黑龙江省龙东十校联盟2025~2026学年高三上册开学考试数学试卷【附解析】

数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.的值为（）A. B. C. D.2已知集合，，则（）A B.C. D.3.函数的最大值为（）A B. C. D.4.曲线在处的切线的斜率为（）A. B. C. D.5.已知是的内角，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.已知，则（）A. B.2 C. D.2或7.在中，内角所对边分别为，已知，且三角形有两解，则角A的取值范围是（）A. B. C. D.8.若函数在区间上有极值点，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.为了得到函数的图象，只需将图象上的所有点（）A.横坐标伸长到原来的倍，再向右平移个单位B.横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位C.向右平移个单位，再把横坐标伸长到原来的倍D.向右平移个单位，再把横坐标缩短到原来的10.已知函数，下列说法正确的是（）A.与函数的单调区间一定相同B.若有两个零点，则的取值范围为C.的图象关于直线对称D.存在实数使的定义域和值域都为11.若，则下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数满足，则_________13.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为，秒针均匀地绕点O旋转，当时间时，点A与钟面上标12的点B重合，将A，B两点的距离表示成的函数，则______其中.14.已知，不等式对任意的实数恒成立，则实数a的最小值为：_______．四、解答题:本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知函数的部分图象如图所示（1）求的解析式；（2）已知，求的值.16.已知不等式的解集为，集合，，（1）求集合；（2）解关于的不等式17.已知函数，（1）求值域.（2）对任意的，都存在使得成立，求的取值范围.18.在中，内角所对边分别为，（1）若，求值.（2）若的角平分线交于点.（ⅰ）若，求的最大值；（ⅱ）若，，求的面积.19.设函数（1）求的单调性.（2）求证：当时，.（3）若函数在上有零点，求实数的取值范围.

数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.的值为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：利用诱导公式求特殊角的正弦值.解答过程：.故选：D2.已知集合，，则（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：由集合的运算性质求解．解答过程：表示函数的定义域，，则，故选：C3.函数的最大值为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用基本不等式直接求解.解答过程：，由基本不等式有，当且仅当即时，等号成立，所以函数的最大值为.故选：B.4.曲线在处的切线的斜率为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据导数的几何意义求解.解答过程：，求导得：，所以曲线在处的切线的斜率，故选：A.5.已知是的内角，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：B解析：思路：依题意可得，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.解答过程：在中，，先证充分性：在中，取，此时，即“”推不出“”，充分性不成立；再证必要性：在中，，即“”推出“”，必要性成立；综上，“”是“”的必要不充分条件.故选：B.6.已知，则（）A. B.2 C. D.2或答案：B解析：思路：由两角差正切公式可得，再由同角三角函数基本关系及二倍角公式化简求解.解答过程：由，得，解得，而.故选：B.7.在中，内角所对边分别为，已知，且三角形有两解，则角A的取值范围是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据正弦定理可得，再由三角形有两解，可得，可得角的取值范围.解答过程：由正弦定理可得,,可得,由△ABC有两解知，有两个解，故，即，或，又，∴A为锐角，所以，故选:.8.若函数在区间上有极值点，则的取值范围是（）A B. C. D.答案：D解析：思路：由题意可知，当在区间上有变号零点时满足题意，进而分离参数得，令，利用导数求出的值域，从而可得结果.解答过程：因为函数在区间上有极值点，所以在区间上有变号零点，因为，所以分离得：.令，，由，得或（舍去），当时，，则单调递增；当时，，则单调递减；于是，又，所以，即.故选：D二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.为了得到函数的图象，只需将图象上的所有点（）A.横坐标伸长到原来的倍，再向右平移个单位B.横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位C.向右平移个单位，再把横坐标伸长到原来的倍D.向右平移个单位，再把横坐标缩短到原来的答案：BD解析：思路：由函数的图象按各选项给定的变换求出解析式即可得解.解答过程：对于A，，A不是；对于B，，B是；对于C，，C不是；对于D，，D是.故选：BD10.已知函数，下列说法正确的是（）A.与函数的单调区间一定相同B.若有两个零点，则的取值范围为C.的图象关于直线对称D.存在实数使的定义域和值域都为答案：BC解析：思路：利用两个函数定义域特征判断A；利用零点定义求出范围判断B；利用轴对称特征判断C；利用对数型复合函数定义域、值域都为R分别求出范围判断D.解答过程：对于A，由，得不等式的解集为的定义域，而定义域为R，因此两者的单调区间不一定相同，A错误；对于B，由，得，有两个零点，当且仅当方程有两个不等的实数根，因此，解得，B正确；对于C，，由，得的图象关于直线对称，C正确；对于D，的定义域为，当且仅当；的值域为，当且仅当，因此不存在实数使的定义域和值域都为，D错误.故选：BC11.若，则下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.答案：ABD解析：思路：对于A，利用为减函数，在上为增函数即可比较幂的大小判断A，对于B，利用在上为增函数，可得，化简即可判断B；对于C，构造函数，判断其单调性，得出时，排除C项，或者通过举反例说明排除C项；对于D，利用C项分析时所构造函数的极值推得，即，同理得即可判断D.解答过程：对于A，因，为减函数，在上为增函数，故，故A正确；对于B，因，则在上为增函数，又故，因，则，故得，即B正确；对于C，法一：设，由可得，当时，，当时，，故在上递减，在上递增，所以当时，，即，可得，故C错误；法二：举反例：取，则，故C错误；对于D，由C，当时，可得，因，则，可得，同理可得，故，即D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数满足，则_________答案：2解析：思路：令，代入计算即可．解答过程：令，所以．故答案为：213.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为，秒针均匀地绕点O旋转，当时间时，点A与钟面上标12的点B重合，将A，B两点的距离表示成的函数，则______其中.答案：,解析：思路：可以求出，从而由余弦定理可以得到，由余弦的二倍角公式即可化简得.解答过程：如图，；在中，由余弦定理得，由，知，故答案为：．14.已知，不等式对任意的实数恒成立，则实数a的最小值为：_______．答案：解析：思路：将不等式化简后，构造函数，根据单调性转化为恒成立问题求解解答过程：，∴，构造函数，显然在上单调递增，故等价于，即任意的实数恒成立，．令，则，故在上单调递减，在上单调递增，，得．故答案为：四、解答题:本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知函数的部分图象如图所示（1）求的解析式；（2）已知，求的值.答案：（1）（2）解析：思路：（1）由图像最值得到的值，由相邻最大值与最小值点得到函数周期，从而得到，将已知点坐标代入解析式，求得，即得到函数解析式；（2）代入（1）中函数解析式得到等式，结合取值范围得到的取值范围，由同角三角函数求得，然后利用和差角公式求得的值.（1）由最值可确定，周期又，所以（2），∵，∴，又∴∴16.已知不等式的解集为，集合，，（1）求集合；（2）解关于的不等式答案：（1）（2）解析：思路：（1）通过解分式不等式可得结果；（2）由题意求出集合B，结合不等式的解集可得，从而代入解一元二次不等式即可.（1）由，得，则或，解得或所以.（2）因为，，所以，又因为，所以，所以不等式的解集为，从而是方程的两根，且，由，得，又，所以，即，解得.所以不等式的解集为.17.已知函数，（1）求的值域.（2）对任意的，都存在使得成立，求的取值范围.答案：（1）（2）解析：思路：（1）由绝对值不等式的性质求解；（2）依题意得，，再求出函数的最小值进行求解．（1）∵，当时，取最小值，当时，，∴的值域为.（2）由题意知，由（1）得，，，设，则化为，当时，，∴，当时，，∴，所以的取值范围为.18.在中，内角所对边分别为，（1）若，求的值.（2）若的角平分线交于点.（ⅰ）若，求的最大值；（ⅱ）若，，求面积.答案：（1）（2）（ⅰ）；（ⅱ）解析：思路：（1）由余弦定理代入数据即可求解；（2）（ⅰ），得到，再结合基本不等式即可求解；（ⅱ）由三角形角平分线定理得到，再由正弦定理得到，代入求得，即可求解.（1）由余弦定理得：所以的值；（2）（ⅰ）∵∴，而，当时，取“=”∴，即AD最大值为（ⅱ）由三角形角平分线定理有，∴，设在中，由正弦定理有∴化简得：，解得：或（舍去）∴，∴，所以19.设函数（1）求的单调性.（2）求证：当时，.（3）若函数在上有零点，求实数的取值范围.答案：（1）在和上单调递增；（2）证明见解析；（3）.解析：思路：（1）利用导函数求函数单调性即可；（2）构造新函数，利用导函数证明其单调性，从而证得不等式成立；（3）构造新函数，将原问题转化为函数在内有零点，分类讨论：当时，通过放缩法证得函数，没有零点，不合题意；当时，通过多次求导证明函数单调性，结合零点存在性定理求得在上有唯一零点，从而可求得实数的取值范围.（1）由题意，的定义域为，且，设，则，当时，，在上递增，则，即，所以在上递增；当时，，在上递减，则，即，所以在上递增.所以，在和上单调递增.（2）当时，.令，则，设，则，时，，即在上为增函数，所以，故在上为增函数，所以，即成立，故原不等式得证.（3）令，“函数在上有零点”等价于“函数在上