案：AC解析：思路：由复数的运算逐项判断可得.解答过程：设

，对于A，有

，正确；对于B，若

，则有

，比如

，则有

，但

，错误；对于C，若

，则有

，不妨设

，并且

，则

，

代入①，整理得

，故

，

；若

，则

或

，若

代入①得

，若

代入①得

，综上，C

正确；对于D，若

，表示

在复平面上对应的点到原点的距离相等，显然不能推出

，比如

，则

，

，错误；10.如图，在正方体中，为底面的中心，为所在棱的中点，为正方体的顶点．则满足的是（）A. B. C. D.答案：BC解析：思路：根据线面垂直的判定定理可得B，C的正误，平移直线构造所考虑的线线角后可判断A，D的正误.解答过程：设正方体的棱长为2，对于A，如图（1）所示，连接，则，故（或其补角）为异面直线所成的角，在，，所以，则与不垂直，故A错误；对于B，如图（2）所示，取的中点为，连接，则，，即平面，平面，所以，又平面，则平面，，故B正确；对于C，如图（3），连接，则，由B的判断可得，所以，故C正确；对于D，如图（4），取的中点，的中点，连接，则，又，故，所以或其补角为异面直线所成的角，又，，，因为，故不是直角，所以与不垂直，故D错误.故选：BC.11.如图，三棱台中，平面，，且有，则下列命题正确的是（）A. B.异面直线和所成角为C.三棱台的体积为 D.二面角的正切值为答案：ABD解析：思路：选项A：构建以为斜边的直角三角形，使用勾股定理即可判断；选项B：根据，得到异面直线和所成角为或其补角，证明是等边三角形即可判断；选项C：计算出上底面和下底面等腰直角三角形的面积，代入棱台公式即可判断；选项D：找出二面角的平面角，利用直角三角形中非直角的角的正切值公式计算即可判断.解答过程：选项A：取中点，连接，，，，故，且，得四边形是平行四边形，，依题意，平面，则平面，结合平面，可得，根据勾股定理，，选项A正确；选项B：根据棱台性质，，故异面直线和所成角为或其补角，根据勾股定理，，，，即是等边三角形，，故异面直线和所成角为，选项B正确；选项C：依题意，是直角边长为2的等腰直角三角形，因此，是直角边长为1的等腰直角三角形，因此，故根据棱台公式，三棱台的体积为，选项C错误；选项D：取中点，是等腰直角三角形，是等边三角形，根据三线合一的性质可得，，因此二面角的平面角为，平面，平面，故，，即二面角的正切值为，选项D正确.故选：ABD.三、填空题12.设非零向量，，满足，且，．若向量在上的投影向量为，则向量与的夹角是______．答案：或解析：思路：先根据向量等式推出，并得到.接着由坐标求其模长，再根据投影向量条件算出.然后用向量数量积公式求出与夹角.最后结合前面的结论，求出与的夹角.解答过程：因为，即，所以，且，即．由，得，因为向量在上的投影向量为，由题意得，所以．设向量与的夹角为，因为，所以，所以，即与的夹角是．所以与的夹角是或.故答案为：或.13.某圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角为的扇形，则该圆锥的底面直径为_________．答案：##解析：思路：根据扇形的弧长公式求出圆锥的底面圆的周长，建立方程，解之即可求解.解答过程：由题意知扇形的弧长，设该圆锥的底面圆的半径为，则，即，得，即该圆锥的底面圆的直径为.故答案为：14.如图，在中，，，，的角平分线交于，交过点且与平行的直线于点，则___________.答案：解析：思路：先在中利用余弦定理求，判断为等腰三角形，进一步可求，再根据，结合比例的性质可求的长.解答过程：在中，由余弦定理可得：，即，又，所以.因为，平分，所以，所以.在中，因为，所以.因为，所以，所以.故答案为：四、解答题（共6小题）15.在复平面内，复数对应的点为.（1）若为纯虚数，求的值；（2）设为坐标原点，为虚轴负半轴上任意一点，若向量与的夹角为锐角，求的取值范围.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据条件得，再利用复数的分类，即可求解；（2）设，根据条件，利用向量的夹角公式，得，即可求解.（1）由已知得，为纯虚数，，解得.（2）设，则，又，由，夹角为锐角得：，且与不共线，，解得且，故的取值范围为.16.已知函数.（1）求图象的对称轴方程；（2）若，求的值.答案：（1）（2）解析：思路：（1）首先对函数关系式进行恒等变换，把函数关系式变形成正弦型函数，再根据对称轴方程计算即可；（2）根据（1）中函数的关系式，进一步结合诱导公式二倍角公式计算即可．（1）由，可得，所以图象的对称轴方程为；（2）由（1）知，由，可得，所以，17.（1）求证：如果两个平面都垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面．（2）如图，在正方体中，求证：①平面；②与平面的交点设为H，则点H是的重心．答案：（1）证明：如图，在内作直线m垂直于与的交线，在内作直线n垂直于与的交线．，，，，，又n在内，，，，即得证．（2）①连接，则，又平面，平面，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以．同理可证，因为，平面，所以平面．②连接，BH，，由，得，因此点H为的外心．又为正三角形，所以H是的中心，也是的重心．解析：思路：（1）用线面垂直的性质和平行的传递性证明垂直.（2）线面垂直的判定及正三角形的多心合一进行判定.解答过程：【第一小问解答过程：略【第二小问解答过程：略18.在中，角，，的对边分别为，，，，.（1）求角；（2）若是线段的中点，且，求；（3）若为锐角三角形，求的周长的取值范围.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）先应用正弦定理化边为角，再应用两角和的正弦公式计算化简得出角A；（2）先根据向量关系，左右两边平方后结合余弦定理得出，进而得出面积即可；（3）应用正弦定理边角转化应用辅助角公式化简，再根据角的范围应用正弦函数的性质求解.（1）由正弦定理可知，∴，∴，又，，∴，∵，∴，∵，∴．（2）由（1）及余弦定理得，即，①又因为，则，则，即，所以，②由得，所以．（3）由（1）得，则，即，由正弦定理可知，，所以．因为△ABC为锐角三角形，所以，，即，，则，即，则，故△ABC的周长的取值范围为．19.如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，.（1）