湖南省湘潭市2027届高三上学期第一次模拟考试数学试卷（含答案）

湖南湘潭市2027届高三第一次模拟考试数学试题一、单选题1．样本数据6，8，4，5，12的第一四分位数为（

）A．5 B．6 C．8 D．92．已知向量，，若，则实数的值为（

）A． B．2C． D．3．点在抛物线上，则焦点到准线的距离为（

）A．1 B．C．2 D．34．已知函数，若，则（

）A．0 B． C．6 D．45．已知展开式中项的系数为，则（

）A．2 B． C．4 D．6．已知正实数，满足，则的最小值为（

）A．5 B．6C． D．7．某同学类比双曲线的定义研究平面上到点，距离的倒数之差的绝对值等于1的点的轨迹，设点是该轨迹上一点，则的最大值为（

）A． B．C． D．8．若实数集中存在最大元素和最小元素，则定义集合的“极差”．下列说法正确的是（

）A．已知，则B．已知，，则存在实数使得C．若，则D．已知是等比数列的前项和，，则不存在等比数列，使得二、多选题9．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（

）A．B．直线是函数图象的一条对称轴C．将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象D．若函数在上恰有3个零点，则实数的取值范围是10．已知圆，则下列说法正确的有（

）A．圆心在曲线上B．存在两个不同的实数，使圆过点C．存在四个不同的实数，使圆与直线相切D．存在两个不同的实数，满足直线平分圆的面积11．某种昆虫存在特殊世代交替繁殖规律：受精卵发育为雌虫，兼具父本和母本；未受精卵细胞发育为雄虫，雄虫仅有母本、无父本．下图是该类昆虫雄性的家系图，假定：其“父母”为上溯第1代祖辈，其“祖父母”为上溯第2代祖辈，以此类推．记表示一只该类雄性昆虫上溯第代祖辈数量，例如，，那么下列结论中正确的是（

）A．B．C．记，满足的最小D．三、填空题12．已知，则______．13．函数的图象在点处的切线与直线平行，则该切线方程为______．14．四个半径为1的小球两两相切地堆放在水平桌面上，用一个半球容器（容器壁厚度不计）完全罩住这四个小球，则这个容器最小的半径为_______．四、解答题15．在中，内角，，所对边分别为，，，且．(1)求角；(2)若为锐角三角形，，，求的面积．16．如图在四棱锥中，，，，，．(1)证明：平面平面；(2)求平面与平面的夹角的正弦值．17．已知椭圆：，过右焦点垂直于轴的直线被所截线段长为1．(1)求椭圆的离心率；(2)过直线上一点作椭圆的两条切线，，切点分别为，．（ⅰ）证明直线过定点；（ⅱ）求面积的最大值．18．在一个不透明箱子内装有个大小相同，质地均匀的小球，其中有个小球做了标记，现从该箱子中不放回地随机取球，直至所有的标记球取完为止．记为取球次数，表示在标记了个球的情况下，第个小球是标记球的概率，表示是最后一个标记球的概率．(1)，，求；(2)求和；(3)求，，．19．已知，．(1)求证：图象关于直线对称；(2)当时，存在最大值，求实数的取值范围；(3)当时，恒成立，求的值．参考答案1．A2．D3．C4．A5．B6．D7．A8．C9．AC10．ABD11．ABD12．13．14．15．(1)(2)616．(1)证明：连结，过作，垂足为，于．，中，，．

中，，，即，所以，又，,平面,平面，平面，又因为平面，平面平面．(2因为平面，如图所示以为原点，过点与垂直的直线为轴，，为，轴建立坐标系．由（1）知，，，，．

所以，．设平面法向量，由，，，取，得，有，

又，，设平面法向量，由，，，取，得，有，

设平面与平面的夹角为，则，所以．17．（1）此椭圆，过焦点垂直于轴的弦即通径，长为，得，，故．（2）（ⅰ）由（1）．设，，设切线的方程为，联立整理得，由，得，因为在椭圆上，所以，则，所以过与相切的直线方程为，即的方程为，同理的方程为，又因为，都经过点，所以，显然，在直线上，即直线方程为，所以直线过定点.（ii）联立直线与椭圆方程得．，.，设，原式，所以当即，点，切线，关于轴对称时，取最大值为．18．(1)(2)（1），表示第次才取出这1个标记球的概率，：第一次取非标记球，第二次取标记球；.（2）不放回抽样：每次拿到标记球的概率相等，，共n个球，;求，即满足在前次共拿到1个标记球，第i次拿到第2个标记球,i的取值范围为.，；当时，；所以，.（3）不放回抽样：每次拿到标记球的概率相等；；求，即满足在前次共拿到个标记球，第i次拿到第k个标记球,i的取值范围为.，；，.所以，.19．(1)证明：关于直线对称．（2）由（1）知关于直线对称，故仅考虑．，设，．（i）当时，恒成立．在单调递增，此时，在单调递减．所以，此时在不存在最大值.（ii）当时，使，当时，，单调递增，当时，，单调递减，又因为，，所以①当时，的大致图象如下图所示，可知时，，在单调递增，此时存在最大值，符合题意；②当时，使，的大致图象如下图所示，可知时，，在单调递减，可知时，，在单调递增，当时，在存在最大值，即，即.综上时有最大值.（3）由（2）知：当时，不成立，时，，，，、，使，且

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